精品解析：广东省高州市第四中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

高州四中2024-2025学年度第二学期3月月考 高一数学试卷 考试范围：5.6-7.2；考测日期：2025.03.18； 满分150分；考试时间：120分钟. 命题入：数学备课组 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 2.请将答案正确填写在答题卡上. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.） 1. 复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 2. 在中，在上且，设，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 4. 在中，，则的面积等于（ ） A. B. 2 C. D. 5. 已知，，，，则与共线的条件为（ ） A. B. C. D. 或 6. 已知平面向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，点是的中点，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的0分） 9. 对于平面向量，下列命题不正确的是（ ） A. 若向量与不相等，则 B. 若，则向量 C. 若向量与不共线，则与都是非零向量 D. 若向量与共线，向量与共线，则向量与也共线 10. 已知函数的部分图象如图所示，其最小正周期为T，则（ ） A. B. C. 的一个单调递增区间为 D. 为奇函数 11. 已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则有一解 B. 若，则无解 C. 若，则有一解 D. 若，则有两解 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知复数满足，则__________. 13. 在平行四边形中，，若点满足则__________. 14. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的面积的最大值为________. 四、解答题（共5道大题，共77分） 15. 在中，内角的对边分别为，且． （1）求A： （2）若，的面积为，求的周长． 16. 已知中，是直角，，点是的中点，为上一点． （1）设，，当，请用，来表示，． （2）当时，求证：． 17. 钝角ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,. （1）求角C的大小； （2）若ΔABC的BC边上中线AD的长为，求ΔABC的周长. 18. 已知函数最小正周期为. （1）求的值和函数图象的对称中心； （2）将函数的图象上的各点向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半；得到函数的图象，当时，方程有两个解，求实数的取值范围. 19. 设函数，． （1）解方程：； （2）令，求的值 （3）若是实数集上的奇函数，且对任意实数恒成立，求实数的取值范围 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高州四中2024-2025学年度第二学期3月月考 高一数学试卷 考试范围：5.6-7.2；考测日期：2025.03.18； 满分150分；考试时间：120分钟. 命题入：数学备课组 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 2.请将答案正确填写在答题卡上. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.） 1. 复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的四则运算结合共轭复数的定义得出的虚部. 【详解】因为， 所以， 所以，所以的虚部为. 故选：A 2. 在中，在上且，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算来求得正确答案. 【详解】如图，在中，在上且，所以. 则 . 又因为，所以. 故选：B 3. 已知向量，若，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直列方程，化简求得. 【详解】若，则，即， 向量，则，解得. 故选：A 4. 在中，，则的面积等于（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理计算出边，再由面积公式计算即可得. 【详解】， ， 即， 解得或（舍）， ， ， . 故选：C 5. 已知，，，，则与共线的条件为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】假设与共线，利用平面向量共线的判定定理得到给定条件求解即可. 【详解】若与共线，则，得到， 化简得，故， 因为，所以我们讨论是否为， 当时，得到或，但时，一定满足， 当时，则，此时满足， 则与共线的条件为或，故D正确. 故选：D． 6. 已知平面向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件求得，再由平面向量的夹角公式即可求解. 【详解】由，， ． 故选：D． 7. 在中，点是的中点，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断三角形为直角三角形，根据投影向量的定义，即可求得答案. 【详解】由题意知在中，点是的中点，且， 故， 则在上的投影向量为 . 故选：C 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对已知条件两边同时平方，再将所得式子相加，结合余弦差角公式进行化简计算. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以，所以， 故. 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的0分） 9. 对于平面向量，下列命题不正确的是（ ） A. 若向量与不相等，则 B. 若，则向量 C. 若向量与不共线，则与都是非零向量 D. 若向量与共线，向量与共线，则向量与也共线 【答案】ABD 【解析】 【分析】由向量的基本概念及共线向量的概念逐项判断即可； 【详解】对于A，当向量与互为相反向量时，两向量的模长相等，故该命题不正确； 对于B，向量的模长有大小关系，但向量之间无大小关系，该命题不正确； 对于C，由于零向量与任意向量共线，向量与不共线，则与都是非零向量，该命题正确； 对于D,与共线，与共线时，与也共线，当时命题不一定成立，该命题不正确， 故选：ABD. 10. 已知函数的部分图象如图所示，其最小正周期为T，则（ ） A. B. C. 的一个单调递增区间为 D. 为奇函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图象过点求出的值可判断A；求出周期可判断B；求出函数的单调增区间可判断C；求出的解析式，结合诱导公式和奇偶性的概念可判断D. 【详解】由题图可得，所以， 因为，所以当时，，所以，故A正确； ，故B正确； 由，得， 取，可得函数的一个单调递增区间为，故C错误； 因为，，且定义域关于原点对称， 所以为奇函数，故D正确． 故选：ABD 11. 已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则有一解 B. 若，则无解 C. 若，则有一解 D. 若，则有两解 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正弦定理求解三角形的边或角，结合三角形的边角关系，一一判断各选项中三角形解的情况，即得答案. 【详解】A选项，因为，所以，故， 则是边长为2的等边三角形，有一解，故A正确； B选项，若，由正弦定理得，即， 解得，无解，故B正确； C选项，若，由大边对大角可知，此时三角形中有2个钝角， 不可能，则无解，故C错误； D选项，若，由正弦定理得， 即，解得，因为，所以或， 所以有两解，D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知复数满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数运算法则求的代数形式，再根据模的计算公式求结论. 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为：. 13. 在平行四边形中，，若点满足则__________. 【答案】36 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算得到，，然后求数量积即可. 【详解】 由题意得，，所以. 故答案为：36. 14. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的面积的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理结合均值不等式求得最大值，再用三角形的面积公式求解即可. 【详解】因为已知， 由余弦定理可得， 因为，又因为，得， 当且仅当时等号成立， 则面积为， 当且仅当时等号成立，故的面积的最大值为. 故答案为：. 四、解答题（共5道大题，共77分） 15. 在中，内角的对边分别为，且． （1）求A： （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用正弦定理边化角，然后利用三角公式整理计算即可； （2）先利用面积公式求出，再利用余弦定理求出，则周长可求. 【小问1详解】 由，以及正弦定理可得 即， 即， 又在中， 所以， 则在中； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 由余弦定理， 解得， 所以的周长. 16. 已知中，是直角，，点是的中点，为上一点． （1）设，，当，请用，来表示，． （2）当时，求证：． 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算，即可求得答案； （2）建立平面直角坐标系，求出相关点坐标以及的坐标，计算，即可证明结论. 【小问1详解】 由题意知点是的中点，故， 则； . 【小问2详解】 以C为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 设，则， 当时，E为线段靠近B的三等分点，则， 故， 则， 即，故. 17. 钝角ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,. （1）求角C的大小； （2）若ΔABC的BC边上中线AD的长为，求ΔABC的周长. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理计算后可得的值. （2）在中利用余弦定理计算后可得周长. 【详解】（1）由正弦定理可得，故， 又，或. 若，则，三角形为直角三角形，舍去； 若，则，符合，故. （2）法1：由余弦定理可得即 ，故，，又，故， 所以周长为. 法2：因为，所以， 故，因，故即，， 所以周长为. 【点睛】（1）在解三角形中，我们有时需要找出不同三角形之间相关联的边或角，由它们沟通分散在不同三角形的几何量． （2）在中，若为边上的中线，则有． 18. 已知函数最小正周期为. （1）求的值和函数图象的对称中心； （2）将函数的图象上的各点向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半；得到函数的图象，当时，方程有两个解，求实数的取值范围. 【答案】（1），对称中心为 （2） 【解析】 【分析】（1）借助三角恒等变换公式将原函数化为正弦型函数后，利用正弦型函数周期可得，再借助正弦型函数对称性可得对称中心； （2）得到后，结合换元法可得的单调性，即可得实数的取值范围. 【小问1详解】 ， 由的最小正周期为，得，故，所以， 令，得，故函数的对称中心为； 【小问2详解】 令，由，得， 在递减，在递增，所以， 又，所以有两个解时，. 19. 设函数，． （1）解方程：； （2）令，求的值 （3）若是实数集上的奇函数，且对任意实数恒成立，求实数的取值范围 【答案】（1） （2）9 （3） 【解析】 【分析】（1）结合指数方程求解即可． （2）由，即可求解． （3）结合函数的奇偶性和单调性得到对任意的都成立，即对任意的都成立，即可求解． 【小问1详解】 因为，，， 所以，即，即， 解得，或（舍），所以． 【小问2详解】 由， 则， 故． 【小问3详解】 由题知 因为是实数集上的奇函数，所以，所以，解得， 所以，又因为，所以，即 解得． 即，经检验是实数集上的奇函数， 所以，在实数集上单调递增． 由得， 又因为是实数集上的奇函数，所以， 又因为在实数集上单调递增，所以， 即对任意的都成立， 即对任意的都成立， 因为，当且仅当时取等号， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $