山东名校考试联盟2025届高三下学期3月高考模拟考试数学试题

机密★启用前 试卷类型A 山东名校考试联盟 2025年3月高考模拟考试 数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的考生号、姓名、考场号及座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.若x(1一iD=i,则1z= A吉 B号 C.1 D.2 2.若集合A={xx>3),B={x|x-1|∈A),则AUB= A.{x|x>3) B.(x|x>-2) C.{x|x>1或x<-2》 D.{xx>3或x<-2)} 3.已知圆C:x2十y2=1,直线L:3x十4y一m=0(m∈R),若圆C上有且仅有一点到直线l 的距离为1，则m= A.6 B.10 C.土6 D.士10 4.已知数列{a.）是公差不为0的等差数列，若a1a2=a},as=2,则a1= A.-1 B- c D.1 5,已知ana-号，则in2a十eoda的值为 A号 B.1 c D.2 高三数学试题 第1页（共4页） 6.设函数f(x)的导函数为f'(x),当x≠0时满足xf'(x)+f(x)=1,且f(1)=2,则 f(-ln2),f(分)，f(sin合)的大小关系为 A.f(-in2)<f()<f(sin) B.f(-In2)<f(sin)<f() C.f(<f(-In2)<f(sin) D.f(sin合)<f(分)<f-ln2) 7.设e1,e为单位向量，且e1⊥e2,若向量a满足(a一e1)·(a一e2)=0,则a·e1的取值范围为 A.[0,1] B.[-1,1] c,+ D.-1+E,1+ 2,2 8.在正三棱柱ABC-A:B,C1中，AB=AA1=2,E为AiB1的中点，若三棱锥E-BCC1的四个 顶点均在球O上，过BB:作球O的截面，则所得截面圆面积的最小值为 B.π 3 C. D.2π 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.若正数a,b满足a十b=1,则下列说法正确的是 Ab有最大值子 B.是+合有最小值4 a C.√a+√6有最小值√② D.a2+6有最小值号 10.下列说法正确的是 A.数据5,8,10,12,13的第40百分位数是9 B.若随机变量X服从正态分布N(4,a2),P(X<一2)=P(X>4)=0.14,则 P(1<X<4)=0.36 C.20张彩票中有2张能中奖，现从中一次性抽取n张，若其中至少有一张中奖的概率大于 0.5,则n的最小值为5 D.已知数据x1,x2,…,x6的平均数为6，方差为10，现加人5和7两个数，则这8个数的 方差2=3到 4 高三数学试题第2页（共4页） 11.直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如y=kx十1表示过点(0,1)的直线族（不包括 y轴).直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线 上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.已知直线族ax十by=1(a,b∈R),下列 说法正确的是 A.若该直线族的包络曲线为圆x2十y2=2,则a2十b2=2 B.若直线族的包络曲线为抛物线x2=4y,则直线族中过点A(2,1)的直线方程为y=x一1 C,若a=0s9,b=s(m>n>0,0∈[0,2x),则该直线族的包络曲线为椭圆 D.当a=上6=-吉(：≠0)时，若点N(xy,）不在直线族ax+by=1的任意一条直 t 线上，则该直线族的包络曲线方程为x2=4y 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.(丘一3)°展开式中第4项的系数为 3.