1.1.1 集合及其表示方法（第二课时集合的表示方法）同步练 -2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

同步练2　集合的表示方法 一、单项选择题 1．集合A＝{x2，3x＋2，5y3－x}，B＝{x|x是周长为20 cm的三角形}，C＝{x|x－3＜2，x∈Q}，D＝{(x，y)|y＝x2－x－1}．其中用描述法表示的集合的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列集合表示同一集合的是(　　) A．M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)} B．M＝{x|x＋1＞0}，N＝{y|y＋1＞0} C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1} D．M＝{1，2}，N＝{(1，2)} 3．(2023·江西丰城高一月考)下列命题正确的序号是(　　) ①∅与{0}表示同一个集合； ②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}； ③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}； ④集合{x|4＜x＜5}可以用列举法表示． A．①④ B．②③ C．② D．①②③④ 4．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，定义A*B＝{x|x∈A且x∉B}，则集合A*B等于(　　) A．{1，2，3} B．{2，4} C．{1，3} D．{2} 5．若{x|x2＋ax＋1＝0}＝{b}，则a＋b＝(　　) A．1 B．－1 C．1或－1 D．2或－1 二、多项选择题 6．(2023·广东深圳高一期中)下列关于集合的说法，正确的是( 　 　) A．集合{1，2，3}与{x|x是6的正因数}相等 B．集合{x|x＝2k－1，k∈Z}与{x|x＝2k＋1，k∈Z}相等 C．集合{x|x是矩形}与{x|x是两条对角线相等的平行四边形}相等 D．集合与相等 7．(2023·湖北十堰郧阳区高一阶段练习)给出下列说法，其中正确的是(　 　) A．集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{0，1} B．实数集可以表示为{x|x为实数}或{R} C．集合E＝{x|x2－2x＋1＝0}，集合F是由5个1组成的集合，则E＝F＝{1} D．方程(x－2)2＋(y＋3)2＝0的所有解组成的集合为{(2，－3)} 三、填空题 8．若[a，3a－1]为一确定区间，则a的取值范围为__________ 9．设M，P是两个非空集合，定义集合M，P的差集运算为M－P＝{x|x∈M，且x∉P}，设集合B＝{2，4，6，8}，请你写出一个集合A，使得A－B＝{5}，则集合A＝_____． 10.已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}的元素个数为______． 四、解答题 11．选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集． (1)不等式3x＋4≥2x的所有解组成的集合； (2) 不超过100且能被3除余1的所有正整数组成的集合； (3) 到平面直角坐标系的两坐标轴距离相等的点组成的集合； (4) 所有的正方形组成的集合． 12．下面三个集合： ①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}； ③{(x，y)|y＝x2＋1}． (1) 它们各自的含义是什么？ (2) 它们是不是相同的集合？ 13．集合M＝的元素个数是(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 14．用d(A)表示集合A中的元素个数，若集合A＝{0，1}，B＝{x|(x2－ax)(x2－ax＋1)＝0}，且|d(A)－d(B)|＝1．设实数a的所有可能取值构成集合M，则d(M)＝(　　) A．3 B．2 C．1 D．4 15．(2023·浙江杭州高一期中)以下是面点师制作兰州拉面的一个数学模型：如图所示，在数轴上截取与闭区间[0，4]对应的线段，该线段长度为4个单位．将该线段对折后(坐标4对应的点与原点重合)，线段数目翻倍，再将每根线段都均匀地拉成长度为4个单位的线段，这一过程称为一次操作(例如在第一次操作完成后，原来的坐标1和3对应的点被拉到坐标2，原来的坐标2对应的点被拉到坐标4，等等)．接下来的每次操作都在上一次操作的基础上进行同样的流程．在第n次操作完成后(n≥1)，原闭区间[0，4]上恰好被拉到坐标4的点有若干个，这若干个点在第一次操作之前所对应的坐标形成一个集合，记为Ln，例如L1＝{2}．则集合L3可以用列举法表示为____________ 同步练2《集合的表示方法》答案详解 1.答案C 解析：集合A为列举法，集合B，C，D均为描述法表示集合． 2.答案B 解析：对于A，由于(3，2)与(2，3)为有序实数对，故M与N的元素不同，不是同一集合；对于B，M＝{x|x＋1＞0}，N＝{y|y＋1＞0}两集合都是数集，且范围一致，故是同一集合；对于C，M为点集，N为数集，不是同一集合；对于D，M为数集，N为点集，不是同一集合． 3.答案C 解析：由于“0”是元素，而“{0}”表示含一个元素0的集合，而∅不含任何元素，所以①不正确；根据集合中元素的无序性可知②正确；根据集合元素的互异性可知③错误；对于④，由于该集合为无限集且无明显的规律性，所以不能用列举法表示，所以④不正确．综上可得只有②正确． 4.答案C 解析：因为集合A中的元素是1，2，3，其中2属于集合B，所以A*B＝{1，3}． 5.答案C 解析：x2＋ax＋1＝0只有一个根x＝b，则Δ＝a2－4＝0，则a＝±2．当a＝2时，b＝－1，此时a＋b＝1；当a＝－2时，b＝1，此时a＋b＝－1． 6.答案BCD 解析：因为{x|x是6的正因数}＝{1，2，3，6}≠{1，2，3}，故A错误；因为{x|x＝2k－1，k∈Z}＝{x|x是奇数}，{x|x＝2k＋1，k∈Z}＝{x|x是奇数}，所以{x|x＝2k－1，k∈Z}＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，故B正确；因为{x|x是两条对角线相等的平行四边形}＝{x|x是矩形}，故C正确；因为＝{x|x≠0}，＝{y|y≠0}，所以＝，故D正确． 7.答案ACD 解析：对于A，由x3＝x，得x＝0或x＝1或x＝－1，而－1∉N， 因此集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{0，1}，A正确；对于B，集合表示中的符号“{}”已包含“所有”“全体”等含义，而符号“R”已表示所有的实数构成的集合，所以实数集可以表示为{x|x为实数}或R，B不正确；由于E＝{x|x2－2x＋1＝0}＝{1}，F是由5个1组成的集合，根据集合中元素的互异性，故F＝{1}＝E，故C正确；对于D，由(x－2)2＋(y＋3)2＝0，得x＝2且y＝－3，则所有解组成的集合为{(2，－3)}，D正确． 8.答案． 解析：由区间的定义可知3a－1＞a，即a＞． 9.答案{5}(答案不唯一) 解析：根据题意知5∈A，且5∉B，如A＝{5}．(答案不唯一) 10.答案5 解析：①x＝0时，y＝0，1，2，所以x－y＝0，－1，－2； ②x＝1时，y＝0，1，2，所以x－y＝1，0，－1； ③x＝2时，y＝0，1，2，所以x－y＝2，1，0. 所以B＝{0，－1，－2，1，2}，共5个元素． 11.（1）解：可以写成{x|x≥－4}，也可以用区间表示，写成[－4，＋∞)，是无限集． （2）解：可以写成{x|x＝3n＋1，n∈N且1≤x≤100}或{x|x是不超过100且能被3除余1的正整数}，是有限集． （3）解：可以写成{(x，y)||x|＝|y|}或{(x，y)|x2＝y2}，是无限集． （4）解：可以写成{x|x是正方形}，是无限集． 12.（1）解：集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，满足条件y＝x2＋1中的x∈R，所以实质上{x|y＝x2＋1}＝R； 集合②的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以实质上{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}； 集合③{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，可以认为是满足y＝x2＋1的数对(x，y)的集合，也可以认为是坐标平面内的点(x，y)构成的集合，且这些点的坐标满足y＝x2＋1，所以{(x，y)|y＝x2＋1}＝{P|P是抛物线y＝x2＋1上的点}． （2）解：由(1)中三个集合各自的含义知，它们是不同的集合． 13.答案A 解析：因为M＝，所以当x＝0时，y＝∉N； 当x＝1时，y＝＝2∈N；当x＝2时，y＝＝∉N；当x＝3时，y＝＝∉N；当x＝4时，y＝＝∉N；当x＝5时，y＝＝1∈N；当x≥6时，y＝＜1，且y≠0，所以y∉N．综上所述，M＝＝{2，1}，元素个数是2．故选A． 14.答案A 解析：由|d(A)－d(B)|＝1，A＝{0，1}可知d(A)＝2，因此d(B)的值为1或3．若d(B)＝1，则结合(x2－ax)·(x2－ax＋1)＝0以及a不可能是方程x2－ax＋1＝0的根可知x2－ax＝0仅有一根，必为0，此时a＝0，则x2－ax＋1＝x2＋1＝0无根，满足题意； 同理，若d(B)＝3，则若x2－ax＝0有一根，必为0，此时a＝0，则x2－ax＋1＝x2＋1＝0无根，不合题意；故x2－ax＝0有二根，一根是0，另一根是a，所以x2－ax＋1＝0必有两个相等的实数根，所以Δ＝a2－4＝0，解得a＝±2． 此时x2－ax＋1＝0的根为1或－1，符合题意． 综上，实数a的所有可能取值构成集合M＝{0，－2，2}，故d(M)＝3．故选A． 15.答案 解析：第一次操作后，与4对应点的坐标为2，只有一个，因此L1＝{2}； 第二次操作后，与4对应的点应取0和2的中间值1，2和4的中间值3，共2个，因此L2＝{1，3}；第三次操作后，与4对应的点应取0和1的中间值，1和2的中间值，2和3的中间值，3和4的中间值，因此L3＝． 学科网（北京）股份有限公司 $$