2025年新疆乌鲁木齐市天山一中中考数学模拟试卷

2025年新疆乌鲁木齐市天山一中中考数学模拟试卷 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分.请把答案填在题后括号内） 1．（4分）实数a的绝对值是，a的值是（　　） A． B． C．± D．± 2．（4分）下列各数中，数值相等的是（　　） A．32与23 B．﹣23与（﹣2）3 C．3×22与（3×2）2 D．﹣32与（﹣3）2 3．（4分）如图是由棱长为1的几个正方体组成的几何体的三视图，则这个几何体的体积是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（4分）某次知识竞赛共有20题，答对一题得10分，答错或不答扣5分，小华得分要超过120分，他至少要答对的题的个数为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 5．（4分）如图，AB为⊙O的切线，切点为A．连接AO、BO、BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O交于点D，连接AD．若∠ABO＝36°，则∠ADC的度数为（　　） A．54° B．36° C．32° D．27° 6．（4分）若关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜0且m≠﹣1 B．m≥0 C．m≤0且m≠﹣1 D．m＜0 7．（4分）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若斜面的坡角α＝25°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为（　　） A．155° B．125° C．115° D．65° 8．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则反比例函数与一次函数y＝ax﹣b的大致图象是（　　） A． B． C． D． 9．（4分）在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为（　　） A．2 B．2 C．6 D．3 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.请把答案填在横线上） 10．（4分）当x＝　 　时，代数式的值为0． 11．（4分）一个不透明的布袋中只装有红球和白球两种球，它们除颜色外其余均相同．若白球有3个，摸到白球的概率为0.75，则红球的个数是　 　． 12．（4分）某校举办了“传诵经典”青少年演讲比赛，其中综合荣誉分占30%，现场演讲分占70%，小明在这两项中分别取得90分和80分的成绩，则小明的最终成绩为 　 　． 13．（4分）我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，A（﹣3，0），B（4，0），边AD长为5．现固定边AB，“推”矩形使点D落在y轴的正半轴上（落点记为D′），相应地，点C的对应点C′的坐标为　 　． 14．（4分）如图，从一块直径为24cm的圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点A，B，C在圆周上，将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是　 　cm． 15．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，对称轴是直线x＝﹣1，其顶点在第二象限，给出以下结论： ①当m≠﹣1时，a﹣b＞am2+bm； ②若且x1≠x2，则x1+x2＝2； ③若OA＝OC，则； ④若B（1，0），C（0，3），连接AC，点P在抛物线的对称轴上，且∠PCA＝90°，则P（﹣1，4）． 其中正确的有　 　． 三、解答题（本大题共8小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（12分）计算： （1）； （2）（x﹣1）（2x﹣1）﹣（x+1）2+1． 17．（12分）（1）解方程组：； （2）甲、乙两地相距360km，两人分别从甲地乘早7时出发的普通客车和早8时15分出发的豪华客车去乙地，两车恰好同时到达．已知豪华客车与普通客车的平均速度的比是4：3，两车的平均速度分别是多少？ 18．（10分）【阅读材料】 老师的问题：已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．求作：矩形ABCD． 小明的作法： （1）分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点E，F；（2）作直线EF，交AC于点O； （3）连接BO并延长，截取OD＝OB； （4）连接AD，CD．四边形ABCD就是所求作的矩形． 【解答问题】 请根据材料中的信息，证明四边形ABCD是矩形． 19．（10分）为迎接2024年5月26日的科尔沁马拉松赛事，某中学七年级提前开展了一次“马拉松”历史知识测试．七年级600名学生全部参加本次测试，调查研究小组随机抽取50名学生的测试成绩（百分制）作为一个样本． 【收集数据】 调查研究小组收集到50名学生的测试成绩： 60 61 62 94 73 73 85 85 87 72 63 64 70 66 74 65 67 75 76 71 94 93 84 91 76 82 83 83 92 84 80 80 82 92 91 86 77 86 88 72 70 71 93 90 81 90 74 78 81 75 【整理描述数据】 通过整理数据，得到以下尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图： 组别 成绩分组 频数 A 60≤x＜70 a B 70≤x＜80 16 C 80≤x＜90 16 D 90≤x≤100 b （1）频数分布表中a＝　 　，b＝　 　，并补全频数分布直方图； （2）扇形统计图中m＝　 　，D所对应的扇形的圆心角度数是 　 　． 【应用数据】 （3）若成绩不低于90分为优秀，请你估计参加这次知识测试的七年级学生中，成绩为优秀的人数． 20．（10分）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝1：，求大楼AB的高度是多少？（结果保留根号） 21．（12分）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部O处，以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线y＝a（x﹣20）2+k的一部分，山坡OA上有一堵防御墙，其竖直截面为ABCD，墙宽BC＝2米，BC与x轴平行，点B与点O的水平距离为28米、垂直距离为6米．已知发射石块在空中飞行的最大高度为10米． （1）求抛物线的解析式； （2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙； 22．（11分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F． （1）求证：DO∥AC； （2）求证：DE•DA＝DC2； （3）若tan∠CAD，求sin∠CDA的值． 23．（13分）在解决几何问题中，通常我们可以利用平移变换来解决图形中边与角的相关问题． 【问题情境】 （1）如图1，在正方形ABCD中，E，F，G分别是边BC，AB，CD上的点，FG⊥AE于点Q．判断线段AE，FG的数量关系并证明． 【尝试应用】 （2）如图2，在正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点．求tan∠AOC的值； 【拓展提升】 （3）如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP，BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF，连接DE，分别交线段BC，PC于点M，N． ①求∠DMC的度数； ②连接AC，交DE于点H，直接写出的值． 2025年新疆乌鲁木齐市天山一中中考数学模拟试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共9小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 D B C C D A C A B 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分.请把答案填在题后括号内） 1．（4分）实数a的绝对值是，a的值是（　　） A． B． C．± D．± 【分析】根据绝对值的意义直接进行解答 【解答】解：∵|a|， ∴a＝±． 故选：D． 【点评】本题考查了绝对值的意义，即在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． 2．（4分）下列各数中，数值相等的是（　　） A．32与23 B．﹣23与（﹣2）3 C．3×22与（3×2）2 D．﹣32与（﹣3）2 【分析】根据乘方的意义，可得答案． 【解答】解：A 32＝9，23＝8，故A的数值不相等； B﹣23＝﹣8，（﹣2）3＝﹣8，故B的数值相等； C 3×22＝12，（3×2）2＝36，故C的数值不相等； D﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，故D的数值不相等； 故选：B． 【点评】本题考查了有理数的乘方，注意负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数． 3．（4分）如图是由棱长为1的几个正方体组成的几何体的三视图，则这个几何体的体积是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】利用主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，进而判断图形形状，即可得出小正方体的个数，据此可得答案． 【解答】解：由该几何体的三视图知小正方体的分布情况如下： 则该几何体的体积为5×13＝5， 故选：C． 【点评】本题考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”是解题的关键． 4．（4分）某次知识竞赛共有20题，答对一题得10分，答错或不答扣5分，小华得分要超过120分，他至少要答对的题的个数为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 【分析】根据竞赛得分＝10×答对的题数+（﹣5）×未答对的题数，根据本次竞赛得分要超过120分，列出不等式即可． 【解答】解：设要答对x道． 10x+（﹣5）×（20﹣x）＞120， 10x﹣100+5x＞120， 15x＞220， 解得：x， 根据x必须为整数，故x取最小整数15，即小华参加本次竞赛得分要超过1（20分），他至少要答对15道题． 故选：C． 【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，得到得分的关系式是解决本题的关键． 5．（4分）如图，AB为⊙O的切线，切点为A．连接AO、BO、BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O交于点D，连接AD．若∠ABO＝36°，则∠ADC的度数为（　　） A．54° B．36° C．32° D．27° 【分析】根据在⊙O中，弧AC所对的圆周角等于圆心角的一半进行解答即可． 【解答】解：∵AB为圆O的切线， ∴∠BAO＝90°， ∵∠ABO＝36°， ∴∠AOB＝90°﹣∠ABO＝90°﹣36°＝54°， ∴∠ADC∠AOC27°． 故选：D． 【点评】此题考查的是切线的性质、圆周角定理，圆的切线垂直于过切点的半径． 6．（4分）若关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜0且m≠﹣1 B．m≥0 C．m≤0且m≠﹣1 D．m＜0 【分析】根据关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，可得，即可解得答案． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根， ∴， 解得m＜0且m≠﹣1； 故选：A． 【点评】本题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，解题的关键是一元二次方程有两个不相等的实数根需满足Δ＞0． 7．（4分）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若斜面的坡角α＝25°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为（　　） A．155° B．125° C．115° D．65° 【分析】根据平行线的性质得到∠3＝90°，根据三角形的内角和定理得到∠α+∠1＝90°，求得∠2＝∠1＝90°﹣25°＝65°，根据平行线的性质即可得到结论． 【解答】解：如图，∵支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行， ∴∠3＝90°， ∵重力G的方向竖直向下， ∴∠α+∠1＝90°， ∴∠2＝∠1＝90°﹣25°＝65°， ∵摩擦力F2的方向与斜面平行， ∴∠β+∠2＝180°， ∴∠β＝180°﹣∠2＝180°﹣65°＝115°， 故选：C． 【点评】本题考查了平行线的性质，正确地识别图形是解题的关键． 8．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则反比例函数与一次函数y＝ax﹣b的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数与反比例函数图象确定a、b、c的正负，再结合二次函数图象的对称轴即可解答． 【解答】解：由图可知二次函数开口向上、对称轴在轴右侧、与y轴的交点在负半轴， 则，则a＞0，b＜0，c＜0； ∴a＞0，﹣b＞0，则一次函数的y＝ax﹣b图象过一、二、三象限； ﹣c＞0，则反比例函数图象在一、三象限， ∴A选项的图象符合题意， 故选：A． 【点评】本题主要考查了一次函数的图象、反比例函数的图象、二次函数的图象等知识点，根据函数图象确定相关参数的正负成为解题的关键． 9．（4分）在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为（　　） A．2 B．2 C．6 D．3 【分析】设C（m，0），则有AC+BD，推出要求AC+BD的最小值，相当于在x轴上找一点P（m，0），使得点P到M（0，2）和N（﹣2，4）的距离和最小，如图1中，作点M关于x轴的对称点Q，连接NQ交x轴于P′，连接MP′，此时PM+PN的值最小，求出NQ即可解决问题． 【解答】解：设C（m，0）， ∵CD＝2， ∴D（m+2，0）， ∵A（0，2），B（0，4）， ∴AC+BD， ∴要求AC+BD的最小值，相当于在x轴上找一点P（m，0），使得点P到M（0，2）和N（﹣2，4）的距离和最小， 如图1中，作点M关于x轴的对称点Q，连接NQ交x轴于P′，连接MP′，此时P′M+P′N的值最小， ∵N（﹣2，4），Q（0，﹣2） PM+PN的最小值＝P′N+P′Q＝NQ2， ∴AC+BD的最小值为2． 解法二：如图，将线段DB向左平移到CE的位置，作点A关于原点的对称点A′，连接CA′，EA′． 则E（﹣2，4），A′（0，﹣2），AC+BD＝CA′+CE≥EA′， EA′2， ∴AC+BD的最小值为2． 故选：B． 【点评】本题考查轴对称﹣最短路径问题，坐标与图形的性质，两点间距离公式等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，学会用转化的思想解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.请把答案填在横线上） 10．（4分）当x＝　2　时，代数式的值为0． 【分析】分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零． 【解答】解：由题意知x﹣2＝0且x≠0． 解得x＝2． 故答案为：2． 【点评】考查了分式的值为零的条件，注意：“分母不为零”这个条件不能少． 11．（4分）一个不透明的布袋中只装有红球和白球两种球，它们除颜色外其余均相同．若白球有3个，摸到白球的概率为0.75，则红球的个数是　1　． 【分析】先求出袋中球的总个数，继而可得答案． 【解答】解：袋中球的总个数为3÷0.75＝4（个）， 则袋中红球的个数为1， 故答案为：1． 【点评】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 12．（4分）某校举办了“传诵经典”青少年演讲比赛，其中综合荣誉分占30%，现场演讲分占70%，小明在这两项中分别取得90分和80分的成绩，则小明的最终成绩为 　83分　． 【分析】根据加权平均数的公式计算，即可求解． 【解答】解：小明的最终比赛成绩为：90×30%+80×70%＝27+56＝83（分）， 故答案为：83分． 【点评】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的公式列出算式是本题的关键． 13．（4分）我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，A（﹣3，0），B（4，0），边AD长为5．现固定边AB，“推”矩形使点D落在y轴的正半轴上（落点记为D′），相应地，点C的对应点C′的坐标为　（7，4）　． 【分析】根据勾股定理，可得OD′，根据平行四边形的性质，可得答案． 【解答】解：由勾股定理，得 OD′4， 即D′（0，4）． 矩形ABCD的边AB在x轴上， ∴四边形ABC′D′是平行四边形， AD′＝BC′，C′D′＝AB＝4﹣（﹣3）＝7， C′与D′的纵坐标相等， ∴C′（7，4） 故答案为：（7，4）． 【点评】本题考查了多边形，利用平行四边形的性质得出AD′＝BC′，C′D′＝AB＝4﹣（﹣3）＝7是解题关键． 14．（4分）如图，从一块直径为24cm的圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点A，B，C在圆周上，将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是　3　cm． 【分析】圆的半径为12，求出AB的长度，用弧长公式可求得弧BC的长度，圆锥的底面圆的半径＝圆锥的弧长÷2π． 【解答】解：AB12cm， ∴6π ∴圆锥的底面圆的半径＝6π÷（2π）＝3cm． 故答案为：3． 【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键． 15．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，对称轴是直线x＝﹣1，其顶点在第二象限，给出以下结论： ①当m≠﹣1时，a﹣b＞am2+bm； ②若且x1≠x2，则x1+x2＝2； ③若OA＝OC，则； ④若B（1，0），C（0，3），连接AC，点P在抛物线的对称轴上，且∠PCA＝90°，则P（﹣1，4）． 其中正确的有　①③④　． 【分析】由抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，得到当x＝﹣1时，y最大值＝a﹣b+c，据此可判断①；根据题意可得直线x＝x1和直线x＝x2关于对称轴对称，则x1+x2＝﹣2，据此可判断②；先由对称轴公式得到b＝2a，再由OA＝OC，得到A（﹣c，0），点B的坐标为（c﹣2，0），把A（﹣c，0）代入抛物线解析式中求出，则点B的坐标为，据此可判断③；先求出A（﹣3，0），设P（﹣1，m），利用勾股定理得到PC2+AC2＝PA2，则m2﹣6m+10+18＝m2+4，解得m＝4，据此可判断④． 【解答】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1， ∴当x＝﹣1时，y最大值＝a﹣b+c， ∴当m≠﹣1时，a﹣b+c＞am2+bm+c，即a﹣b＞am2+bm，故①正确； 当且x1≠x2时，则直线x＝x1和直线x＝x2关于对称轴对称， ∴x1+x2＝﹣2，故②错误； ∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1， ∴， ∴b＝2a， ∵OA＝OC， ∴A（﹣c，0）， ∴点B的坐标为（c﹣2，0）， 把A（﹣c，0）代入抛物线解析式中得ac2﹣2ac+c＝0， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， ∴，故③正确； ∵B（1，0）， ∴A（﹣3，0）， 设P（﹣1，m）， ∴PA2＝[﹣1﹣（﹣3）]2+（m﹣0）2＝m2+4，PC2＝（﹣1﹣0）2+（m﹣3）2＝m2﹣6m+10， AC2＝（﹣3﹣0）2+（0﹣3）2＝18， ∵∠PCA＝90°， ∴PC2+AC2＝PA2， ∴m2﹣6m+10+18＝m2+4， 解得m＝4， ∴P（﹣1，4），故④正确； 故答案为：①③④． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数图象，二次函数的性质等，利用数形结合法得到字母系数的关系式是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（12分）计算： （1）； （2）（x﹣1）（2x﹣1）﹣（x+1）2+1． 【分析】（1）利用绝对值的性质，零指数幂，特殊锐角三角函数值，负整数指数幂计算即可； （2）利用多项式乘多项式法则，完全平方公式展开后再合并同类项即可． 【解答】解：（1）原式1+24 14 ＝23； （2）原式＝2x2﹣x﹣2x+1﹣（x2+2x+1）+1 ＝2x2﹣3x+1﹣x2﹣2x﹣1+1 ＝x2﹣5x+1． 【点评】本题考查整式的混合运算，实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 17．（12分）（1）解方程组：； （2）甲、乙两地相距360km，两人分别从甲地乘早7时出发的普通客车和早8时15分出发的豪华客车去乙地，两车恰好同时到达．已知豪华客车与普通客车的平均速度的比是4：3，两车的平均速度分别是多少？ 【分析】（1）根据加减消元法和代入消元法即可求解； （2）设豪华客车的平均速度为4x km/h，则普通客车的平均速度为3x km/h，根据甲、乙两地相距360km，两人分别从甲地乘早7时出发的普通客车和早8时15分出发的豪华客车去乙地，两车恰好同时到达，列出分式方程，解方程即可． 【解答】解：（1）①×2﹣②得：3x＝3， ∴x＝1， 把x＝1代入①得：2×1+y＝4， ∴y＝2， ∴方程组的解为； （2）设豪华客车的平均速度为4x km/h，则普通客车的平均速度为3x km/h， 根据题意得：87， 解得：x＝24． 经检验，x＝24是原分式方程的根，并符合题意． ∴4x＝4×24＝96，3x＝3×24＝72． 答：豪华客车的平均速度为96km/h，普通客车的平均速度为72km/h． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程组的解法，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 18．（10分）【阅读材料】 老师的问题：已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．求作：矩形ABCD． 小明的作法： （1）分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点E，F；（2）作直线EF，交AC于点O； （3）连接BO并延长，截取OD＝OB； （4）连接AD，CD．四边形ABCD就是所求作的矩形． 【解答问题】 请根据材料中的信息，证明四边形ABCD是矩形． 【分析】由EF垂直平分AC，得OA＝OC，而OD＝OB，所以四边形ABCD是平行四边形，即可由∠ABC＝90°，根据矩形的定义证明四边形ABCD是矩形． 【解答】证明：由作图得EF垂直平分AC， ∴OA＝OC， ∵OD＝OB， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形． 【点评】此题重点考查平行四边形的判定、矩形的判定等知识，由OA＝OC，OD＝OB，证明四边形ABCD是平行四边形是解题的关键． 19．（10分）为迎接2024年5月26日的科尔沁马拉松赛事，某中学七年级提前开展了一次“马拉松”历史知识测试．七年级600名学生全部参加本次测试，调查研究小组随机抽取50名学生的测试成绩（百分制）作为一个样本． 【收集数据】 调查研究小组收集到50名学生的测试成绩： 60 61 62 94 73 73 85 85 87 72 63 64 70 66 74 65 67 75 76 71 94 93 84 91 76 82 83 83 92 84 80 80 82 92 91 86 77 86 88 72 70 71 93 90 81 90 74 78 81 75 【整理描述数据】 通过整理数据，得到以下尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图： 组别 成绩分组 频数 A 60≤x＜70 a B 70≤x＜80 16 C 80≤x＜90 16 D 90≤x≤100 b （1）频数分布表中a＝　8　，b＝　10　，并补全频数分布直方图； （2）扇形统计图中m＝　20　，D所对应的扇形的圆心角度数是 　72°　． 【应用数据】 （3）若成绩不低于90分为优秀，请你估计参加这次知识测试的七年级学生中，成绩为优秀的人数． 【分析】（1）根据所给的数据即可得a和b的值，即可补全频数分布直方图； （2）利用D组的人数除以总人数即可得m的值，用360°乘以D组的人数所占的百分比即可求出D所对应的扇形的圆心角度数； （3）用总人数乘以样本中成绩不低于90分是人数所占的百分比即可． 【解答】解：（1）频数分布表中a＝8，b＝10， 补全频数分布直方图如下： 故答案为：8，10； （2）∵m%100%＝20%， ∴m＝20， D所对应的扇形的圆心角度数是360°×20%＝72°； 故答案为：20，72°； （3）600×20%＝120（人）， 答：估计参加这次知识测试的七年级学生中，成绩为优秀的人数为120人． 【点评】本题考查频数（率）分布直方图，频数（率）分布表，扇形统计图和用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 20．（10分）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝1：，求大楼AB的高度是多少？（结果保留根号） 【分析】延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，则GH＝DE＝15米，EG＝DH，设BH＝x米，则CHx米，在Rt△BCH中，BC＝12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH＝6米，CH＝6米，得出BG、EG的长度，证明△AEG是等腰直角三角形，得出AG＝EG＝620（米），即可得出大楼AB的高度． 【解答】解：延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，如图所示： 则GH＝DE＝15米，EG＝DH， ∵梯坎坡度i＝1：， ∴BH：CH＝1：， 设BH＝x米，则CHx米， 在Rt△BCH中，BC＝12米， 由勾股定理得：x2+（x）2＝122， 解得：x＝6， ∴BH＝6米，CH＝6米， ∴BG＝GH﹣BH＝15﹣6＝9（米），EG＝DH＝CH+CD＝620（米）， ∵∠α＝45°， ∴∠EAG＝90°﹣45°＝45°， ∴△AEG是等腰直角三角形， ∴AG＝EG＝620（米）， ∴AB＝AG+BG＝620+9＝29+6（米）． 故大楼AB的高度大约是29+6米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度、俯角问题；通过作辅助线运用勾股定理求出BH，得出EG是解决问题的关键． 21．（12分）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部O处，以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线y＝a（x﹣20）2+k的一部分，山坡OA上有一堵防御墙，其竖直截面为ABCD，墙宽BC＝2米，BC与x轴平行，点B与点O的水平距离为28米、垂直距离为6米．已知发射石块在空中飞行的最大高度为10米． （1）求抛物线的解析式； （2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙； 【分析】（1）依据题意，由发射石块在空中飞行的最大高度为10米，从而k＝10，故石块运行的函数关系式为y＝a（x﹣20）2+10，再结合过（0，0），可以计算得解； （2）依据题意，把x＝30代入y＝﹣x2+x，求得y的值，与6作比较即可得解． 【解答】解：（1）由题意，∵发射石块在空中飞行的最大高度为10米， ∴k＝10． ∴石块运行的函数关系式为y＝a（x﹣20）2+10． 把（0，0）代入解析式得：400a+10＝0， ∴a． ∴y（x﹣20）2+10，即yx2+x． （2）石块能飞越防御墙AB，理由如下： ∵点B与点O的水平距离为28米，且BC＝2米， ∴可令x＝30代入yx2+x得： y900+30＝7.5． ∵7.5＞6， ∴石块能飞越防御墙AB． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 22．（11分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F． （1）求证：DO∥AC； （2）求证：DE•DA＝DC2； （3）若tan∠CAD，求sin∠CDA的值． 【分析】（1）因为点D是弧BC的中点，所以∠CAD＝∠BAD，即∠CAB＝2∠BAD， 而∠BOD＝2∠BAD，所以∠CAB＝∠BOD，即可求解；（2）证明△DCE∽△DCA，即可求解； （3）3，即△AEC和△DEF的相似比为3，设：EF＝k，则CE＝3k，BC＝8k，tan∠CAD，则AC＝6k，AB＝10k，即可求解． 【解答】解：（1）因为点D是弧BC的中点， 所以∠CAD＝∠BAD，即∠CAB＝2∠BAD， 而∠BOD＝2∠BAD， 所以∠CAB＝∠BOD， 所以DO∥AC； （2）∵， ∴∠CAD＝∠DCB， ∴△DCE∽△DAC， ∴CD2＝DE•DA； （3）∵tan∠CAD，连接BD，则BD＝CD， ∠DBC＝∠CAD，在Rt△BDE中，tan∠DBE， 设：DE＝a，则CD＝2a， 而CD2＝DE•DA，则AD＝4a， ∴AE＝3a， ∴3， 而△AEC∽△DEF， 即△AEC和△DEF的相似比为3， 设：EF＝k，则CE＝3k，BC＝8k， tan∠CAD， ∴AC＝6k，AB＝10k， ∴sin∠CDA． 【点评】本题为圆的综合运用题，涉及到三角形相似等知识点，本题的关键是通过相似比，确定线段的比例关系，进而求解． 23．（13分）在解决几何问题中，通常我们可以利用平移变换来解决图形中边与角的相关问题． 【问题情境】 （1）如图1，在正方形ABCD中，E，F，G分别是边BC，AB，CD上的点，FG⊥AE于点Q．判断线段AE，FG的数量关系并证明． 【尝试应用】 （2）如图2，在正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点．求tan∠AOC的值； 【拓展提升】 （3）如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP，BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF，连接DE，分别交线段BC，PC于点M，N． ①求∠DMC的度数； ②连接AC，交DE于点H，直接写出的值． 【分析】（1）过点B作BH∥FG交AE于K，交CD于H，先证明四边形BFGH是平行四边形，得到BH＝FG，再证△ABE≌△BCH得到AE＝BH，即可证明AE＝FG； （2）将线段AB向右平移至FD处，使得点B与点D重合，连接CF，设正方形网格的边长为单位1，分别求出CF，CD即可求解； （3）①连接AF、PE、PD，证明△APF≌△CPB（SAS），再证明△DPE∽△APF，即可得出结果；②证明△DCH∽△ACF，即有，即可求解． 【解答】解：（1）AE＝FG，理由如下： 如图1﹣1所示，过点B作BH∥FG交AE于K，交CD于H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD，AB＝BC，∠ABE＝∠C＝90°， ∴四边形BFGH是平行四边形， ∴BH＝FG， ∵FG⊥AE， ∴BH⊥AE， ∴∠BKE＝90°， ∴∠KBE+∠BEK＝90°， ∵∠BEK+∠BAE＝90°， ∴∠BAE＝∠CBH， 在△ABE和△BCH中， ， ∴△ABE≌△BCH（ASA）， ∴AE＝BH， ∴AE＝FG； （2）将线段AB向右平移至FD处，使得点B与点D重合，连接CF，如图2所示： ∴∠AOC＝∠FDC， 设正方形网格的边长为单位1， 则AC＝2，AF＝1，CE＝2，DE＝4，FG＝3，DG＝4， 由勾股定理可得：，，， ∵， ∴CF2+CD2＝DF2， ∴∠FCD＝90°． ∴； （3）①连接AF、PE、PD，AC，如图3， ∵四边形APCD和四边形PBEF是正方形， ∴AP＝CP，PB＝PF，∠APC＝∠CPB＝90°，∠DPC＝∠FPE＝45°，，， ∴∠DPE＝90°，△APF≌△CPB（SAS）， ∴∠BCP＝∠PAF，BC＝AF， ∵，∠DPE＝∠APF， ∴△DPE∽△APF， ∴∠PCB＝∠PDE＝∠PAF， ∵∠DNC＝∠CPD+∠PDE＝∠DMC+∠PCB， ∴∠DMC＝∠DPC＝45°； ②∵∠PDC＝∠PAC＝45°，∠PDE＝∠PCB＝∠PAF， ∴∠CAF＝∠CDH， 又∵∠ACF＝∠DCH＝45°， ∴△DCH∽△ACF， ∴， ∵BC＝AF， ∴． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，求角的正切值，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定等等，通过作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$