精品解析：广东省佛山市顺德区郑裕彤中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题

郑裕彤中学高二下学期数学第一次月考试卷 一､单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得集合，利用交集的意义可求. 【详解】由题得或， ，所以. 故选：B． 2. 若函数满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的定义及已知求值即可. 【详解】由题设. 故选：C 3. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 52 B. 104 C. 112 D. 120 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列求和公式和下标和性质即可得到答案. 【详解】. 故选：A. 4. 在等比数列中，，，则（ ）． A. B. 567 C. 451 D. 699 【答案】B 【解析】 【分析】由已知根据等比中项可得，分两种情况利用通项公式求解即可. 【详解】因为，所以， 当时，，，舍去， 故，所以，即， 所以. 故选：. 5. 当某种针剂药注入人体后，血液中该药的浓度C与时间t的关系式近似满足其中，则血液中该药的浓度，在时的瞬时变化率约是时的瞬时变化率的多少倍（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导，将与代入即可求得答案. 【详解】函数求导得， 将代入得，将代入得， 则， 故选：B 6. 点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合导数的几何意义求出切线的斜率的取值范围，进而根据斜率与倾斜角的关系以及倾斜角的范围，即可求出结果. 详解】由题意得，即， 又，所以， 故选：D. 7. 若数列的前n项和满足，则（ ） A. 数列为等差数列 B. 数列为递增数列 C. 为等差数列 D. 为等差数列 【答案】D 【解析】 【分析】降次作差即可得到，根据等差数列的定义即可判断A，根据数列单调性即可判B，求出相关值结合等差数列定义即可判断CD. 【详解】当时，， 当时，，∴， 对于A：不满足，故A不正确； 对于B：，故B不正确； 对于C，，,，不满足，故C不正确； 对于D：，，，三项可构成等差数列，且公差为8，故D正确； 故选：D． 8. 某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡2024年5月1日向银行贷款元用来购买该电动汽车，银行贷款的月利率是，并按复利计息.若每月月底还银行相同金额的贷款，到2025年4月底全部还清（即用12个月等额还款），则小胡每个月月底需要还款（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】C 【解析】 【分析】设小胡每月月底还款钱数为元，根据等额本息还款法可得每次还款后欠银行贷款，即第12次还款后欠银行贷款为，进而由等比数列的前项和公式可得，从而可得. 【详解】设小胡每月月底还款钱数为元，根据等额本息还款法可得： 第1次还款后欠银行贷款为， 第2次还款后欠银行贷款为， …， 第12次还款后欠银行贷款为 ， 因为贷款12个月还清，所以，即， 所以. 故选：C. 二､多选题 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用求导法则进行计算，对四个选项逐个判断即可. 【详解】，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 10. 已知数列满足，是前项和，则下列说法正确的是（ ） A. 数列是公差为的等差数列； B. 当取得最大值时，； C. 数列的前项和是， D. 数列也是首项为9，公差为等差数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据等差数列的定义判断A、D；由等差数列的和结合二次函数的性质可判断B；利用赋值法判断C; 【详解】由，则， 所以数列是公差为的等差数列，故A对； 因为数列是公差为的等差数列，所以， 当时，当取得最大值时，故B对； 取时，，而，故C错 由，所以， 所以， 且，所以数列也是首项为9，公差为等差数列，故D对； 故选：ABD 11. 已知数列的前项和为，满足，数列满足，记，数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则的最大值为8 D. 满足的最大值为8 【答案】AC 【解析】 【分析】根据已知及等差数列的定义确定数列是等差数列，进而求公差并写出判断A；根据等比数列的定义写出的通项公式，进而得到，应用分组求和、等比数列的前n项和公式求判断B；首先判断的单调性，再由不等式恒成立求的最大值判断C；设并判断的单调性，进而确定的最大值 【详解】对于A，因为2），所以， 所以数列是等差数列，设公差为， 因为，，所以，解得， 所以，正确； 对于B，因为，，所以，所以数列是公比为2的等比数列， 所以，所以， 所以，错误． 对于C，由B知， 所以恒成立，所以数列单调递增， 当时，， 当时，， 所以的最大值为8，正确； 对于D，设， 则， 令，所以， 当时，，即， 所以当时，单调递增， 即当时单调递增， 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即， 所以当时，单调递减， 当时，单调递增， 因为， 所以满足，的最大值为7，错误． 故选：AC 【点睛】关键点点睛：根据已知求出的通项公式为关键. 三､填空题 12. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由复数的除法求得复数，然后得到向量的模长. 【详解】, 则， 故答案为： 13. 曲线在点处的切线的斜率为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线的斜率. 【详解】由，求导得，则， 所以所求切线的斜率为2. 故答案为：2. 14. 已知数列满足，则__________. 【答案】； 【解析】 【分析】由题意可得，可得，两式相减可求通项公式. 【详解】由，可得， 所以， 两式相减得， 所以， 当时，，所以，适合上式， 所以. 故答案为：. 四､解答题 15. 已知等差数列的前项和为，，. （1）求数列通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）列式求解的公差，写出等差数列通项公式，即可求解； （2）由（1）得，再利用裂项相消法求和，即可求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则， 解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 所以. 16. 设函数，其中. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）讨论单调性； 【答案】（1） （2）函数在上单调递减，在上单调递增 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出斜率，写出方程即可. （2）含参讨论函数单调性即可. 【小问1详解】 当时，，故， 此时函数在处的切线方程为：. 【小问2详解】 由题意，定义域为， ， 则当时，单调递增；当时，单调递减. 故函数在上单调递减，在上单调递增. 17. 已知数列中，，． （1）求，； （2）证明：为等差数列； （3）求的前项和． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）由题设递推公式直接计算即可； （2）由题设递推公式变形得，再由等差数列定义即可得证； （3）由等差数列通项公式求出数列的通项公式得的通项公式，再由错位相减法结合等比公式前n项和即可计算求解. 【小问1详解】 由题意可得， 所以由. 【小问2详解】 证明：因为，所以，， 所以数列为首项为，公差为的等差数列. 【小问3详解】 由（2）得，所以， 所以的前项和， 所以， 所以， 所以. 18. 如图，在直三棱柱中，平面平面为的中点． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直性质可得线面垂直，再由线面垂直即可得出线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角正弦值即可. 【小问1详解】 如图， 在直三棱柱中， 因为平面，平面，所以， 又因为，所以四边形是正方形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以. 【小问2详解】 因为平面，平面，所以. 又，，平面，平面， 所以平面，所以两两垂直， 以为原点，以的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 不妨设， 则， 所以， 设是平面的法向量， 则，所以， 取，则，所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19. 已知等比数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）不存在，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）利用等比数列定义，根据将，代入构造方程组解得，，可得数列的通项公式； （2）假设存在，，成等比数列，由，，成等差数列可得，且，解得，与已知矛盾，因此不存在这样的3项. 【小问1详解】 由题意知当时，① 当时，② 联立①②，解得，； 所以数列的通项公式． 【小问2详解】 由（1）知，， 所以，可得； 设数列中存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列，则， 所以，即； 又因为，，成等差数列，所以， 所以，化简得，即； 又，所以与已知矛盾； 所以在数列中不存在3项，，成等比数列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 郑裕彤中学高二下学期数学第一次月考试卷 一､单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若函数满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 52 B. 104 C. 112 D. 120 4. 在等比数列中，，，则（ ）． A. B. 567 C. 451 D. 699 5. 当某种针剂药注入人体后，血液中该药的浓度C与时间t的关系式近似满足其中，则血液中该药的浓度，在时的瞬时变化率约是时的瞬时变化率的多少倍（ ） A. B. C. D. 6. 点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ） A. B. C D. 7. 若数列的前n项和满足，则（ ） A. 数列为等差数列 B. 数列为递增数列 C. 为等差数列 D. 为等差数列 8. 某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡2024年5月1日向银行贷款元用来购买该电动汽车，银行贷款的月利率是，并按复利计息.若每月月底还银行相同金额的贷款，到2025年4月底全部还清（即用12个月等额还款），则小胡每个月月底需要还款（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 二､多选题 9. 下列求导运算正确是（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列满足，是前项和，则下列说法正确的是（ ） A. 数列是公差为的等差数列； B. 当取得最大值时，； C. 数列前项和是， D. 数列也是首项为9，公差为等差数列 11. 已知数列的前项和为，满足，数列满足，记，数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则的最大值为8 D. 满足的最大值为8 三､填空题 12. 已知，则__________. 13. 曲线在点处切线的斜率为______． 14. 已知数列满足，则__________. 四､解答题 15. 已知等差数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 设函数，其中. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）讨论的单调性； 17. 已知数列中，，． （1）求，； （2）证明：为等差数列； （3）求的前项和． 18. 如图，在直三棱柱中，平面平面为中点． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 19. 已知等比数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$