易错点09 电磁感应中的双杆模型（4易错题型）-2024-2025学年高二下学期物理人教版（2019）选择性必修第二册复习易错微专题讲练

易错点09 电磁感应中的双杆模型 一、易错点分析 1、受力分析易错 双杆间相互作用复杂，每根杆受安培力不仅与自身切割磁感线有关，还受另一杆影响。学生常弄错安培力方向，且在计算安培力大小时，因电路中电流变化、有效切割长度难确定，导致计算失误，影响整体受力分析。 2、运动过程分析易错 运动关联把握不准：双杆运动相互关联，速度、加速度相互影响。 多过程分析混乱：双杆运动可能经历多个阶段，各阶段受力和运动情况不同。学生在分析时，不能清晰划分阶段，对各阶段衔接点的物理量变化分析不清，在列方程求解速度、位移等物理量时出错，无法完整描述双杆运动全过程。 3、电路分析易错 等效电路构建错误：双杆组成的电路结构复杂，学生难以正确构建等效电路，无法准确确定内、外电路电阻及连接方式，影响电流、电压等电学量计算，进而影响对安培力和双杆运动的分析。 二、模型特点 (1)一杆切割时，分析同单杆类似。 (2)两杆同时切割时，回路中的感应电动势由两杆共同决定，E＝＝Bl(v1－v2)。 三、电磁感应中的“双杆”问题分析 (1)初速度不为零，不受其他水平外力的作用 光滑的平行导轨 光滑不等距导轨 示意图 质量m1＝m2 电阻r1＝r2 长度l1＝l2 质量m1＝m2不 电阻r1＝r2 长度l1＝2l2 运动分析 杆MN做变减速运动，杆PQ做变加速运动，稳定时，两杆的加速度均为零，以相等的速度匀速运动 稳定时，两杆的加速度均为零，两杆的速度之比为1∶2 能量分析 一部分动能转化为内能，Q＝－ΔEk (2)初速度为零，一杆受到恒定水平外力的作用 光滑的平行导轨 不光滑平行导轨 示意图 质量m1＝m2 电阻r1＝r2 长度l1＝l2 摩擦力Ff1＝Ff2 质量m1＝m2 电阻r1＝r2 长度l1＝l2 运动分析 开始时，两杆做变加速运动；稳定时，两杆以相同的加速度做匀加速运动 开始时，若F≤2Ff，则PQ杆先变加速后匀速运动；MN杆静止。若F>2Ff，PQ杆先变加速后匀加速运动，MN杆先静止后变加速最后和PQ杆同时做匀加速运动，且加速度相同 能量分析 外力做功转化为动能和内能，WF＝ΔEk＋Q 外力做功转化为动能和内能(包括电热和摩擦热)，WF＝ΔEk＋Q电＋Qf 题型一：双杆在等宽导轨上切割磁场的运动问题 [例题1] （2024春•长沙期末）如图（a），水平面内有两根足够长的光滑平行固定金属导轨，间距为d。导轨所在空间存在方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。两导体棒M、N静止放置在足够长的导轨上。已知M的质量为m，阻值为R，导体棒N的质量未知，阻值为，导轨电阻不计。现给M棒一水平向右的初速度v0，其速度随时间变化关系如图（b）所示，两导体棒运动过程中，始终与导轨垂直且接触良好，则下列说法正确的是（　　） A．导体棒N的质量为 B．导体棒N的最终的速度为 C．在0～t1内导体棒M产生的热量为 D．在0～t1内通过导体棒M的电荷量为 [例题2] （2024春•南充期末）如图所示，足够长的光滑平行金属导轨固定于水平绝缘平台上，两完全相同的导体棒a、b均垂直于导轨静止放置，整个装置处于垂直于导轨平面向上的匀强磁场中。现使导体棒a以某一初速度向右运动，两棒始终与导轨接触良好，导轨电阻不计，则从开始运动到稳定过程中，则（　　） A．导体棒b所受安培力做的功等于整个回路产生的焦耳热 B．导体棒a克服安培力做的功等于整个回路产生的焦耳热 C．导体棒a克服安培力做的功小于导体棒a动能的减少量 D．导体棒a克服安培力做的功等于整个回路产生的焦耳热与导体棒b的动能增加量之和 [例题3] （多选）（2025•景德镇一模）如图所示，M1N1Q1和M2N2Q2为同一水平面内足够长的平行金属导轨，导轨间距为1m，空间存在竖直向下的磁场，N1N2左、右两侧磁场的磁感应强度大小分别为Ba＝2T、Bb＝1T。质量均为0.2kg的金属杆a、b位于N1N2两侧，且距N1N2足够远，垂直于导轨放置，对a杆施加一水平向左大小为5N的恒力F使其从静止开始运动。已知两杆在运动过程中始终与导轨垂直并良好接触，两杆与导轨构成的回路的总电阻始终为0.5Ω，两杆与导轨间的动摩擦因数均为0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g＝10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．若将b杆锁定在导轨上，a杆的最终速度为0.5m/s B．b杆刚要运动时，a杆的速度大小为0.2m/s C．足够长时间后，回路的面积减小 D．足够长时间后，回路的电流为1.8A 题型二：双杆在不等宽导轨上切割磁场的运动问题 [例题4] （2024秋•东西湖区校级月考）如图所示，光滑水平导轨置于磁场中，磁场的磁感应强度为B，左侧导轨间距为l，右侧导轨间距为2l，导轨均足够长。质量为m的导体棒ab和质量为2m的导体棒cd均垂直于导轨放置，处于静止状态。ab的电阻为R，cd的电阻为2R，两棒始终在对应的导轨部分运动，两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计。现瞬间给cd一水平向右的初速度v0，则此后的运动过程中下列说法正确的是（　　） A．ab棒最终的速度 B．全过程中，通过导体棒cd的电荷量为 C．从cd获得初速度到二者稳定运动，此过程系统产生的焦耳热为 D．导体棒ab和cd组成的系统动量守恒 [例题5] （2024春•龙马潭区期末）如图所示，水平面上有一组平行但宽度不同的固定导轨，分界线PQ、MN位于水平面内且均与导轨垂直，PQ左侧导轨间距是右侧导轨间距的2倍。PQ左侧和MN右侧有方向垂直水平面、等大反向的匀强磁场，PQ和MN之间是距离d＝1m的无磁场区域。两根完全相同的导体棒CD、EF均平行PQ静止放置在导轨上，导体棒质量均为m＝0.2kg。给导体棒CD施加一水平向右、大小为F＝10N的恒力，当导体棒CD运动s＝0.5m时撤去恒力F，此时两导体棒的速度大小均为v1＝1m/s。已知导体棒CD运动到PQ前两导体棒的速度均已稳定。当导体棒EF的速度大小为v2＝0.2m/s时，导体棒CD刚好运动到NN并进入右侧磁场区域，整个过程中导体棒EF始终在MN的右侧导轨上运动，两导体棒始终与轨道接触良好且不会碰撞。除导体棒电阻外不计其他电阻，忽略一切摩擦，导轨足够长，取重力加速度g＝10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．恒力F作用过程中，导体棒EF上产生的焦耳热为1.6J B．撤去拉力F后，导体棒CD在左侧水平轨道上稳定速度的大小为0.5m/s C．导体棒CD从PQ运动到MN过程中，导体棒EF位移的大小为1.3m D．导体棒CD最终速度的大小为m/s 题型三：竖直平面内的导轨滑杆模型 [例题6] 如图所示，足够长的金属导轨竖直放置，金属棒ab、cd均通过棒两端的环套在金属导轨上，棒与金属导轨接触良好。虚线上方有垂直纸面向里的匀强磁场，虚线下方有竖直向下的匀强磁场，两匀强磁场的磁感应强度大小均为B．ab、cd棒与导轨间动摩擦因数均为μ，两棒总电阻为R，导轨电阻不计。开始两棒静止在图示位置，当cd棒无初速度释放时，对ab棒施加竖直向上的力F，使其沿导轨向上做匀加速运动。则（　　） A．ab棒中的电流方向由a到b B．cd棒先加速运动后匀速运动 C．cd棒所受摩擦力的最大值大于cd棒的重力 D．力F做的功等于两棒产生的电热与ab棒增加的机械能之和 [例题7] （多选）（2024秋•皇姑区校级月考）两根相距为L且足够长的金属直角导轨如图所示放置，它们各有一边在同一水平面内，另一边垂直于水平面。质量均为m的金属细杆ab、cd与导轨垂直接触形成闭合回路，杆与导轨之间的动摩擦因数均为μ，导轨电阻不计，回路总电阻为2R。整个装置处于磁感应强度大小为B，方向水平向右的匀强磁场中。当ab杆在平行于水平导轨的拉力F作用下以速度v沿导轨匀速运动时，cd杆也正好以某一速度向下匀速运动。重力加速度为g。以下说法正确的是（　　） A．ab杆所受拉力F的大小为μmg B．cd杆所受摩擦力为零 C．cd杆向下匀速运动的速度为 D．ab杆所受摩擦力为2μmg 题型四：倾斜平面内的导轨滑杆模型 [例题8] （2024秋•莲湖区校级期末）如图所示，光滑平行金属导轨AB、CD固定在倾角为θ的绝缘斜面上，BP、DQ为水平放置的平行且足够长的光滑金属导轨，导轨在B、D两点处平滑连接，水平部分处在磁感应强度为B、方向竖直向下的匀强磁场中，导轨间距均为L。两金属棒ab、cd的质量分别为m、2m，接入电路的电阻均为R，初始时，金属棒cd垂直放置在水平导轨上，金属棒ab垂直固定在倾斜导轨上距底端距离为s处，某时刻将ab由静止释成，不计导轨电阻。重力加速度为g，求： （1）金属棒cd的最大加速度am； （2）金属棒cd的最大速度vm； （3）流过金属棒ab的电荷量q； （4）金属棒ab上产生的热量Qab。 [练习1] （2024秋•肥西县期末）如图，在磁感应强度大小为B的匀强磁场区域内，与磁场方向垂直的水平面内有两根固定的足够长的平行金属导轨，导轨间的距离为L，导轨上平行放置两根导体棒ab和cd，构成矩形回路。已知两根导体棒的质量均为m、电阻均为R，其他电阻忽略不计，导体棒均可沿导轨无摩擦滑行。初始时刻ab棒静止，给cd棒一个向右的初速度v0。两导体棒在运动中始终不接触。下列说法中正确的是（　　） A．cd棒开始运动时，ab棒中电流方向为b→a，大小为 B．当cd棒速度减为0.8v0时，ab棒的加速度大小为 C．从开始运动到最终稳定，电路中产生的电能为 D．ab棒的最终速度为v0 [练习2] （2025•南充模拟）如图所示，两平行金属直导轨ab、a′b′固定于同一水平绝缘桌面上，两导轨之间的距离为L，a、a′端与倾角为30°的倾斜金属导轨平滑连接，倾斜导轨上端连接阻值为R的定值电阻，b、b′端与位于竖直面内、半径相同的半圆形金属导轨平滑连接，所有金属导轨的电阻忽略不计。仅水平导轨abb′a′所围矩形区域存在方向竖直向下，磁感应强度大小为B的匀强磁场。一根质量为m、电阻为R、长度为L的细金属棒M与导轨垂直，静置于aa′处，另一根与M长度相同、质量为2m的细绝缘棒N由倾斜导轨上与aa′距离为L处静止释放，一段时间后N与M发生弹性碰撞，碰撞时间极短。碰撞后，M和N先后恰好运动到半圆形导轨的最高点（抛出后立即撤去），运动过程中棒与导轨始终垂直且接触良好。不计一切摩擦，重力加速度为g。求： （1）半圆形金属导轨的半径r； （2）整个过程中定值电阻R产生的焦耳热Q； （3）绝缘棒N通过abb′a′区域的时间t。 [练习3] （2024•南宁模拟）如图所示，平行光滑的金属导轨由斜面和水平两部分组成，两导轨由两小段光滑绝缘圆弧轨道（长度可忽略）平滑相连。斜面部分（与水平面夹角小于30°）由间距L的导轨CE、DF构成，水平部分由两段足够长但不等宽的平行金属导轨连接构成。EG、FH段间距为L，有与竖直方向成60°斜向左上方的磁感应强度大小为2B的匀强磁场。MP、NQ段间距为2L，有与竖直方向成60°斜向右上方的磁感应强度大小为B的匀强磁场。导体棒甲、乙的质量均为m、电阻均为R，导体棒乙静止于MP、NQ段，现使导体棒甲自斜面导轨上距水平导轨h高度处静止释放，两金属棒在运动过程中始终垂直导轨，且与导轨保持良好接触。若稳定时导体棒甲未进入MP、NQ段，导轨电阻和空气阻力均可忽略不计。已知B＝0.2T，m＝0.4kg，h＝0.45m，L＝0.2m，R＝0.2Ω，g＝10m/s2，求： （1）甲棒刚进入磁场时，乙棒的加速度； （2）从甲棒进入磁场到两棒达到稳定的过程，通过乙棒的电量； （3）从甲棒进入磁场到两棒达到稳定的过程，乙棒上产生的焦耳热。 [练习4] （2022春•重庆期末）如图，平行金属导轨由水平部分和倾斜部分组成，倾斜部分是两个竖直放置的四分之一光滑圆弧导轨，圆弧半径r＝0.4m。水平部分是两段均足够长但不等宽的光滑导轨，CC'＝3AA'＝1.2m，水平导轨与圆弧导轨在AA'平滑连接。整个装置处于方向竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度B＝1T，导体棒MN、PQ的质量分别为m1＝0.2kg、m2＝0.6kg，长度分别为l1＝0.4m、l2＝1.2m，电阻分别为R1＝1.0Ω、R2＝3.0Ω，PQ固定在宽水平导轨上。现给导体棒MN一个初速度v＝2m/s，同时对其施加外力F，使导体棒恰好沿圆弧导轨从最高点匀速率下滑，导体棒刚到达AA'瞬间，撤去外力F的作用，不计导轨电阻，导体棒MN、PQ与导轨一直接触良好。（重力加速度g＝10m/s2，π取3.14）求： （1）导体棒MN到达圆弧导轨最低处AA'位置时（已撤去外力F）对轨道的压力大小； （2）导体棒MN沿圆弧导轨下滑过程中，外力F对MN做的功W1； （3）若导体棒MN到达AA'位置时释放PQ，运动足够长时间后通过回路某截面的电量q。 [练习5] （2024秋•大连期末）如图所示，两平行光滑的金属导轨，间距L＝1m，其中左侧OA、O′A′段为半径R＝5m的四分之一圆弧，中间AD、A′D′段水平，右侧DC、D′C′段与水平面夹角为37°且足够长，水平导轨所在空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B＝1T。初始时刻，质量m1＝1kg、在轨道间的电阻R1＝1.5Ω的导体棒a，从圆弧顶端OO′位置由静止释放，磁场内的导体棒b静置于导轨上，其质量m2＝2kg，在轨道间的电阻R2＝0.5Ω。ab棒始终不发生碰撞，导体棒b在DD′位置离开磁场时速度vb＝3m/s。两导体棒与导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直，不计导体棒通过水平轨道与圆弧和倾斜导轨连接处的能量损失、感应电流产生的磁场以及导轨的电阻，取重力加速度g＝10m/s2，求： （1）导体棒a刚进入磁场时的加速度； （2）从b开始运动到出磁场过程中，导体棒b中产生的焦耳热； （3）若在b离开磁场的时间内，对a施加一水平向右的恒力F＝3N，恰好能使a、b都不再离开磁场，最后静止，求从b离开磁场到a、b棒停止过程中，a、b棒产生的总焦耳热以及b停下时与DD′间的距离。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 易错点09 电磁感应中的双杆模型 一、易错点分析 1、受力分析易错 双杆间相互作用复杂，每根杆受安培力不仅与自身切割磁感线有关，还受另一杆影响。学生常弄错安培力方向，且在计算安培力大小时，因电路中电流变化、有效切割长度难确定，导致计算失误，影响整体受力分析。 2、运动过程分析易错 运动关联把握不准：双杆运动相互关联，速度、加速度相互影响。 多过程分析混乱：双杆运动可能经历多个阶段，各阶段受力和运动情况不同。学生在分析时，不能清晰划分阶段，对各阶段衔接点的物理量变化分析不清，在列方程求解速度、位移等物理量时出错，无法完整描述双杆运动全过程。 3、电路分析易错 等效电路构建错误：双杆组成的电路结构复杂，学生难以正确构建等效电路，无法准确确定内、外电路电阻及连接方式，影响电流、电压等电学量计算，进而影响对安培力和双杆运动的分析。 二、模型特点 (1)一杆切割时，分析同单杆类似。 (2)两杆同时切割时，回路中的感应电动势由两杆共同决定，E＝＝Bl(v1－v2)。 三、电磁感应中的“双杆”问题分析 (1)初速度不为零，不受其他水平外力的作用 光滑的平行导轨 光滑不等距导轨 示意图 质量m1＝m2 电阻r1＝r2 长度l1＝l2 质量m1＝m2不 电阻r1＝r2 长度l1＝2l2 运动分析 杆MN做变减速运动，杆PQ做变加速运动，稳定时，两杆的加速度均为零，以相等的速度匀速运动 稳定时，两杆的加速度均为零，两杆的速度之比为1∶2 能量分析 一部分动能转化为内能，Q＝－ΔEk (2)初速度为零，一杆受到恒定水平外力的作用 光滑的平行导轨 不光滑平行导轨 示意图 质量m1＝m2 电阻r1＝r2 长度l1＝l2 摩擦力Ff1＝Ff2 质量m1＝m2 电阻r1＝r2 长度l1＝l2 运动分析 开始时，两杆做变加速运动；稳定时，两杆以相同的加速度做匀加速运动 开始时，若F≤2Ff，则PQ杆先变加速后匀速运动；MN杆静止。若F>2Ff，PQ杆先变加速后匀加速运动，MN杆先静止后变加速最后和PQ杆同时做匀加速运动，且加速度相同 能量分析 外力做功转化为动能和内能，WF＝ΔEk＋Q 外力做功转化为动能和内能(包括电热和摩擦热)，WF＝ΔEk＋Q电＋Qf 题型一：双杆在等宽导轨上切割磁场的运动问题 [例题1] （2024春•长沙期末）如图（a），水平面内有两根足够长的光滑平行固定金属导轨，间距为d。导轨所在空间存在方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。两导体棒M、N静止放置在足够长的导轨上。已知M的质量为m，阻值为R，导体棒N的质量未知，阻值为，导轨电阻不计。现给M棒一水平向右的初速度v0，其速度随时间变化关系如图（b）所示，两导体棒运动过程中，始终与导轨垂直且接触良好，则下列说法正确的是（　　） A．导体棒N的质量为 B．导体棒N的最终的速度为 C．在0～t1内导体棒M产生的热量为 D．在0～t1内通过导体棒M的电荷量为 【解答】解：A．导体棒M、N受到的安培力大小相等，方向相反，所以两导体棒组成的系统动量守恒，取向右为正方向，且两导体棒最终速度大小相等，有 解得mN＝2m 故A错误； B．根据题意可知，两棒组成回路，电流大小相同，M棒受安培阻力做变减速直线运动，N棒受安培动力做变加速直线运动，当两者的速度相等时，电流等于零，两棒不再受安培力，则达到共同速度做匀速直线运动，导体棒N的最终的速度为，故B错误； C．在0～t1内回路产生的总热量为 所以导体棒M产生的焦耳热为 解得 故C错误； D．取向右为正方向，由动量定理可知，在0～t1内导体棒N有 通过导体棒M的电荷量 解得 故D正确。 故选：D。 [例题2] （2024春•南充期末）如图所示，足够长的光滑平行金属导轨固定于水平绝缘平台上，两完全相同的导体棒a、b均垂直于导轨静止放置，整个装置处于垂直于导轨平面向上的匀强磁场中。现使导体棒a以某一初速度向右运动，两棒始终与导轨接触良好，导轨电阻不计，则从开始运动到稳定过程中，则（　　） A．导体棒b所受安培力做的功等于整个回路产生的焦耳热 B．导体棒a克服安培力做的功等于整个回路产生的焦耳热 C．导体棒a克服安培力做的功小于导体棒a动能的减少量 D．导体棒a克服安培力做的功等于整个回路产生的焦耳热与导体棒b的动能增加量之和 【解答】解：BD、根据功能关系可知导体棒a克服安培力做的功转化为回路的电能，回路的电能一部分因电流的热效应转化成焦耳热，另一部分驱使导体棒b运动，转化成b的动能，所以导体棒a克服安培力做的功等于整个回路产生的焦耳热与导体棒b的动能增加量之和，故B错误，D正确； AC、根据动能定理，导体棒b所受安培力做的功等于导体棒b的动能增加量，导体棒a克服安培力做的功等于导体棒a动能的减少量，故AC错误。 故选：D。 [例题3] （多选）（2025•景德镇一模）如图所示，M1N1Q1和M2N2Q2为同一水平面内足够长的平行金属导轨，导轨间距为1m，空间存在竖直向下的磁场，N1N2左、右两侧磁场的磁感应强度大小分别为Ba＝2T、Bb＝1T。质量均为0.2kg的金属杆a、b位于N1N2两侧，且距N1N2足够远，垂直于导轨放置，对a杆施加一水平向左大小为5N的恒力F使其从静止开始运动。已知两杆在运动过程中始终与导轨垂直并良好接触，两杆与导轨构成的回路的总电阻始终为0.5Ω，两杆与导轨间的动摩擦因数均为0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g＝10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．若将b杆锁定在导轨上，a杆的最终速度为0.5m/s B．b杆刚要运动时，a杆的速度大小为0.2m/s C．足够长时间后，回路的面积减小 D．足够长时间后，回路的电流为1.8A 【解答】解：A．若将b杆锁定在导轨上，则a杆产生感应电动势大小为 E＝BaLv1 根据欧姆定律可得通过导体杆的感应电流大小为 a杆所受安培力大小为 a杆加速运动，由牛顿第二定律可得 当加速度减小到零时，a杆做匀速直线运动，即 当加速度为零时，可得a杆稳定速度大小 v1＝0.5m/s，故A正确； B．b杆刚要运动时，对b杆受力分析，b杆在水平方向上受安培力和摩擦力，则此时b杆所受安培力大小为 FAb＝μmg a、b两杆串联，电流相等，可知电路中电流大小为 电动势大小为 E1＝I1R 由 E＝BLv 可知此时a杆的速度 代入数据解得v2＝0.25m/s，故B错误； D．设某时刻a、b两杆的速度分别为va、vb，回路中产生的感应电动势 e＝BaLva﹣BbLvb 回路中总电流 根据牛顿第二定律可得a杆的加速度大小为 对b杆根据牛顿第二定律可得b杆的加速度大小为 a、b两杆均加速运动，开始a杆加速快，可知增大，则电流i增大，a1减小，a2增大，当va与增加的一样快时，即a2＝2a1时，回路中电流达到稳定，代入数据，可得a1＝2m/s2，a2＝4m/s2，i＝1.8A，故D正确； C．根据前面分析足够长时间后，由于b的加速度大，最后速度大于a，所以回路面积逐渐减小。故C正确。 故选：ACD。 题型二：双杆在不等宽导轨上切割磁场的运动问题 [例题4] （2024秋•东西湖区校级月考）如图所示，光滑水平导轨置于磁场中，磁场的磁感应强度为B，左侧导轨间距为l，右侧导轨间距为2l，导轨均足够长。质量为m的导体棒ab和质量为2m的导体棒cd均垂直于导轨放置，处于静止状态。ab的电阻为R，cd的电阻为2R，两棒始终在对应的导轨部分运动，两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计。现瞬间给cd一水平向右的初速度v0，则此后的运动过程中下列说法正确的是（　　） A．ab棒最终的速度 B．全过程中，通过导体棒cd的电荷量为 C．从cd获得初速度到二者稳定运动，此过程系统产生的焦耳热为 D．导体棒ab和cd组成的系统动量守恒 【解答】解：A．当导体棒ab和cd产生的电动势相等时，两棒都做匀速直线运动，则有 Blvab＝B•2lvcd 对导体棒ab，以向右为正方向，由动量定理可得 对导体棒cd，以向右为正方向，由动量定理可得 联立解得 故A错误； B．对导体棒cd，有 又 联立解得 故B错误； C．由能量守恒定律得，整个回路产生的焦耳热 解得 故C正确； D．导体棒ab和cd的长度不一样，所以受到的安培力大小不相等，系统合力不为零，所以导体棒ab和cd组成的系统动量不守恒，故D错误。 故选：C。 [例题5] （2024春•龙马潭区期末）如图所示，水平面上有一组平行但宽度不同的固定导轨，分界线PQ、MN位于水平面内且均与导轨垂直，PQ左侧导轨间距是右侧导轨间距的2倍。PQ左侧和MN右侧有方向垂直水平面、等大反向的匀强磁场，PQ和MN之间是距离d＝1m的无磁场区域。两根完全相同的导体棒CD、EF均平行PQ静止放置在导轨上，导体棒质量均为m＝0.2kg。给导体棒CD施加一水平向右、大小为F＝10N的恒力，当导体棒CD运动s＝0.5m时撤去恒力F，此时两导体棒的速度大小均为v1＝1m/s。已知导体棒CD运动到PQ前两导体棒的速度均已稳定。当导体棒EF的速度大小为v2＝0.2m/s时，导体棒CD刚好运动到NN并进入右侧磁场区域，整个过程中导体棒EF始终在MN的右侧导轨上运动，两导体棒始终与轨道接触良好且不会碰撞。除导体棒电阻外不计其他电阻，忽略一切摩擦，导轨足够长，取重力加速度g＝10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．恒力F作用过程中，导体棒EF上产生的焦耳热为1.6J B．撤去拉力F后，导体棒CD在左侧水平轨道上稳定速度的大小为0.5m/s C．导体棒CD从PQ运动到MN过程中，导体棒EF位移的大小为1.3m D．导体棒CD最终速度的大小为m/s 【解答】解：A、恒力F作用过程中，根据能量守恒可得回路中产生的总焦耳热为：Q总＝Fs， 代入数据解得：Q总＝4.8J； 由于CD棒接入电路的电阻为EF接入电路电阻的2倍，根据焦耳定律可得导体棒EF上产生的焦耳热：QEFQ总1.6J，故A正确； B、撤去拉力F后，当导体棒CD与导体棒EF在磁场中产生的电动势大小相等，方向相反时，两导体棒的速度达到稳定，设稳定时导体棒CD的速度大小为vCD，导体棒EF的速度大小为vEF，右侧导轨间距为L，左侧导轨间距为2L，则有：B•2LvCD＝BLvEF； 从撤去拉力F到导体棒速度稳定，导体棒CD向右减速运动，取向右为正方向，根据动量定理可得： ﹣B•2Lt＝mvCD﹣mv1 导体棒EF向左加速运动，根据动量定理可得： ﹣BLt＝﹣mvEF﹣（﹣mv1） 联立解得：vCD＝0.6m/s，vEF＝1.2m/s，故B错误； C、导体棒CD从PQ运动到MN过程中做匀速直线运动，所用时间为：t匀ss 导体棒EF向左做加速度减小的减速运动，位移应满足：xEF（vEF+v2）×t匀m，故C错误； D、导体棒CD从MN进入右侧磁场区域，导体棒CD与导体棒EF组成的系统满足动量守恒定律，当两导体棒达到共速时，两导体棒达到最终稳定状态，取向右为正方向，根据动量守恒定律可得：mvCD﹣mv2＝2mv共 解得：v共＝0.2m/s，故D错误。 故选：A。 题型三：竖直平面内的导轨滑杆模型 [例题6] 如图所示，足够长的金属导轨竖直放置，金属棒ab、cd均通过棒两端的环套在金属导轨上，棒与金属导轨接触良好。虚线上方有垂直纸面向里的匀强磁场，虚线下方有竖直向下的匀强磁场，两匀强磁场的磁感应强度大小均为B．ab、cd棒与导轨间动摩擦因数均为μ，两棒总电阻为R，导轨电阻不计。开始两棒静止在图示位置，当cd棒无初速度释放时，对ab棒施加竖直向上的力F，使其沿导轨向上做匀加速运动。则（　　） A．ab棒中的电流方向由a到b B．cd棒先加速运动后匀速运动 C．cd棒所受摩擦力的最大值大于cd棒的重力 D．力F做的功等于两棒产生的电热与ab棒增加的机械能之和 【解答】解：A、ab棒沿竖直向上运动，切割磁感线产生感应电流，由右手定则判断可知，ab棒中的感应电流方向为b到a，故选项A错误； B、cd棒中感应电流由c到d，其所在的区域有向下磁场，所受的安培力向里，cd棒所受的摩擦力向上。ab棒做匀加速直线运动，速度增大，产生的感应电流增加，cd棒所受的安培力增大，对导轨的压力增大，则滑动摩擦力增大，摩擦力先小于重力，后大于重力，所以cd棒先加速运动后减速运动，最后停止运动。故B错误。 C、因安培力增加，cd棒受到的压力增大，则cd棒受静摩擦力的作用一直增加，最大值会大于重力。故C正确； D、根据功能关系可知，力F所做的功应等于两棒产生的电热、摩擦生热与增加的机械能之和。故D错误。 故选：C。 [例题7] （多选）（2024秋•皇姑区校级月考）两根相距为L且足够长的金属直角导轨如图所示放置，它们各有一边在同一水平面内，另一边垂直于水平面。质量均为m的金属细杆ab、cd与导轨垂直接触形成闭合回路，杆与导轨之间的动摩擦因数均为μ，导轨电阻不计，回路总电阻为2R。整个装置处于磁感应强度大小为B，方向水平向右的匀强磁场中。当ab杆在平行于水平导轨的拉力F作用下以速度v沿导轨匀速运动时，cd杆也正好以某一速度向下匀速运动。重力加速度为g。以下说法正确的是（　　） A．ab杆所受拉力F的大小为μmg B．cd杆所受摩擦力为零 C．cd杆向下匀速运动的速度为 D．ab杆所受摩擦力为2μmg 【解答】解：BC、ab杆的速度方向与磁感应强度的方向平行，不切割磁感线，只有cd杆运动切割磁感线，设cd杆向下运动的速度为v1，根据法拉第电磁感应定律和闭合电路的欧姆定律得：E＝BLv1，I cd杆只受到直向下的重力mg和竖直向上的安培力作用，因为cd杆与导轨间没有正压力，所以其所受摩擦力为零，由平衡条件得：，解得杆向下匀速运动的速度为，故BC正确； AD、对ab杆，根据平衡条件得： 在竖直方向上，有：N＝mg+BIL＝2mg 水平方向上，有：F＝f＝μN＝2μmg，故A错误，D正确。 题型四：倾斜平面内的导轨滑杆模型 [例题8] （2024秋•莲湖区校级期末）如图所示，光滑平行金属导轨AB、CD固定在倾角为θ的绝缘斜面上，BP、DQ为水平放置的平行且足够长的光滑金属导轨，导轨在B、D两点处平滑连接，水平部分处在磁感应强度为B、方向竖直向下的匀强磁场中，导轨间距均为L。两金属棒ab、cd的质量分别为m、2m，接入电路的电阻均为R，初始时，金属棒cd垂直放置在水平导轨上，金属棒ab垂直固定在倾斜导轨上距底端距离为s处，某时刻将ab由静止释成，不计导轨电阻。重力加速度为g，求： （1）金属棒cd的最大加速度am； （2）金属棒cd的最大速度vm； （3）流过金属棒ab的电荷量q； （4）金属棒ab上产生的热量Qab。 【解答】解：（1）设ab棒下滑到斜面底端时速度大小为v。由机械能守恒定律得 解得 ab棒刚进入磁场时产生的感应电动势为 E＝BLv 通过cd的电流为 cd棒所受安培力为 F＝BIL 则cd棒的最大加速度为 联立解得 ； （2）当ab、cd棒共速时，cd棒速度最大，取水平向右为正方向，由动量守恒定律得 mv＝3mvm 解得 （3）从ab棒进入磁场到两棒共速的过程，通过两棒的电荷量相同，设为q，并设两棒中平均电流为，取向右为正方向，对cd棒，由动量定理得 又有 联立解得 （4）由能量守恒定律得两棒产生的总热量为 解得 ab棒与cd棒电阻相同，所以QabQmgssinθmgssinθ [练习1] （2024秋•肥西县期末）如图，在磁感应强度大小为B的匀强磁场区域内，与磁场方向垂直的水平面内有两根固定的足够长的平行金属导轨，导轨间的距离为L，导轨上平行放置两根导体棒ab和cd，构成矩形回路。已知两根导体棒的质量均为m、电阻均为R，其他电阻忽略不计，导体棒均可沿导轨无摩擦滑行。初始时刻ab棒静止，给cd棒一个向右的初速度v0。两导体棒在运动中始终不接触。下列说法中正确的是（　　） A．cd棒开始运动时，ab棒中电流方向为b→a，大小为 B．当cd棒速度减为0.8v0时，ab棒的加速度大小为 C．从开始运动到最终稳定，电路中产生的电能为 D．ab棒的最终速度为v0 【解答】解：A、根据右手定则可知电流方向为dcab，cd棒产生的感应电动势为BLv0，ab棒中的电流I，故A错误； B、cd棒速度减为v1＝0.8v0时，设ab棒的速度大小为v2，对两根导体棒ab和cd构成的系统，取向右为正方向，根据动量守恒定律有：mv0＝mv1+mv2 解得：v2＝0.2v0 此时回路的感应电动势：E1＝ BL（v1﹣v2），感应电流：I1 根据牛顿第二定律可得：BI1L＝ma1 解得：ab棒的加速度大小为：a1，故B正确； CD、对两根导体棒ab和cd构成的系统，所受外力的合力为0，取向右为正方向，根据动量守恒定律有：mv0＝2mv 解得最终稳定时ab棒的速度为：v＝0.5v0 从开始运动到最终稳定，电路中产生的电能：E2mv2 解得：E，故CD错误。 故选：B。 [练习2] （2025•南充模拟）如图所示，两平行金属直导轨ab、a′b′固定于同一水平绝缘桌面上，两导轨之间的距离为L，a、a′端与倾角为30°的倾斜金属导轨平滑连接，倾斜导轨上端连接阻值为R的定值电阻，b、b′端与位于竖直面内、半径相同的半圆形金属导轨平滑连接，所有金属导轨的电阻忽略不计。仅水平导轨abb′a′所围矩形区域存在方向竖直向下，磁感应强度大小为B的匀强磁场。一根质量为m、电阻为R、长度为L的细金属棒M与导轨垂直，静置于aa′处，另一根与M长度相同、质量为2m的细绝缘棒N由倾斜导轨上与aa′距离为L处静止释放，一段时间后N与M发生弹性碰撞，碰撞时间极短。碰撞后，M和N先后恰好运动到半圆形导轨的最高点（抛出后立即撤去），运动过程中棒与导轨始终垂直且接触良好。不计一切摩擦，重力加速度为g。求： （1）半圆形金属导轨的半径r； （2）整个过程中定值电阻R产生的焦耳热Q； （3）绝缘棒N通过abb′a′区域的时间t。 【解答】（1）M、N碰前过程，对绝缘棒N，由动能定理得 解得 绝缘棒N与金属棒M发生弹性碰撞，由动量守恒定律可得 2mvN＝2mv′N+mv′M 由机械能守恒定律得 解得 ， 因M和N恰好均能通过半圆形轨道的最高点，则M和N通过bb′时速度大小相等，设为v 则 M在半圆形轨道最高点时有 M由半圆形轨道最低点到最高点，由动能定理得 解得 （2）M从aa′运动到bb′，由能量守恒得 Q总 定值电阻R产生的焦耳热 解得 （3）设N由aa′运动到bb′的位移为x，对M，由动量定理得 电荷量 平均感应电动势 平均感应电流 又 解得 [练习3] （2024•南宁模拟）如图所示，平行光滑的金属导轨由斜面和水平两部分组成，两导轨由两小段光滑绝缘圆弧轨道（长度可忽略）平滑相连。斜面部分（与水平面夹角小于30°）由间距L的导轨CE、DF构成，水平部分由两段足够长但不等宽的平行金属导轨连接构成。EG、FH段间距为L，有与竖直方向成60°斜向左上方的磁感应强度大小为2B的匀强磁场。MP、NQ段间距为2L，有与竖直方向成60°斜向右上方的磁感应强度大小为B的匀强磁场。导体棒甲、乙的质量均为m、电阻均为R，导体棒乙静止于MP、NQ段，现使导体棒甲自斜面导轨上距水平导轨h高度处静止释放，两金属棒在运动过程中始终垂直导轨，且与导轨保持良好接触。若稳定时导体棒甲未进入MP、NQ段，导轨电阻和空气阻力均可忽略不计。已知B＝0.2T，m＝0.4kg，h＝0.45m，L＝0.2m，R＝0.2Ω，g＝10m/s2，求： （1）甲棒刚进入磁场时，乙棒的加速度； （2）从甲棒进入磁场到两棒达到稳定的过程，通过乙棒的电量； （3）从甲棒进入磁场到两棒达到稳定的过程，乙棒上产生的焦耳热。 【解答】解：（1）甲棒在斜面导轨下滑的过程，由机械能守恒定律：， 甲棒进入磁场切割磁感线产生的感应电动势为：E1＝2Bcos60°•Lv0， 由闭合电路欧姆定律可知，回路中产生的感应电流为：， 对乙棒，由牛顿第二定律可得：Bcos60°•I1•2L＝ma， 联立可得，乙棒的加速度大小为：a＝0.03m/s2，方向水平向右； （2）两棒稳定时，电路中电流为0，则：2Bcos60°•Lv1＝Bcos60°•2Lv2，解得：v1＝v2， 两棒受到的安培力满足：Fa＝Fb，且安培力方向相反，则两棒组成的系统动量守恒， 以向右为正方向，可得：mv0＝mv1+mv2， 对乙棒，根据动量定理：，其中：， 联立可得，通过乙棒的电量为：q＝15C； （3）从甲棒进入磁场到两棒达到稳定过程中，根据能量守恒定律：， 解得：Q总＝0.9J，由焦耳热分配定律，则乙棒上产生的焦耳热为：，解得：Q乙＝0.45J。 [练习4] （2022春•重庆期末）如图，平行金属导轨由水平部分和倾斜部分组成，倾斜部分是两个竖直放置的四分之一光滑圆弧导轨，圆弧半径r＝0.4m。水平部分是两段均足够长但不等宽的光滑导轨，CC'＝3AA'＝1.2m，水平导轨与圆弧导轨在AA'平滑连接。整个装置处于方向竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度B＝1T，导体棒MN、PQ的质量分别为m1＝0.2kg、m2＝0.6kg，长度分别为l1＝0.4m、l2＝1.2m，电阻分别为R1＝1.0Ω、R2＝3.0Ω，PQ固定在宽水平导轨上。现给导体棒MN一个初速度v＝2m/s，同时对其施加外力F，使导体棒恰好沿圆弧导轨从最高点匀速率下滑，导体棒刚到达AA'瞬间，撤去外力F的作用，不计导轨电阻，导体棒MN、PQ与导轨一直接触良好。（重力加速度g＝10m/s2，π取3.14）求： （1）导体棒MN到达圆弧导轨最低处AA'位置时（已撤去外力F）对轨道的压力大小； （2）导体棒MN沿圆弧导轨下滑过程中，外力F对MN做的功W1； （3）若导体棒MN到达AA'位置时释放PQ，运动足够长时间后通过回路某截面的电量q。 【解答】解：（1）设导体棒MN到达圆弧导轨最低处AA'位置时所受轨道支持力大小为FN，根据牛顿第二定律有 FN﹣m1g＝m1 ① 解得：FN＝4N ② 根据牛顿第三定律可知导体棒MN到达圆弧导轨最低处AA'位置时对轨道的压力大小为4N。 （2）以导体棒MN开始运动的时刻为计时零点，MN沿圆弧导轨下滑过程中的角速度为ω，则t时刻其速度方向与竖直方向的夹角为θ＝ωt ③ MN产生的感应电动势为 e＝Bl1vsinθ＝Bl1vsinωt ④ 由④式可知e随时间t成正弦规律变化，所以感应电动势的有效值为 E ⑤ MN从最高点到AA'所经历的时间为 t ⑥ 根据焦耳定律可知导体棒MN沿圆弧导轨下滑过程中回路中产生的总焦耳热为 Q•t ⑦ 根据功能关系可得 W1+m1gr＝Q ⑧ 联立⑤⑥⑦⑧解得W1＝﹣0.77488J ⑨ （3）释放PQ并运动足够长时间后，设MN和PQ的速度大小分别为v1和v2，此时回路中感应电流为零，MN和PQ产生的感应电动势大小相等、方向相反，所以有 Bl1v1＝Bl1v2 ⑩ 对MN、PQ，取向右为正方向，根据动量定理分别有 ﹣Bl1•t＝m1v1﹣m1v⑪ Bl2•t＝m2v2﹣0⑫ 根据电流的定义可得q•t⑬ 联立⑩⑪⑫⑬解得q＝0.25C⑭ [练习5] （2024秋•大连期末）如图所示，两平行光滑的金属导轨，间距L＝1m，其中左侧OA、O′A′段为半径R＝5m的四分之一圆弧，中间AD、A′D′段水平，右侧DC、D′C′段与水平面夹角为37°且足够长，水平导轨所在空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B＝1T。初始时刻，质量m1＝1kg、在轨道间的电阻R1＝1.5Ω的导体棒a，从圆弧顶端OO′位置由静止释放，磁场内的导体棒b静置于导轨上，其质量m2＝2kg，在轨道间的电阻R2＝0.5Ω。ab棒始终不发生碰撞，导体棒b在DD′位置离开磁场时速度vb＝3m/s。两导体棒与导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直，不计导体棒通过水平轨道与圆弧和倾斜导轨连接处的能量损失、感应电流产生的磁场以及导轨的电阻，取重力加速度g＝10m/s2，求： （1）导体棒a刚进入磁场时的加速度； （2）从b开始运动到出磁场过程中，导体棒b中产生的焦耳热； （3）若在b离开磁场的时间内，对a施加一水平向右的恒力F＝3N，恰好能使a、b都不再离开磁场，最后静止，求从b离开磁场到a、b棒停止过程中，a、b棒产生的总焦耳热以及b停下时与DD′间的距离。 【解答】解：（1）导体棒a下滑到进入磁场过程，由动能定理得：m1gR0 导体棒a刚进入磁场时切割磁感线产生的电动势E＝BLv0 由欧姆定律得：I 对导体棒a，由牛顿第二定律得：ILB＝m1a 代入数据解得：v0＝10m/s，a＝5m/s2，方向水平向左 （2）从b开始运动到b离开磁场过程，a、b系统动量守恒，以向右为正方向 由动量守恒定律得：m1v0＝m1va1+m2vb 由能量守恒定律得：Q 导体棒b产生的焦耳热：QbQ 代入数据解得：va1＝4m/s，Qb＝8.25J （3）b离开磁场到再次进入磁场过程，由对称性可知：2vb＝gsin37°×t 代入数据解得：t＝1s 从b返回磁场到a、b都静止过程，a、b组成的系统动量守恒，以向右为正方向， 由动量守恒定律得：m1va2﹣m2vb＝0 代入数据解得：va2＝6m/s 以向右为正方向，在时间t内，对导体棒a，由动量定理得：Ft﹣BLt＝m1va2﹣m1va1 平均感应电流 平均感应电动势j 代入数据解得，时间t内a的位移：x2＝2m 由能量守恒定律得：Fx2Q2 解得a、b棒产生的总焦耳热：Q2＝23J 从b返回磁场到静止的过程中，以向右为正方向，对导体棒b， 由动量定理得：m2vb 又Δx3＝∑（va+vb）Δt＝x+x，代入数据解得：Δx3＝12m 以向右为正方向，对a、b组成的系统，由动量守恒定律得：m1va2﹣m2vb＝0 解得：m1xa＝m2xb 解得，b停下时与DD′间的距离xb＝4m 学科网（北京）股份有限公司 $$