精品解析： 天津市南开区天津大学附属中学2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

八年级数学下第一阶段练习 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 若式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 估算的值（　　） A. 在0与1之间 B. 在0与2之间 C. 在2与3之间 D. 在3与4之间 5. 已知、、是的三边，下列条件：①，，；②，；③；④，能够判断为直角三角形的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 6. “今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 13 7. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形的面积之和为（ ）． A. 36 B. 18 C. 81 D. 27 8. 如图，数轴上的点A所表示的数是（ ） A. B. C. D. 9. 已知．则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 10. 若直角三角形的三边长分别为、a、，且a、b都是正整数，则三角形其中一边的长可能为（） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 比较下列两个数的大小：______．（用“”或“”填空） 12. 如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，求留下的阴影部分的面积． 13. 如图，庭院中有两棵树，小鸟要从一棵高10m的树顶飞到一棵高4m的树顶上，两棵树相距8m，则小鸟至少要飞______米． 14. 如图是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为52和4，则直角三角形的两直角边分别为_____．（注：两直角边长均为整数） 15. 在锐角三角形中 ，，，平分，M、N分别是、上的动点，则的最小值是_______． 16. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．平行四边形的顶点，均在格点上，，的在网格线上． （1）线段的长为______； （2）在直线上找一点，连接，使得平分．请用无刻度的直尺在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）______． 三、解答题（共6小题，满分52分） 17. 计算： （1） （2） 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 20. 如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从移动到，绳子始终绷紧且绳长保持不变． （1）若米，米，米，求男子需向右移动的距离；（结果保留根号） （2）此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从处移动到岸边点的位置？ 21. 如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．想一想，此时EC有多长． 22. 如图，在中，，点从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动．设点的运动时间为． （1）___________； （2）求斜边上的高线长； （3）①当在上时，的长为___________，的取值范围是___________；（用含的代数式表示） ②若点在的平分线上，则的值为___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学下第一阶段练习 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 若式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得：， 故选：C． 2. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的判断，根据：“被开方数不含分母，不含能开方开的尽的因数或因式的二次根式是最简二次根式”，进行判断即可． 【详解】解：A、不是二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选B． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质及运算法则逐项计算即可． 【详解】解：A．，不合题意； B．，不合题意； C．，不合题意；. D．，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的性质及乘法法则是解题的关键． 4. 估算的值（　　） A. 在0与1之间 B. 在0与2之间 C. 在2与3之间 D. 在3与4之间 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：= =5-， ∵2＜＜3， ∴-2＞-＞-3， ∴5-2＞5-＞5-3， 即2＜5-＜3， ∴2＜＜3， 故选C． 5. 已知、、是的三边，下列条件：①，，；②，；③；④，能够判断为直角三角形的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理求解即可．本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理的应用，主要考查学生的辨析能力，题目比较典型，难度适中． 【详解】解：①， ， 是直角三角形， 故本选项符合题意； ②，，， ， 是钝角三角形， 故本选项不符合题意； ③， ， ， ， ， 是直角三角形， 故本选项符合题意； ④， ， 是直角三角形， 故本选项符合题意； 综上，能够判断为直角三角形的有3个， 故选：D． 6. “今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用．设，则，由勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：设，则， 由题意，得：， 解得：，即， 故选：C． 7. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形的面积之和为（ ）． A. 36 B. 18 C. 81 D. 27 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，解题的关键是掌握：以直角三角形的两条直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．根据勾股定理的几何意义可直接解答． 【详解】解：如图， 由勾股定理可得：正方形的面积之和等于正方形E的面积，正方形的面积之和等于正方形F的面积，正方形的面积之和等于正方形G的面积， 因此正方形的面积之和， 故选：C． 8. 如图，数轴上的点A所表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用勾股定理求出斜边长，再加上即可． 【详解】解：点A所表示的数是． 9. 已知．则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据题意得，，，再利用二次根式的性质进行化简即可求解，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：， ，，， ， ， 故选A． 10. 若直角三角形的三边长分别为、a、，且a、b都是正整数，则三角形其中一边的长可能为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由勾股定理可知解得，三边分别为，，，即可求出答案． 【详解】解：由题可知：， 解得， 所以直角三角形三边分别为，，， 当时，， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键． 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 比较下列两个数的大小：______．（用“”或“”填空） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，无理数的大小比较，先根据二次根式的性质将根号外的数字3和4，分别放入根号内，再比较大小即可求解． 【详解】解： ∵ ∴， 故答案为：． 12. 如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，求留下的阴影部分的面积． 【答案】 【解析】 【分析】先利用二次根式的性质计算出两个小正方形的边长，则可得到大正方形的边长，然后用大正方形的面积分别减去两小正方形的面积得到阴影部分的面积． 【详解】解：∵两个小正方形面积为和， ∴大正方形的边长， ∴大正方形的面积为， ∴阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了二次根式的应用，正方形面积，利用二次根式的性质进行计算是关键． 13. 如图，庭院中有两棵树，小鸟要从一棵高10m的树顶飞到一棵高4m的树顶上，两棵树相距8m，则小鸟至少要飞______米． 【答案】10 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AB的长即可． 本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过点作 ∵ ∴四边形矩形 ∴ ∴， 在中，由勾股定理得， ， 则小鸟至少要飞， 故答案为：10． 14. 如图是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为52和4，则直角三角形的两直角边分别为_____．（注：两直角边长均为整数） 【答案】4和6 【解析】 【详解】设全等的直角三角形的两直角边长分别为a，b（a＞b＞0）， ∵图中大小正方形的面积分别为52和4， ∴a2+b2=52，（a-b）2=4， ∴a-b=2， ∴a=b+2，代入a2+b2=52中得：(b+2)2+b2=52， ∴b1=4，b2=-6（不合题意舍去）， ∴a=4+2=6， ∴直角三角形的两条直角边的长分别为4，6. 故答案为4，6. 15. 在锐角三角形中 ，，，平分，M、N分别是、上的动点，则的最小值是_______． 【答案】4 【解析】 【分析】过点C作于点E，交于点，过点作于，则即为的最小值，再根据，，可知是等腰直角三角形，由勾股定理即可求出的长． 【详解】过点C作于点E，交于点，过点作于， ∵平分， ∴， ∴， 则即为的最小值， ∵，，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故的最小值为4． 故答案为：4 【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，还考查了角平分线的性质、勾股定理等知识，根据题意作出辅助线，确定最短路径是答解的关键． 16. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．平行四边形的顶点，均在格点上，，的在网格线上． （1）线段的长为______； （2）在直线上找一点，连接，使得平分．请用无刻度的直尺在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）______． 【答案】 ①. ②. 连接交于点，在的延长线上取格点，使得，连接并延长，交延长线于点，连接，点为所求点的位置 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，掌握平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由勾股定理即可求解； （2）如图所示，连接交于点，在的延长线上取格点，使得，连接并延长，交延长线于点，连接，可证，，是等腰三角形，，由，，由此即可求解． 【详解】解：（1） ； 故答案：； （2）如图所示，连接交于点，在的延长线上取格点，使得，连接并延长，交延长线于点，连接， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴平分， ∴点为所求点的位置． 故答案：连接交于点，在的延长线上取格点，使得，连接并延长，交延长线于点，连接，点为所求点的位置． 三、解答题（共6小题，满分52分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则． （1）利用平方差公式，完全平方公式计算即可； （2）先计算乘除，再计算加减． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【解析】 【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再合并得到原式，然后把、的值代入计算． 【详解】解： 原式 当，时，原式 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值,熟练运算二次根式是解题关键． 19. 如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理及其逆定理，并能灵活运用是解题的关键； 在中，利用勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理说明是直角三角形，最后求四边形的面积． 【详解】，，， ，， ，， ， 是直角三角形，且， ， 四边形的面积． 20. 如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从移动到，绳子始终绷紧且绳长保持不变． （1）若米，米，米，求男子需向右移动的距离；（结果保留根号） （2）此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从处移动到岸边点的位置？ 【答案】（1）米 （2）不能 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求的长，然后作差求解即可； （2）先求出从A处移动到岸边点F的时间，比较大小，然后作答即可． 【小问1详解】 解：∵， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴男子需向右移动的距离为米； 【小问2详解】 解：由题意知，需收绳的绳长（米）， ∴此人的收绳时间为（秒）， ∵， ∴该男子不能在秒内将船从A处移动到岸边点F的位置． 21. 如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．想一想，此时EC有多长． 【答案】3cm． 【解析】 【分析】根据矩形的性质得AB=CD=8，BC=AD=10，∠B=∠C=90°，再根据折叠的性质得AF=AD=10，DE=EF，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=6，则CF=BC﹣BF=4，设CE=x，则DE=EF=8﹣x，在Rt△CEF中利用勾股定理得到42+x2=（8﹣x）2，然后解方程即可． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AB=CD=8，BC=AD=10，∠B=∠C=90°. ∵长方形纸片ABCD折纸，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）， ∴AF=AD=10，DE=EF， 在Rt△ABF中，AB=8，AF=10， ∴BF= ∴CF=BC﹣BF=4. 设CE=x，则DE=EF=8﹣x， 在Rt△CEF中， ∵CF2+CE2=EF2， ∴42+x2=（8﹣x）2， 解得x=3 ∴EC的长为3cm． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；勾股定理；方程思想的应用． 22. 如图，在中，，点从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动．设点的运动时间为． （1）___________； （2）求斜边上的高线长； （3）①当在上时，的长为___________，的取值范围是___________；（用含的代数式表示） ②若点在的平分线上，则的值为___________． 【答案】（1）8 （2）斜边上的高线长为 （3）①；；② 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求解； （2）过点作于点，利用面积法求解； （3）①根据点P的运动路径及速度可解；②过点作于，利用角平分线的性质可知，再证，推出，最后利用勾股定理解即可； 【小问1详解】 解：在中，，，， ， 故答案为：8； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作于点， ， 即， ∴斜边上的高线长为； 【小问3详解】 解：①点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，，当在上时， ， ，即， ， ②点在的角平分线上时，过点作于，如图所示， ∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，则， 由（2）知， ∴， ∴， 在中，， 即， 解方程得，， ∴点在的角平分线上时，． 故答案为：①；；②； 【点睛】本题考查三角形上的动点问题，涉及勾股定理，等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定等知识点，熟练掌握上述定理、性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $