精品解析：湖南省长沙市长雅中学2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试题

第十八章《平行四边形》错题回练 亲爱的老师，本次作业所有选择题智批、填空题智批、解答题智批． 一、选择题（每道题目3分，共36分） 1. 如图，的对角线 ， 交于点 ，若，，则 的长可能是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小佳想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，小红同学帮他想了一个主意，先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到 ， 的中点D，E，并且测出 的长为，则A，B两点的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 已知平行四边形 中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在ABCD中，AE平分∠BAD，交CD边于E，，，则AD的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 5. 一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形： a.两组对边分别相等 b.一组对边平行且相等 c.一组邻边相等 d.一个角是直角 顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c 则正确的是：（ ） A. 仅① B. 仅③ C. ①② D. ②③ 6. 如图，已知点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，要使四边形EGFH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（ ） A. AB=CD B. AC=BD C. AC⊥BD D. AD=BC 7. 下列说法正确的是（　　） A. 对角线相等的四边形一定是矩形 B. 顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形 C. 对角线互相平分且相等的四边形一定是菱形 D. 经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分 8. 如图，在菱形 中，对角线 相交于点为 的中点，且，则菱形 的周长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为的菱形，剪口与折痕所成的角的度数应为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 10. 在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作： 第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕，如图②． 根据以上的操作，若，，则线段的长是（ ） A. 3 B. C. 2 D. 1 11. 如图，点A、B为定点，定直线，P是l上的一个动点，点M、N分别是、 的中点，对下列选项：①线段的长；②的周长；③的面积；④直线， 之间的距离：⑤的大小．其中会随点P的移动而变化的是（ ） A. ②③⑤ B. ②⑤ C. ①③④ D. ⑤ 12. 如图，的对角线 、 交于点O， 平分交 于点E，且，，连接 ．下列结论：①；②；③；④，其中成立的有（ ） A. ①②③ B. ②③ C. ②③④ D. ②④ 二、填空题（每道题目3分，共18分） 13. 已知在平面直角坐标系中，正方形 的对角线相交于点，且正方形顶点D的坐标为，那么正方形顶点B的坐标为___________． 14. 如图，在 中，点D，点E分别是 ， 的中点，点F是 上一点，且，若，，则 的长为________． 15. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°，D为线段AB的中点，则∠ACD＝_____． 16. 如图，一个木制的活动衣帽架由3个全等的菱形构成．已知菱形的边长为13cm，当挂钩B、D间的距离是30cm时，则挂钩A、C间的距离是______cm． 17. 如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．若图2中阴影小正方形的面积为49．则a的值为______． 18. 如图，矩形 中，，是 的中点，线段 在边 上左右滑动；若，则的最小值为____________． 三、解答题（共66分） 19. 下面是小明设计的作矩形 的尺规作图过程． 已知： 中，． 求作：矩形 ． 作法：如图 ①以点A为圆心， 长为半径作弧； ②以点C为圆心， 长为半径作弧，两弧交于点D（点D与点B在直线 异侧）； ③连接 、 ． 则四边形 就是所求作的矩形． 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明（括号里填推理的依据）． 证明： ① ， ② ， ∴四边形 是平行四边形（ ③ ）． 又， ∴四边形 是矩形（ ④ ）． 20. 如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E． （1）若∠DBC=25°，求∠ADC′的度数； （2）若AB=4，AD=8，求△BDE的面积． 21. 如图，菱形 中，分别延长， 至点 ， ，使，，连接， ， ，. （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求矩形的面积. 22. 如图，在四边形 中．，，对角线 ， 交于点 ， 平分． （1）求证：四边形 是菱形； （2）点 是边 上的动点(不与 ， 重合)，过点 作，，垂足分别为 ， ，连接 、．求证：． 23. 如图，在矩形 中，，是对角线上的两个动点，分别从同时出发相向而行，速度均为，运动时间为，． （1）_______，_______（用含的代数式表示）； （2）若G，H分别是 ，的中点，求证：四边形是平行四边形． （3）在（2）的条件下，当t为何值时，四边形为矩形？ 24. 菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或甲形的“接近度” （1）设菱形相邻两个内角的度数分别为，，若我们将菱形的“接近度”定义为，于是越小，菱形就越接近正方形． ①当菱形的一个内角为时，“接近度”=________； ②当菱形的“接近度”=________时，菱形就是正方形； （2）若我们将菱形的“接近度”定义为，则： ①菱形的一个内角为时，“接近度”=________； ②在这种情况下，菱形的“接近度”=________时，菱形就是正方形； （3）甲、乙两位同学仿照菱形的“接近度”定义，给出了两种矩形的“接近度”定义，在你认为合理的定义后面打“√”，不合理的定义后面打“×”． ①甲：设矩形相邻两条边长分别为， ，将矩形的“接近度”定义为，于是越小，矩形越接近于正方形．________ ②乙：设矩形相邻两条边长分别为， ，将矩形的“接近度”定义为，于是越小，矩形越接近于正方形．________ 25. 已知：在正方形 中，点 是 延长线上一点，且，连接 ，过点 作 的垂线交直线 于点 ，连接 ，取 的中点，连接 ． （1）当时， ①求证：； ②用等式表示线段 ，， 之间的数量关系，并证明． （2）如图2，当时，用等式表示线段 ，， 之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十八章《平行四边形》错题回练 亲爱的老师，本次作业所有选择题智批、填空题智批、解答题智批． 一、选择题（每道题目3分，共36分） 1. 如图，的对角线 ， 交于点 ，若，，则 的长可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平行四边形的对角线互相平分得到OA、OB的长度，再根据三角形三边关系得到AB的取值范围，即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=AC=3，BO=BD=4， 在△AOB中， 4-3<AB<4+3 ∴1<AB<7， 结合选项可得，AB的长度可能是6， 故选D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和三角形的三边关系，熟练掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． 2. 如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小佳想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，小红同学帮他想了一个主意，先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到 ， 的中点D，E，并且测出 的长为，则A，B两点的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的中位线即可求解． 【详解】解：∵D，E分别是 ， 的中点， ∴ 是 的中位线， ∵， ∴，故C正确． 故选：C． 【点睛】此题主要考查中位线的应用，解题的关键是熟知三角形中位线的性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 3. 已知平行四边形 中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形ABCD的性质可得，∠A=∠C，∠A+∠B＝180°．再根据，即可求出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠A=∠C，∠A+∠B＝180°． 又∵∠A+∠C=240°， ∴∠A=∠C=120°， ∠B=180°－∠A=60°． 故选：B 【点睛】本题考查了平行四边形的基本性质，利用平行四边形的对角相等，邻角互补是解题的关键． 4. 如图，在ABCD中，AE平分∠BAD，交CD边于E，，，则AD的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】首先证明DA=DE，再根据平行四边形的性质即可解决问题． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BA∥CD，AB=CD， ∴∠DEA=∠EAB， ∵AE平分∠DAB， ∴∠DAE=∠EAB， ∴∠DAE=∠DEA， ∴DE=AD， ∵， ∴ ∵ ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型． 5. 一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形： a.两组对边分别相等 b.一组对边平行且相等 c.一组邻边相等 d.一个角是直角 顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c 则正确的是：（ ） A. 仅① B. 仅③ C. ①② D. ②③ 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意及正方形的判定定理可直接进行排除选项． 【详解】解：①由两组对边分别相等可得该四边形是平行四边形，添加一组邻边相等可得该四边形是菱形，再添加一个角是直角则可得该四边形是正方形；正确，故符合题意； ②由一组对边平行且相等可得该四边形是平行四边形，添加一个角是直角可得该四边形是矩形，再添加一组邻边相等则可得该四边形是正方形；正确，故符合题意； ③a、b都为平行四边形的判定定理，故不能判定该四边形是正方形，故错误，不符合题意； ∴正确的有①②； 故选C． 【点睛】本题主要考查正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键． 6. 如图，已知点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，要使四边形EGFH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（ ） A. AB=CD B. AC=BD C. AC⊥BD D. AD=BC 【答案】A 【解析】 【分析】由点E、F、G、H分别是四边形ABCD中AD、BC、BD、AC的中点，根据三角形中位线的性质，可得EG=FH=AB，EH=FG=CD，又由当EG=FH= EH=FG时，四边形EGFH是菱形，即可求得答案． 【详解】解：∵点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BC、BD、AC的中点，∴EG=FH=AB，EH=FG=CD， ∵当EG=FH= EH=FG时，四边形EGFH是菱形， ∴当AB=CD时，四边形EFGH是菱形． 故选：A． 【点睛】此题考查了菱形的判定以及三角形中位线的性质．此题难度适中，熟练掌握菱形的判定方法是解答本题的关键． 7. 下列说法正确的是（　　） A. 对角线相等的四边形一定是矩形 B. 顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形 C. 对角线互相平分且相等的四边形一定是菱形 D. 经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的中位线性质、平行四边形的性质、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定逐个判断即可． 【详解】解： 对角线相等的平行四边形才是矩形，故A错误； 顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是菱形，故B错误； 对角线互相平分且相等的四边形一定是矩形，故C错误； 经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的中位线性质、平行四边形的性质、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定等知识点，能熟记定理的内容是解此题的关键． 8. 如图，在菱形 中，对角线 相交于点为 的中点，且，则菱形 的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：因为菱形的对角线互相垂直平分，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得AB=2a，则菱形ABCD的周长为8a．故选C． 9. 如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为的菱形，剪口与折痕所成的角的度数应为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】折痕为AC与BD，∠ABC=60°，根据菱形的性质：菱形的对角线平分对角，可得∠ABD=30°，易得∠BAC=60°，所以剪口与折痕所成的角的度数应为30°或60°． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABD=∠ABC，， ∵∠ABC=60°， ∴∠ABD=30°， ∵， ∴， ∴， ∴剪口与折痕所成的角的度数应为30°或60°，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠问题，解题关键是熟练掌握菱形的性质：菱形的对角线平分每一组对角． 10. 在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作： 第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕，如图②． 根据以上的操作，若，，则线段的长是（ ） A. 3 B. C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质得：，，，设，则，利用勾股定理求出，再证明，得，求解即可． 【详解】解：如图，过点作，交 于点 ， 在和中， 设，则， ，即：， 解得： ， ，， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查折叠问题及矩形的性质、正方形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握折叠的性质并能熟练运用勾股定理方程思想是解题的关键． 11. 如图，点A、B为定点，定直线，P是l上的一个动点，点M、N分别是、 的中点，对下列选项：①线段的长；②的周长；③的面积；④直线， 之间的距离：⑤的大小．其中会随点P的移动而变化的是（ ） A. ②③⑤ B. ②⑤ C. ①③④ D. ⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理判断①；根据P是l上一动点判断②；根据三角形的面积公式判断③；根据三角形中位线定理判断④，结合图形判断⑤． 【详解】解：①∵点M，N分别为、 的中点， ∴，即线段的长不会随点P的移动而变化； ②、 随点P的移动而变化， ∴的周长随点P的移动而变化； ③∵点M，N分别为、 的中点， ∴，， ∵点A，B为定点， ∴ 的长为定值， ∴线段的长为定值， ∵，， ∴， ∵P是l上的一个动点， ∴点P到的距离为定值， ∴的面积为定值， 即的面积不会随点P的移动而变化； ④∵， ∴直线， 之间的距离不会随点P的移动而变化； ⑤的大小随点P的移动而变化； 综上分析可知，会随点P的移动而变化的是②⑤，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是三角形中位线定理、平行线间的距离、三角形面积的计算，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 12. 如图，的对角线 、 交于点O， 平分交 于点E，且，，连接 ．下列结论：①；②；③；④，其中成立的有（ ） A. ①②③ B. ②③ C. ②③④ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质及角平分线的定义易证 是等边三角形，再根据等边三角形的性质及线段的数量关系即可判断①；根据等腰三角形的性质及角的和差即可得出，再根据三角形的面积公式即可判断②；根据线段的关系及三角形面积公式即可判断③；根据平行四边形的性质及含30度的直角三角形的性质得出，再根据线段间的关系即可判断④ 【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ∴，， ， ∵ 平分， ∴， ∴ 是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故①错误，不符合题意； ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故②正确，符合题意； ∵， ∴E为 中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故③正确，符合题意； ∵四边形 是平行四边形， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故④正确，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质以及等边三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 二、填空题（每道题目3分，共18分） 13. 已知在平面直角坐标系中，正方形 的对角线相交于点，且正方形顶点D的坐标为，那么正方形顶点B的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用图形根据正方形的性质即可解决问题． 【详解】解：如图，∵正方形 的对角线相交于点，正方形顶点D的坐标为， ∴正方形顶点B的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，掌握正方形的对角线互相平分是解题的关键． 14. 如图，在 中，点D，点E分别是 ， 的中点，点F是 上一点，且，若，，则 的长为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据三角形中线定理求出 ，再根据直角三角形的性质求出 ，再进行计算即可． 【详解】解：∵点D、E分别是 、 的中点， 是 的中线， ， ， ， 在中，，点E是 的中点，， ， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了三角形中线定理和直角三角形的性质，熟练掌握三角形的中线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 15. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°，D为线段AB的中点，则∠ACD＝_____． 【答案】50° 【解析】 【分析】由“直角三角形的两个锐角互余”得到∠A＝50°，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到CD＝AD，则等边对等角，即∠ACD＝∠A＝50°． 【详解】解：如图，∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°， ∴∠A＝50°． ∵D为线段AB的中点， ∴CD＝AD， ∴∠ACD＝∠A＝50°． 故答案是：50°． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质．在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 16. 如图，一个木制的活动衣帽架由3个全等的菱形构成．已知菱形的边长为13cm，当挂钩B、D间的距离是30cm时，则挂钩A、C间的距离是______cm． 【答案】24 【解析】 【分析】可求．根据菱形知，，，得． 【详解】解：如图，， ∴． 由菱形知，，， ∴． ∴ 故答案为：24． 【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理；掌握菱形的性质是解题的关键． 17. 如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．若图2中阴影小正方形的面积为49．则a的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质，根据题意可得图2中阴影小正方形的边长为，再由图2中阴影小正方形的面积为49即可求出答案． 【详解】解：由题意得，图2中阴影小正方形的边长为， ∵图2中阴影小正方形的面积为49， ∴图2中阴影小正方形的边长为7， ∴， ∴， 故答案为：4． 18. 