2025年中考数学复习：反比例函数

2025年中考数学复习：反比例函数 一、单选题 1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 2．若函数是反比例函数，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 3．如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数 的图象上，AB⊥x轴于点M，且AM：MB=1：2，则k的值为（ ） A．3 B．－6 C．2 D．6 4．某项工作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个人完成需12天．若m个人共同完成需n天，选取6组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知动点A，B分别在x轴，y轴正半轴上，动点P在反比例函数（x＞0）图象上，PA⊥x轴，△PAB是以PA为底边的等腰三角形．当点A的横坐标逐渐增大时，△PAB的面积将会（　　） A．越来越小 B．越来越大 C．不变 D．先变大后变小 6．如图，在平面直角坐标系中，点B在y轴上，点C在反比例函数y=﹣的图象上，则菱形OABC的面积为（　　） A．12 B．9 C．6 D．3 7．为预防新冠病毒，某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中含药量与时间成正比例；药物释放完毕后，与成反比例，如图所示．根据图象信息，下列选项错误的是（    ） A．药物释放过程需要小时 B．药物释放过程中，与的函数表达式是 C．空气中含药量大于等于的时间为 D．若当空气中含药量降低到以下时对身体无害，那么从消毒开始，至少需要经过4.5小时学生才能进入教室 8．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，若点的坐标为，则宽为，长为的矩形的面积、周长分别为（    ） A．4，6 B．4，12 C．8，6 D．8，12 二、填空题 9．如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）图像上的任意一点，过点A作垂直x轴交反比例函数y＝（x＞0）的图像于点B，连接AO，BO，若ΔABO的面积为1.5，则k的值为 10．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过A（2，4），B两点，∠AOB＝45°，则点B的坐标为 ． 11．在平面直角坐标系中，点在双曲线上．点关于轴的对称点在双曲线上，则的值为 . 12．如图，点M是线段AB的中点，点A在反比例函数上，点B在反比例函数上，若的面积为4，则 ． 13．已知反比例函数y=的图象与一次函数y=x﹣2的图象相交于点P（a，b），则﹣= ． 14．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为2．写出一个函数，使它的图象与正方形有公共点，这个函数的表达式为 ． 三、解答题 15．举出生活中变量具有反比例函数关系的实例（1～2例）． 16．已知反比例函数，求当，且时自变量x的取值范围． 17．已知反比例函数． (1)说出比例系数． (2)求当时函数的值． (3)求当时自变量x的值． 18．已知反比例函数图象的一支在第一象限，点，均在这个函数的图象上． (1)图象的另一支在第 象限；常数m的取值范围为 ； (2)直接写出a与b的大小关系； (3)若过点作轴于点，连接，若的面积为3，求此反比例函数的表达式； (4)在（3）的条件下，探究在平面内是否存在点D，使以点A，O，B，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 19．已知点是反比例函数图象上一动点，且，将代数式化简并求值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B B C C A D B 1．B 【分析】根据反比例函数的定义逐项分析即可． 【详解】A. y是x的一次函数，故不符合题意； B. y是x的反比例函数，故符合题意； C. y不是x的反比例函数，故不符合题意； D. y是的反比例函数，故不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数． 2．B 【分析】根据反比例函数的定义：，进行解题即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查反比例函数的定义．熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 3．B 【详解】如图，连接OA、OB． ∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，AB⊥x轴于点M， ∴S△AOM=，S△BOM=．∴S△AOM：S△BOM=：=3：|k|． ∵S△AOM：S△BOM=AM：MB=1：2，∴3：|k|=1：2．∴|k|=6． ∵反比例函数的图象在第四象限，∴k＜0．∴k=－6．故选B． 4．C 【分析】根据题意建立函数模型可得，即，符合反比例函数，根据反比例函数的图象进行判断即可求解． 【详解】解：依题意， ， ，且为整数． 故选C． 【点睛】本题考查了反比例数的应用，根据题意建立函数模型是解题的关键． 5．C 【分析】设点P（x，），作BC⊥PA可得BC=OA=x，根据S△PAB=PA•BC=••x=3可得答案． 【详解】如图，过点B作BC⊥PA于点C， 则BC=OA， 设点P（x，）， 则S△PAB=PA•BC==3， 当点A的横坐标逐渐增大时，△PAB的面积将会不变，始终等于3， 故选C． 6．A 【详解】连接AC交OB于D. ∵四边形OABC是菱形， ∴AC⊥OB. ∵点C在反比例函数y=﹣的图象上， ∴△COD的面积=×6=3， ∴菱形OABC的面积=4×△COD的面积=12. 故选A. 【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，一般的，从反比例函数（k为常数，k≠0）图像上任一点P，向x轴和y轴作垂线你，以点P的两个垂足及坐标原点为顶点的矩形面积等于常数 . 7．D 【分析】先求出反比例函数的解析式，再求出一次函数的解析式，结合图像，逐项判断即可 【详解】根据题意：设药物释放完毕后与的函数关系式为， 结合图像可知经过点（，） 与的函数关系式为 设药物释放过程中与的函数关系式为 结合图像当时药物释放完毕代入到中，则，故选项A正确， 设正比例函数为，将（，1）代入得：，解得，则正比例函数解析式为，故选项B正确， 当空气中含药量大于等于时，有，解得，结合图像，即，故选项C正确， 当空气中含药量降低到时，即，解得，故选项D错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了函数，不等式的实际应用，以及识图和理解能力，解题关键是利用图像的信息求出函数解析式． 8．B 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，观察题目，求的是矩形的面积和周长，首先表示出矩形的面积：，正好符合反比例函数的特点，因此根据点在反比例函数的图象上即可得解；然后求矩形的周长：，此时发现周长的表达式正好符合直线的解析式，根据点在直线的函数图象上即可得解． 【详解】解：点在与双曲线的图象上， ，， ，； 矩形的面积为：，矩形的周长为：； 故选：B． 9．-2 【分析】设AB交x轴于点C，然后根据反比例函数系数的几何意义求解即可． 【详解】解：设AB交x轴于点C，如图， 根据题意得：，， ∵ΔABO的面积为1.5， ∴， ∴， 解得：， ∵反比例函数y＝（x＞0）的图像位于第四象限， ∴， ∴． 故答案为：-2 【点睛】本题主要考查反比例函数系数的几何意义，理解反比例函数系数的几何意义是得出正确答案的关键． 10． 【分析】将OA绕O点顺时针旋转90°到OC，连接AB、CB，作AM⊥y轴于M，CN⊥x轴于N，通过证得△AOB≌△COB（SAS），得到AB=CB，证得△AOM≌△CON（AAS），求得C（4，-2），设B点的坐标为（m，），根据AB=BC，得到关于m的方程，解方程求得m的值，即可求得B的坐标． 【详解】解：将OA绕O点顺时针旋转90°到OC，连接AB、CB，作AM⊥y轴于M，CN⊥x轴于N， ∵点A的坐标为（2，4）， ∴AM=2，OM=4， ∵∠AOB=45°， ∴∠BOC=45°， 在△AOB和△COB中， ， ∴△AOB≌△COB（SAS）， ∴AB=CB， ∵∠AOM+∠AON=90°=∠CON+∠AON， ∴∠AOM=∠CON， 在△AOM和△CON中， ， ∴△AOM≌△CON（AAS）， ∴CN=AM=2，ON=OM=4， ∴C（4，-2）， 设B点的坐标为（m，）， ∵AB=CB， ∴ ， 解得m=或-（负值不合题意，舍去） 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形全等的判定和性质，作出辅助线根据全等三角形是解题的关键． 11．0. 【分析】由点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线上，可得k1=ab，由点A与点B关于x轴的对称，可得到点B的坐标，进而表示出k2，然后得出答案． 【详解】解：∵点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线上， ∴k1=ab； 又∵点A与点B关于x轴的对称， ∴B（a，-b） ∵点B在双曲线上， ∴k2=-ab； ∴k1+k2=ab+（-ab）=0； 故答案为0． 【点睛】考查反比例函数图象上的点坐标的特征，关于x轴对称的点的坐标的特征以及互为相反数的和为0的性质． 12．-2 【分析】过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，用设参数的方法求出梯形BCDA的面积，再根据S△AOB＝S梯形BCDA−S△BOC−S△AOD，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D， ∵点A在反比例函数上，点B在反比例函数上， ∴S△AOD＝，S△BOC＝ ， ∵BC⊥x轴，MO⊥x轴，AD⊥x轴， ∴BC∥MO∥AD， ∵点M是线段AB的中点， ∴CO＝OD， 设点A坐标为（a，），则B（−a，）， ∴S△AOB=S梯形BCDA−S△BOC−S△AOD 解得：， ∵函数经过第二象限， ∴ 故答案为：-2． 【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义及反比例函数图象上点的坐标特征，用设参数的方法求出梯形BCDA的面积是解决问题的关键． 13．﹣2 【分析】先把两个解析式联立成方程组，得出其交点坐标，再代入代数式即可． 【详解】解：因为反比例函数y=的图象与一次函数y=x-2的图象相交于点P（a，b）， 所以可得：， 解得：或， 把两个方程组的解代入代数式得：， 故答案为-2. 【点睛】此题考查反比例函数和一次函数的交点，关键是根据解析式列出方程组解答． 14．，（0＜k≤4）(答案不唯一） 【详解】试题分析：由图象可知过B点时图象与正方形只有一个公共点，此时k值最大 ∵正方形OABC的边长为2， ∴B点坐标为（2，2）， 当函数（k≠0）过B点时，k=2×2=4， ∴满足条件的一个反比例函数解析式为． 故答案为，（0＜k≤4）（答案不唯一） 考点：1、反比例函数；2、正方形 15．见解析（答案不唯一） 【分析】只要是生活中符合反比例函数关系的实例均可．本题是开放性习题，可以先列出一个反比例函数，再赋予它实际意义． 【详解】解:： 举例：要编织一块面积为2米2的矩形地毯，地毯的长x（米）与宽y（米）之间的函数关系式为（x＞0）． 例子：李明读初中一年级，他家离学校的距离为2000米，如果他上学步行速度为v米/分，从家里到学校的时间为t分钟，则v和t的函数表达式为，其中v＞0． 【点睛】】主要考查了反比例函数的应用．要充分理解反比例函数的意义，知道生活中一些常用的公式，如电流，压强，速度等，知道它们与其他各个量之间的关系． 16．或 【分析】首先画出反比例函数图像，进而利用函数图像得出x的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴反比例函数经过第二、四象限． 令，得． ∴反比例函数的图像如图所示． ∴当且时，自变量x的取值范围是或． 【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，解题的关键是正确画出函数图像． 17．(1)比例系数是 (2) (3) 【分析】（1）根据反比例函数的定义可进行求解； （2）把代入函数解析式进行求解即可； （3）把代入函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：由反比例函数可知比例系数为； （2）解：把代入得：； （3）解：把代入得：， 解得：． 【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 18．(1)三，； (2)； (3) (4)存在，或或． 【分析】（1）由反比例函数的性质可得答案； （2）由反比例函数的增减性可得答案； （3）根据反比例函数的几何意义列方程可得答案； （4）设，根据平行四边形对角线中点重合，分三种情况列方程组，分别解方程组即可得到的坐标． 【详解】（1）反比例函数图象的一支在第一象限， 图象的另一支在第三象限，， ， 故答案为：三，； （2）反比例函数在第一象限，随的增大而减小， ， ； （3）如图： 轴，的面积为3， ， 解得； ∴此反比例函数的表达式为； （4）存在点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 由（3）知， 把，代入得： ，， ，， 设，又， ①若，为对角线，则，的中点重合， ， 解得， ； ②若，为对角线，则，的中点重合， ， 解得； ， ③若，为对角线，则，的中点重合， ， 解得， ， 综上所述，的坐标为或或． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，涉及待定系数法，平行四边形性质及应用，三角形面积等知识，解题的关键是利用平行四边形对角线互相平分列方程解决问题． 19．，1． 【分析】根据P点在反比例函数上可得，再将分式化简后将值代入计算即可． 【详解】解：原式= = =， ∵点是反比例函数图象上一动点， ∴，即， 将代入， 原式=． 【点睛】本题考查反比例函数上点的坐标特征，分式的化简求值．熟练掌握分式的混合运算的运算顺序和运算法则是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$