易错点04 带电粒子在组合场中的运动 （4易错题型）-2024-2025学年高二下学期物理人教版（2019）选择性必修第二册复习易错微专题讲练

易错点04 带电粒子在组合场中的运动 一、易错点分析 1、场的衔接分析易错 忽视场边界特性：组合场由电场和磁场组合而成，场边界处电场力、磁场力特性会突变。 2、运动过程分析易错 多过程划分错误：带电粒子在组合场中往往经历多个运动过程，如先在电场加速，再进入磁场偏转，然后又进入电场等。学生不能正确划分这些过程，会使分析混乱，无法针对每个过程运用合适物理规律。 3、临界条件判断易错 找不到临界情况：在组合场中，粒子能否穿越某个区域、从特定位置射出等存在临界条件，如粒子刚好能从磁场边界射出时，轨迹与边界相切。学生分析不全面，找不到这些关键临界条件，无法求解相关物理量极值。 临界状态分析失误：找到临界条件后，对临界状态下粒子受力、速度、轨迹等分析不准确。比如在临界状态下，电场力和磁场力的合力计算错误，导致无法正确确定粒子运动状态。 二、组合场概念 静电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，静电场、磁场分时间段交替出现。 三、三种场的比较 　　项目 名称　　 力的特点 功和能的特点 重力场 大小：G＝mg 方向：竖直向下 重力做功与路径无关 重力做功改变物体的重力势能 静电场 大小：F＝qE 方向：①正电荷受力方向与场强方向相同 ②负电荷受力方向与场强方向相反 静电力做功与路径无关 W＝qU 静电力做功改变电势能 磁场 洛伦兹力大小：F＝qvB 方向：根据左手定则判定 洛伦兹力不做功，不改变带电粒子的动能 四、带电粒子在复合场中的运动分类 (1)静止或匀速直线运动 当带电粒子在复合场中所受合力为零时，将处于静止状态或做匀速直线运动。 (2)匀速圆周运动 当带电粒子所受的重力与静电力大小相等，方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动。 (3)较复杂的曲线运动 当带电粒子所受合力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线。 (4)分阶段运动 带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域，其运动情况随区域发生变化，其运动过程由几种不同的运动阶段组成。 四、常见的基本运动形式 电偏转 磁偏转 偏转条件 带电粒子以v⊥E进入匀强电场 带电粒子以v⊥B进入匀强磁场 示意图 受力情况 只受恒定的静电力 只受大小恒定的洛伦兹力 运动情况 类平抛运动 匀速圆周运动 运动轨迹 抛物线 圆弧 物理规律 类平抛运动规律、牛顿第二定律 牛顿第二定律、向心力公式 基本公式 L＝vt，y＝at2 a＝，tanθ＝ qvB＝，r＝ T＝，t＝ sinθ＝ 做功情况 静电力既改变速度方向，也改变速度大小，对电荷做功 洛伦兹力只改变速度方向，不改变速度大小，对电荷永不做功 题型一：带电粒子由磁场进入电场中的运动 [例题1] （多选）（2024春•武汉期中）蜜蜂飞行时依靠蜂房、采蜜地点和太阳三个点进行定位做“8”字形运动，以此告知同伴蜜源方位。某兴趣小组用带电粒子在电场和磁场中的运动模拟蜜蜂的运动。如图所示，空间存在范围足够大垂直纸面、方向相反的匀强磁场Ⅰ、Ⅱ，其上、下边界分别为MN、PQ，间距为2d。MN与PQ之间存在沿水平方向且大小始终为的匀强电场，当粒子通过MN进入电场中运动时，电场方向水平向右；当粒子通过PQ进入电场中运动时，电场方向水平向左。现有一质量为m、电荷量为+q的粒子在纸面内以初速度v0从A点垂直MN射入电场，一段时间后进入磁场Ⅱ，之后又分别通过匀强电场和磁场Ⅰ，以速度v0回到A点，磁场Ⅱ的磁感应强度，不计粒子重力。则下列说法正确的是（　　） A．粒子在水平向右的电场中运动的位移大小为2d B．粒子在磁场Ⅱ中运动的速度大小 C．粒子在磁场Ⅱ中做匀速圆周运动的弦长为d D．磁场Ⅰ的磁感应强度大小 [例题2] （2024春•海口期末）如图所示，在平面直角坐标系xoy中，第一象限内存在匀强电场，电场方向沿y轴负方向，第二象限内存在半径为R的圆形匀强磁场，方向垂直于xoy平面向里，圆形边界与x轴相切于A点、与y轴相切于M点，在第四象限某区域存在一个等边三角形区域的匀强磁场（图中未画出），第二、四象限匀强磁场的磁感应强度大小相等、方向相同。有一电荷量为q、质量为m的带正电的粒子从P点（﹣R，2R）以初速度v0沿直径方向射入磁场，从M点进入电场，从x轴上的N点进入第四象限，粒子经等边三角形区域的匀强磁场偏转后速度方向沿x轴负方向，不计粒子重力。求： （1）匀强磁场的磁感应强度B和匀强电场的电场强度E的大小； （2）粒子在第四象限磁场中运动的时间t； （3）等边三角形区域磁场的最小边长L。 [例题3] （2024•滨海新区校级四模）如图所示，在xOy坐标系中，区域Ⅰ是圆心为O1（0，2）、半径r＝2m的圆形匀强磁场，磁感应强度大小为B＝1T，方向垂直于纸面向里。在y＝﹣2m处有一与x轴平行的足够长荧光屏MN，屏MN与x轴间存在有沿y轴正方向的匀强电场。在0≤y≤2r区域内，一群质量m＝8×10﹣7kg、电荷量大小q＝2×10﹣3C的负电粒子，在纸面内以速度v＝5×103m/s平行于x轴正方向射入圆形磁场区域，随后所有粒子都从O点进入电场，其中粒子a正对O1沿半径的方向射入（不计粒子的重力和粒子间的相互作用）。 （1）求粒子a在圆形磁场区域运动的时间t； （2）已知到达荧光屏MN上的粒子速度大小为，求匀强电场的电场强度大小； （3）求粒子打在荧光屏MN上的位置范围。 题型二：带电粒子由电场进入磁场中的运动 [例题4] （2024•江都区校级开学）如图所示，在两个边长均为2L的正三角形区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，左右两侧有平行于MN、PQ的匀强电场（电场强度大小未知）。质量为m、带电荷量为+q的带正电粒子（不计重力），由电场中a1点由静止释放，恰好从OM边的中点进入磁场区域。已知经过下方磁场区域后，粒子能从OP的中点进入左侧电场，最终能从PQ上某点沿垂直PQ边界方向射出磁场区域，则下列说法正确的是（　　） A．电场强度大小为 B．从a1到OM中点的距离为L C．从释放到从PQ边界出磁场，粒子运动的时间为 D．带电粒子在磁场中运动时的速度大小为 [例题5] （2024春•沙坪坝区校级月考）空间中存在边界为正方形EFGH、方向垂直纸面向外的匀强磁场，如图所示。两正电离子a、b分别从静止开始经电压为U0的电场加速后，垂直于EH射入磁场，其中a离子从EH的中点射入经磁场偏转后垂直于HG向下射出。已知正方形边界的边长为R，进入磁场时，两离子间的距离为0.3R，a离子的比荷为k，不计重力及离子间的相互作用。则（　　） A．若增大U0，则a离子在磁场中的运动时间变大 B．磁场的磁感应强度 C．若b离子的比荷为k，则两离子在边界HG上的出射点间的距离为0.1R D．若b离子的比荷为，则a、b两离子从同一点射出磁场区域 [例题6] （2025•太原开学）如图所示，在平面直角坐标系xOy的第Ⅱ象限内有沿y轴负方向的匀强电场，x轴下方有垂直纸面向里的匀强磁场。现从y轴上的A点沿x轴负方向发射一初速度为v0的带正电粒子，经电场偏转后与x轴负方向成θ＝60°夹角进入磁场区域，粒子刚好能打在与y轴垂直的足够大荧光屏P上。已知荧光屏P到x轴的距离为l，A点到坐标原点O的距离为d，不计粒子重力。求： （1）进入磁场时的入射点到坐标原点O的距离； （2）电场强度E与磁感应强度B的比值； （3）若改变初速度的大小，让粒子从y轴上M点（图中未画出）沿x轴负方向射出，现要求粒子仍能以与x轴负方向成θ＝60°夹角进入磁场，且进入磁场后垂直打在荧光屏P上，此时M点到坐标原点O的距离d′。 题型三：带电粒子在电场和磁场中的往复运动 [例题7] （2024春•临沂期末）如图所示，三维坐标系Oxyz中，在x＜0的区域中存在匀强电场（图中未画出），电场强度为E（E未知），在y＞0区域存在方向沿z轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B0（B0未知），在x＞0、y＜0区域存在方向沿y轴负方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B（B未知），坐标为（﹣L，L，0）的A点有一粒子源，发出沿x轴正方向、质量为m、带电量为+q的粒子，粒子的初速度大小为v0，恰好沿直线运动到y轴的P点，通过磁场B0偏转后经过x轴的M点，经过M点时速度方向与x轴正方向成60°角，粒子的重力不计。 （1）求B0的大小； （2）求E的大小和方向； （3）粒子从M点进入磁场B中，以后始终在磁场B中运动（不会进入电场中），且能通过坐标为的N点，求磁感应强度B的最小值。 [例题8] （2024春•重庆期末）如图甲所示，空间中有一直角坐标系xOy，在x＜0，y＞0的空间中有沿+y方向的匀强电场E＝5×105V/m。在紧贴（﹣0.2m，0）的上侧处有一粒子源P，能沿x轴正方向以v0＝2×106m/s的速度持续发射比荷为 C/kg的某种原子核。在x＞0的空间有垂直于xOy平面向外的足够大的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B1＝0.5T。忽略原子核间的相互作用和重力。 （1）求原子核第一次穿过y轴时速率； （2）设原子核从Q点第二次穿过y轴，求O、Q两点之间距离以及粒子在磁场中的运动时间； （3）若撤去原磁场B1，其余条件保持不变。在xOy平面内x＞0的某区域加一圆形匀强磁场，磁场的磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示，取磁场垂直纸面向外为正方向。t时刻进入磁场的粒子始终在磁场区域内沿闭合轨迹做周期性运动，若T0s，求圆形磁场区域的最小面积S以及粒子进入磁场时的位置到y轴的最短距离x。（忽略磁场突变的影响，计算结果用含有π的式子表示 ） 题型四：带电粒子在组合场中的动量问题 [例题9] （2024春•温州期末）如图所示，某离子分析器由偏转区和检测区组成，分别分布在y轴的左侧和右侧，在直线x＝﹣2l0到y轴区域内存在着两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中x轴上方的电场方向沿y轴负方向，x轴下方的电场方向沿y轴正方向，y轴右侧区域内分布着垂直于xOy平面向里的磁场，磁感应强度大小B沿x轴均匀变化，即B＝kx（k为大于零的常数）。在电场左边界上A（﹣2l0，﹣l0）到C（﹣2l0，0）区域内，连续分布着电量为+q、质量为m的离子。从某时刻起由A点到C点间的离子，依次连续以相同的速度v0沿x轴正方向射入电场。若从A点射入的离子，恰好从点A′（0，l0）沿x轴正方向射出电场，其轨迹如图。离开电场后的离子进入检测区，打在检测板上。区域场间互不影响，检测板足够长，不计离子的重力及它们间的相互作用。 （1）求匀强电场的场强大小E； （2）在AC间还有哪些位置的离子，通过电场后也能沿x轴正方向运动（写出这些位置的y坐标）； （3）检测板与y轴平行，并可沿x轴平移，若要检测板能收集到沿x轴正方向射出电场的这些离子，求检测板位置坐标x的最大值。 [练习1] （2025•景德镇一模）如图所示，abcd为纸面内矩形的四个顶点，矩形区域内（含边界）处于垂直纸面向外的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，ad＝L，。一质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子，从a点沿ab方向运动，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．粒子能通过cd边的最短时间 B．若粒子恰好从d点射出磁场，粒子速度 C．若粒子恰好从c点射出磁场，粒子速度 D．若粒子只能从ad边界射出磁场，则粒子的入射速度 [练习2] （2024秋•西湖区校级期中）电磁场可以控制带电粒子的运动。在直角坐标系第一象限内有平行于坐标平面的匀强电场（图中未画出），在第二象限内有垂直坐标平面向外的匀强磁场。一个质量为m、电荷量为q（q＞0）的带电粒子，在M点沿y轴正方向以速度v0进入磁场，过y轴上的N点后进入电场，运动轨迹与x轴交于P点，并且过P点时速度大小仍为v0。已知M、N、P三点到O点的距离分别为L、和3L，不计粒子重力，下列说法不正确的是（　　） A．匀强磁场的磁感应强度大小为 B．粒子过N点时速度方向与y轴正方向的夹角为60° C．电场强度大小为 D．粒子运动过程中最小速度为 [练习3] （2023秋•安徽期末）在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，下半部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，大小为B1＝B，上半部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小B2＝2B，SP与磁场的左右边界垂直。不计重力的离子从S处以某一速度v0射入，入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角向下，离子的速度大小满足v0，已知离子的质量为m、电量为+q，离子恰好从P点射出，则（　　） A．v0 B．从S到P运动的时间为 C．离子射入磁场后经过时间，离子的速度与入射时的速度相同 D．若B1，离子射出点仍在P点 [练习4] （多选）（2023秋•河南期末）如图所示，质量为m，带电量为+q的点电荷，从原点以初速度v0射入第一象限内的电磁场区域，在0＜y＜y0，0＜x＜x0（x0、y0为已知）区域内有竖直向上的匀强电场，在x＞x0区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，控制电场强度（E值有多种可能），可让粒子从NP射入磁场后偏转打到接收器MN上，则（　　） A．粒子从NP中点射入磁场，电场强度满足 B．粒子从NP中点射入磁场时速度为 C．粒子在磁场中做圆周运动的圆心到NM的距离为 D．粒子在磁场中运动的圆周半径最大值是 [练习5] （多选）（2023秋•滨江区校级期末）如图所示，是用磁聚焦法测某种离子比荷的一种装置。离子以很小的速度从a板小孔进入加速电场，从b板小孔O′水平向右射出，进入一个极板很短、加有不大的交变电压的电容器。不同时刻通过电容器的粒子获得不同的横向速度（其横向位移很小），然后进入由线圈产生的匀强磁场，这些离子在磁场中沿不同的螺旋线运动，调节通过线圈的电流改变磁感应强度B，使它们经过一个周期刚好聚焦于荧光屏上的O点，测出有关数据即可得到比荷。下列说法正确的有（　　） A．测量原理用到离子在磁场中圆周运动的周期与速度无关这一性质 B．同时刻进入电容器中的离子运动轨迹相同 C．线圈产生的磁场方向必须水平向右 D．电容器上所加电压也可以是恒定电压 [练习6] （多选）在半导体离子注入工艺中，初速度可忽略的磷离子P+和P3+，经电压为U的电场加速后，垂直进入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里，有一定的宽度的匀强磁场区域，如图所示．已知离子P+在磁场中转过θ＝30°后从磁场右边界射出．在电场和磁场中运动时，离子P+和P3+（　　） A．在电场中的加速度之比为1：1 B．在磁场中运动的半径之比为：1 C．在磁场中转过的角度之比为1：2 D．离开电场区域时的动能之比为1： [练习7] （2025•自流井区校级二模）如图，一半径为R1的圆内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B1，方向垂直于纸面向里，在圆形磁场右边有一接地的“”形金属挡板abcd，ab＝cd＝3R1，bc＝4R1，在bc边中点O开一小孔，圆形磁场与bc边相切于O点，挡板内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，且磁感应强度大小B2＝0.5B1，在cd边下方2R1处放置一足够长的水平接收板P，初速度可忽略的大量电子，经过电压U加速后，有宽度为2R1的平行电子束竖直向上进入圆形磁场，均通过O点进入B2，电子质量为m，电荷量为e，忽略电子间的相互作用和电子的重力，其中U、B1、m、e已知，求： （1）电子进入圆形磁场区域时的速度v； （2）圆形磁场区域的半径R1； （3）电子在水平接收板上击中的区域。 [练习8] （2025•山东模拟）物理学家在现代科学实验时经常利用电磁场来控制带电粒子的运动。在如图所示的Oxyz坐标系中，在z＞0的空间内存在沿z轴负方向的匀强电场（图中未画出），在z＜0的空间内存在沿z轴正方向的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度的大小为0.5T。质量为m、电荷量为+q的粒子从P点以沿x轴正方向的初速度v0＝20m/s射出，经电场偏转后从坐标原点O进入匀强磁场区域。已知P点的坐标为（﹣2L，0，L），粒子的比荷，L＝12.5cm，不计粒子重力。 （1）求匀强电场的电场强度大小； （2）求粒子第一次离xOz平面距离最大时的坐标； （3）若在z＞0的空间内还存在沿y轴正方向的匀强磁场，带电粒子仍从P点以初速度v0沿x轴正方向射出，为保证粒子运动过程中不经过xOy平面，求该匀强磁场的磁感应强度大小B1的取值范围。 [练习9] （2025•博野县模拟）平面直角坐标系xOy的二、三象限存在沿x轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E，在一、四象限内的0＜x≤2d区域内存在电场强度大小也为E、方向沿y轴负方向的匀强电场，在第四象限x＞2d的区域内存在一边界为270°圆弧的匀强磁场区域，圆弧与x轴相切，开口在直线x＝2d上，圆弧半径为磁场方向未画出，如图所示。质量为m、电荷量为+q的带电粒子从P（﹣d，0）点由静止释放，粒子最终恰好从圆弧与x轴的切点飞出，已知tan50.4°，不计粒子重力，求： （1）粒子通过一、四象限的电场后速度方向偏转的角度θ； （2）匀强磁场的磁感应强度B； （3）若匀强磁场的磁感应强度变为第（2）间磁感应强度的一半，则粒子在磁场中运动的时间为多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 易错点04 带电粒子在组合场中的运动 一、易错点分析 1、场的衔接分析易错 忽视场边界特性：组合场由电场和磁场组合而成，场边界处电场力、磁场力特性会突变。 2、运动过程分析易错 多过程划分错误：带电粒子在组合场中往往经历多个运动过程，如先在电场加速，再进入磁场偏转，然后又进入电场等。学生不能正确划分这些过程，会使分析混乱，无法针对每个过程运用合适物理规律。 3、临界条件判断易错 找不到临界情况：在组合场中，粒子能否穿越某个区域、从特定位置射出等存在临界条件，如粒子刚好能从磁场边界射出时，轨迹与边界相切。学生分析不全面，找不到这些关键临界条件，无法求解相关物理量极值。 临界状态分析失误：找到临界条件后，对临界状态下粒子受力、速度、轨迹等分析不准确。比如在临界状态下，电场力和磁场力的合力计算错误，导致无法正确确定粒子运动状态。 二、组合场概念 静电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，静电场、磁场分时间段交替出现。 