易错点03 带电粒子在磁场中的动态圆模型 （3易错题型）-2024-2025学年高二下学期物理人教版（2019）选择性必修第二册复习易错微专题讲练

易错点03 带电粒子在磁场中的动态圆模型 一、易错点分析 1、圆心位置判断易错 忽视速度方向影响：带电粒子在磁场中运动时，速度方向时刻改变，动态圆的圆心位置也随之变化。学生常忽略速度方向变化对圆心位置的影响，如粒子做匀速圆周运动时，若速度方向突变，圆心位置会发生相应改变，没意识到这点就会导致圆心位置判断错误，进而影响轨迹分析。 无法确定圆心移动规律：在一些复杂情境下，粒子运动过程中圆心并非固定不动，而是按特定规律移动，如在随时间变化的磁场中，圆心位置可能随时间线性变化。学生难以找出圆心移动规律，在确定粒子后续运动轨迹时就会出错。 2、轨迹覆盖范围分析易错 遗漏特殊情况：分析动态圆轨迹覆盖范围时，存在一些特殊情况，如粒子轨迹与磁场边界相切、相交等，这些情况决定了轨迹覆盖的边界。 不能准确确定边界点：要确定轨迹覆盖范围，需准确找到轨迹与磁场边界的交点等边界点。 二、模型构建 此类模型较为复杂，常见的磁场边界有单直线边界、双直线边界、矩形边界和圆形边界等。因为是有界磁场，则带电粒子运动的完整圆周往往会被破坏，可能存在最大、最小面积，最长、最短时间等问题。 三、模型条件 (1)在匀强磁场中做匀速圆周运动。(2)磁场有一定范围。 四、模型分类 (一)动态放缩法 适用条件 速度方向一定、大小不同 粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径与粒子速度大小有关 轨迹圆圆心共线 如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上 界定方法 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法 带电粒子在矩形有界匀强磁场中运动的临界问题 带电粒子在矩形有界匀强磁场中运动的特点： (1)若粒子射入的初速度方向和矩形磁场某边界垂直，如图甲所示。 ①当粒子速度较小时，粒子将在磁场中做半个圆周运动后从原边界射出磁场区域； ②当粒子速度在某一范围内时，粒子将在磁场中做部分圆周运动后从侧面边界飞出磁场； ③当粒子速度较大时，粒子将在磁场中做部分圆周运动后从对面边界飞出磁场。 (2)若粒子射入的初速度方向和矩形磁场某边界成一夹角，如图乙所示。 ①当粒子速度较小时，粒子将在磁场中做部分圆周运动后从原边界飞出磁场； ②当粒子速度在某一范围内时，粒子将在磁场中做部分圆周运动后从上侧面边界飞出磁场； ③当粒子速度较大时，粒子将在磁场中做部分圆周运动后从右侧面边界飞出磁场； ④当粒子速度更大时，粒子将在磁场中做部分圆周运动后从下侧面边界飞出磁场。 综合以上分析可知，求解带电粒子在矩形有界匀强磁场区域运动的时间范围、速度范围等的问题时，寻找“相切或相交”的临界点是解决问题的关键；另外可知在磁场边界上还有粒子不能达到的区域即“盲区”。 (二)定圆旋转法 适用条件 速度大小一定，方向不同 粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度大小为v0，则圆周运动半径为r＝，如图所示 轨迹圆圆心共圆 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点O为圆心、半径r＝的圆上 界定方法 将半径为r＝的轨迹圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法 (1)解决带电粒子在有界磁场中运动的临界问题，关键在于运用动态思维，寻找临界点，确定临界状态，根据粒子的速度方向，找出半径方向，同时由磁场边界和题设条件画好轨迹，定好圆心，建立几何关系。粒子射出或不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切。 (2)要重视分析时的尺规作图，规范而准确的作图可突出几何关系，使抽象的物理问题更形象、直观。 (三)平移圆法 适用条件 速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上 粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的带电粒子，它们进入匀强磁场时，做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则运动半径r＝，如图所示 轨迹圆圆心共线 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线 界定方法 将半径为r＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法 题型一：动态放缩圆 [例题1] （2025•甘肃模拟）圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，带电粒子a、b从圆周上的M点沿直径MON方向以相同的速度射入磁场，粒子a、b的运动轨迹如图所示。已知粒子a离开磁场时速度方向偏转了90°，粒子b离开磁场时速度方向偏转了60°，不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．粒子a、b都带负电 B．粒子a、b的比荷之比为 C．粒子a、b在磁场中运动的时间之比为3：2 D．粒子a、b在磁场中运动轨迹的半径之比为1：3 【解答】解：A、粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，由左手定则可知两个粒子都带正电，故A错误； B、两个粒子进入磁场时速度指向圆心且水平，则出磁场时速度反向延长线过圆心，轨迹圆半径与速度方向垂直，则可作图得到圆心分别为O1、O2，如图所示。 设磁场圆半径为R，由几何关系可得，粒子a、b轨迹圆半径分别为 r1＝R 则粒子a、b在磁场中运动轨迹的半径之比为 粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，有 变形得： 由于两个粒子的速度相同，同一磁场，可知比荷之比与轨迹半径成反比，即，则粒子a、b在磁场中运动时间分别为 联立可得：，故B正确，CD错误。 故选：B。 [例题2] （2025•嘉祥县校级开学）如图所示，两个速度大小不同的同种带电粒子1、2，沿水平方向从同一点垂直射入匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里。当它们从磁场下边界飞出时相对入射方向的偏转角分别为90°，60°，则它们在磁场中运动的（　　） A．轨迹半径之比为2：1 B．速度之比为1：2 C．周期之比为2：1 D．时间之比为2：3 【解答】解：A、设入射点到虚线边界的距离为d，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，如图所示。 由几何知识可知，粒子1的轨迹半径r1＝d 对粒子2，由几何关系有 r2cos60°+d＝r2 可得r2＝2d 则两粒子的轨迹半径之比为1：2，故A错误； B、根据洛伦兹力提供向心力有 可得 可得速度之比等于轨迹半径之比，为1：2，故B正确； C、根据可知，周期之比为1：1，故C错误； D、根据可知时间之比为，故D错误。 故选：B。 [例题3] （2024秋•金凤区校级期末）如图所示，圆心为O、半径为R的半圆形区域内有一垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。M、N点在圆周上且MON为其竖直直径。现将两个比荷k相同的带电粒子P、Q分别从M点沿MN方向射入匀强磁场，粒子P的入射速度为v1＝v，粒子Q的入射速度为v2，已知P粒子在磁场中的运动轨迹恰为圆弧，不计粒子的重力，不计粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．粒子P带正电，粒子Q带负电 B．粒子P的周期小于粒子Q的周期 C．粒子Q的轨道半径为 D．粒子P和粒子Q在磁场中的运动时间之比为 【解答】解：A、两粒子进入磁场时所受洛伦兹力均向左，由左手定则可知，粒子P、Q均带正电，故A错误； C、带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得： 解得运动半径为： 已知粒子Q的入射速度为v2，可粒子Q的轨道半径为半径rQ，故C正确； B、带电粒子在磁场中运动周期为：，两粒子比荷相同，故粒子P、Q的运动周期相同，故B错误； D、已知P粒子在磁场中的运动轨迹恰为圆弧，易知粒子P的运动半径rP＝R。因粒子的运动半径与速度大小成正比，由题意可得粒子Q的入射速度为粒子P的入射速度的倍，故可得粒子Q的运动半径rQR，作出两粒子的运动轨迹如下图所示： 由几何关系易知：α＝30°，可得粒子Q的轨迹圆心角为2α＝2×30°＝60°，粒子P的轨迹圆心角为90°，由于两粒子周期相同，运动时间与轨迹圆心角成正比，则粒子P和粒子Q在磁场中的运动时间之比为，故D错误。 故选：C。 题型二：旋转圆 [例题4] （2025•安徽模拟）如图所示，在荧光屏MN上方分布着水平方向的匀强磁场，方向垂直纸面向里。距离荧光屏d处有一粒子源S，能够在纸面内不断地向各个方向同时发射电荷量为q，质量为m，速率为v的带正电粒子，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，已知粒子做圆周运动的半径为d，则（　　） A．粒子能打到屏上的区域长度为2 B．能打到屏上最左侧的粒子所用的时间为 C．粒子从发射到打到屏上的最长时间为 D．同一时刻发射的粒子打到屏上的最大时间差 【解答】解：粒子轨迹范围如图所示： A、由几何关系知，粒子能打到屏上的区域长度为 L， 故A错误； B、打到屏上最左侧的粒子所用的时间为 t1， T， 解得 t1， 故B错误； CD、所有粒子运动轨迹半径相同，粒子在磁场中运动时间与弧长有关，作出粒子运动的最长弧长和最短弧长如图所示： 粒子从发射到打到屏上的最长时间为： tmaxT， 粒子从发射到打到屏上的最短时间为 tminT， 又T， 时间差为 Δt＝tmax﹣tmin， 解得 tmax， Δt， 故C错误，D正确。 故选：D。 [例题5] （2025•沙坪坝区校级开学）如图所示，在直角△MON区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场（未画出），磁感应强度大小为B，O点处的粒子源可向纸面内磁场区域各个方向发射带电粒子，已知带电粒子的质量为m，电荷量为+q，速率均为v，ON长为d，且∠ONM＝30°，忽略粒子的重力及相互间的作用力。下列说法正确的是（　　） A．自MN边射出的粒子在磁场中运动的最短时间为 B．自MN边射出的粒子在磁场中运动的最长时间为 C．MN边上有粒子到达区域的长度为d D．ON边上有粒子到达区域的长度为d 【解答】解：AB、粒子在磁场区域内做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得 结合 解得粒子的轨迹半径为： 自MN边射出的粒子在磁场中运动的最短时间的运动轨迹交MN于A点，圆弧所对应的圆心角为60°，自MN边射出的粒子在磁场中运动的最长时间的运动轨迹交MN于B点交ON于C点，圆弧所对应的圆心角为120°，如图所示 根据 解得粒子的运动周期为： 则自MN边射出的粒子在磁场中运动的最短时间和最长时间分别为： 故AB错误； C、MN边上有粒子到达区域的长度为AB之间的距离，由几何关系可得 故C错误； D、ON边上有粒子到达区域的长度为OC之间的距离，由几何关系可得 故D正确。 故选：D。 题型三：平移圆 [例题6] 如图所示，一线状粒子源垂直于磁场边界不断地发射速度相同的同种离子，不考虑离子间的相互作用，则离子经过磁场的区域（阴影部分）可能的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：离子垂直进入磁场后均做匀速圆周运动，离子的轨迹均为半个圆周，当离子的轨迹的直径小于线状粒子源的宽度时，离子经过磁场的区域如图1中的阴影部分。 根据以上分析可知，当离子的轨迹的直径大于线状粒子源的宽度时，离子经过磁场的区域如图2中的阴影部分。 由题中的四个选项中的离子的轨迹的直径均大于线状粒子源的宽度，故离子经过磁场的区域如图2的阴影区域，故C正确，ABD错误。 故选：C。 [例题7] （2024秋•温州期末）如图所示，在xOy平面内，有一粒子源沿x正方向发射速率相等的带正电的粒子，形成宽为R且关于x轴对称的粒子流。粒子流沿x方向射入一个半径为R、中心位于原点O的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直xOy平面向里。已知沿x轴入射的粒子经磁场偏转后从P点射出。若粒子在磁场中运动的最短时间为t，则粒子在磁场中运动的最长时间为（　　） A．t B．2t C．3t D．4t 【解答】解：已知沿x轴入射的粒子经磁场偏转后从P点射出，则粒子运动的半径为R，则所有粒子都从P点射出，如图 圆弧轨迹对应最小圆心角为60°，最大圆心角为120°，则 tT t'T 解得t'＝2t 故B正确，ACD错误。 故选：B。 [例题8] 真空中，某矩形CMQD（除去半圆）区域存在匀强磁场B，如图所示，O、A为上下边中点，以O为圆心、半径R＝4cm的半圆区域没有磁场。已知磁场B＝0.5T，方向垂直于纸面向外。OA＝16cm，CD＝32cm，与MN等长的线状粒子源不断放出大量速度为v＝1.6×106m/s的同种正电粒子，垂直MN进入磁场区域，最后打在沿OQ放置的照相底片上，经检验底片上仅有PQ区域被粒子打到。不考虑粒子间的相互作用，不计粒子重力。 （1）求粒子的比荷（即）； （2）若照相底片沿OA放置，求底片上被打到的区域长度； （3）若将线状粒子源换成点粒子源，使粒子从M点垂直进入磁场，若粒子的速度大小和方向可以任意改变，但要求粒子以最短时间打到Q点，求粒子进入时的速度大小和方向。 【解答】解：（1）从M点发出的粒子打在P点，由几何关系知粒子轨迹半径r＝10cm＝0.1m 洛伦兹力提供向心力可得： 代入数据解得： （2）分别从M、N两点发出的粒子轨迹相交于E点，E点恰好在OA上，如图所示由几何关系可得 OE0.08m 从MN中点发出的粒子轨迹与OA相交于F点，则OF＝r＝0.1m 所以，若照相底片沿OA放置，底片上被打到的区域为EF，长度为EF＝OF﹣OE＝0.02m＝2cm （3）轨迹所对圆心角越小，所用时间越短；轨迹如图所示时，粒子以最短时间从Q点离开磁场 设粒子速度为v1，轨迹半径为r1，则满足 解得r1＝0.34m， 由向心力公式可得 代入解得：，速度方向与MN的夹角α满足： cosα（或sinα、tanα ） 所以速度方向与MN的夹角为arccos。 答：（1）粒子的比荷（即）为3.2×107C/kg； （2）若照相底片沿OA放置，则底片上被打到的区域长度为2cm； （3）若将线状粒子源换成点粒子源，使粒子从M点垂直进入磁场，若粒子的速度大小和方向可以任意改变，但要求粒子以最短时间打到Q点，则粒子进入时的速度大小为5.44×106m/s、向与MN的夹角为arccos。 [练习1] （2025•景德镇一模）如图所示，abcd为纸面内矩形的四个顶点，矩形区域内（含边界）处于垂直纸面向外的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，ad＝L，。一质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子，从a点沿ab方向运动，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．粒子能通过cd边的最短时间 B．若粒子恰好从d点射出磁场，粒子速度 C．若粒子恰好从c点射出磁场，粒子速度 D．若粒子只能从ad边界射出磁场，则粒子的入射速度 【解答】解：AC、粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，粒子恰好从c点射出磁场时，粒子在磁场中运动的时间最短，画出其运动轨迹如图所示。 根据几何关系有 解得轨迹半径为 r2＝2L 则粒子转过的圆心角为 即 θ＝60° 粒子在磁场中运动的周期为 则粒子能通过cd边的最短时间为 tT 由洛伦兹力提供向心力得 解得粒子速度为 ，故A错误，C正确； B、若粒子恰好从d点射出磁场，由几何关系可知其轨迹半径为 根据，解得粒子速度为，故B错误； D、若粒子从d点射出磁场，粒子运动轨迹为半圆，从d点出射时半径最大，对应的入射速度最大，则最大速度为，故若粒子只能从ad边界射出磁场，则粒子的入射速度，故D错误。 故选：C。 [练习2] （2025•合肥开学）如图所示，竖直平面内半径为R的圆形区域内有一垂直于圆面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，P、Q为圆形区域竖直直径的两个端点，M、N为圆形区域水平直径的两个端点。质量均为m、电荷量均为q的大量带正电的粒子，以相同的速率从P点向圆面内的各个方向射入磁场区域。粒子的重力和粒子间的相互作用力均不计，则下列说法正确的是（　　） A．若粒子射入磁场的速率为，则粒子均沿竖直方向射出磁场 B．若粒子射入磁场的速率为，则粒子最远可以从M点射出磁场 C．若粒子射入磁场的速率为，则粒子在磁场中运动的时间可能为 D．若粒子射入磁场的速率为，则不可能有粒子从N点射出磁场 【解答】解：A、若粒子射入磁场的速率为v1，由洛伦兹力提供向心力有：qv1B＝m 解得粒子运动的轨迹半径为：r1＝R 根据左手定则结合“磁发散”可知，则粒子均沿水平方向向左射出磁场，故A错误； B、若粒子射入磁场的速率为v2，由洛伦兹力提供向心力有：qv2B＝m 解得粒子运动的轨迹半径为：r2R 粒子在磁场中做匀速圆周运动的直径：d＝2r2R，则粒子最远可以从M点射出磁场，故B正确； CD、若粒子射入磁场的速率为v3，由洛伦兹力提供向心力有：qv3B＝m 解得粒子运动的轨迹半径为：r3＝3R 粒子在磁场中运动时间最长时，运动轨迹对应的弦最长，最长的弦为圆的直径，如图所示： 根据几何关系可得：sinθ，所以θ＜30° 粒子在磁场中运动的最长时间：t 则粒子在磁场中运动的时间小于； 根据“旋转圆”的知识可知，可能有粒子从N点射出磁场，故CD错误。 故选：B。 [练习3] （2024秋•石家庄期末）如图所示，在一直线边界上方存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。直线边界上有一粒子源位于O点，零时刻粒子源同时向纸面内沿两个不同的方向发射速度大小均为v、质量均为m、电荷量均为q的粒子，且两个粒子先后经过该边界上另外一点P，P点到O点的距离为。若不计粒子重力和粒子间的相互作用，则这两个粒子到达P点的时间差为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由 得 可知，半径相同，根据题意可知 根据几何关系可知，两粒子入射与边界OP方向夹角分别为60°和120°根据题意可知，出射方向速度与边界OP方向夹角60°和120°，如图 两粒子运动周期 两个粒子在磁场中运动所对应的圆心角分别为240°和120°，两个粒子到达P点的时间差为 故ABD错误，C正确。 故选：C。 [练习4] （2024秋•唐山期末）空间存在垂直纸面向外的匀强磁场（未画出），A、B、C、D、E为磁场中的五个点，AB＝DE，C为BD中点，AB平行于DE，如图所示。一束带正电的同种粒子垂直AB由A点沿纸面向上射入磁场，各粒子速度大小不同，经过一段时间后第一次到达虚线位置。用tB、tC、tD、tE分别表示第一次到达B、C、D、E四点的粒子所经历的时间，下列说法正确的是（　　） A．tB＞tC＞tD＞tE B．tB＞tC＝tE＞tD C．tB＞tC＞tE＝tD D．tB＝tE＞tC＞tD 【解答】解：带电粒子垂直进入匀强磁场后做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，即 则 运动周期 可见粒子的运动周期与速度无关。 画出粒子通过B、C、D、E各点的轨迹如图所示。 由几何关系可知，从A到B，粒子运动轨迹对应的圆心角为180°；连接ACE、AD，从A到B的弦切角最大，从A到C和A到E的弦切角相等，A到D的弦切角最小，则从A到C和A到E，粒子运动轨迹对应的圆心角小于180°，且相等；A到D，粒子运动轨迹对应的圆心角最小，粒子从A点沿纸面向上射入磁场，运动轨迹对应的圆心角越大，运动时间越长，所以tB＞tC＝tE＞tD，故ACD错误，B正确。 故选：B。 [练习5] （2025•高新区校级模拟）一匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里，其下边界如图中虚线所示，P、M、N、Q四点共线，∠MON为直角，OM＝ON＝MP＝d。一束质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子，在纸面内从P点以不同的速率垂直于PM射入磁场，不计粒子重力及粒子间的相互作用。则粒子在磁场中运动时间最长时的速率是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：粒子在磁场中运动时间最长时轨迹对应的圆心角最大，则粒子从O点射出时运动时间最长，如图所示： 根据几何关系可得圆心在M点，轨迹半径为：R＝PM＝MO＝d 根据洛伦兹力提供向心力可得：qvB＝m 解得：v，故C正确、ABD错误。 故选：C。 [练习6] （2024秋•新吴区校级期末）如图所示，在x轴上方（含x轴）存在垂直xOy平面向外的匀强磁场，在x轴上距离原点x0处垂直于x轴放置一个长度也为x0、厚度不计的薄板PQ，粒子打在板上即被吸收。坐标原点O处有一粒子源，可垂直于磁场向磁场内各个方向均匀发射速率相同的同种粒子，粒子速度大小为v、质量为m、带电量为+q。现观察到沿y轴正方向射入磁场的粒子垂直打在薄板的上端Q，不计带电粒子的重力和粒子间的相互作用力，不考虑薄板吸收粒子后产生的电场，则下列说法正确的有（　　） A．磁场的磁感应强度大小为 B．打在薄板左侧的粒子数占发射总粒子数的 C．打在薄板右侧的粒子数占发射总粒子数的 D．打在薄板上的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间的比值为5：1 【解答】解：A.由题意，“沿y轴正方向射入磁场的粒子垂直打在薄板的上端Q”，可得粒子运动的半径 R＝x0 由洛伦兹力提供向心力，得 qvB＝m 解得 B 故A错误； BC.沿y轴正方向射出的粒子恰能达到挡板的最上端；由图1可知与：轴正方向夹角为30°的粒子能达到挡板左侧最低点，则能打到挡板左侧的粒子的速度范围为60°范围，占总粒子数的 同理与轴正方向夹角为150°的粒子能达到挡板右侧最低点（如图2所示），沿x轴负方向射出的粒子能达到挡板的最高点，则能打到挡板右侧的粒子的速度范围为30°范围，则打在薄板右侧的粒子数占发射总粒子数的 故BC错误； D.与x轴正方向夹角为30°的粒子能达到挡板左侧最低点的粒子运动时间最短，此粒子在磁场中转过的角度为60°；与x轴正方向夹角为150°的粒子达到挡板右侧最低点的粒子运动时间最长，此粒子在磁场中转过的角度为300°，根据 tT 可知打在薄板上的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间的比值为300°：60° ＝5：1，故D正确。 故选：D。 [练习7] （2024秋•东湖区校级期末）如图所示，在直角坐标系xOy的第一象限内存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，在y轴上S处有一粒子源，它可向右侧纸面内各个方向射出速率相等、质量均为m、电荷量均为q的同种带负电粒子，所有粒子射出磁场时离S最远的位置是x轴上的P点。已知d，d，粒子重力及粒子间的相互作用均不计，则（　　） A．粒子的速度大小为 B．从O点射出的粒子在磁场中运动的时间为 C．从x轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最短时间与最长时间之比为2：9 D．从x轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最短时间与最长时间之比为2：7 【解答】解：A.粒子射出磁场时离S最远的位置是x轴上的P点，即轨道直径落在x轴上时，如图所示 由几何关系知 解得 R＝d 根据牛顿第二定律，洛伦兹力提供向心力，有 联立解得 故A错误； B.粒子运动的周期 从O点射出的粒子其轨迹为轨迹3，由几何关系可知 解得 θ＝60° 即轨迹所对的圆心角为60°，粒子在磁场中运动的时间 故B错误； CD.运动时间最长的粒子为运动轨迹与x轴相切的粒子，其轨迹为轨迹2，对应的圆心角为270°，则运动的最长时间 运动时间最短的粒子为从原点飞出的粒子，其轨迹为轨迹3，对应的圆心角为60°，则运动的最短时间 所以 t1：t2＝9：2 故C正确，D错误。 故选：C。 [练习8] （多选）（2025•西安校级模拟）如图所示，O点是一个粒子源，能在平面内沿看各个方同均匀、持续地发射电荷量为q、质量为m、速度大小恒定的带正电粒子。半圆形区域内以及水平线MON以下存在垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场。半圆形区域半径为R，圆心为O，粒子从边界射出磁场的最远位置为P点，O、P之间的距离为2R，则（　　） A．有三分之二的带电粒子射出磁场 B．从圆弧边界射出磁场的粒子在磁场中运动的时间为 C．粒子源发射粒子的速度大小为 D．从P点射出磁场的粒子在磁场中运动时间为 【解答】解：C、由粒子从边界射出磁场的最远位置为P，可知OP长度为粒子圆周运动的直径，故r＝R，由洛伦兹力提供向心力可知：，得，故C正确； D、由C选项分析可知，从P射出磁场的粒子，在磁场中运动的时间满足：，而周期：，联立解得：，故D错误 B、由几何关系可知，从圆弧边界射出磁场的粒子，在磁场中运动的弦长都是R，由几何关系可知，其时间为：，而周期：，联立解得：，故B正确； A、由几何关系可知，不能从磁场出去的粒子的临界情况如下图所示： 由圆形特点可知：α＝β＝30°，故从O点发射的粒子中，能出去的比例为：，故A错误。 故选：BC。 [练习9] （多选）（2024秋•梅河口市校级期末）如图所示，匀强磁场中位于P处的粒子源可以垂直于磁场向纸面内的各个方向发射质量为m、电荷量为q、速率为v的带正电粒子，P到荧光屏MN的距离为d。设荧光屏足够大，不计粒子重力及粒子间的相互作用。下列判断正确的是（　　） A．若磁感应强度B，则发射出的粒子到达荧光屏的最短时间为 B．若磁感应强度B，则同一时刻发射出的粒子到达荧光屏的最大时间差为 C．若磁感应强度B，则荧光屏上形成的亮线长度为（1）d D．若磁感应强度B，则荧光屏上形成的亮线长度为（）d 【解答】解：AB．若磁感应强度 B 则粒子做圆周运动的半径为 r，解得r＝d 粒子运动的周期 T 如图甲所示，到达荧光屏的粒子运动时间最长的是发射速度垂直且背离MN运动的粒子，其运动时间为 t1T 运动时间最短的是以d为弦长的粒子，运动时间为 t2T，解得t2 所以同一时刻发射出的粒子到达荧光屏的最大时间差为Δt＝t1﹣t2，解得Δt 故A错误，B正确； CD．若磁感应强度 B 则粒子做圆周运动的半径为 R＝2d 如图乙所示，到达荧光屏最下端的粒子的轨迹是与MN相切的，设荧光屏上的亮线在粒子源下方的部分长度为x1，根据几何关系有（R﹣d）2＝R2 解得 x1d 到达荧光屏最上端的粒子与屏的交点和P点连线为轨迹的直径，设荧光屏上的亮线在粒子源上方的部分长度为x2，根据几何关系，有 （2R）2d2 解得 x2d 所以亮线的总长度为（）d，故C错误，D正确。 故选：BD。 [练习10] （多选）（2024秋•肥东县月考）如图所示，在竖直平面xOy内有一半径为l的圆形磁场区域，其圆心O1坐标为（0，l），磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外，第二象限竖直放置一高度为l的粒子源，粒子源中心与O1的连线垂直于y轴，它能连续不断地在xOy平面内沿x轴正方向发射速度相同的粒子，粒子经过圆形磁场区域后均从坐标原点O射出。已知粒子的比荷为k，不计粒子的重力和粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．粒子从粒子源射出时的速度大小为kBl B．粒子从粒子源射出时的速度大小为2kBl C．从粒子源上端射出的粒子在磁场中运动的时间为 D．从粒子源上端射出的粒子在磁场中运动的时间为 【解答】解：AB、由于所有粒子均从O点射出，根据磁聚焦的原理可知，所以粒子的轨迹半径： 速度大小：，故A正确，B错误； CD、根据题设条件，由几何关系可知，从粒子源上端射出的粒子轨迹对应的圆心角等于120°，所以粒子在磁场中的运动时间：，故C错误，D正确。 故选：AD。 [练习11] （2024秋•西湖区校级期中）如图所示，平面直角坐标系xOy内有一个半径为R的圆形区域Ⅰ，圆心坐标为O′（3R，R），圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B0，在y轴上0.5R≤y≤1.8R的范围内有一个线状的粒子源，能够沿x轴正方向发射速度为v0的某种正粒子，已知所有粒子均从圆形磁场边缘的同一点射出，然后进入第四象限所在区域为y≤﹣R的足够大的匀强磁场区域Ⅱ中，匀强磁场区域Ⅱ的磁感应强度大小为2B0。不计粒子重力和粒子间的相互作用力（sin37°＝0.6；cos37°＝0.80），求： （1）粒子的比荷； （2）匀强磁场区域Ⅱ的上边界有粒子射出的区域长度； （3）圆形磁场区域Ⅰ有粒子经过的面积。 【解答】解：（1）若所有粒子从圆形磁场区域I的同一点射出，则此点为（3R，0），且粒子圆周运动的半径：r1＝R 由洛伦兹力提供向心力有： 代入数据得： （2）画出粒子的运动轨迹如图所示， 可知y＝0.5R处射出的粒子进入磁场时与匀强磁场区域Ⅱ边界的夹角为60°，y＝1.8R处射出的粒子进入磁场时与匀强磁场区域Ⅱ边界的夹角为37°。 由几何关系可得：DF＝Rtan53°+Rtan30° 对从D点射入磁场区域Ⅱ的粒子分析可得：DE＝2r2sin37° 对从F点射入磁场区域Ⅱ的粒子分析：FG＝2r2sin60° 粒子在磁场区域Ⅱ的运动半径： 粒子从匀强磁场Ⅱ上边界有粒子射出的区域长度：EG＝DF﹣DE+FG 代入数据得到： （3）根据几何关系可知：∠AO1C＝143°，∠BO2C＝60° 有圆形磁场有粒子经过的区域的面积： 解得： [练习12] （2023秋•北辰区校级月考）如图，长、宽、间距均为l的正对平行板电容器水平放置，两极板间加上0～U连续变化的电压。在电容器两极板左侧连线中点处有一长为l的线状粒子源。粒子源能连续不断地沿极板中心平面水平向右向整个电容器射入质量为m、电量为+q初速度相同带电粒子。在与电容器极板右边缘相距l处有一与极板垂直的足够大光屏。当平行板电容器两极板间电压为时，粒子均与水平成θ＝30°击中光屏。每个粒子通过电容器的时间都远小于电压变化的时间，两极板间电场可视为有理想边界的匀强电场，不计粒子重力。求： （1）粒子的初速度v0； （2）电容器两极板间电压时，粒子从射出到击中光屏时间t； （3）粒子打在光屏上的区域面积。 