已知f(x)=e(e为自然对数的底数)，g(x)=lnx+十2，请写出f(x)与g(x)的一条公 切线方程 4,过双曲线号-=1(a>0,b>0)的右焦点F作其中一条渐近线的垂线，垂足为Q,直 线FQ与双曲线的左右两支分别交于点M,N,若M夜=3QN,则双曲线的离心 率为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 如图，在平面四边形ABCD中，已知AD=1,CD=2,△ABC为等边三角形，记∠ADC=a. (1)若a=答，求△ABD的面积； (2)若。∈（受，x),求四边形ABCD面积的取值范围。 高三数学试题第3页（共4页） 16.15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，AC⊥CD,AB=BC=AC=PB=2,PA=PC=√2， CD=√，E是棱PD上的中点. (1)证明：平面PAC⊥平面ABCD; (2)求平面PAB与平面ACE的夹角的余弦值. 17.(15分) 已知椭圆C:石+之 +后=1(a>b>0),直线x-巨y十6=0经过C的两个顶点 (1)求C的方程； (2)若P为C上一动点，过点P作圆M:x2十y2=2的两条切线分别交C于A,B两点，证 明：直线AB过原点. 18.(17分) 已知函数fe)=inr十号in2z-2z十a以 (1)当a=0时，求函数f(x)的零点个数； (2)若函数f(x)有且只有一个零点，求实数a的取值范围. 19.(17分) 两个盒子里分别放着写有A,B,C三种字母、大小相同的卡片各一张.每一次随机地从两 个盒子中取出一张卡片交换位置.记n次交换后两个盒子中仍然是A,B,C三种字母的卡片 各一张的概率为p。(n∈N”). (1)求p1和p2； (3)证明：+是+…十 1>5n3 2n-64 高三数学试题第4页（共4页） 山东名校考试联盟 高三年级数学试题参考答案2025.3 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 题号 1 2 3 4 6 8 答案 B D A C A C B 8. 【解析】方法一：因为LBCC=区，所以点B在△BCC,的外接圆上， 3 所以三棱锥E-BCC,的四个顶点均在球O上，即球O为四棱锥E-B,BCC的外接球， 故球心O在正方形B,CCB的中心，则球O的半径为√互 过BB作球O的截面，当所得截面圆面积最小时，则截面圆圆心为BB中点（即过O作截面垂线，垂 足为BB中点)，所以截面圆半径为1，所以面积最小值为π. 方法二：因为∠BCG=于，所以点：在△BCC的外接圆上，所以三棱锥E-BCC的四个顶点均在球 O上，即球O为四棱锥E-B,BCC,的外接球，故B,B两点在球O上， 所以最小截面圆为以BB为直径的圆， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 ABD ABD BCD 1山.【解析】对于A:若圆C:x2+y2=2是直线族ar+by-1=0(a,b∈R)的包络线，可得 =5，可得心+=分故A错： a+b 对于B:直线族中的每条直线都与抛物线C:x2=4y相切，显然过点A(2,)的直线所在的直线斜率 y-1=k(x-2) 存在，设方程为y-1=k(-2),由 x2=4y 消去y并整理得：x2-4kx+8k-4=0,则 △=16k2-32k+16=0,解得k=1,所以所求直线方程为y=x-1,故B对： 于C:设椭圆+1上的点为P(meos8,nin),过点P作圆的切线 n2 x2 y2 =1 当切线斜率存在时，设y=+b, m+斤1，联立得： y=kx+b (n2+m2k2)x2+2kbm2x+m2b2-m2n2=0, 所以mcos0= kbm2 n+m nsin0=kmcos0+b=- n'b +m作商： mcos km2 nsin 2, 得k=-ncos0 msin' 所以切线1的方程为y-nsin0=-ncos0 msin(x-mcos0),c ysin 0=1: m 当切线斜率不存在时，0=0或0=元，则切线方程y=n和y=-n亦满足xcos日+ysn0=1, n 故C正确： 对于D:将点N(x,y%)代入y=x-2(t≠0)，可得关于1的方程2-x1+%=0, 因为点N(x0,%)不在直线族y=x-P(t≠0)上，故方程2-，1+y。=0无实数解， 所以△=号-4%<0，那么儿>至，故%>0，因为区拨%>至的边界为抛物线=4， 4 下证：x2=4y是y=x-2(t≠0)的包络曲线. 联立直线y=-2与x2=4y,可得x2-4x+42=0,所以△=（4)2-4×42=0， 故直线族y=:-2为抛物线x2=4y的切线.因此直线族的包络曲线为x2=4y,故D对. 答案：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.-540: 13.y=x+1或y=ex(写出其中一个即可)： 14.5. bc 6 14.【解析】如图，由点到直线的距离公式可得点F(c,O)到直线y=二x的距离为d=T a =b b 设双曲线的左焦点为F,连接MF,则IMF|-|MF=2a. 在R△OQF中，设∠QF0=0,则cos0=b, C 在△FMF中，由余弦定理得IME2MF2+|FF2-2 IMF II FF I cos0, 即0MF1-2a)2MFP+(2c)2-21MF12ccos0,解得1MF= b b2 ccos0-a b-a b2 同理INF= ccos0+a b+a b2 ,b3+1 因为 MQI_IMFI-I0FI=b-a IONI IOFI-INFI -b_b+0=3,所以 6B6- =2, a3-1 b+a 所以该双曲线的离心率e=， +=+z=5. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【解析】(1)在△ACD中，由余弦定理： AC2=AD2+CD2-2AD.CD.c0sa=1+4-2×2×c0s写=3，.2分 3 2 所以AC=5,所以∠DAC=受 .3分 又因为△ABC为等边三角形， 所以AB=AC=V5,且∠BAD=∠BAC+∠DAC=5 6 4分 所以Sam=AB:AD-sin∠BAD=)×5 Isin5红.月 2 2 64 则△ABD的面积为5 6分 (2)在△ACD中，由余弦定理： AC2=AD2+CD2-2AD.CD.C0sa=1+4-2×2×c0sa=5-4c0sa,..7分 所以SABc= AC= 4 (5-4cosa): 4 8分 SAunc =x1x 2sina=sina 9分 所以四边形ABCD的面积S=5an+5c=56-4osa+na 4 -sina-cosa+5=2sin(a 4 3 4 10分 又因为ae原所以a-e 11分 34 即四边形ABCD的面积的取值范围为0+，2+码 4 .13分 16.【解析】(1)证明：取AC中点为O,连接BO,PO,如图， 方法一：因为PA=PC=√2，所以PO⊥AC,PO=1, 1分 又因为AB=BC=AC=2所以BO=√5， 因为PB=2,所以PO2+BO2=PB2,即PO⊥BO, 3分 因为BO∩AC=O,所以PO⊥平面ABCD, 5分 因为POC平面PAC,所以平面PAC⊥平面ABCD 6分 方法二：因为AB=BC=AC=2,所以BO=√5，BO⊥AC, .2分 3 又因为PA=PC=√2，所以PO=1 因为PB=2,所以PO2+BO2=PB2,即PO⊥BO, 3分 因为PO∩AC=O,所以BO⊥平面PAC, 5分 因为BOC平面ABCD,所以平面PAC⊥平面ABCD. 6分 (2)方法一：以O为坐标原点，OB,OC,OP所在的直线分别为x,y,2轴，建立如图坐标系..7分 因为AB=BC=AC=PB=2,PA=PC=√2，CD=√5，AC⊥CD 所以Aa-10,.a.c00.m-50,roa(-5与， 则-a话-510，AC-a20AG-(5 9分 设平面PAB的法向量为=(x,八，z), 4·AP=0 [y+z=0 则 %AB=0' 即 5x+y=0令=5，得y=-3z=3,所以=(5，-33， .11分 设平面AEC的法向量为m2=(x,y,), m·AC=0 2y=0 则 即 n·AE=0 5+弓+=0令x=5,得y=0z=3,所以万=5.03)，l3分 2 21 2 设平面PAB与平面ACE的夹角为B, 所以cos0cos<,n, 乃·%2_2万 %川27 即平面PAB与平面ACE的夹角的余弦值为2万 15分 方法二：以O为坐标原点，CD,CA所在的直线分别为xy轴，建立如图坐标系 ..7分 B 因为AB=BC=AC=PB=2,PA=PC=√2，CD=√5，AC⊥CD 所以A0.20.B5.L0.CQQ.0,D50.0.P0L.E5.1号 22, 则P=0-1.AB=(5.-10,.AC=0-20.AE=5,3 222 9分 设平面PAB的法向量为n=(x,y,z), n·AP=0 -y+z=0 则 元·AB=0' 即 x-y=0'令x=5,得)=-3z=-3,所以网=5-33》 .11分 设平面AEC的法向量为n,=(xy,z), n·AC=0 -2y=0 则 aE=0即531 2-220令x=5,得y=0.23,所以%=W3.0.-,13分 设平面PAB与平面ACE的夹角为0，所以c0s0c0s<,店本乃：及-25 1%m7 即平面PAB与平面ACE的夹角的余弦值为2 7 .15分 17.【解析】(1)因为直线x-√2y+√6=0过C的上顶点和左顶点， 所以上顶点为(0，√5)，左顶点为(-√6,0)， 2分 所以a=6,b=√5， 3分 则C的方程为 6+3 …4分 (2)当直线PA或PB斜率不存在时，不妨令A(√2，-√2)，则P(√2，√2)，所以直线PB方程为y=√2， 所以B(-√2√②)，直线AB过定点，且该定点为原点. …5分 下证：当直线PA和PB斜率存在时，直线AB过(O,O) 设Pw),过点P的切线方程为y=-:+,则么二=5， V1+k2 …6分 质以2=2+2冰+2-乃=0，所以物=2 7分 因为P6w)在C上，所以戈=6-2，则kmkm-2君 2-6」 2 .8分 方法一：将过点P的切线：y=k-k红+% 与C:x2+2y2-6=0联立得：1+2k2)x2+(4k-4k2x)x+2k2x+2后-4kx-6=0, 所以，元-2+2,4%-6，则，=26+2-6 1+2kM 1+2k)x .10分 5 同理。 2k号+2-4k8。-6 0+2kn)x0 11分 因为ka·kw 2泛分所以=5++4-122 2-8.1 1+2k)七 …13分 则+xn= 2++4+2听=12k-6,因为6=6-2代入得： 1+2k)名 2k+6-2y+4k2+2)8-12k2-6=0, XA+x=- 0+2k) .14分 由椭圆对称性得直线AB过(O,O). 综上：直线AB过定点(0，O) 15分 方法二：当直线AB过(O,O)时，由椭圆对称性得设A(,片)则B(-x,-), 所以kkw=-h.少-五=星-后 x--。-后’ 10分 因为A,),P(x%)eC，所以x=6-2y后，x2=6-2y, .13分 则季受腿 14分 所以当直线PA和PB斜率存在时，直线AB过(O,O) 综上：直线AB过定点(O,O) 15分 18.【解析】(1)当a=0时，f()=sinx+2n2x-2x. 于是f'(x)=Cosx+Cos2x-2≤1+1-2=0，故f(x)在R上单调递减..2分 又f(O)=0,故函数f(x)的零点个数为1. .4分 (2)若函数f(x)有且只有一个零点，由于f(O)=0,且f(x)为奇函数， 则当x>0时，f(x)<0或f(x)>0 5分 由（D可知当a=0时，f0=in+2m2r-2r在0，+w)上单调递减，此时f)<f0)=0,即 sinx+gsin 2x-2x<0. a0,则当x>0时，fw0≤inx+in2x-2x<0,符合题 7分 因为f'(x)=cosx+cos2x-2+3ar2,令g(x)=cosx+cos2x-2+3ar2,则g'(x)=-sinx-2sin2x+6ar. h(x)=-sinx-2sin 2x+6ax,h'(x)=-cosx-4cos 2x+6a. Z)=-c0sx-4cos2x+6a≥-1-4+5=0，故()在0，+拉 h(x)>h(O)=0.故g(x)在(0，+o)上单调递增，于是g(x)>g(O)=0.则f(x)在(0，+o)上单调递增， 此时f(x)>f(O)=0,符合题意. 11分 6