三、三种场的比较 　　项目 名称　　 力的特点 功和能的特点 重力场 大小：G＝mg 方向：竖直向下 重力做功与路径无关 重力做功改变物体的重力势能 静电场 大小：F＝qE 方向：①正电荷受力方向与场强方向相同 ②负电荷受力方向与场强方向相反 静电力做功与路径无关 W＝qU 静电力做功改变电势能 磁场 洛伦兹力大小：F＝qvB 方向：根据左手定则判定 洛伦兹力不做功，不改变带电粒子的动能 四、带电粒子在复合场中的运动分类 (1)静止或匀速直线运动 当带电粒子在复合场中所受合力为零时，将处于静止状态或做匀速直线运动。 (2)匀速圆周运动 当带电粒子所受的重力与静电力大小相等，方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动。 (3)较复杂的曲线运动 当带电粒子所受合力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线。 (4)分阶段运动 带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域，其运动情况随区域发生变化，其运动过程由几种不同的运动阶段组成。 四、常见的基本运动形式 电偏转 磁偏转 偏转条件 带电粒子以v⊥E进入匀强电场 带电粒子以v⊥B进入匀强磁场 示意图 受力情况 只受恒定的静电力 只受大小恒定的洛伦兹力 运动情况 类平抛运动 匀速圆周运动 运动轨迹 抛物线 圆弧 物理规律 类平抛运动规律、牛顿第二定律 牛顿第二定律、向心力公式 基本公式 L＝vt，y＝at2 a＝，tanθ＝ qvB＝，r＝ T＝，t＝ sinθ＝ 做功情况 静电力既改变速度方向，也改变速度大小，对电荷做功 洛伦兹力只改变速度方向，不改变速度大小，对电荷永不做功 题型一：带电粒子由磁场进入电场中的运动 [例题1] （多选）（2024春•武汉期中）蜜蜂飞行时依靠蜂房、采蜜地点和太阳三个点进行定位做“8”字形运动，以此告知同伴蜜源方位。某兴趣小组用带电粒子在电场和磁场中的运动模拟蜜蜂的运动。如图所示，空间存在范围足够大垂直纸面、方向相反的匀强磁场Ⅰ、Ⅱ，其上、下边界分别为MN、PQ，间距为2d。MN与PQ之间存在沿水平方向且大小始终为的匀强电场，当粒子通过MN进入电场中运动时，电场方向水平向右；当粒子通过PQ进入电场中运动时，电场方向水平向左。现有一质量为m、电荷量为+q的粒子在纸面内以初速度v0从A点垂直MN射入电场，一段时间后进入磁场Ⅱ，之后又分别通过匀强电场和磁场Ⅰ，以速度v0回到A点，磁场Ⅱ的磁感应强度，不计粒子重力。则下列说法正确的是（　　） A．粒子在水平向右的电场中运动的位移大小为2d B．粒子在磁场Ⅱ中运动的速度大小 C．粒子在磁场Ⅱ中做匀速圆周运动的弦长为d D．磁场Ⅰ的磁感应强度大小 【解答】解：AB.粒子在电场中运动时，根据运动学公式竖直方向有 2d＝v0t 水平方向根据牛顿第二定律和运动学公式有 ，vx＝at＝2v0， 则粒子在水平向右的电场中运动的位移大小和粒子在磁场Ⅱ中运动的速度大小分别为 ，，故A错误，B正确； C.粒子运动的轨迹如图所示 设速度方向与PQ成θ角，根据几何关系有 粒子在磁场Ⅱ中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律有 解得 根据几何关系 L＝2r2sinθ＝d，故C正确； D.粒子穿过PQ分别通过匀强电场和磁场Ⅰ，以速度v0回到A点，其运动轨迹如图所示 在磁场Ⅰ中做匀圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律有 根据几何关系有 2r1＝2x﹣L 解得 联立解得磁场Ⅰ的磁感应强度大小为 ，故D错误。 故选：BC。 [例题2] （2024春•海口期末）如图所示，在平面直角坐标系xoy中，第一象限内存在匀强电场，电场方向沿y轴负方向，第二象限内存在半径为R的圆形匀强磁场，方向垂直于xoy平面向里，圆形边界与x轴相切于A点、与y轴相切于M点，在第四象限某区域存在一个等边三角形区域的匀强磁场（图中未画出），第二、四象限匀强磁场的磁感应强度大小相等、方向相同。有一电荷量为q、质量为m的带正电的粒子从P点（﹣R，2R）以初速度v0沿直径方向射入磁场，从M点进入电场，从x轴上的N点进入第四象限，粒子经等边三角形区域的匀强磁场偏转后速度方向沿x轴负方向，不计粒子重力。求： （1）匀强磁场的磁感应强度B和匀强电场的电场强度E的大小； （2）粒子在第四象限磁场中运动的时间t； （3）等边三角形区域磁场的最小边长L。 【解答】解：（1）粒子在第二象限运动轨迹如图 由几何关系可知粒子在第二象限磁场中运动的轨迹半径为 R1＝R 由洛伦兹力提供向心力可得 解得磁感应强度大小为 粒子在电场中做类平抛运动，则有 解得电场强度大小为 （2）到达N点时，沿电场方向的速度为 解得 vyv0 粒子到达N点时的速度为 解得 vN＝2v0 vN方向与x轴成60°角，速度为2v0，粒子在磁场中运动的半径为 由圆周运动周期公式得 由几何关系得圆心角为240°，所以时间为 由以上公式联立得 （3）如图所示由几何关系得： 最小边长 由以上公式联立得 [例题3] （2024•滨海新区校级四模）如图所示，在xOy坐标系中，区域Ⅰ是圆心为O1（0，2）、半径r＝2m的圆形匀强磁场，磁感应强度大小为B＝1T，方向垂直于纸面向里。在y＝﹣2m处有一与x轴平行的足够长荧光屏MN，屏MN与x轴间存在有沿y轴正方向的匀强电场。在0≤y≤2r区域内，一群质量m＝8×10﹣7kg、电荷量大小q＝2×10﹣3C的负电粒子，在纸面内以速度v＝5×103m/s平行于x轴正方向射入圆形磁场区域，随后所有粒子都从O点进入电场，其中粒子a正对O1沿半径的方向射入（不计粒子的重力和粒子间的相互作用）。 （1）求粒子a在圆形磁场区域运动的时间t； （2）已知到达荧光屏MN上的粒子速度大小为，求匀强电场的电场强度大小； （3）求粒子打在荧光屏MN上的位置范围。 【解答】解：（1）设粒子在磁场做匀速圆周运动的轨道半径R，由洛伦兹力提供向心力，有 代入数据解得：R＝2m 可知粒子做匀速圆周运动的轨道半径R等于圆磁场的半径r，由几何关系知粒子束会聚于O点； 对粒子a在磁场中偏转 粒子a在区域Ⅰ的时间为 解得： （2）粒子从O点进入电场，由动能定理得 解得：E＝2.5×103N/C （3）沿x轴正、负方向进入电场的粒子打在荧光屏的边界上有 x＝vt1 根据牛顿第二定律有 Eq＝ma 联立解得：x＝4m 故粒子打在MN上的位置范围为﹣4m≤x≤4m。 题型二：带电粒子由电场进入磁场中的运动 [例题4] （2024•江都区校级开学）如图所示，在两个边长均为2L的正三角形区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，左右两侧有平行于MN、PQ的匀强电场（电场强度大小未知）。质量为m、带电荷量为+q的带正电粒子（不计重力），由电场中a1点由静止释放，恰好从OM边的中点进入磁场区域。已知经过下方磁场区域后，粒子能从OP的中点进入左侧电场，最终能从PQ上某点沿垂直PQ边界方向射出磁场区域，则下列说法正确的是（　　） A．电场强度大小为 B．从a1到OM中点的距离为L C．从释放到从PQ边界出磁场，粒子运动的时间为 D．带电粒子在磁场中运动时的速度大小为 【解答】解：AB．由题意作出带电粒子的运动轨迹如图所示，粒子从a1到b，由动能定理可得 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由几何知识可知，粒子从b到c的运动轨迹对应的圆心角为θ＝60°，可知粒子在c点的速度方向与水平方向的夹角为θ＝60°，粒子从c到d做类斜抛运动，则有 （v0sin60°）t＝xOcsin60° at＝v0cos60° 联立解得 A正确，B错误； C．粒子从a1点释放，到最后从f点出磁场，粒子在磁场中运动周期为 则有所用总时间 可得 C错误； D．离子从a1到b做匀加速直线运动，从b到c做匀速圆周运动，从c到d做类斜抛运动，从d到e做匀速圆周运动，从e到a2做匀减速直线运动，从a2到e做匀加速直线运动，从e到f做匀速圆周运动，由几何关系可知，粒子在磁场中的运动轨迹半径为 由洛伦兹力提供向心力可得 D错误。 故选：A。 [例题5] （2024春•沙坪坝区校级月考）空间中存在边界为正方形EFGH、方向垂直纸面向外的匀强磁场，如图所示。两正电离子a、b分别从静止开始经电压为U0的电场加速后，垂直于EH射入磁场，其中a离子从EH的中点射入经磁场偏转后垂直于HG向下射出。已知正方形边界的边长为R，进入磁场时，两离子间的距离为0.3R，a离子的比荷为k，不计重力及离子间的相互作用。则（　　） A．若增大U0，则a离子在磁场中的运动时间变大 B．磁场的磁感应强度 C．若b离子的比荷为k，则两离子在边界HG上的出射点间的距离为0.1R D．若b离子的比荷为，则a、b两离子从同一点射出磁场区域 【解答】解：A．设离子a的质量为m，电荷量为q，离子a在加速电场中，由动能定理可得 粒子在磁场中做圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得 解得a离子在磁场中的运动轨迹半径 若增大U0，则a离子在磁场中的运动轨迹半径将增大，做出a离子在磁场中运动的轨迹如图所示 由图可知，当a离子在磁场中的运动轨迹半径将增大时，其所对应的圆心角将减小，而离子在磁场中运动的周期 可知，离子在磁场中运动的周期不变，当所对应的圆心角减小时，粒子在磁场中运动的时间减小，故A错误； B．根据题意，当a离子垂直EH射入磁场时，从HG变垂直射出，则根据几何关系可得，此种情况下，a离子在磁场中运动的轨迹半径 即 解得磁场的磁感应强度 故B错误； C．根据 可知，比荷相同，则两粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径相同，做出两离子在磁场中运动的轨迹如图所示 根据几何关系可得，两离子在边界HG上的出射点间的距离为 故C正确； D．若b离子的比荷为，则根据a离子的半径 可得b离子的轨迹半径 则根据几何关系可得，b离子出射电在HG边上距H点的距离为 则a、b两离子不从同一点射出磁场区域，故D错误。 故选：C。 [例题6] （2025•太原开学）如图所示，在平面直角坐标系xOy的第Ⅱ象限内有沿y轴负方向的匀强电场，x轴下方有垂直纸面向里的匀强磁场。现从y轴上的A点沿x轴负方向发射一初速度为v0的带正电粒子，经电场偏转后与x轴负方向成θ＝60°夹角进入磁场区域，粒子刚好能打在与y轴垂直的足够大荧光屏P上。已知荧光屏P到x轴的距离为l，A点到坐标原点O的距离为d，不计粒子重力。求： （1）进入磁场时的入射点到坐标原点O的距离； （2）电场强度E与磁感应强度B的比值； （3）若改变初速度的大小，让粒子从y轴上M点（图中未画出）沿x轴负方向射出，现要求粒子仍能以与x轴负方向成θ＝60°夹角进入磁场，且进入磁场后垂直打在荧光屏P上，此时M点到坐标原点O的距离d′。 【解答】解：（1）设粒子在电场中运动时，沿y轴负方向获得的分速度为vy，则由速度合成规律可得： 设粒子在电场中的运动时间为t，则有：，解得： （2）由： 可解得粒子在电场中的运动时间为：，又由：，解得： 粒子在电场和磁场中的运动轨迹如下图所示： 设粒子在磁场中做圆周运动的半径为r，则有：r+rcosθ＝l，解得：，设粒子进入磁场时的速度大小为v，则有： 由牛顿第二定律可得：，，解得：，即： （3）设粒子以初速度v′0从y轴上的M点射入电场，由于粒子进入磁场时的角度不变，故粒子在磁场中做圆周运动的速度大小为：v′＝2v′0 粒子在磁场中的运动情况下图所示： 由几何关系可知，此时粒子在磁场中做圆周运动的半径r′为：，粒子在电场中沿y轴负方向运动时，有： 又因：v′y＝v′sinθ，由牛顿第二定律可知：，以上各式联立可解得：d′＝9d 题型三：带电粒子在电场和磁场中的往复运动 [例题7] （2024春•临沂期末）如图所示，三维坐标系Oxyz中，在x＜0的区域中存在匀强电场（图中未画出），电场强度为E（E未知），在y＞0区域存在方向沿z轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B0（B0未知），在x＞0、y＜0区域存在方向沿y轴负方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B（B未知），坐标为（﹣L，L，0）的A点有一粒子源，发出沿x轴正方向、质量为m、带电量为+q的粒子，粒子的初速度大小为v0，恰好沿直线运动到y轴的P点，通过磁场B0偏转后经过x轴的M点，经过M点时速度方向与x轴正方向成60°角，粒子的重力不计。 （1）求B0的大小； （2）求E的大小和方向； （3）粒子从M点进入磁场B中，以后始终在磁场B中运动（不会进入电场中），且能通过坐标为的N点，求磁感应强度B的最小值。 【解答】解：（1）粒子在B0磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力有：qv0B0 变形解得：r 由几何关系可知，粒子在B0磁场中运动的半径：R＝2L 代入上式得：B0 （2）粒子从A到P做直线运动，说明电场力与洛伦兹力平衡，即：Eq＝qv0B0 变形解得：E＝v0B0 由于粒子带正电，且电场力方向沿y轴正方向，因此电场方向沿y轴正方向. （3）粒子从M点进入磁场B中后，始终在磁场B中运动，且能通过N点.为了使磁感应强度B最小，粒子在磁场B中的运动轨迹对应的圆心角应最大，即为120°。 粒子在磁场B中做速圆周运动半径为：r 由几何关系可知，粒子从M点到N点的位移为：s 粒子在磁场B中运动的轨迹长度为，l 由于l是s的一部分，因此有： 解得：r 代入半径公式得：B，代入变形和：B [例题8] （2024春•重庆期末）如图甲所示，空间中有一直角坐标系xOy，在x＜0，y＞0的空间中有沿+y方向的匀强电场E＝5×105V/m。在紧贴（﹣0.2m，0）的上侧处有一粒子源P，能沿x轴正方向以v0＝2×106m/s的速度持续发射比荷为 C/kg的某种原子核。在x＞0的空间有垂直于xOy平面向外的足够大的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B1＝0.5T。忽略原子核间的相互作用和重力。 （1）求原子核第一次穿过y轴时速率； （2）设原子核从Q点第二次穿过y轴，求O、Q两点之间距离以及粒子在磁场中的运动时间； （3）若撤去原磁场B1，其余条件保持不变。在xOy平面内x＞0的某区域加一圆形匀强磁场，磁场的磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示，取磁场垂直纸面向外为正方向。t时刻进入磁场的粒子始终在磁场区域内沿闭合轨迹做周期性运动，若T0s，求圆形磁场区域的最小面积S以及粒子进入磁场时的位置到y轴的最短距离x。（忽略磁场突变的影响，计算结果用含有π的式子表示 ） 【解答】解：（1）原子核在电场中做类平抛运动，有 vy＝at 加速度为 代入数据，其中 x＝0.2m 可得 （2）原子核离开电场时速度与+x夹角设为θ，则 偏移距离 右侧的磁场中做匀速圆周运动，有 该轨迹圆在y轴上对应的弦长 l＝2Rcosθ OQ间距离 d＝l﹣y 代入数据可得 d＝0.2m 粒子在磁场B1中运动的周期 粒子在磁场中运动的时间为 （3）设粒子圆形磁场中做圆周运动的半径为r，则 解得 运动的周期 解得 T1＝T0 粒子在磁场中运动的轨迹如图所示 所以圆形磁场的最小半径 R1＝3r 最小面积 解得 由图可知，进入磁场的位置距y轴的最小距离 解得 题型四：带电粒子在组合场中的动量问题 [例题9] （2024春•温州期末）如图所示，某离子分析器由偏转区和检测区组成，分别分布在y轴的左侧和右侧，在直线x＝﹣2l0到y轴区域内存在着两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中x轴上方的电场方向沿y轴负方向，x轴下方的电场方向沿y轴正方向，y轴右侧区域内分布着垂直于xOy平面向里的磁场，磁感应强度大小B沿x轴均匀变化，即B＝kx（k为大于零的常数）。在电场左边界上A（﹣2l0，﹣l0）到C（﹣2l0，0）区域内，连续分布着电量为+q、质量为m的离子。从某时刻起由A点到C点间的离子，依次连续以相同的速度v0沿x轴正方向射入电场。若从A点射入的离子，恰好从点A′（0，l0）沿x轴正方向射出电场，其轨迹如图。离开电场后的离子进入检测区，打在检测板上。区域场间互不影响，检测板足够长，不计离子的重力及它们间的相互作用。 （1）求匀强电场的场强大小E； （2）在AC间还有哪些位置的离子，通过电场后也能沿x轴正方向运动（写出这些位置的y坐标）； （3）检测板与y轴平行，并可沿x轴平移，若要检测板能收集到沿x轴正方向射出电场的这些离子，求检测板位置坐标x的最大值。 【解答】解：（1）从A点射入运动到A′点的离子先做类平抛运动，过了x轴后再做反方向的类平抛运动，因加速度大小相等，故运动具有对称性。可知两段运动沿x轴的位移大小均为l0，由A点到达x轴的过程，由类平抛的运动规律可得： 沿x轴方向：l0＝v0t 沿y轴方向： 解得： （2）根据离子在电场中运动具有对称性，满足要求的部分离子轨迹如下图所示： 设在AC间与C点距离为Δy处射出的离子，通过电场后也沿x轴正方向射出，离子第一次到达x轴用时Δt，水平位移为Δx。 可得满足的条件为：2l0＝2n•Δx，（n＝1、2、3……） Δx＝v0Δt 解得： 即满足要求的AC间的位置的y坐标为：，（n＝1、2、3……） （3）若要检测板能收集到沿x轴正方向射出电场的这些离子，且检测板的位置处在x坐标最大值处，临界条件为离子到达检测板时的速度方向恰好沿y轴方向，即沿x轴的分速度为vx＝0，沿y轴的分速度为vy＝v0，对离子受力分析，将洛伦兹力F，速度v均沿x轴、y轴分解，如下图所示： 以y轴正方向为正方向，沿y轴方向应用动量定理得： ∑Fy•Δt＝mv0﹣0 又有：Fy＝qBvx 可得：∑qBvx•Δt＝mv0 可得：∑qBΔx＝mv0 已知：B＝kx ∑qBΔx 解得： [练习1] （2025•景德镇一模）如图所示，abcd为纸面内矩形的四个顶点，矩形区域内（含边界）处于垂直纸面向外的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，ad＝L，。一质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子，从a点沿ab方向运动，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．粒子能通过cd边的最短时间 B．若粒子恰好从d点射出磁场，粒子速度 C．若粒子恰好从c点射出磁场，粒子速度 D．若粒子只能从ad边界射出磁场，则粒子的入射速度 【解答】解：AC、粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，粒子恰好从c点射出磁场时，粒子在磁场中运动的时间最短，画出其运动轨迹如图所示。 根据几何关系有 解得轨迹半径为 r2＝2L 则粒子转过的圆心角为 即 θ＝60° 粒子在磁场中运动的周期为 则粒子能通过cd边的最短时间为 tT 由洛伦兹力提供向心力得 解得粒子速度为 ，故A错误，C正确； B、若粒子恰好从d点射出磁场，由几何关系可知其轨迹半径为 根据，解得粒子速度为，故B错误； D、若粒子从d点射出磁场，粒子运动轨迹为半圆，从d点出射时半径最大，对应的入射速度最大，则最大速度为，故若粒子只能从ad边界射出磁场，则粒子的入射速度，故D错误。 故选：C。 [练习2] （2024秋•西湖区校级期中）电磁场可以控制带电粒子的运动。在直角坐标系第一象限内有平行于坐标平面的匀强电场（图中未画出），在第二象限内有垂直坐标平面向外的匀强磁场。一个质量为m、电荷量为q（q＞0）的带电粒子，在M点沿y轴正方向以速度v0进入磁场，过y轴上的N点后进入电场，运动轨迹与x轴交于P点，并且过P点时速度大小仍为v0。已知M、N、P三点到O点的距离分别为L、和3L，不计粒子重力，下列说法不正确的是（　　） A．匀强磁场的磁感应强度大小为 B．粒子过N点时速度方向与y轴正方向的夹角为60° C．电场强度大小为 D．粒子运动过程中最小速度为 【解答】解：AB、由几何关系，可知其轨迹与圆心连线满足如下图示关系： 由图可知：，即α＝60°，由几何关系可知，β＝α﹣30°＝60°﹣30°＝30°，故θ＝180°﹣90°﹣30°＝60°； 可计算其在磁场中运动的半径满足：，即r＝2L， 结合洛伦兹力提供向心力，可计算磁感应强度大小，故A错误，B正确； CD、由粒子在N、P两点的速度大小相等，可知NP连线为等势面，结合电场线与等势线的关系及粒子的初速度，可知其电场线方向； 由OP间距，ON间距，可知其角度关系如图所示： 由图可知：， 由粒子在第一象限的受力特点，可知其在从N到P的过程，沿电场方向做匀变速运动，垂直于电场方向做匀速运动； 垂直于电场方向：xNP＝v0sin30°t，沿电场方向：，。化简得：； 当粒子在沿电场方向减速到0时，速度最小，此时速度为：，故CD正确。 本题选择不正确的，故选：A。 [练习3] （2023秋•安徽期末）在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，下半部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，大小为B1＝B，上半部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小B2＝2B，SP与磁场的左右边界垂直。不计重力的离子从S处以某一速度v0射入，入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角向下，离子的速度大小满足v0，已知离子的质量为m、电量为+q，离子恰好从P点射出，则（　　） A．v0 B．从S到P运动的时间为 C．离子射入磁场后经过时间，离子的速度与入射时的速度相同 D．若B1，离子射出点仍在P点 【解答】解：ABC．由洛伦兹力提供向心力可得 解得 则离子在下方磁场中运动半径范围为 上方磁感应强度是下方的2倍，离子在上方磁场中运动半径范围为 离子在磁场中运动轨迹如图 离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角向下，由几何关系可知离子在上下磁场中运动的圆心角为60°，且 R上+R下＝L 解得 ， 则离子运动速度为 由周期公式可得 离子在上、下磁场中运动时间分别为 从S到P运动的时间为 离子射入磁场后经过时间，离子的速度与入射时的速度方向不同，故A正确，BC错误； D．若，离子在下方磁场中运动半径为 L 射出点不可能在P点，故D错误。 故选：A。 [练习4] （多选）（2023秋•河南期末）如图所示，质量为m，带电量为+q的点电荷，从原点以初速度v0射入第一象限内的电磁场区域，在0＜y＜y0，0＜x＜x0（x0、y0为已知）区域内有竖直向上的匀强电场，在x＞x0区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，控制电场强度（E值有多种可能），可让粒子从NP射入磁场后偏转打到接收器MN上，则（　　） A．粒子从NP中点射入磁场，电场强度满足 B．粒子从NP中点射入磁场时速度为 C．粒子在磁场中做圆周运动的圆心到NM的距离为 D．粒子在磁场中运动的圆周半径最大值是 【解答】解：A、若粒子打到PN中点，根据类平抛运动的规律，有 x0＝v0t1 解得 故A正确； B、粒子从PN中点射出时，根据平均速度与位移的关系，则 根据速度的合成，有 故B错误； C、粒子从电场中射出时的速度方向与竖直方向夹角为θ 则 粒子从电场中射出时的速度 粒子进入磁场后做匀速圆周运动，则 则粒子进入磁场后做圆周运动的圆心到MN的距离为 d＝rcosθ 解得 故C错误； D、当粒子在磁场中运动有最大运动半径时，进入磁场的速度最大，根据分析可知粒子从N点进入磁场，竖直最大速度 x0＝v0t 出离电场的最大速度 则由根据洛伦兹力提供向心力，有 可得最大半径 故D正确； 故选：AD。 [练习5] （多选）（2023秋•滨江区校级期末）如图所示，是用磁聚焦法测某种离子比荷的一种装置。离子以很小的速度从a板小孔进入加速电场，从b板小孔O′水平向右射出，进入一个极板很短、加有不大的交变电压的电容器。不同时刻通过电容器的粒子获得不同的横向速度（其横向位移很小），然后进入由线圈产生的匀强磁场，这些离子在磁场中沿不同的螺旋线运动，调节通过线圈的电流改变磁感应强度B，使它们经过一个周期刚好聚焦于荧光屏上的O点，测出有关数据即可得到比荷。下列说法正确的有（　　） A．测量原理用到离子在磁场中圆周运动的周期与速度无关这一性质 B．同时刻进入电容器中的离子运动轨迹相同 C．线圈产生的磁场方向必须水平向右 D．电容器上所加电压也可以是恒定电压 【解答】解：A.由洛伦兹力提供向心力有，可得圆周运动的半径，则周期为，可知测量原理用到离子在磁场中圆周运动的周期与速度无关这一性质，故A正确； B.同时刻进入电容器中的离子，离开电容器进入磁场时的速度相同，则离子运动轨迹相同，故B正确； C.磁场的方向只决定了离子旋转的方向不同，并不影响离子在水平方向的运动情况，所以线圈产生的磁场方向不一定要水平向右，也可以水平向左，故C错误； D、容器上所加电压不可以是恒定电压，因为如果是恒定电压，将使得不同时刻进入电容器的离子，离开电容器进入磁场时的速度相同，所有离子的运动轨迹都相同，故D错误。 故选：AB。 [练习6] （多选）在半导体离子注入工艺中，初速度可忽略的磷离子P+和P3+，经电压为U的电场加速后，垂直进入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里，有一定的宽度的匀强磁场区域，如图所示．已知离子P+在磁场中转过θ＝30°后从磁场右边界射出．在电场和磁场中运动时，离子P+和P3+（　　） A．在电场中的加速度之比为1：1 B．在磁场中运动的半径之比为：1 C．在磁场中转过的角度之比为1：2 D．离开电场区域时的动能之比为1： 【解答】解：A、两个离子的质量相同，其带电量是1：3的关系，所以由a可知，其在电场中的加速度是1：3，故A错。 B、要想知道半径必须先知道进入磁场的速度，而速度的决定因素是加速电场，所以在离开电场时其速度表达式为：v，可知其速度之比为1：．又由qvB＝m知，r，所以其半径之比为：1，故B正确。 C、由B的分析知道，离子在磁场中运动的半径之比为：1，设磁场宽度为L，离子通过磁场转过的角度等于其圆心角，所以有sinθ，则可知角度的正弦值之比为1：，又P+的角度为30°，可知P3+角度为60°，即在磁场中转过的角度之比为1：2，故C正确。 D、由电场加速后：qUmv2可知，两离子离开电场的动能之比为1：3，故D错误。 故选：BC。 [练习7] （2025•自流井区校级二模）如图，一半径为R1的圆内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B1，方向垂直于纸面向里，在圆形磁场右边有一接地的“”形金属挡板abcd，ab＝cd＝3R1，bc＝4R1，在bc边中点O开一小孔，圆形磁场与bc边相切于O点，挡板内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，且磁感应强度大小B2＝0.5B1，在cd边下方2R1处放置一足够长的水平接收板P，初速度可忽略的大量电子，经过电压U加速后，有宽度为2R1的平行电子束竖直向上进入圆形磁场，均通过O点进入B2，电子质量为m，电荷量为e，忽略电子间的相互作用和电子的重力，其中U、B1、m、e已知，求： （1）电子进入圆形磁场区域时的速度v； （2）圆形磁场区域的半径R1； （3）电子在水平接收板上击中的区域。 【解答】解：（1）电子初速度为0，忽略电子间的相互作用和电子的重力，经过电压U加速，由动能定理得： 变形整理解得： （2）因为有宽度为2R1的平行电子束竖直向上进入圆形磁场，均通过O点，根据磁聚焦的原理， 结合几何关系可知，圆形磁场半径等于电子在其运动轨迹的半径，即： （3）挡板内电子进入挡板内磁场，由洛伦兹力提供向心力： 可知在挡板内做圆周运动的半径为圆形磁场内圆周运动半径的2倍，即：R2＝2R1 当圆的轨迹与ab边相切时，即粒子在O点速度方向向上，此时粒子可以射到收集板，如左图所示。 随着粒子在O点速度从竖直向上往顺时针偏转时，其轨迹也绕O点顺时针偏转，当偏转到圆的轨迹与ad边相切时，此时粒子刚好不能射到收集板，如右图所示。 在右边大三角形中： 在三角形O1H1A中，由题意和几何关系：O1H1＝3R1﹣2R1＝R1，O1A＝2R1 所以有： 那么： 则： 代入解得： 电子在水平接收板上击中的区域为x1这一区域。 [练习8] （2025•山东模拟）物理学家在现代科学实验时经常利用电磁场来控制带电粒子的运动。在如图所示的Oxyz坐标系中，在z＞0的空间内存在沿z轴负方向的匀强电场（图中未画出），在z＜0的空间内存在沿z轴正方向的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度的大小为0.5T。质量为m、电荷量为+q的粒子从P点以沿x轴正方向的初速度v0＝20m/s射出，经电场偏转后从坐标原点O进入匀强磁场区域。已知P点的坐标为（﹣2L，0，L），粒子的比荷，L＝12.5cm，不计粒子重力。 （1）求匀强电场的电场强度大小； （2）求粒子第一次离xOz平面距离最大时的坐标； （3）若在z＞0的空间内还存在沿y轴正方向的匀强磁场，带电粒子仍从P点以初速度v0沿x轴正方向射出，为保证粒子运动过程中不经过xOy平面，求该匀强磁场的磁感应强度大小B1的取值范围。 【解答】解：（1）粒子射出后做类平抛运动，有 2L＝v0t1 解得 解得 E＝8N/C （2）粒子做螺旋运动，可分解为沿z轴负方向的匀速直线运动和平行于xOy平面内的匀速圆周运动，沿z轴负方向的速度大小 又 z＝﹣vzt2 由题意可知，粒子在xOy平面内做匀速圆周的速率为v0，则 解得粒子第一次离xOz平面距离最大时的坐标为（0，0.4m，﹣0.2πm） （3）将初速度分解为向左的速度v1和向右的速度v2，并使其满足Eq＝qv1B1 v2﹣v1＝v0 为保证粒子运动过程中不经过xOy平面，需满足 解得 [练习9] （2025•博野县模拟）平面直角坐标系xOy的二、三象限存在沿x轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E，在一、四象限内的0＜x≤2d区域内存在电场强度大小也为E、方向沿y轴负方向的匀强电场，在第四象限x＞2d的区域内存在一边界为270°圆弧的匀强磁场区域，圆弧与x轴相切，开口在直线x＝2d上，圆弧半径为磁场方向未画出，如图所示。质量为m、电荷量为+q的带电粒子从P（﹣d，0）点由静止释放，粒子最终恰好从圆弧与x轴的切点飞出，已知tan50.4°，不计粒子重力，求： （1）粒子通过一、四象限的电场后速度方向偏转的角度θ； （2）匀强磁场的磁感应强度B； （3）若匀强磁场的磁感应强度变为第（2）间磁感应强度的一半，则粒子在磁场中运动的时间为多少？ 【解答】解：（1）粒子从P点运动到O点，根据动能定理有 解得粒子在O点的速度为 粒子进入一、四象限的电场后做类平抛运动，根据类平抛运动规律可得粒子在一、四象限的电场中的运动时间为 根据牛顿第二定律有Eq＝ma 离开一、四象限的电场时在竖直方向上的分速度为vy＝at 则粒子通过一、四象限的电场后速度方向偏转角度的正切值为 联立解得θ＝45° （2）粒子离开一、四象限的电场时的速度为 粒子在一、四象限的电场中的偏转位移为 则粒子恰好由图中的A点沿AO0方向射入磁场，其中O0为圆弧磁场的圆心，粒子轨迹如下图所示 根据几何知识可得r+rsin45°＝Rcos45° 解得，粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为 根据洛伦兹力提供向心力有 解得匀强磁场的磁感应强度为 由左手定则判断可知，磁感应强度的方向垂直纸面向里。 （3）由上述分析可得 若匀强磁场的磁感应强度变为第（2）问磁感应强度的一半，则粒子的轨迹半径为 粒子运动轨迹如下图所示 则根据几何知识有 则有α＝50.4° 即 则粒子在磁场中运动的时间为 学科网（北京）股份有限公司 $$