第5讲 有理数的加减运算2024-2025学年北师大版数学七年级上册暑假预习讲义

第五讲 有理数的加减运算 知识概况： 一、有理数的加法 定义： 有理数的加法是指将两个有理数相加，得到一个新的有理数。有理数包括正数、负数和零。 加法法则： 1. 同号相加：两个正数相加或两个负数相加，取相同的符号，并将绝对值相加。 · 例如： · 例如： 1. 异号相加：一个正数和一个负数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 · 例如： · 例如： 1. 零的加法：任何数与零相加，仍得这个数。 · 例如： · 例如： 加法运算律： 1. 交换律： 1. 结合律： 二、有理数的减法 定义： 有理数的减法是指将一个有理数减去另一个有理数，得到一个新的有理数。减法可以看作是加法的逆运算。 减法法则： 1. 减去一个数等于加上这个数的相反数： · 例如： · 例如： 1. 减去零：任何数减去零，仍得这个数。 · 例如： · 例如： 减法运算律： 1. 减去一个数等于加上这个数的相反数： 三、有理数加减法的混合运算 运算顺序： 1. 先进行括号内的运算。 1. 按照从左到右的顺序进行加减法运算。 例题精讲： 例题1： （1）90＋(-110) （2） （3） （4）0+（-6） 变式训练： 计算： (1)(＋7)＋(－5)；        (2)(－9)＋(-2)； (3)0＋(－6)；           (4) (-3)＋(+3)； (5)－5.4＋2.4；         (6)－82＋(－18)． 例题2： 计算：(1)； (2)． 变式训练： 化简下列各数： （1）﹣（﹣5） （2）﹣（+7） （3）﹣[﹣（）] （4）﹣[﹣（﹣a）] （5）|﹣（+7）| （6）﹣|﹣8| （7）|﹣||| （8）﹣|﹣a|（a＜0） 例题3： 计算： （1）；    （2）． 变式训练： （1）0﹣16+（﹣29）﹣（﹣7）﹣（+11）； （2）（﹣1）+（﹣57）﹣（﹣1）+42； （3）0.25+（﹣）﹣﹣|﹣|； （4）+（﹣2）﹣（﹣1）﹣（+0.5）． 例题4： 邮递员骑车从邮局出发，先向南骑行到达村，继续向南骑行到达村，然后向北骑行到达村，最后回到邮局． （1）以邮局为原点，以向南方向为正方向，用表示，画出数轴，并在该数轴上表示出三个村庄的位置． （2）村离村有多远？ （3）邮递员一共骑行了多少千米？ 变式训练： 1. 全班学生分成四个组进行游戏，每个组的基本分为100分，答对一题加50分，答错一题扣50分，游戏结束时，各组的分数如表： 第一组 第二组 第三组 第四组 100 150 350 (1)第一名超出第二名多少分？ (2)第一名超出第四名多少分？ 2. 用简便方法计算：某产粮专业户出售余粮10袋，每袋重量如下（单位：千克）：199、201、197、203、200、195、197、199、202、196． (1) 如果每袋余粮以200千克为标准，求这10袋余粮总计超过多少千克或者不足多少千克？ (2) 这10袋余粮一共多少千克？ 例题5： 计算下列各题．（能用简便方法的要用简便方法） (1) (2) (3) (4) (5) (6)． 变式训练： 计算（能用简便方法计算的尽量用简便方法）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； 《第五讲 有理数的加减运算》的答案解析： 1．（1）-20；（2）；（3）0；（4）-6 【分析】（1）根据有理数的加法法则计算即可； （2）根据有理数的加法法则计算即可； （3）根据绝对值的性质和有理数的加法法则计算即可； （4）根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】解：（1）90＋(-110)=-20 （2） = = （3） = =0 （4）0+（-6）=-6 【点睛】此题考查的是有理数的加法运算，掌握有理数的加法法则是解题关键． 2．(1)2  (2)－11  (3)－6  (4)0  (5)－3  (6)－100. 【分析】根据有理数的加法法则进行计算即可求出答案． 【详解】(1)(＋7)＋(－5)， =+（7-5）， =2； (2)(－9)＋(-2)， =-（9+2）， =－11； (3)0＋(－6)， =-（0+6）， =-6； (4) (-3)＋(+3)， =0； (5)－5.4＋2.4， =-（5.4-2.4）， =-3； (6)－82＋(－18)， =-（82+18）， =-100． 【点睛】此题考查了有理数的加法；此题较简单，直接相加． 3．（1）2；（2） 【分析】（1）从左往右依次计算； （2）先将小数化为分数，再化简符号，然后计算加减法． 【详解】解：（1） =2； （2） = = = = 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 4．（1）﹣49；（2）-15.3；（3）-1.5；（4）-1 【分析】（1）从左至右依次计算即可； （2）根据加法的交换律和结合律计算即可； （3）先将0.25进行变形，然后利用加法的交换律和结合律计算即可； （4）先将0.5进行变形，然后利用加法的交换律和结合律计算即可． 【详解】解：（1）0﹣16+（﹣29）﹣（﹣7）﹣（+11） ＝﹣16﹣29+7﹣11 ＝﹣49； （2）（﹣1）+（﹣57）﹣（﹣1）+42 ＝[（﹣1）﹣（﹣1）]+[（﹣57）+42] ＝0﹣15 ＝﹣15； （3）0.25+（﹣）﹣﹣|﹣| ＝（﹣）+[（﹣）﹣|﹣|] ＝﹣﹣﹣ ＝﹣； （4）+（﹣2）﹣（﹣1）﹣（+0.5） ＝[﹣（﹣1）]+[（﹣2）﹣（+）] ＝2﹣3 ＝﹣1． 【点睛】本题考查了有理数的运算，掌握运算法则是解题关键． 5．（1）见解析；（2）9千米；（3）28千米 【分析】（1）以邮局为原点，以向南方向为正方向用0.5cm表示1km，按此画出数轴即可； （2）根据数轴直接计算即可； （3）将每次骑行的公里数相加即可． 【详解】解：（1）依题意得，数轴为： （2）依题意得： C村与A村的距离为：3-（-6）=9（千米）； （3）3+5+14+6=28千米， ∴邮递员一共骑行了28千米． 【点睛】本题主要考查了学生有实际生活中对数轴的应用能力，只要掌握数轴的基本知识即可． 6．(1)第一名超出第二名200分 (2)第一名超出第四名750分 【分析】（1）根据分数表格，得到第一名为第四组，第二名为第二组，作差即可得到答案； （2）根据分数表格，得到第一名为第四组，第四名为第三组，作差即可得到答案． 【详解】（1）解：， 第一名为第四组，第二名为第二组， （分）， 答：第一名超出第二名200分； （2）解：， 第一名为第四组，第四名为第三组， （分）， 答：第一名超出第四名750分． 【点睛】本题考查正负数的实际应用，有理数的减法的应用，读懂题意，准确列式是解决问题的关键． 7．(1)这10袋余粮总计不足11千克 (2)这10袋余粮一共1989千克 【分析】本题主要考查正数与负数，有理数的加法的应用，有理数四则混合运算的应用，正确用正负数表示是解题关键． （1）以200千克为基准，超过200千克的数记作正数，不足200千克的数记作负数，求出这10袋余粮对应的数，再相加即可求解； （2）利用10袋余粮的标准量加上不足的11克可求解． 【详解】（1）解：以200千克为标准，超过200千克的数记作正数，不足200千克的数记作负数，则这10袋余粮对应的数分别为、、、、0、、、、、， ∴ (千克)． 答：这10袋余粮总计不足11千克． （2）解： (千克)． 答：这10袋余粮一共1989千克． 8．(1) (2) (3)11 (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数加法：同号相加，取相同符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数． （1）先把两个负数相加，然后进行异号两数的加法运算； （2）先把两个负数和两正数分别相加，然后进行异号两数的加法运算； （3）先把两个负数和两正数分别相加，然后进行异号两数的加法运算； （4）先把负数和正数分别相加，然后进行异号两数的加法运算； （5）先进行同分母分数的加法运算，然后通分，再进行加法运算； （6）先进行同分母分数的加法运算，再进行加法运算． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 9．(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． （5）解： ． （6）解： ． （7）解： ． （8）解： ． （9）解： ． （10）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． 10．(1)质量最多的一袋是6.1千克，最少的一袋是3.7千克； (2)七年级同学共摘得苹果50.1千克． 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，正数和负数的意义，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）根据题意和数据列式计算即可； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：（千克），（千克）， ∴质量最多的一袋是6.1千克，最少的一袋是3.7千克； （2）解：由题意得： （千克）， （千克）， ∴七年级同学共摘得苹果50.1千克． 学科网（北京）股份有限公司 $$