精品解析：湖北省武汉市江岸区2024-2025学年八年级上学期期末数学试题

八年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题备选答案中有且只有一个是正确的，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑． 1. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台”，这是诗仙李白眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只在左右，用科学记数法可表示为（ ） A B. C. D. 4. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列分式与分式相等的是（ ） A. B. C. D. 6. 下面分解因式正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若的面积是16，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，于点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，点在边上，且，点，分别是边，上的动点，当最小时，，则长为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接写在答题卡的指定位置． 11. 已知点P的坐标是，则点P关于y轴的对称点坐标是___________． 12. 计算_______． 13. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 14. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若的周长为16，的周长为22，则的长为_____． 15. 下列结论： ①若，则； ②若是一个完全平方式，则的值为9； ③若，则； ④若关于的方程无解，则的值为4或0． 其中正确的结论是_____（填写序号）． 16. 如图所示的是2025年1月份的月历，“Z字型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（两种阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右平移）．将“Z字型”覆盖的最小的数与最大的数的乘积记作，将“十字型”覆盖的最小的数与最大的数的乘积记作，若，则的值为_____． 三、解答题（共8小题，共72分） 下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 分解因式： （1）； （2）． 19. 如图，点、在上，，，．求证：． 20. 先化简，再求值：，其中x=3． 21. 如图，在下列网格中，的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不要求写作法，保留作图痕迹． （1）如图1，已知，先在找一点，使，画出点；再在找一点，使平分，画出点； （2）如图2，点是边上一点，先画线段，使得，且；再在找一点，使． 22. 某商店用6000元购进商品若干件，用8000元购进商品若干件，已知商品进价比商品进价每件少10元，且购进、商品数量恰好相等． （1）求每件商品进价及购进商品数量． （2）已知商品售价为每件45元，商品售价为每件60元，在销售过程中，商品按此售价全部售出，商品在售出件后将余下部分每件降价元直至全部售出． ①当时，若商品与商品都全部售出后，两种商品所获利润恰好相等，求的值． ②已知是不大于10正整数，是不小于100的正整数，若商品与商品都全部售出后，两种商品所获利润之和为6500元，则的值为_____．（直接写出结果） 23. 问题背景：（1）如图1，在中，，点为外一点，点为延长线上一点，点为线段上一点，于点，于点，且．直接写出图中与全等的三角形是_____，直接写出线段，，之间满足的数量关系是_____． 类比探究：（2）如图2，已知等边及外一点，连接，，．若，试判断，，之间满足的数量关系，并予以证明． 拓展应用：（3）如图3，在中，，点为外一点，且，，求的度数． 24. 已知在平面直角坐标系中，点坐标原点，已知点，点，连接． （1）若，满足，且的面积为8．直接写出，两点坐标： _____， _____； （2）如图1，在（1）条件下，为上一点，连接，点在上，若，．求证：． （3）如图2，点，分别在线段，上，且，．若，，求的面积（用含，的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题备选答案中有且只有一个是正确的，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑． 1. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，当分母不等于零时，分式有意义；当分母等于零时，分式无意义．分式是否有意义与分子的取值无关．根据分母不等于0列式求解即可． 【详解】解：由题意，得 ， ∴． 故选D． 2. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合轴对称图形的概念进行求解即可． 【详解】解：根据轴对称图形的概念可知： A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3. “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台”，这是诗仙李白眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只在左右，用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据科学记数法的表示方法进行求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示为，故A正确． 故选：A． 4. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方和积的乘方，同底数幂的除法求出每个式子的值，再判断即可． 【详解】解：、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查了合并同类项法则，幂的乘方和积的乘方，同底数幂的除法等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键． 5. 下列分式与分式相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】解：A、是最简分式，与不相等，故选项错误； B、=与相等，故选项正确； C、是最简分式，与不相等，故选项错误； D、=与不相等，故选项错误； 故选B． 【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型． 6. 下面分解因式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将各式分解得到结果，即可作出判断． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了因式分解-公式法，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解本题的关键． 7. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若的面积是16，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线的尺规作图，过点D作于E，由作图方法可得平分，则由角平分线的性质可得，再由列式求解即可． 详解】解：如图所示，过点D作于E， 由作图方法可知平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 8. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设规定时间为天，根据题意列出方程即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设规定时间为天， 由题意得，， 故选：． 9. 如图，在中，于点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在上截取，连接，得到是的垂直平分线，则，根据线段关系证明，结合等边对等角以及三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：在上截取，连接， ∵， ∴是的垂直平分线， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，外角定理，等腰三角形的性质，正确构造辅助线是解题的关键． 10. 如图，在中，，，点在边上，且，点，分别是边，上的动点，当最小时，，则长为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．作点关于的对称点，作于M，交于P，此时，根据垂线段最短，的最小值等于垂线段的长，利用含角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，作于M，交于P，，此时最小， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接写在答题卡的指定位置． 11. 已知点P的坐标是，则点P关于y轴的对称点坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点关于y轴的对称点的坐标是，进而得出答案． 【详解】解：∵点P的坐标是， ∴点P关于y轴对称点的坐标是． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了关于x轴、y轴对称点的坐标性质，正确记忆相关性质是解题关键． 12. 计算_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的减法，先通分，再相减即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可． 【详解】解：设边数为n，由题意得， 180（n－2）=3603， 解得n=8． 所以这个多边形的边数是8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了多边形内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键． 14. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若的周长为16，的周长为22，则的长为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出，，结合周长的定义得，然后运用周长差得出，即可作答． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点，交于点， ∴，， ∴的周长为16，的周长为22， ∴， 则， ∴， 即， ∴， 故答案为：3． 15. 下列结论： ①若，则； ②若是一个完全平方式，则的值为9； ③若，则； ④若关于的方程无解，则的值为4或0． 其中正确的结论是_____（填写序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方，完全平方式，分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．整理，得出①的说法是正确的；因为是一个完全平方式，得，则的值为；，故，则，化简得，结合无解，分别得或，再算出的值，即可作答． 【详解】解：∵， 则， 故①的说法是正确的； ∵是一个完全平方式， ∴ 则的值为； 故②的说法是错误的； ∵， ∴ 两边同时除以，得， ∴， 故③的说法是正确的； ∵， ∴， ∴， ∵关于的方程无解， ∴或或， ∴或， 则的值为4或0． 故④说法是正确的； 故答案为：①③④． 16. 如图所示的是2025年1月份的月历，“Z字型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（两种阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右平移）．将“Z字型”覆盖的最小的数与最大的数的乘积记作，将“十字型”覆盖的最小的数与最大的数的乘积记作，若，则的值为_____． 【答案】900 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用、求代数式的值，设“Z字型”覆盖的五个数中中间的数为，“十字型”覆盖的五个数中中间的数为，则，，结合题意得出，求出，，代入代数式计算即可得解． 【详解】解：设“Z字型”覆盖的五个数中中间的数为，“十字型”覆盖的五个数中中间的数为，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共72分） 下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，单项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据单项式乘多项式的法则进行计算，即可作答． （2）运用多项式除以单项式的法则进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用平方差公式进行因式分解，即可作答． （2）先提公因式，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 19. 如图，点、在上，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，根据平行线的性质得出，根据证明，得出，然后根据平行线的判定即可得证． 【详解】证明：∵， ∴． ∵ ∴ ∴． 在和中 ∴． ∴， ∴． 20. 先化简，再求值：，其中x=3． 【答案】， 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式= ． 当x=3时，原式=． 【点睛】本题考查分式的化简求值、完全平方公式、平方差公式，熟练掌握分式的混合运算法则是解答的关键. 21. 如图，在下列网格中，的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不要求写作法，保留作图痕迹． （1）如图1，已知，先在找一点，使，画出点；再在找一点，使平分，画出点； （2）如图2，点是边上一点，先画线段，使得，且；再在找一点，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图—复杂作图，角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据，作出图形，连接，取的中点，作射线交于点即可； （2）根据，，作出图形，取点，连接交于点，连接，交于点，连接，延长交于点，连接即可． 【小问1详解】 解：如图，点，射线即为所求， ； 【小问2详解】 解：如图，线段，点即为所求， ． 22. 某商店用6000元购进商品若干件，用8000元购进商品若干件，已知商品进价比商品进价每件少10元，且购进、商品数量恰好相等． （1）求每件商品进价及购进商品的数量． （2）已知商品售价为每件45元，商品售价为每件60元，在销售过程中，商品按此售价全部售出，商品在售出件后将余下部分每件降价元直至全部售出． ①当时，若商品与商品都全部售出后，两种商品所获利润恰好相等，求的值． ②已知是不大于10的正整数，是不小于100的正整数，若商品与商品都全部售出后，两种商品所获利润之和为6500元，则的值为_____．（直接写出结果） 【答案】（1）每件商品进价为30元，购进商品的数量为200件 （2）①；②5或10 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）读懂题意后设每件商品进价为元，则商品进价（元），然后列出分式方程，即可作答． （2）①读懂题意后列出一元一次方程，解出的值，即可作答． ②先由题意列式化简得，因为是不大于10的正整数，是不小于100的正整数，整理得或，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，设每件商品进价为元，则商品进价（元） ∵用6000元购进商品若干件，用8000元购进商品若干件，购进、商品数量恰好相等． ∴， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴每件商品进价为30元， 则（件）， ∴购进商品的数量为200件 【小问2详解】 解：①依题意， 解得， ②依题意， ， 解得， ∵是不小于100的正整数， ∴， ∴， ∵是不大于10的正整数， ∴， ∴或， ∴的值是或． 故答案为：或． 23. 问题背景：（1）如图1，在中，，点为外一点，点为延长线上一点，点为线段上一点，于点，于点，且．直接写出图中与全等的三角形是_____，直接写出线段，，之间满足的数量关系是_____． 类比探究：（2）如图2，已知等边及外一点，连接，，．若，试判断，，之间满足的数量关系，并予以证明． 拓展应用：（3）如图3，在中，，点为外一点，且，，求的度数． 【答案】（1），；（2），证明见解析；（3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）证明，得出，，证明，得出，即可得解； （2）在上截取，连接，证明为等边三角形，得出，，再证明，得出，即可得证； （3）延长至，使，再在上取点，使，连接，证明为等边三角形，得出，，证明，得出，再证明，得出，即可得解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ （2）结论：， 证明：在上截取，连接， ， 在等边中，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）证明：延长至，使，再在上取点，使，连接，， ， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， 依题意：，，， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴． 24. 已知在平面直角坐标系中，点为坐标原点，已知点，点，连接． （1）若，满足，且的面积为8．直接写出，两点坐标： _____， _____； （2）如图1，在（1）的条件下，为上一点，连接，点在上，若，．求证：． （3）如图2，点，分别在线段，上，且，．若，，求面积（用含，的式子表示）． 【答案】（1）， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由题意可得，，由三角形面积得出，由题意可得，得出，即可得解； （2）过作于点，过作于点，证明，再证明，得出，即可得证； （3）过作于点，延长交轴于点，则，证明，得出，设，则，，结合，得出，最后由面积公式计算即可得解． 【小问1详解】 解：由题意可得，， ∵的面积为8． ∴， ∴， ∵，满足， ∴， ∴， ∴，， ∴，； 【小问2详解】 证明：过作于点，过作于点， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过作于点，延长交轴于点， ∵， ∴， 由得，， 又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$