精品解析：重庆市育才中学校2024-2025学年下学期八年级数学第一次自主作业

重庆育才中学教育集团初2026届初二（下）第一次自主作业 数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标，对称轴为直线． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 中国传统文化博大精深，源远流长．传统文化之剪纸更是闻名中外，巧妙利用轴对称性质进行剪纸会使操作更加容易，图案更加美观．下列前纸图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，据此判断即可求解，掌握轴对称的定义是解题的关键． 【详解】、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了构成三角形的条件，由构成三角形的条件：“任意两边之和大于第三边” 逐一进行判断，即可求解；掌握构成三角形的条件是解题的关键． 【详解】解：A.，不能组成三角形，故不符合题意； B.，不能组成三角形，故不符合题意； C.，不能组成三角形，故不符合题意； D.，能组成三角形，故符合题意； 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算、合并同类项、完全平方公式，由，，合并同类项法则，，进行逐一运算，即可求解；掌握幂的运算公式及完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：A.，结论错误，故不符合题意； B.，结论正确，故符合题意； C.，结论错误，故不符合题意； D.，结论错误，故不符合题意； 故选：B． 4. 已知分式的值为，那么的值为（ ） A. 且 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为的条件，根据分式的值为，分子的值为且分母的值不等于解答即可求解，掌握分式的值为的条件是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为， ∴且， ∴， 故选：． 5. 实数的值在（　　） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 【答案】B 【解析】 【分析】先判断的取值，再求出的取值. 【详解】∵2＜＜3， ∴1＜＜2， 故选B. 【点睛】此题主要考查实数的估算，解题的根据是熟知实数的大小判断. 6. 如图，点在线段上，，，使，还需添加的一个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定， A.由不能判断三角形全等，即可判断； B.由不能判断三角形全等，即可判断； C.由即可判断； D.由不能判断三角形全等，即可判断； 掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：， ， ， A.，，不能判断，故不符合题意； B.， ， ，，，不能判断，故不符合题意； C. ， ， ，，， ()，故符合题意； D.， ，，，不能判断，故不符合题意； 故选：C． 7. 桥梁工程中需要制作一个具有特殊构造的工件，工件的特征如图所示．按照这样的规律，若第个图案中“”的个数是，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形的规律变化，一元一次方程的应用，由已知图形可得第个图案中有个正方形，进而可得方程，解方程即可求解，找到图形的变化规律是解题的关键． 【详解】解：由图可知，第个图案中有个正方形， 第个图案中有个正方形， 第个图案中有个正方形， ， ∴第个图案中有个正方形， 当若第个图案中正方形的个数为时，则， 解得， 故选：． 8. 多项式展开后不含的一次项，则为（ ） A. 0 B. 3 C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多项式与多项式乘法的展开式不含某一项的问题，先对展开合并同类项，再令x的系数为零即可求出． 【详解】解： ∵结果中不含的一次项， ∴， ∴， 故选：C． 9. 如图，在等腰中，，点是的中点，分别是边上的动点，连接，则的周长最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握运用轴对称求最值的方法成为解题的关键． 由等腰直角三角形的性质可得、，如图：作D关于直线的对称点，作D关于直线的对称点，则；进而得到当共线时，的周长最小，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵等腰中，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 如图：作D关于直线的对称点，作D关于直线的对称点， ∴， ∴，， 由的周长为，则当共线时，的周长最小， ∵，， ∴． 故选A． 10. 已知的三边分别为．例如：若，则为等腰三角形．理由如下：方程整理为：，，，那么是等腰三角形．对于满足的条件给出下列说法： ①若，那么这个三角形是等腰三角形； ②若，那么这个三角形是等边三角形； ③若，那么这个三角形是直角三角形． 以上说法中正确的是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，特殊三角形的判定； ①等式左边进行因式分解得，即可判断； ②等式左边进行因式分解得，即可判断； ③等式左边进行因式分解得，即可判断； 能熟练进行因式分解是解题的关键． 【详解】解：①由题意得：， ， ， 或， 或， 这个三角形等腰三角形； 故此项正确； ②， ， ， ，，， ，，， ， 这个三角形是等边三角形； 故此项正确； ③由题意得：， ， 或， 或， 这个三角形是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形； 故此项不正确； 故选：C． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应横线上． 11. 年中央广播电视总台《年春节联欢晚会》收视情况非常出色，多项数据创下新高．截至月日时，总台春晚全媒体累计触达人次，将用科学记数法表示为：______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故答案为：． 12. ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据绝对值的性质、负整数指数幂计算即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 若一个多边形的内角和与外角和之差为，那么此多边形的边数为_________． 【答案】或六 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理．根据多边形的内角和公式，外角和等于列出方程求解即可． 【详解】解：设多边形的边数是， 根据题意得，， 解得． 故答案为：． 14. 若，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，由已知可得，进而整体代入代数式计算即可求解，掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在等边中，点分别在边上，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，由等边三角形的性质可得，，进而可得，即得到，进而由三角形外角性质可得，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 若使关于的不等式组有且只有四个整数解，且使关于的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数的和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由不等式组和分式方程解情况求参数，先求出不等式组的解集，由不等式组的解集有且只有四个整数解可得，再求出分式方程的解，由分式方程的解为非负数可得，进而根据分式方程的分母不等于得，即得的取值范围为且，据此即可求解，由不等式组和分式方程求出的取值范围是解题的关键． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且只有四个整数解， ∴， 解得， 解分式方程得，， ∵分式方程的解为非负数， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的取值范围为且， ∴所有满足条件的整数的和为， 故答案为：． 17. 如图，在中，，点在边上，将沿翻折得到，连接，若且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，交于点，过点作于，由平行线和折叠的性质可得，即得，设，则，在中，利用勾股定理可得，即得，得到，，进而由三角形面积得，又由四边形是矩形得，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点作，交于点，过点作于，则，， ∵， ∴， 由折叠得，，，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 18. 一个四位自然数，各个数位上的数字均不为0，若满足千位数字和百位数字的积加上十位数字和个位数字的积，所得的和为25，则称四位数为“25快乐数”．如4611，，是“25快乐数”，最大的“25快乐数”是_______；若一个“25快乐数”，百位数字与个位数字相等，千位数字与百位数字的和减去十位位数字与个位数字的和，所得的差是3的整数倍，则满足条件的所有四位自然数的和为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设四位数为，由新定义得，当时，，或，即可求解；由新定义可设，可得，，结合、、的取值范围，即可求解． 【详解】解：设四位数为， ， 当时， ， 或， 当时， ， ， ，， 或，， 故这个四位数是或， 最大的“25快乐数”是； “25快乐数”，百位数字与个位数字相等， 可设， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 千位数字与百位数字的和减去十位位数字与个位数字的和，所得的差是3的整数倍， ，为整数， ， ， 当时，， ； 当时，， ； 为或， ； 故答案为：，． 【点睛】本题考查了新定义，方程的应用，一元一次不等式组的应用，理解新定义是解题的关键． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算题 （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）利用二次根式的性质和运算法则计算即可； （）利用二次根式的性质和运算法则及平方差公式计算即可； 本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. （1）计算：． （2）因式分解：． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，因式分解，掌握整式混合运算及因式分解的方法是解题的关键． （1）先进行单项式乘以多项式和完全平方公式运算，再进行加减运算，即可求解； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式进行分解，即可求解； 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 21. 如图，已知的顶点分别为． （1）作出关于轴对称的图形，再将沿轴向右平移个单位得到，并直接写出的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）作图见解析，， （2） 【解析】 【分析】（）根据轴对称和平移的性质作出图形，再根据图形写出坐标即可； （）利用割补法解答即可． 小问1详解】 解：如图所示，和即为所求，由图形可得，； 【小问2详解】 解：． 【点睛】本题考查了作轴对称图形，平移作图，坐标与图形，三角形的面积，掌握轴对称和平移的性质是解题的关键． 22. 如图，在中，，为边的中线． （1）尺规作图：求作边的中垂线交于点，连接；（只作图，不写作法） （2）求证：． 证明： ①_______， 边的中线为， ， ②_______， 在和中， （④_______） ． 【答案】（1）画图见解析 （2），，， 【解析】 【分析】（）根据线段的垂直平分线的画法作图即可； （）由等腰三角形的性质可得，由三角形中线的性质得，进而由证明即可求证； 本题考查了线段垂直平分线的画法，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确画出图形是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图所示，直线即为所求； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵边的中线为， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：，，，． 23. 先化简，再求值：，化简后，将代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的性质和运算法则进行化简，再把的值代入化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 24. 如图，在中，，以为直角边，往下方构造一个等腰直角，，过点作于，交于． （1）若，求的度数； （2）求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（）由等腰直角三角形的性质可得，即得，再根据直角三角形的性质即可求解； （）证明即可求证； 本题考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键 ． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵于， ∴， ∴ 【小问2详解】 证明：∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵于， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 25. 2025年新春佳节，杨家坪商圈喜庆的大红灯笼随处可见，家住杨家坪的陈大爷和老伴站在天桥上，凭栏赏景：“红红火火的大灯笼，看着真是让人喜气洋洋！”据悉：杨家坪商圈计划挂1200个大红灯笼，由于临近春节工作人员热情高涨，实际每天挂的灯笼数量比原计划每天挂的灯笼数量多，结果提前一天完成任务， （1）求原计划每天挂多少个灯笼？ （2）从相关管理部门了解到购进这批灯笼总花费576000元，春节过后有商家以管理部门购进单价的全部回收并进行维护翻新，翻新过程中预估损坏且无法修缮的灯笼占所有灯笼数量的，商家翻新后的灯笼将重新定价并售完，若每个灯笼的维护翻新费用是商家再次售卖定价的，请问商家定价最少为多少才能维持利润率不低于？ 【答案】（1）原计划每天挂个灯笼 （2）商家定价最少为元才能维持利润率不低于 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用； （1）等量关系式：原计划需要的天数实际需要的天数天，列方程，即可求解； （2）由不等关系式：利润成本，列出不等式，即可求解； 能找出等量关系式和不等关系式是解题的关键． 【小问1详解】 解：原计划每天挂个灯笼，由题意得 ， 解得：， 经检验：是所列方程的解，且符合实际意义； 答：原计划每天挂个灯笼； 【小问2详解】 解：设商家定价为每个元，由题意得 ， 整理得：， 229824， 解得：， 答：商家定价最少为元才能维持利润率不低于． 26. 如图，在中，点在边上；连接，，点在边上，连接并延长到，满足，连接，的角平分线交于，交于． （1）如图1，若，且，求线段的长； （2）如图2，连接，当时，探究与的数量关系并证明； （3）如图3，在中，，，在线段上，连接，交于，．是直线的一动点，连接，以为直角顶点，直角边作等腰，若，请直接写出的最小值． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由等边对等角可得，求出，再由直角三角形的性质即可得解； （2）延长到，使得，连接，由等腰三角形的性质可得，是的中点，即垂直平分，证明，得出，证明，得出，推出，即，从而可得，推出，进而可得，即可求证； （3）先证明，再求出，再得出，求出，连接，过点作，交于点，证明，得出，则可得，则点的轨迹为过点垂直于的直线，由点到直线的距离可得，当时，即点与点重合时最小，再求出即可． 【小问1详解】 解：在中，， ∴， 在中，，， ∴，， 在中，，， ∴； 小问2详解】 解：， 证明：如图，延长到，使得，连接， 在等腰中，， ∵平分， ∴，是的中点，即垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵的角平分线交于， ∴垂直平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，连接，过点作，交于点， ∴，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴点的轨迹为过点垂直于的直线， 由点到直线的距离可得，当时，即点与点重合时最小， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆育才中学教育集团初2026届初二（下）第一次自主作业 数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标，对称轴为直线． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 中国传统文化博大精深，源远流长．传统文化之剪纸更是闻名中外，巧妙利用轴对称性质进行剪纸会使操作更加容易，图案更加美观．下列前纸图案中，是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 2. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知分式的值为，那么的值为（ ） A. 且 B. 或 C. D. 5. 实数的值在（　　） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 6. 如图，点在线段上，，，使，还需添加的一个条件是（ ） A. B. C. D. 7. 桥梁工程中需要制作一个具有特殊构造的工件，工件的特征如图所示．按照这样的规律，若第个图案中“”的个数是，则的值为（ ） A B. C. D. 8. 多项式展开后不含的一次项，则为（ ） A. 0 B. 3 C. 9 D. 18 9. 如图，在等腰中，，点是的中点，分别是边上的动点，连接，则的周长最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 10. 已知的三边分别为．例如：若，则为等腰三角形．理由如下：方程整理为：，，，那么是等腰三角形．对于满足的条件给出下列说法： ①若，那么这个三角形是等腰三角形； ②若，那么这个三角形是等边三角形； ③若，那么这个三角形是直角三角形． 以上说法中正确的是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应横线上． 11. 年中央广播电视总台《年春节联欢晚会》的收视情况非常出色，多项数据创下新高．截至月日时，总台春晚全媒体累计触达人次，将用科学记数法表示为：______． 12. ______． 13. 若一个多边形的内角和与外角和之差为，那么此多边形的边数为_________． 14. 若，则的值是______． 15. 如图，在等边中，点分别在边上，且，则______． 16. 若使关于的不等式组有且只有四个整数解，且使关于的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数的和为______． 17. 如图，中，，点在边上，将沿翻折得到，连接，若且，则______． 18. 一个四位自然数，各个数位上的数字均不为0，若满足千位数字和百位数字的积加上十位数字和个位数字的积，所得的和为25，则称四位数为“25快乐数”．如4611，，是“25快乐数”，最大的“25快乐数”是_______；若一个“25快乐数”，百位数字与个位数字相等，千位数字与百位数字的和减去十位位数字与个位数字的和，所得的差是3的整数倍，则满足条件的所有四位自然数的和为_______． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算题 （1）． （2）． 20. （1）计算：． （2）因式分解：． 21. 如图，已知顶点分别为． （1）作出关于轴对称的图形，再将沿轴向右平移个单位得到，并直接写出的坐标； （2）求的面积． 22. 如图，在中，，为边的中线． （1）尺规作图：求作边的中垂线交于点，连接；（只作图，不写作法） （2）求证：． 证明： ①_______， 边的中线为， ， ②_______， 在和中， （④_______） ． 23. 先化简，再求值：，化简后，将代入求值． 24. 如图，在中，，以为直角边，往下方构造一个等腰直角，，过点作于，交于． （1）若，求的度数； （2）求证：． 25. 2025年新春佳节，杨家坪商圈喜庆的大红灯笼随处可见，家住杨家坪的陈大爷和老伴站在天桥上，凭栏赏景：“红红火火的大灯笼，看着真是让人喜气洋洋！”据悉：杨家坪商圈计划挂1200个大红灯笼，由于临近春节工作人员热情高涨，实际每天挂的灯笼数量比原计划每天挂的灯笼数量多，结果提前一天完成任务， （1）求原计划每天挂多少个灯笼？ （2）从相关管理部门了解到购进这批灯笼总花费576000元，春节过后有商家以管理部门购进单价的全部回收并进行维护翻新，翻新过程中预估损坏且无法修缮的灯笼占所有灯笼数量的，商家翻新后的灯笼将重新定价并售完，若每个灯笼的维护翻新费用是商家再次售卖定价的，请问商家定价最少为多少才能维持利润率不低于？ 26. 如图，在中，点在边上；连接，，点在边上，连接并延长到，满足，连接，的角平分线交于，交于． （1）如图1，若，且，求线段的长； （2）如图2，连接，当时，探究与的数量关系并证明； （3）如图3，在中，，，在线段上，连接，交于，．是直线的一动点，连接，以为直角顶点，直角边作等腰，若，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$