如图，矩形 中，，是 的中点，线段 在边 上左右滑动；若，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，可得四边形EFCH是平行四边形，从而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定理求出HG'的长，即可求解． 【详解】解：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小， ∴G'E=GE，AG=AG'， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，AD=BC=2 ∴CH∥EF， ∵CH=EF=1， ∴四边形EFCH是平行四边形， ∴EH=CF， ∴G'H=EG'+EH=EG+CF， ∵AB=4，BC=AD=2，G为边AD的中点， ∴AG=AG'=1 ∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3， ∴， 即的最小值为． 故答案为： 【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题，矩形的性质，勾股定理等知识，确定GE+CF最小时E，F位置是解题关键． 三、解答题（共66分） 19. 下面是小明设计的作矩形 的尺规作图过程． 已知： 中，． 求作：矩形 ． 作法：如图 ①以点A为圆心， 长为半径作弧； ②以点C为圆心， 长为半径作弧，两弧交于点D（点D与点B在直线 异侧）； ③连接 、 ． 则四边形 就是所求作的矩形． 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明（括号里填推理的依据）． 证明： ① ， ② ， ∴四边形 是平行四边形（ ③ ）． 又， ∴四边形 是矩形（ ④ ）． 【答案】（1）见解析 （2）① ；② ；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）根据小明设计的尺规作图过程完成作图即可； （2）根据平行四边形和矩形的判定定理补充证明过程即可． 【小问1详解】 解：如图， 【小问2详解】 证明：，， ∴四边形 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）． 又， ∴四边形 是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 20. 如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E． （1）若∠DBC=25°，求∠ADC′的度数； （2）若AB=4，AD=8，求△BDE的面积． 【答案】(1) 40° （2）10 【解析】 【分析】（1）求出∠ADB，求出∠BDC ，根据折叠求出∠C′DB，代入∠ADC′=∠BDC′-∠ADB即可； （2）先证BE=DE，然后设DE=x，则BE=x，AE=8-x，在Rt△ABE中，由勾股定理求出x的值，再由三角形的面积公式求出面积的值． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是长方形， ∴AD∥BC，∠ADC=∠C=90°， ∵AD∥BC， ∴∠BDA=∠DBC=25°， ∴∠BDC=90°-25°=65°， ∵沿BD折叠C和C′重合， ∴∠C′DB=∠CDB=65°， ∴∠ADC′=∠BDC′-∠BDA=65°-25°=40°； （2）由折叠可知，∠CBD=∠EBD， ∵AD∥BC， ∴∠CBD=∠EDB， ∴∠EBD=∠EDB， ∴BE=DE， 设DE=x，则BE=x，AE=8-x， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+AE2=BE2即42+（8-x）2=x2， 解得：x=5， 所以S△BDE=DE×AB=×5×4=10． 21. 如图，菱形 中，分别延长， 至点 ， ，使，，连接， ， ，. （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求矩形的面积. 【答案】（1） 证明：， 四边形是平行四边形． 四边形 是菱形， ． ， ， 四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可证明四边形是平行四边形．再由菱形的性质可证明出，从而得出平行四边形是矩形； （2）连接 ，由菱形的性质结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，可求出，，再根据三角形中位线的性质可求出DF的长，最后根据矩形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接 ， 四边形 是菱形， ， ∴， ， 由（1）得四边形是矩形， ，点C为BF中点． ∵点O为BD中点， ， ， 矩形的面积． 【点睛】此题考查的是矩形的判定与性质、菱形的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理以及三角形中位线的判定和性质等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键． 22. 如图，在四边形 中．，，对角线 ， 交于点 ， 平分． （1）求证：四边形 是菱形； （2）点 是边 上的动点(不与 ， 重合)，过点 作，，垂足分别为 ， ，连接 、．求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定； （1）先证四边形 是平行四边形，再证，则，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）由菱形的性质得则，再由，，得，然后证四边形是矩形，即可得出结论． 【小问1详解】 证明： ，， 四边形 是平行四边形，， 平分． ， ， ， 平行四边形 是菱形． 【小问2详解】 由（1）可知，四边形 是菱形， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ． 23. 如图，在矩形 中，，是对角线上的两个动点，分别从同时出发相向而行，速度均为，运动时间为，． （1）_______，_______（用含的代数式表示）； （2）若G，H分别是 ，的中点，求证：四边形是平行四边形． （3）在（2）的条件下，当t为何值时，四边形为矩形？ 【答案】（1）t； （2）见解析 （3）当t为1秒或9秒时，四边形为矩形 【解析】 【分析】（1）先利用勾股定理求出 的长度，再根据路程 速度时间即可求出 的长度，而当时，；当时，即可求解； （2）先通过证明，由此可得到，从而有，最后利用一组对边平行且相等即可证明； （3）利用矩形的性质可知，求出，用含t的代数式表示出 ，建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， 当时，， 当时，， ∴； 故答案为：t；． 【小问2详解】 证明：∵四边形 是矩形， ∴，，，， ∴，， ∵ G、H分别是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问3详解】 解：如图，连接， 由（2）可知四边形是平行四边形， ∵点G、H分别是矩形 的边的中点， ∴， ∴当时，四边形是矩形，分两种情况： ①当时，，， 解得：； ②当时，，， 解得：； 综上分析可知，当t为1秒或9秒时，四边形为矩形． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及矩形的判断和性质，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，掌握平行四边形的判定方法及矩形的性质是解题的关键． 24. 菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或甲形的“接近度” （1）设菱形相邻两个内角的度数分别为，，若我们将菱形的“接近度”定义为，于是越小，菱形就越接近正方形． ①当菱形的一个内角为时，“接近度”=________； ②当菱形的“接近度”=________时，菱形就是正方形； （2）若我们将菱形的“接近度”定义为，则： ①菱形的一个内角为时，“接近度”=________； ②在这种情况下，菱形的“接近度”=________时，菱形就是正方形； （3）甲、乙两位同学仿照菱形的“接近度”定义，给出了两种矩形的“接近度”定义，在你认为合理的定义后面打“√”，不合理的定义后面打“×”． ①甲：设矩形相邻两条边长分别为 ， ，将矩形的“接近度”定义为，于是越小，矩形越接近于正方形．________ ②乙：设矩形相邻两条边长分别为 ， ，将矩形的“接近度”定义为，于是越小，矩形越接近于正方形．________ 【答案】（1）① ② （2）① ② （3）①× ②× 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的判定和性质，菱形的性质，正确理解“接近度”的意思是解决问题的关键． （1）①②根据菱形的“接近度”定义，越小，菱形就越接近正方形，解答即可； （2）①②根据菱形的“接近度”定义为，解答即可； （3）①不合理，举例进行说明； ②根据矩形的“接近度”定义为，只有矩形的越接近 ，矩形才越接近正方形，进行说明． 【小问1详解】 解：①∵内角为， ∴与它相邻内角的度数为， ∴菱形的“接近度”：， 故答案为：； ②当菱形的“接近度”等于时，菱形是正方形， 故答案为：； 【小问2详解】 解：若我们将菱形的“接近度”定义为，则： ①当菱形的一个内角为时，“接近度”； 故答案为：； ②当菱形的“接近度”时，菱形就是正方形， 故答案为： ； 【小问3详解】 解：①×， 例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但却不相等. 故答案为：×； ②×， 理由如下： 越接近 ，矩形越接近于正方形； ∴当时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形， 故答案为：×. 25. 已知：在正方形 中，点 是 延长线上一点，且，连接 ，过点 作 的垂线交直线 于点 ，连接 ，取 的中点，连接 ． （1）当时， ①求证：； ②用等式表示线段 ，， 之间的数量关系，并证明． （2）如图2，当时，用等式表示线段 ，， 之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）①见解析 ②，理由见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形的中位线的判定及性质，熟练掌握三角形的中位线的判定及性质和正方形的性质是解题的关键． （1）①根据正方形的性质，利用证明即可； ②在 上取一点， 使得 连接，然后证明是的中位线，即可得到，然后根据勾股定理解题即可； （2）在延长线上取一点，使得， 连接，由正方形的性质证明， 得， 证是的中位线，得，再证，利用勾股定理得，即可得解． 【小问1详解】 ①证明：∵四边形 是正方形， ， ， ，即， ， ； ②解：，理由为： 在 上取一点， 使得 连接， ， ， ， 点是的中点， ∴是的中位线， ， 由①得， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：，理由如下： 在延长线上取一点，使得， 连接， ∵四边形 是正方形， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $