精品解析：广东省揭阳市惠来县2024-2025学年上学期九年级数学期末试题

2024—2025学年度第一学期期末考试 九年级数学科试题 （本卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1. 则括号内应填的单项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用2ab2除以ab即可. 【详解】2ab2÷ab=2b. 故选C. 【点睛】本题考查了单项式的除法，单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 2. 如图，平行线、被直线所截，过点作于点，已知，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长BG，交CD于H，根据对顶角相等得到∠1=∠2，再依据平行线的性质得到∠B=∠BHD，最后结合垂线的定义和三角形内角和得到结果. 【详解】解：延长BG，交CD于H， ∵∠1=50°， ∴∠2=50°， ∵AB∥CD， ∴∠B=∠BHD， ∵BG⊥EF， ∴∠FGH=90°， ∴∠B=∠BHD=180°-∠2-∠FGH=180°-50°-90°=40°. 故选C. 【点睛】本题考查了对顶角相等，垂线的定义，平行线的性质，三角形内角和，解题的关键是延长BG构造内错角. 3. 一个口袋中装有分别写有“吉祥”“如意”字的小球共20个，它们除此之外完全相同，将口袋中的球搅拌均匀后从中随机摸出一个球记下上面的字后，再放回口袋中搅匀，不断重复这过程，发现摸到“如意”球的频率稳定在0.65左右，则估计这个口袋中“吉祥”球的个数为（ ） A. 13个 B. 14个 C. 6个 D. 7个 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．解题的关键是根据摸到“如意”球的频率稳定在左右进行求解即可． 【详解】解：设口袋中“如意”球有x个，根据题意，得：， 所以估计口袋中“如意”球有个． 则估计这个口袋中“吉祥”球的个数为个． 故选：D 4. 由5个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，关于它的视图，说法正确的是（ ） A. 主视图的面积最小 B. 左视图的面积最小 C. 俯视图的面积最小 D. 三个方向看的视图面积相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是分别得到三视图的各个面积，比较即可．首先得出三视图：主视图：5个小正方形；左视图：5个小正方形；俯视图：3个小正方形；比较可知俯视图面积最小． 【详解】解：如图： 主视图：5个小正方形； 左视图：5个小正方形； 俯视图：3个小正方形； 则俯视图的面积最小． 故选：C． 5. 抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题．先整理成顶点式，再根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：， 抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度， 所得到的抛物线解析式为， 故选：C． 6. 如图，在中，，是边上中线，是的中位线，若，则（　　）​ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6​ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质，熟记各性质定理是解题的关键．根据直角三角形斜边上的直线的性质得出的长，再根据三角形中位线定理得出结果． 【详解】解：在中，，是边上中线，， ∴， ∵是的中位线， ∴， 故选：D． 7. 若关于x一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据一元二次方程的二次项的系数不为0，结合方程没有实数根，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， ∴； 故选：C． 8. 下列命题正确的是（ ） A. 已知：线段，则a，b，c，d是比例线段 B. 关于x的方程是一元二次方程 C. 角都对应相等的两个多边形是相似多边形，边都对应成比例的多边形也是相似多边形 D. 已知点是函数图象上的两点，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查判断命题的真假，根据比例线段的定义，一元二次方程的定义，相似多边形的定义以及反比例函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、已知：线段，则：，故a，b，c，d不是比例线段，原命题为假命题，不符合题意； B、∵，∴关于x的方程是一元二次方程，原命题为真命题，符合题意； C、角都对应相等，且边都对应成比例的多边形是相似多边形，原命题为假命题，不符合题意； D、∵， ∴双曲线过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大， ∵点是函数图象上的两点，且， ∴，原命题为假命题，不符合题意； 故选B． 9. “双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长．如果月销售量增长率一致，且第三个月的销售量是第一个月的3倍，设第一个月销售量为a辆，月销售量的增长率为x，则可列出方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 利用公式：（其中指原产量，指连续两次增速后的产量，为每次的平均增长率），列方程求解即可． 【详解】解：设第一个月销售量为a辆，月销售量的增长率为x，则第三个月的销售量为辆， 依题意得，， 故选：A． 10. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中： ① ②（m为任意实数） ③ ④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向，对称轴可得，即可判断①，时，函数值最大，即可判断②，根据时，，即可判断③，根据对称性可得即可判段④，即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下 ∴ ∵对称轴为直线， ∴ ∴ ∵抛物线与轴交于正半轴，则 ∴，故①错误， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线, ∴当时，取得最大值，最大值为 ∴（m为任意实数） 即，故②正确； ∵时， 即 ∵ ∴ 即 ∴，故③正确； ∵、是抛物线上不同的两个点， ∴关于对称， ∴即故④不正确 正确的有②③ 故选：B 二、填空题（每小题3分，共5小题，共15分） 11. 对于非零实数a、b，若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，根据，得到，进而得到，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 12. 如图，在矩形中，连接，分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，作直线，分别与交于点M、N，连接．若．则四边形的周长为_____． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，尺规作图—作垂线，菱形的判定和性质，勾股定理，根据作图可知：垂直平分，证明，得到，推出四边形为菱形，设，在中，利用勾股定理求出的值，进而求出四边形的周长即可． 【详解】解：由作图可知：垂直平分，设，相交于点， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴互相垂直平分， ∴四边形为菱形， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴， ∴四边形的周长为． 故答案为：10． 13. 如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点A的黄金分割点，之间的距离为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了黄金分割点的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．根据黄金分割的概念和黄金比值计算即可． 【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 对于字母m、n，定义新运算，若方程解为a、b，则的值为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数关系．判断出，，再根据新定义计算即可． 【详解】解：方程的解为、， ，， ∴． 故答案为：6． 15. 如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以，为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点B与原点O重合，折痕为，点C的对应点落在第四象限，过M点的反比例函数的图像恰好过的中点，点C的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，交于点Q，先证明，从而得到Q是的中点，根据反比例性质得，由已知条件可证得，，结合，可得，然后解方程得．通过和的面积关系得到，设，根据勾股定理求出，再利用，从而求出，据此可得答案． 【详解】解：如图，连接，交于点Q， ∵矩形翻折，使点B与原点重合，折痕为， ∴， ∵， ∴， 和中 ∴， ∴，即点Q是的中点， ∴点Q是反比例函数上的点， 过点Q作于点H， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵点M是反比例函数上的点， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例图像与性质、与矩形相关的对折、三角形全等的判断与性质、相似三角形的判断与性质、中位线、勾股定理、等面积法求线段的长等知识，关键在于适当添加辅助线和采用数形结合列方程，并能灵活运用相关知识解题． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16. （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值的运算，解一元二次方程： （1）先化简各数，再进行加减运算即可； （2）移项后，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：（1）原式； （2） ， ， ， ∴或； ∴． 17. 已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线． （1）求该二次函数的解析式． （2）试判断点是否在此函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1） （2）不在；理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式： （1）运用待定系数法求出a，b的值即可求出二次函数的解析式； （2）将坐标代入抛物线的解析式即可知道它是否在该函数的图象上． 【小问1详解】 解：由题意，得 ∴解得， ∴该二次函数的解析式是 【小问2详解】 解：不在，理由如下： 把代入，得 ∴点不在该函数图形上． 18. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）将绕点O顺时针旋转90°得到，请画出，其中点A、B分别与点对应； （2）以点O为位似中心，将在点O异侧按相似比进行放大得到，请画出，其中点A、B分别与点对应； （3）的值为 ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了画旋转图形与位似图形，求角的正弦值； （1）作出点A、B绕点O顺时针旋转后的对应点，再连接三点即可； （1）作出点A、B按相似比进行放大后的对应点，再连接三点即可； （3）首先可得为直角三角形，且，由旋转性质知，，，；由位似性质知，共线，则，则有，则在中求得结果． 【小问1详解】 解：旋转后的图形如下： 【小问2详解】 解：按相似比进行放大得到如下： 【小问3详解】 解：∵，，， 且， ∴为直角三角形，且； 由旋转性质知，，，； 由位似性质知，共线，则， ∴， 在中，． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 【问题提出】 共享单车不仅极大地方便人们的短途出行，而且低碳环保，受到用户的喜爱．某社区周边有5个共享单车停车区，总计投放180辆的共享单车，某数学兴趣小组发现每天早高峰期间经常会出现有些停车区的单车不够用，而有些停车区的单车使用率低的现象，为探究早高峰期间共享单车的合理投放方案，同学们展开了研究． 【开展研究】 该数学兴趣小组分工合作在早高峰期间到每个停车区对行人使用共享单车的情况、人流量进行数据收集，结果如下表． 表一：经过停车区的行人使用单车情况的抽样调查数据 停车区 经过停车区的人数 使用共享单车的人数 1号区 60 3 2号区 100 4 3号区 90 9 4号区 120 18 5号区 70 7 表二：每日早高峰期间的平均人流量 停车区 1号区 2号区 3号区 4号区 5号区 人流量（单位：人） 240 300 160 400 200 【问题解决】 （1）记事件A为：经过1号区的行人使用共享单车，估计事件A的概率； （2）为应对早高峰期间共享单车的使用需求，请你为该社区设计一个合理的共享单车投放方案，并说明理由． 【答案】（1）估计事件A的概率为 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，平均数使用． （1）根据概率公式求解即可； （2）先求得每个共享单车停车区的平均使用次数，得到每天早高峰期间的共享单车总使用次数，据此求解即可． 【小问1详解】 解：由表格数据知，经过1号区的行人有60人，使用共享单车有3人， 则估计事件A的概率为； 【小问2详解】 解：估计5个共享单车停车区每天早高峰期间的共享单车平均使用次数分别为： ，，，，， 所以每天早高峰期间的共享单车总使用次数估算为次， 所以5个共享单车停车区180辆共享单车的投放方案为： 1号区投放共享单车辆； 2号区投放共享单车辆； 3号区投放共享单车辆； 4号区投放共享单车辆； 5号区投放共享单车辆． 20. 如图，在平行四边形中，，过点作，垂足为，再过点作交直线于点． （1）求证：； （2）连接，求证：． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形性质与判定，平行四边形的性质，： （1）运用三角形内角和，对顶角相等，得，结合三角形内角和以及对顶角相等，得，则即可作答． （2）先由，结合对顶角相等，证明，因为夹角相等，两边成比例，证明，结合平行四边形性质，即可作答． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵ ∴ ∵ 即 ∵对顶角相等，， ∴ ∴ ∴ 即； 【小问2详解】 解：如图：与相交于点G ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵ ∴ 即 21. 甲乙两名游客选择两种不同的方式游览某景区，如图，甲从山脚A处乘坐缆车到达景点C处，同时乙开车从山脚A处前行到达D处，此时遇一斜坡，坡度，沿着斜坡前行到达停车场E处，停车后，再跑步到达景点C处（汽车行驶在平路和上坡的速度相等，停车时间忽略不计）．甲在A处观测景点C的仰角为，乙在E处观测景点C的仰角为． （1）求景点C的高度；（结果精确到） （2）甲乘坐缆车的速度为，乙的车速为，乙的跑步速度为，谁先到达景点C?（参考数据：） 【答案】（1）； （2）乙先到达景点． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定及性质，平行线的性质，解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）过点作，于，，延长交于点，在中，由，得，，进而得，，再证明，得， ，，设，进而，在中，由，构造方程求解即可； （2）利用解直角三角形分别求出及，进而求得甲、乙的运动时间，从而比较即可得解． 【小问1详解】 解：如图，过点作，于，，延长交于点， ∵在中，由， ∴，， ∴，， ∵为的边上的高， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， ∴，，设， ∴， 在中，，即， 解得，经检验是原方程的解， ∴； 答：景点C的高度为； 【小问2详解】 解：由（）得，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴乙先到达景点． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22. 如图，已知反比例函数与直线交于点，点C是x轴上的一点，连接． （1）求反比例函数的表达式及直线的函数表达式； （2）若，求点C的坐标； （3）如图2，直线l绕若点旋转，直线l上有一动点P，过P作交反比例图象于M，作轴交反比例函数图象于N，连接，若在直线上刚好存在三个不同的P点且使得的面积为9时，请直接写出此时直线的斜率． 【答案】（1）， （2）或 （3）或或或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）设直线与轴交于点，设，根据，列出方程进行求解即可； （3）设直线的解析式为，把代入，得到，设，进而得到，，根据的面积为9，列出方程，根据直线上刚好存在三个不同的P点，得到有3个不相等的实数根，利用根与系数的关系进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数与直线交于点， ∴， ∴， ∴，， ∴，解得：； ∴； 【小问2详解】 设直线与轴交于点，设， ∵， ∴当时，，解得， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴或， ∴或； 【小问3详解】 设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， ∴， 设， ∵过P作交反比例图象于M，作轴交反比例函数图象于N， ∴到，， ∴， ∵的面积为9， ∴， ∴， 整理，得：， 设，则：， ∴； ①当时，，解得：或， ∴或， 即：或， 当时，， ∴有2个不相等的实数根， ∵直线上刚好存在三个不同的P点， ∴有2个相等的实数根， ∴，解得：或； ②当时，则：，解得：或， ∴或， 当时，； 当时，； ∵直线上刚好存在三个不同的P点， ∴或， 当时，解得：或； 当，无解； 综上：或或或． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式，分割法求面积，根与系数的关系等知识点，综合性强，计算量大，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 23. 李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答． （1）问题背景 如图1，正方形中，点为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点A落在点处，当时， ； 如图2，连接，当点恰好落在上时，其他条件不变，则 ； （2）探究迁移 如图3，在（1）的条件下，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，请写出与之间的数量关系式（用含的式子表示），并说明理由； （3）拓展应用 如图4，在（1）的条件下，若把正方形改成菱形，且，，其他条件不变，当时，请直接写出的长． 【答案】（1），2 （2），理由见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）根据翻折的性质以，全等三角形的性质平角的概念求出，再根据相似三角形的性质，得出和的关系即可求解； （2）根据（1）中三角形的全等与相似条件不变，得出不变，再根据和的关系，和的关系即可； （3）构造相似三角形，根据三角形相似的性质，得出和相等，然后根据相似三角形的性质和勾股定理求出的长，即为的长． 【小问1详解】 解：（1）， ， ，， 由翻折的性质可知，， ， ， 又， ， 又， ， ， 由翻折的性质可知，，， ， ， 四边形为正方形， ， ， ，， ， ， ， ，即， 故答案为：，2； 【小问2详解】 ，理由如下： 由（1）可知，，， ， ； 【小问3详解】 过作，交延长线于，作的平分线，交于，如图， ， ，，， ， 又， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 设， 四边形为菱形， ， ， ， ，， ，， 由勾股定理可得：， ， 解得：，即的长为． 【点睛】本题主要考查了正方形和菱形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，合理构造相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期末考试 九年级数学科试题 （本卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1. 则括号内应填的单项式是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，平行线、被直线所截，过点作于点，已知，则（ ）． A. B. C. D. 3. 一个口袋中装有分别写有“吉祥”“如意”字小球共20个，它们除此之外完全相同，将口袋中的球搅拌均匀后从中随机摸出一个球记下上面的字后，再放回口袋中搅匀，不断重复这过程，发现摸到“如意”球的频率稳定在0.65左右，则估计这个口袋中“吉祥”球的个数为（ ） A. 13个 B. 14个 C. 6个 D. 7个 4. 由5个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，关于它的视图，说法正确的是（ ） A. 主视图的面积最小 B. 左视图的面积最小 C. 俯视图的面积最小 D. 三个方向看的视图面积相等 5. 抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线解析式为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，是边上中线，是中位线，若，则（　　）​ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6​ 7. 若关于x一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 8. 下列命题正确的是（ ） A. 已知：线段，则a，b，c，d是比例线段 B. 关于x的方程是一元二次方程 C. 角都对应相等的两个多边形是相似多边形，边都对应成比例的多边形也是相似多边形 D. 已知点是函数图象上的两点，则 9. “双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长．如果月销售量的增长率一致，且第三个月的销售量是第一个月的3倍，设第一个月销售量为a辆，月销售量的增长率为x，则可列出方程是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中： ① ②（m为任意实数） ③ ④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共5小题，共15分） 11. 对于非零实数a、b，若，则______． 12. 如图，在矩形中，连接，分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，作直线，分别与交于点M、N，连接．若．则四边形的周长为_____． 13. 如图，乐器上一根弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点A的黄金分割点，之间的距离为__________． 14. 对于字母m、n，定义新运算，若方程的解为a、b，则的值为__________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以，为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点B与原点O重合，折痕为，点C的对应点落在第四象限，过M点的反比例函数的图像恰好过的中点，点C的坐标为________． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16. （1）计算：． （2）解方程：． 17. 已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线． （1）求该二次函数的解析式． （2）试判断点是否在此函数的图象上，并说明理由． 18. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）将绕点O顺时针旋转90°得到，请画出，其中点A、B分别与点对应； （2）以点O为位似中心，将在点O异侧按相似比进行放大得到，请画出，其中点A、B分别与点对应； （3）的值为 ． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 【问题提出】 共享单车不仅极大地方便人们的短途出行，而且低碳环保，受到用户的喜爱．某社区周边有5个共享单车停车区，总计投放180辆的共享单车，某数学兴趣小组发现每天早高峰期间经常会出现有些停车区的单车不够用，而有些停车区的单车使用率低的现象，为探究早高峰期间共享单车的合理投放方案，同学们展开了研究． 【开展研究】 该数学兴趣小组分工合作在早高峰期间到每个停车区对行人使用共享单车的情况、人流量进行数据收集，结果如下表． 表一：经过停车区的行人使用单车情况的抽样调查数据 停车区 经过停车区的人数 使用共享单车的人数 1号区 60 3 2号区 100 4 3号区 90 9 4号区 120 18 5号区 70 7 表二：每日早高峰期间的平均人流量 停车区 1号区 2号区 3号区 4号区 5号区 人流量（单位：人） 240 300 160 400 200 【问题解决】 （1）记事件A为：经过1号区的行人使用共享单车，估计事件A的概率； （2）为应对早高峰期间共享单车的使用需求，请你为该社区设计一个合理的共享单车投放方案，并说明理由． 20. 如图，在平行四边形中，，过点作，垂足为，再过点作交直线于点． （1）求证：； （2）连接，求证：． 21. 甲乙两名游客选择两种不同方式游览某景区，如图，甲从山脚A处乘坐缆车到达景点C处，同时乙开车从山脚A处前行到达D处，此时遇一斜坡，坡度，沿着斜坡前行到达停车场E处，停车后，再跑步到达景点C处（汽车行驶在平路和上坡的速度相等，停车时间忽略不计）．甲在A处观测景点C的仰角为，乙在E处观测景点C的仰角为． （1）求景点C的高度；（结果精确到） （2）甲乘坐缆车的速度为，乙的车速为，乙的跑步速度为，谁先到达景点C?（参考数据：） 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22. 如图，已知反比例函数与直线交于点，点C是x轴上的一点，连接． （1）求反比例函数的表达式及直线的函数表达式； （2）若，求点C的坐标； （3）如图2，直线l绕若点旋转，直线l上有一动点P，过P作交反比例图象于M，作轴交反比例函数图象于N，连接，若在直线上刚好存在三个不同的P点且使得的面积为9时，请直接写出此时直线的斜率． 23. 李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答． （1）问题背景 如图1，正方形中，点为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点A落在点处，当时， ； 如图2，连接，当点恰好落在上时，其他条件不变，则 ； （2）探究迁移 如图3，在（1）的条件下，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，请写出与之间的数量关系式（用含的式子表示），并说明理由； （3）拓展应用 如图4，在（1）的条件下，若把正方形改成菱形，且，，其他条件不变，当时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $