精品解析：广东省汕尾市陆河县部分学校2024-2025学年八年级下学期第一次综合训练数学试题

2024－2025学年第二学期八年级数学第一次综合训练 （时间：90分钟；满分：120分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．) 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，化简后能与合并的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 4，5，6 B. C. 6，8，10 D. 5，12，13 5. 在下列四组数中，属于勾股数的是（ ） A. 1，， B. 6，8，10 C. 7，8，9 D. 0.3，0.4，0.5 6. 在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是(3,4)，则OP的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7. 等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（ ） A. 3 B. C. D. 8. 在中，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在数轴上A点所对应的数为3，，，以D为圆心，为半径的圆弧交数轴于点C，则点C在数轴上所对应的数是（ ） A. B. C. D. 10. 已知的，和的对边分别是a，b和c，那么下列四个条件中能独立推出是直角三角形的有（ ）个 ①；②；③；④． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 定理“两直线平行，同旁内角互补”的逆定理是___________________． 12. 使有意义的x的取值范围是______． 13. 比较大小：_________（填“”“”或“”）． 14. 若与最简二次根式能合并，则的值为______． 15. 如图，在中，，如果点分别为上的动点，那么的最小值是______________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．） 16. 计算 （1） （2） （3）． 17. 如图，在中，，，，，求、的长 18. 若，是实数，且，求的值． 19. 实数在数轴上的位置如图所示．化简： 20. 如图将矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上处，已知，，求的长． 21. 如图，在由边长均为的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，求证：是直角三角形． 22. 如图，四边形是某公园的一块空地，已知，，，，，现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需元，则在该空地上种植草皮共需多少元？（，结果保留整数） 23. 细心观察下图，认真分析下列各式，然后解答问题： ，； ，； ，； … （1）请用含n（n为正整数）的等式表示上述规律； （2）推算出的长； （3）求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年第二学期八年级数学第一次综合训练 （时间：90分钟；满分：120分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．) 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，根据二次根式的性质结合最简二次根式的定义一一判断即可． 【详解】解：，故选项A不是最简二次根式，不符合题意； 不可以再化简，故选项B正确，符合题意； ，故选项C不是最简二次根式，不符合题意； ，故选项D不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 2. 下列二次根式中，化简后能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．根据二次根式的性质把各选项的二次根式化简，再根据能合并的二次根式是同类二次根式解答． 【详解】解：A．，不能与合并，不符合题意； B． ，不能与合并，不符合题意； C．，不能与合并，不符合题意； D．，能与合并，符合题意； 故选：D． 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的加法、减法、乘法、除法运算等知识点，明确二次根式加减乘除运算的计算法则是解答本题的关键． 根据二次根式的加法、减法、乘法、除法运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A． 和不是同类二次根式，不能相加减，故选项A错误，不符合题意； B． ，故选项B错误，不符合题意； C． ，故选项C错误，不符合题意； D． ，故选项D正确，符合题意． 故选：D． 4. 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 4，5，6 B. C. 6，8，10 D. 5，12，13 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，掌握应用勾股定理的逆定理步骤，应先分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，然后作出判断是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、，不符合勾股定理的逆定理，符合题意； B、，符合勾股定理的逆定理，不符合题意； C、，符合勾股定理的逆定理，不符合题意； D、，符合勾股定理的逆定理，不符合题意． 故选：A． 5. 在下列四组数中，属于勾股数的是（ ） A. 1，， B. 6，8，10 C. 7，8，9 D. 0.3，0.4，0.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，熟练掌握勾股数的定义是解此题的关键．根据勾股数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．1，，不都是整数，故不是勾股数，不符合题意； B．，故是勾股数，符合题意； C．，故不是勾股数，不符合题意； D．0.3，0.4，0.5不是整数，故不是勾股数，不符合题意； 故选：B． 6. 在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是(3,4)，则OP的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】画图，根据勾股定理求解. 【详解】如图所示： ∵P（3，4）， ∴OP＝＝5． 故选C． 【点睛】本题考查的是勾股定理及坐标与图形性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 7. 等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了三角形面积的计算，考查了等边三角形各边长相等的性质，根据勾股定理求出的长度是解题的关键． 【详解】解：根据题意，在等边中，作，如图所示： ∵等边三角形三线合一， ∴为的中点， ∴， 在中，，， ∴， ∴等边的面积为． 故选：B． 8. 在中，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据解等腰直角三角形的性质，得到∠A=∠B=45°,a=b，再由勾股定理计算即可； 【详解】解：在中，∠A=90°-45°=45°=∠B， ∴ ∴，即， ∴； 故选：C. 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理解直角三角形是解题的关键. 9. 如图，在数轴上A点所对应的数为3，，，以D为圆心，为半径的圆弧交数轴于点C，则点C在数轴上所对应的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键． 根据勾股定理求出的长度，得到的长度，即可得到点在数轴上所对应的数． 【详解】解：∵，，， ， ， 点在数轴上所对应的数是， 故选：B． 10. 已知的，和的对边分别是a，b和c，那么下列四个条件中能独立推出是直角三角形的有（ ）个 ①；②；③；④． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和、直角三角形的性质、三角形三边关系，根据三角形内角和可以判断①和④；根据三角形三边关系可以判断②；根据勾股定理的逆定理可以判断③． 【详解】解：∵ ∴最大的，故①不符合题意； ∵， ∴，该a、b、c三条线段构不成三角形，故②不符合题意； ∵， ∴， ∴，则该是直角三角形，故③符合题意； ∵， ∴，则该是直角三角形，故④符合题意； 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 定理“两直线平行，同旁内角互补”的逆定理是___________________． 【答案】同旁内角互补，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，即可得出答案． 【详解】解：“两直线平行，同旁内角互补”的逆定理是：同旁内角互补，两直线平行， 故答案为：同旁内角互补，两直线平行． 12. 使有意义的x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件． 【详解】解：根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须 ． 故答案为：． 13. 比较大小：_________（填“”“”或“”）． 【答案】< 【解析】 【分析】根据无理数的估算，先判断无理数的范围，再进行比较大小即可. 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为：. 【点睛】本题考查的是实数的大小比较，会用逼近法判断无理数在哪两个整数之间是解决本题的关键． 14. 若与最简二次根式能合并，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式与同类二次根式，解题关键是理解同类二次根式的概念．根据两个根式能够合并，化简后它们的被开方数相同解答即可． 【详解】解：∵与最简二次根式能合并， ∴， 解得， 故答案为：． 15. 如图，在中，，如果点分别为上的动点，那么的最小值是______________． 【答案】####4.8 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路径问题以及三角形面积公式的应用，熟练掌握利用轴对称转化线段是解题的关键． 通过作点关于的对称点，将转化为，则，当时，的长度即为的最小值，再利用三角形面积公式求解． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过作于，交于．则此时值最小，最小值为的长， ∵点与关于对称， ∴，， ∴． ∵，，，， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．） 16. 计算 （1） （2） （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式计算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）合并同类二次根式即可 （3）先化简成最简二次根式和去掉绝对值，再合并即可； （4）利用平方差公式和完全平方公式计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 【小问3详解】 17. 如图，在中，，，，，求、的长 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、三角形面积公式，由勾股定理得出，再由三角形面积公式计算即可得出的长． 【详解】解：在中，，，， ， ， ，即， ． 18. 若，是实数，且，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质；根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求出、的值，代入计算即可． 【详解】解：由题意得，，， 则， 解得：， 则， 则 19. 实数在数轴上的位置如图所示．化简： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数轴，二次根式的性质，绝对值的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键． 先由实数在数轴上的位置得出，根据二次根式的性质及绝对值的性质化简即可解答． 【详解】解：由数轴可知：， ∴ ． 20. 如图将矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上处，已知，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与折叠，矩形与折叠问题，根据勾股定理列方程是解题的关键．在矩形中，，，设，则， 由折叠的性质知：，中，由勾股定理列方程即可求出的长． 【详解】解：在矩形中，，， 设，则， 由折叠的性质知：， 在中，，， ∴ 解得， 即的长为． 21. 如图，在由边长均为的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，求证：是直角三角形． 【答案】 证明：根据题意得：，，， ， 是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理．先根据网格利用勾股定理分别求出三角形三条边的平方，再利用勾股定理的逆定理即可证明． 【详解】略 22. 如图，四边形是某公园的一块空地，已知，，，，，现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需元，则在该空地上种植草皮共需多少元？（，结果保留整数） 【答案】在该空地上种植草皮大约需要元 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，关键是直角三角形性质和勾股定理逆定理． 利用直角三角形性质求出和，再利用勾股定理逆定理判定是直角三角形，即可求解． 【详解】解：∵，，，∴， 在中，由勾股定理得：， ∵，， ∴，∴， ∴， ∴种植草皮所需金额为：（元）． 答：在该空地上种植草皮大约需要元． 23. 细心观察下图，认真分析下列各式，然后解答问题： ，； ，； ，； … （1）请用含n（n为正整数）的等式表示上述规律； （2）推算出的长； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的数字规律探索及二次根式的运算．解题的关键是观察，观察题中给出的结论，由此结论找出规律进行计算． （1）利用的值和变化规律直接得出答案即可； （2）根据勾股定理，结合（1）中规律即可求出； （3）根据总结的规律计算，得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得：； 【小问2详解】 解：在中，， 在中，， 在中，， …… ∴； 【小问3详解】 解： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $