精品解析：山东省德州市夏津县万隆实验中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试题

2024—2025学年第二学期第一次月考 八年级数学试题 时间：120分钟 总分：150分 一、选择题（每小题4分， 共48分） 1. 分别以下列各组数为边的三角形，不是直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 1.5，2，2.5 C. 6，8，10 D. ，， 2. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 4. 如图，在矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，且，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 5. 如图，长方形的顶点A，B在数轴上，点A表示－1，，．若以点A为圆心，对角线长为半径作弧，交数轴正半轴于点M，则点M所表示的数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 点P（－3，4）到坐标原点的距离是（ ） A. 3 B. 4 C. －4 D. 5 8. 已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（　　） A. 4 B. 4π C. 8π D. 8 10. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺.问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到点B处吃食物，那么它爬行最短路程是（ ） A. 7 B. C. D. 12. 如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用，表示直角三角形的两直角边（），下列四个说法： ①，②，③，④. 其中说法正确的是( ) A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（每小题4分，共24分） 13 若，则________． 14. 若直角三角形的两边长分别为 3cm，5cm，则第三边长为__________cm． 15. 若是整数，则满足条件的最小正整数n的值为 _____． 16. 已知实数m、n满足，则______． 17. 如图，Rt△ABC中，，分别以边AB，CA，BC向外作正方形，正方形ABIH的面积为36，正方形ACFG的面积为64，则正方形BDEC的面积是________． 18. 如图，一架2.5米长梯子靠在一竖直的墙上，此时梯子底部离墙面0.7米．若梯子的顶部滑下0.4米，则梯子的底部向外滑出距离为________米． 三、解答题（共78分） 19. 计算： （1） （2） （3） （4） 20. （1）若的小数部分为a，5的小数部分为b，求ab （2）已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简 21. 如图，一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和，分别摆放甲、乙两种不同花卉，经测量，，，，，，，求四边形的面积． 22 观察下列各式： ①； ②； ③． （1）请根据以上规律，写出第4个式子： ________． （2）请根据以上规律，写出第n个式子__________； （3）根据以上规律计算下列式子的值： ． 23. 如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入． （1）山地C距离公路的垂直距离为多少米？ （2）在进行爆破时， A、B两地之间公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁的公路长． 24. 图1为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．根据该图，赵爽用两种不同的方法计算正方形的面积，通过正方形面积相等，从而证明了勾股定理．现有4个全等的直角三角形（图2中灰色部分），直角边长分别为a，b，斜边长为c，将它们拼合为图2的形状． （1）小诚同学在图2中加了相应的虚线，从而轻松证明了勾股定理，请你根据小诚同学的思路写出证明过程； （2）当，时，求图2中空白部分的面积． 25. 长方形在平面直角坐标系中的位置如图：﹑满足 （1）求a，b的值： （2）点E在边上运动，将长方形沿直线折叠． ①：如图①，折叠后点D落在边上的点F处，求点E的坐标； ②：如图②，折叠后点D落在x轴下方的点F处，与交于点M，与交于点N，且，求的长 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第二学期第一次月考 八年级数学试题 时间：120分钟 总分：150分 一、选择题（每小题4分， 共48分） 1. 分别以下列各组数为边的三角形，不是直角三角形的是（ ） A 3，4，5 B. 1.5，2，2.5 C. 6，8，10 D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理：两短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，逐一选项判断即可． 【详解】解：A、，故是直角三角形，故选项不符合题意； B、，故是直角三角形，故选项不符合题意； C、，故是直角三角形，故选项不符合题意； D、，故不是直角三角形，故选项符合题意． 故选：D． 【点睛】主要考查勾股定理的逆定理，只需判断短边的平方和与长边的平方的关系即可． 2. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解决问题的关键．根据最简二次根式的定义对每个选项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：， 选项A不符合题意 ， 选项B不符合题意； 已是最简二次根式， 选项C符合题意； 选项D不符合题意； 故选：C． 3. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数非负，解不等式即可完成． 【详解】由题意，，解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式被开方数的非负性，不等式的解法．二次根式两个非负：被开方数非负，二次根式本身非负，解题时要注意这两个非负性． 4. 如图，在矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，且，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据矩形的性质求出的长，再由翻折变换的性质得出是直角三角形，利用勾股定理即可求出的长，再在中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵是翻折而成， ∴，是直角三角形， ∴， 在中，， 设， 在中，，即， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键． 5. 如图，长方形的顶点A，B在数轴上，点A表示－1，，．若以点A为圆心，对角线长为半径作弧，交数轴正半轴于点M，则点M所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出，根据，求出，由此即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点M表示点数为． 故选A． 【点睛】本题考查实数与数轴、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用勾股定理求出的长． 6. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次根式的运算法则计算．A．应是合并同类二次根式，计算错误；B．这两个数不是同类二次根式不能加减；C．计算错误；D．先把分母有理化再计算． 【详解】解：A、合并同类二次根式应是，故选项错误，不符合题意；； B、不是同类二次根式，不能合并，故选项错误，不符合题意；； C、要注意根式与根式相乘，应等于3，故选项错误，不符合题意；； D、，故选项正确，符合题意；； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的运算：解题的关键是先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的运算，再合并即可． 7. 点P（－3，4）到坐标原点的距离是（ ） A. 3 B. 4 C. －4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】利用两点之间的距离公式即可得． 【详解】解：点到坐标原点的距离是， 故选：D． 【点睛】本题考查了两点之间的距离公式，熟练掌握两点之间的距离公式是解题关键． 8. 已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】几个二次根式化简成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．所以根据题意得解出a的值即可． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， 故选B． 【点睛】此题考查了同类二次根式的知识，解答本题需要掌握同类二次根式的被开方数相同这个知识点，属于基础题． 9. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（　　） A. 4 B. 4π C. 8π D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理得到AB2＝AC2+BC2，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2＝20， 则阴影部分的面积＝ ＝ ＝4， 故选A． 【点睛】本题考查的是勾股定理、扇形面积计算，掌握勾股定理和扇形面积公式是解题的关键． 10. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺.问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确画出图形，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键． 【详解】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，则，， 在中，， 即． 故选D． 11. 如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到点B处吃食物，那么它爬行最短路程是（ ） A. 7 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作此题要把这个长方体中，蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算．本题考查的是平面展开最短路径问题，熟知此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径． 【详解】解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面， 则这个长方形长和宽分别是6和3， 则所走的最短线段是； 第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是5和4， 所以走的最短线段是； 第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是7和2， 所以走的最短线段是； 三种情况比较而言，第二种情况最短． ∵ ∴它需要爬行的最短路线的长是， 故选：B． 12. 如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用，表示直角三角形的两直角边（），下列四个说法： ①，②，③，④. 其中说法正确的是( ) A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【详解】可设大正方形边长为a，小正方形边长为b，所以据题意可得a2=49,b2=4； 根据直角三角形勾股定理得a2=x2+y2，所以x2+y2=49，式①正确； 因为是四个全等三角形，所以有x=y+2，所以x-y=2，式②正确； 根据三角形面积公式可得 ，而大正方形的面积也等于四个三角形面积加上小正方形的面积，所以，化简得2xy+4=49，式③正确； 因为x2+y2=49，2xy+4=49， 所以 所以，因而式④不正确． 故答案为B． 二、填空题（每小题4分，共24分） 13. 若，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而得出y的值，再求出xy的值即可． 【详解】解：∵式子与在实数范围内有意义， ∴， 解得x＝2， ∴y＝3， ∴xy＝2×3＝6． 故答案：6． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键． 14. 若直角三角形的两边长分别为 3cm，5cm，则第三边长为__________cm． 【答案】4或##或4 【解析】 【分析】先分类讨论，①当5cm长的边为直角边时，②当5cm长的边为斜边时，进而根据勾股定理求解即可． 【详解】①当5cm长的边为直角边时， 第三边长为cm， ②当5cm长的边为斜边时， 第三边长为cm， 故答案为：4或． 【点睛】本题考查了勾股定理，分类讨论是解题的关键． 15. 若是整数，则满足条件的最小正整数n的值为 _____． 【答案】6 【解析】 【分析】把24分解因数，分解出平方数，再根据二次根式的定义判断出n的最小值即可． 【详解】解：， ∵是整数， ∴满足条件的最小正整数． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟练把24分解成平方数与另一个数相乘的形式是解题的关键． 16. 已知实数m、n满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值和平方的非负性求出和的值，然后代入化简求值即可． 【详解】∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值和二次根式非负性，二次根式的化简和加减运算，根据题意求出和的值是解题的关键． 17. 如图，Rt△ABC中，，分别以边AB，CA，BC向外作正方形，正方形ABIH的面积为36，正方形ACFG的面积为64，则正方形BDEC的面积是________． 【答案】100 【解析】 【分析】用勾股定理即可得出答案 【详解】在Rt△ABC中，根据勾股定理有： ∴ ∴正方形BDEC的面积是； 故答案为100 【点睛】本题考查了勾股树，熟练掌握勾股树是解题的关键． 18. 如图，一架2.5米长的梯子靠在一竖直的墙上，此时梯子底部离墙面0.7米．若梯子的顶部滑下0.4米，则梯子的底部向外滑出距离为________米． 【答案】0.8## 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出米，再求出米，然后根据勾股定理求出米，最后求出梯子底部向外滑出距离即可． 【详解】解：∵， ∴与都是直角三角形， ∵米，米， ∴根据勾股定理得：米， ∵米， ∴（米）， ∴根据勾股定理得：米， ∴梯子的底部向外滑出距离为：（米）， 故答案为：0.8． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，求出下滑后梯子底部距离墙面的距离． 三、解答题（共78分） 19. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3）1 （4） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先化成最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）括号里先化成最简二次根式，再合并同类二次根式，最后进行二次根式的乘除法运算即可； （3）先化成最简二次根式，再合并同类二次根式，最后进行二次根式的乘法运算即可； （4）先化成最简二次根式，约分，根据平方差公式计算，最后合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 20. （1）若的小数部分为a，5的小数部分为b，求ab （2）已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用“逼近法”分别求出确定a，b值，再求ab的值即可； （2）根据数轴可得出，再根据二次根式的性质以及绝对值的性质化简即可． 【详解】解：（1）∵ ∴， ∴， ∵的小数部分为a，5的小数部分为b， ∴， ∴； （2）由数轴可得出：， ∴ ∴． 【点睛】本题考查的知识点是求无理数的小数部分，二次根式的化简以及绝对值的化简，掌握“逼近法”，二次根式的性质以及绝对值的性质是解此题的关键． 21. 如图，一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和，分别摆放甲、乙两种不同的花卉，经测量，，，，，，，求四边形的面积． 【答案】四边形的面积为18． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识．由勾股定理得，再由勾股定理的逆定理得是直角三角形，且，然后由三角形面积公式即可解决问题． 【详解】解：由题意得：，， 在中，由勾股定理得：， ， ， 是直角三角形，且， ． 答：四边形的面积为18． 22. 观察下列各式： ①； ②； ③． （1）请根据以上规律，写出第4个式子： ________． （2）请根据以上规律，写出第n个式子__________； （3）根据以上规律计算下列式子的值： ． 【答案】（1） （2）（的整数） （3） 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算和分母有理化的应用，发现计算规律，掌握分母有理化和合并同类二次根式是解题的关键． （1）利用题中等式的规律求解； （2）利用题中等式的规律求解； （3）先分母有理化，然后合并即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知：第4个式子为： ． 故答案为：． 【小问2详解】 解：第个式子为：的整数， 故答案为：的整数； 【小问3详解】 解： ． 23. 如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入． （1）山地C距离公路的垂直距离为多少米？ （2）在进行爆破时， A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁的公路长． 【答案】（1） （2）需要， 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用； （1）过作，因为，由勾股定理的逆定理得是直角三角形，通过三角形的面积转化，即可求解； （2）以点为圆心，为半径画弧，交于点E、F，连接，，由等腰三，比较与的大小即可判断，由勾股定理得，即可求解．掌握勾股定理及其逆定理，能作出适当的辅助线，将实际问题转化为勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得 ，，， 如图，过作， ， ， 是直角三角形，且， ， ， 解得：， 答：山地C距离公路的垂直距离为； 【小问2详解】 解：公路有危险需要暂时封锁，理由如下： 如图，以点为圆心，为半径画弧，交于点E、F，连接，， 则， ， ， 由（1）可知，， ， 有危险需要暂时封锁， 在中， ， ， 即需要封锁的公路长为． 24. 图1为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．根据该图，赵爽用两种不同的方法计算正方形的面积，通过正方形面积相等，从而证明了勾股定理．现有4个全等的直角三角形（图2中灰色部分），直角边长分别为a，b，斜边长为c，将它们拼合为图2的形状． （1）小诚同学在图2中加了相应的虚线，从而轻松证明了勾股定理，请你根据小诚同学的思路写出证明过程； （2）当，时，求图2中空白部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2）13 【解析】 【分析】（1）根据图形可得，图2中图形的总面积可以表示为：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积；也可以表示为：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积；两种表示方法面积相等，即可求证； （2）根据图形可得空白部分面积等于以c为边的正方形的面积-两个直角三角形的面积，将，代入求解即可． 【小问1详解】 解：图2中图形的总面积可以表示为：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积， 即， 也可以表示为：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积， 即， ∴，即． 【小问2详解】 解：当时，， 由图可知，空白部分面积=以c为边的正方形的面积-两个直角三角形的面积， 即：空白部分面积为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，解题的关键是根据图形，得出图形面积的两种不同表示方法． 25. 长方形在平面直角坐标系中的位置如图：﹑满足 （1）求a，b的值： （2）点E在边上运动，将长方形沿直线折叠． ①：如图①，折叠后点D落在边上的点F处，求点E的坐标； ②：如图②，折叠后点D落在x轴下方的点F处，与交于点M，与交于点N，且，求的长 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和勾股定理、坐标与图形、非负数的性质，解题关键是根据折叠找出线段之间的等量关系，利用勾股定理列出方程． （1）根据非负数的性质求解即可； （2）①设，根据折叠和勾股定理得出，，再根据勾股定理列出方程即可；②设，则，由折叠得：，，证明，则，，即，得到，，根据勾股定理列出方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①∵，， ∴，， ∵四边形是长方形， ∴， 设，则， 由折叠得：，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； ②设，则，由折叠得：，， ∵，，， ∴， ∴ ，， ∴， 即， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$