【解答】解：（1）由题意知，当平行板电容器两极板间电压为时，粒子均与水平成θ＝30°击中光屏。 对该粒子，水平方向有：l＝v0t 竖直方向加速度： 竖直速度： 而打在荧光屏角度关系得： 联立解得： （2）电容器两极板间电压时，粒子一定能射出电场，故在水平方向上匀速运动： 2l＝v0t 代入数据得： （3）当电压为0时，粒子匀速直线打在荧光屏上。 假设两极板电压为U3时粒子恰好掠过极板右边缘，由类平抛运动规律，射出电场速度方向的反向延长线过水平位移的中点，如下图所示 由几何关系得：vy′ 同理可得：vy′＝at 联立解得：U3 可知U＞U3时粒子会打在极板上，由相似三角形得： 解得打在荧光屏上区域高度为：y1＝1.5l 粒子打在光屏上的区域面积：S＝l•y1＝1.5l2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 易错点03 带电粒子在磁场中的动态圆模型 一、易错点分析 1、圆心位置判断易错 忽视速度方向影响：带电粒子在磁场中运动时，速度方向时刻改变，动态圆的圆心位置也随之变化。学生常忽略速度方向变化对圆心位置的影响，如粒子做匀速圆周运动时，若速度方向突变，圆心位置会发生相应改变，没意识到这点就会导致圆心位置判断错误，进而影响轨迹分析。 无法确定圆心移动规律：在一些复杂情境下，粒子运动过程中圆心并非固定不动，而是按特定规律移动，如在随时间变化的磁场中，圆心位置可能随时间线性变化。学生难以找出圆心移动规律，在确定粒子后续运动轨迹时就会出错。 2、轨迹覆盖范围分析易错 遗漏特殊情况：分析动态圆轨迹覆盖范围时，存在一些特殊情况，如粒子轨迹与磁场边界相切、相交等，这些情况决定了轨迹覆盖的边界。 不能准确确定边界点：要确定轨迹覆盖范围，需准确找到轨迹与磁场边界的交点等边界点。 二、模型构建 此类模型较为复杂，常见的磁场边界有单直线边界、双直线边界、矩形边界和圆形边界等。因为是有界磁场，则带电粒子运动的完整圆周往往会被破坏，可能存在最大、最小面积，最长、最短时间等问题。 三、模型条件 (1)在匀强磁场中做匀速圆周运动。(2)磁场有一定范围。 四、模型分类 (一)动态放缩法 适用条件 速度方向一定、大小不同 粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径与粒子速度大小有关 轨迹圆圆心共线 如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上 界定方法 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法 带电粒子在矩形有界匀强磁场中运动的临界问题 带电粒子在矩形有界匀强磁场中运动的特点： (1)若粒子射入的初速度方向和矩形磁场某边界垂直，如图甲所示。 ①当粒子速度较小时，粒子将在磁场中做半个圆周运动后从原边界射出磁场区域； ②当粒子速度在某一范围内时，粒子将在磁场中做部分圆周运动后从侧面边界飞出磁场； ③当粒子速度较大时，粒子将在磁场中做部分圆周运动后从对面边界飞出磁场。 (2)若粒子射入的初速度方向和矩形磁场某边界成一夹角，如图乙所示。 ①当粒子速度较小时，粒子将在磁场中做部分圆周运动后从原边界飞出磁场； ②当粒子速度在某一范围内时，粒子将在磁场中做部分圆周运动后从上侧面边界飞出磁场； ③当粒子速度较大时，粒子将在磁场中做部分圆周运动后从右侧面边界飞出磁场； ④当粒子速度更大时，粒子将在磁场中做部分圆周运动后从下侧面边界飞出磁场。 综合以上分析可知，求解带电粒子在矩形有界匀强磁场区域运动的时间范围、速度范围等的问题时，寻找“相切或相交”的临界点是解决问题的关键；另外可知在磁场边界上还有粒子不能达到的区域即“盲区”。 (二)定圆旋转法 适用条件 速度大小一定，方向不同 粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度大小为v0，则圆周运动半径为r＝，如图所示 轨迹圆圆心共圆 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点O为圆心、半径r＝的圆上 界定方法 将半径为r＝的轨迹圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法 (1)解决带电粒子在有界磁场中运动的临界问题，关键在于运用动态思维，寻找临界点，确定临界状态，根据粒子的速度方向，找出半径方向，同时由磁场边界和题设条件画好轨迹，定好圆心，建立几何关系。粒子射出或不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切。 (2)要重视分析时的尺规作图，规范而准确的作图可突出几何关系，使抽象的物理问题更形象、直观。 (三)平移圆法 适用条件 速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上 粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的带电粒子，它们进入匀强磁场时，做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则运动半径r＝，如图所示 轨迹圆圆心共线 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线 界定方法 将半径为r＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法 题型一：动态放缩圆 [例题1] （2025•甘肃模拟）圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，带电粒子a、b从圆周上的M点沿直径MON方向以相同的速度射入磁场，粒子a、b的运动轨迹如图所示。已知粒子a离开磁场时速度方向偏转了90°，粒子b离开磁场时速度方向偏转了60°，不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．粒子a、b都带负电 B．粒子a、b的比荷之比为 C．粒子a、b在磁场中运动的时间之比为3：2 D．粒子a、b在磁场中运动轨迹的半径之比为1：3 [例题2] （2025•嘉祥县校级开学）如图所示，两个速度大小不同的同种带电粒子1、2，沿水平方向从同一点垂直射入匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里。当它们从磁场下边界飞出时相对入射方向的偏转角分别为90°，60°，则它们在磁场中运动的（　　） A．轨迹半径之比为2：1 B．速度之比为1：2 C．周期之比为2：1 D．时间之比为2：3 [例题3] （2024秋•金凤区校级期末）如图所示，圆心为O、半径为R的半圆形区域内有一垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。M、N点在圆周上且MON为其竖直直径。现将两个比荷k相同的带电粒子P、Q分别从M点沿MN方向射入匀强磁场，粒子P的入射速度为v1＝v，粒子Q的入射速度为v2，已知P粒子在磁场中的运动轨迹恰为圆弧，不计粒子的重力，不计粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．粒子P带正电，粒子Q带负电 B．粒子P的周期小于粒子Q的周期 C．粒子Q的轨道半径为 D．粒子P和粒子Q在磁场中的运动时间之比为 题型二：旋转圆 [例题4] （2025•安徽模拟）如图所示，在荧光屏MN上方分布着水平方向的匀强磁场，方向垂直纸面向里。距离荧光屏d处有一粒子源S，能够在纸面内不断地向各个方向同时发射电荷量为q，质量为m，速率为v的带正电粒子，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，已知粒子做圆周运动的半径为d，则（　　） A．粒子能打到屏上的区域长度为2 B．能打到屏上最左侧的粒子所用的时间为 C．粒子从发射到打到屏上的最长时间为 D．同一时刻发射的粒子打到屏上的最大时间差 [例题5] （2025•沙坪坝区校级开学）如图所示，在直角△MON区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场（未画出），磁感应强度大小为B，O点处的粒子源可向纸面内磁场区域各个方向发射带电粒子，已知带电粒子的质量为m，电荷量为+q，速率均为v，ON长为d，且∠ONM＝30°，忽略粒子的重力及相互间的作用力。下列说法正确的是（　　） A．自MN边射出的粒子在磁场中运动的最短时间为 B．自MN边射出的粒子在磁场中运动的最长时间为 C．MN边上有粒子到达区域的长度为d D．ON边上有粒子到达区域的长度为d 题型三：平移圆 [例题6] 如图所示，一线状粒子源垂直于磁场边界不断地发射速度相同的同种离子，不考虑离子间的相互作用，则离子经过磁场的区域（阴影部分）可能的是（　　） A． B． C． D． [例题7] （2024秋•温州期末）如图所示，在xOy平面内，有一粒子源沿x正方向发射速率相等的带正电的粒子，形成宽为R且关于x轴对称的粒子流。粒子流沿x方向射入一个半径为R、中心位于原点O的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直xOy平面向里。已知沿x轴入射的粒子经磁场偏转后从P点射出。若粒子在磁场中运动的最短时间为t，则粒子在磁场中运动的最长时间为（　　） A．t B．2t C．3t D．4t [例题8] 真空中，某矩形CMQD（除去半圆）区域存在匀强磁场B，如图所示，O、A为上下边中点，以O为圆心、半径R＝4cm的半圆区域没有磁场。已知磁场B＝0.5T，方向垂直于纸面向外。OA＝16cm，CD＝32cm，与MN等长的线状粒子源不断放出大量速度为v＝1.6×106m/s的同种正电粒子，垂直MN进入磁场区域，最后打在沿OQ放置的照相底片上，经检验底片上仅有PQ区域被粒子打到。不考虑粒子间的相互作用，不计粒子重力。 （1）求粒子的比荷（即）； （2）若照相底片沿OA放置，求底片上被打到的区域长度； （3）若将线状粒子源换成点粒子源，使粒子从M点垂直进入磁场，若粒子的速度大小和方向可以任意改变，但要求粒子以最短时间打到Q点，求粒子进入时的速度大小和方向。 [练习1] （2025•景德镇一模）如图所示，abcd为纸面内矩形的四个顶点，矩形区域内（含边界）处于垂直纸面向外的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，ad＝L，。一质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子，从a点沿ab方向运动，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．粒子能通过cd边的最短时间 B．若粒子恰好从d点射出磁场，粒子速度 C．若粒子恰好从c点射出磁场，粒子速度 D．若粒子只能从ad边界射出磁场，则粒子的入射速度 [练习2] （2025•合肥开学）如图所示，竖直平面内半径为R的圆形区域内有一垂直于圆面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，P、Q为圆形区域竖直直径的两个端点，M、N为圆形区域水平直径的两个端点。质量均为m、电荷量均为q的大量带正电的粒子，以相同的速率从P点向圆面内的各个方向射入磁场区域。粒子的重力和粒子间的相互作用力均不计，则下列说法正确的是（　　） A．若粒子射入磁场的速率为，则粒子均沿竖直方向射出磁场 B．若粒子射入磁场的速率为，则粒子最远可以从M点射出磁场 C．若粒子射入磁场的速率为，则粒子在磁场中运动的时间可能为 D．若粒子射入磁场的速率为，则不可能有粒子从N点射出磁场 [练习3] （2024秋•石家庄期末）如图所示，在一直线边界上方存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。直线边界上有一粒子源位于O点，零时刻粒子源同时向纸面内沿两个不同的方向发射速度大小均为v、质量均为m、电荷量均为q的粒子，且两个粒子先后经过该边界上另外一点P，P点到O点的距离为。若不计粒子重力和粒子间的相互作用，则这两个粒子到达P点的时间差为（　　） A． B． C． D． [练习4] （2024秋•唐山期末）空间存在垂直纸面向外的匀强磁场（未画出），A、B、C、D、E为磁场中的五个点，AB＝DE，C为BD中点，AB平行于DE，如图所示。一束带正电的同种粒子垂直AB由A点沿纸面向上射入磁场，各粒子速度大小不同，经过一段时间后第一次到达虚线位置。用tB、tC、tD、tE分别表示第一次到达B、C、D、E四点的粒子所经历的时间，下列说法正确的是（　　） A．tB＞tC＞tD＞tE B．tB＞tC＝tE＞tD C．tB＞tC＞tE＝tD D．tB＝tE＞tC＞tD [练习5] （2025•高新区校级模拟）一匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里，其下边界如图中虚线所示，P、M、N、Q四点共线，∠MON为直角，OM＝ON＝MP＝d。一束质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子，在纸面内从P点以不同的速率垂直于PM射入磁场，不计粒子重力及粒子间的相互作用。则粒子在磁场中运动时间最长时的速率是（　　） A． B． C． D． [练习6] （2024秋•新吴区校级期末）如图所示，在x轴上方（含x轴）存在垂直xOy平面向外的匀强磁场，在x轴上距离原点x0处垂直于x轴放置一个长度也为x0、厚度不计的薄板PQ，粒子打在板上即被吸收。坐标原点O处有一粒子源，可垂直于磁场向磁场内各个方向均匀发射速率相同的同种粒子，粒子速度大小为v、质量为m、带电量为+q。现观察到沿y轴正方向射入磁场的粒子垂直打在薄板的上端Q，不计带电粒子的重力和粒子间的相互作用力，不考虑薄板吸收粒子后产生的电场，则下列说法正确的有（　　） A．磁场的磁感应强度大小为 B．打在薄板左侧的粒子数占发射总粒子数的 C．打在薄板右侧的粒子数占发射总粒子数的 D．打在薄板上的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间的比值为5：1 [练习7] （2024秋•东湖区校级期末）如图所示，在直角坐标系xOy的第一象限内存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，在y轴上S处有一粒子源，它可向右侧纸面内各个方向射出速率相等、质量均为m、电荷量均为q的同种带负电粒子，所有粒子射出磁场时离S最远的位置是x轴上的P点。已知d，d，粒子重力及粒子间的相互作用均不计，则（　　） A．粒子的速度大小为 B．从O点射出的粒子在磁场中运动的时间为 C．从x轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最短时间与最长时间之比为2：9 D．从x轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最短时间与最长时间之比为2：7 [练习8] （多选）（2025•西安校级模拟）如图所示，O点是一个粒子源，能在平面内沿看各个方同均匀、持续地发射电荷量为q、质量为m、速度大小恒定的带正电粒子。半圆形区域内以及水平线MON以下存在垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场。半圆形区域半径为R，圆心为O，粒子从边界射出磁场的最远位置为P点，O、P之间的距离为2R，则（　　） A．有三分之二的带电粒子射出磁场 B．从圆弧边界射出磁场的粒子在磁场中运动的时间为 C．粒子源发射粒子的速度大小为 D．从P点射出磁场的粒子在磁场中运动时间为 [练习9] （多选）（2024秋•梅河口市校级期末）如图所示，匀强磁场中位于P处的粒子源可以垂直于磁场向纸面内的各个方向发射质量为m、电荷量为q、速率为v的带正电粒子，P到荧光屏MN的距离为d。设荧光屏足够大，不计粒子重力及粒子间的相互作用。下列判断正确的是（　　） A．若磁感应强度B，则发射出的粒子到达荧光屏的最短时间为 B．若磁感应强度B，则同一时刻发射出的粒子到达荧光屏的最大时间差为 C．若磁感应强度B，则荧光屏上形成的亮线长度为（1）d D．若磁感应强度B，则荧光屏上形成的亮线长度为（）d [练习10] （多选）（2024秋•肥东县月考）如图所示，在竖直平面xOy内有一半径为l的圆形磁场区域，其圆心O1坐标为（0，l），磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外，第二象限竖直放置一高度为l的粒子源，粒子源中心与O1的连线垂直于y轴，它能连续不断地在xOy平面内沿x轴正方向发射速度相同的粒子，粒子经过圆形磁场区域后均从坐标原点O射出。已知粒子的比荷为k，不计粒子的重力和粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．粒子从粒子源射出时的速度大小为kBl B．粒子从粒子源射出时的速度大小为2kBl C．从粒子源上端射出的粒子在磁场中运动的时间为 D．从粒子源上端射出的粒子在磁场中运动的时间为 [练习11] （2024秋•西湖区校级期中）如图所示，平面直角坐标系xOy内有一个半径为R的圆形区域Ⅰ，圆心坐标为O′（3R，R），圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B0，在y轴上0.5R≤y≤1.8R的范围内有一个线状的粒子源，能够沿x轴正方向发射速度为v0的某种正粒子，已知所有粒子均从圆形磁场边缘的同一点射出，然后进入第四象限所在区域为y≤﹣R的足够大的匀强磁场区域Ⅱ中，匀强磁场区域Ⅱ的磁感应强度大小为2B0。不计粒子重力和粒子间的相互作用力（sin37°＝0.6；cos37°＝0.80），求： （1）粒子的比荷； （2）匀强磁场区域Ⅱ的上边界有粒子射出的区域长度； （3）圆形磁场区域Ⅰ有粒子经过的面积。 [练习12] （2023秋•北辰区校级月考）如图，长、宽、间距均为l的正对平行板电容器水平放置，两极板间加上0～U连续变化的电压。在电容器两极板左侧连线中点处有一长为l的线状粒子源。粒子源能连续不断地沿极板中心平面水平向右向整个电容器射入质量为m、电量为+q初速度相同带电粒子。在与电容器极板右边缘相距l处有一与极板垂直的足够大光屏。当平行板电容器两极板间电压为时，粒子均与水平成θ＝30°击中光屏。每个粒子通过电容器的时间都远小于电压变化的时间，两极板间电场可视为有理想边界的匀强电场，不计粒子重力。求： （1）粒子的初速度v0； （2）电容器两极板间电压时，粒子从射出到击中光屏时间t； （3）粒子打在光屏上的区域面积。 学科网（北京）股份有限公司 $$