精品解析：湖南省长沙市一中金山桥学校2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试卷

第一次检测 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（10*3=30分） 1. 下列各组数，能作为直角三角形三边长是（    ） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 1，1，2 D. 4，6，7 2. 下列计算正确的是（    ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在四边形中，，添加下列条件后仍不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在中，DE是的中位线，若DE=3，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 6. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C 对角线相等 D. 对角线相等且互相垂直 7. 如图，图中的三角形是直角三角形，四边形都是正方形，若正方形A，B的面积分别是16，9，则最大正方形C的面积是（ ） A. 30 B. 25 C. 20 D. 15 8. 若，则（    ） A. B. 0 C. D. 1 9. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，两点的坐标分别为，，则菱形的面积为（ ） A. 24 B. 48 C. D. 10. 炭河古城作为我国首个周文化主题公园，备受大家追捧，如今已成为旅游热点．在如图是古城某个绿植拐角的平面图，为了不践踏绿植，需要避开“捷径”走横平竖直的路．已知米，米，请问与捷径相比多走了多少米？（ ） A. 2米 B. 3米 C. 4米 D. 5米 二、填空题（6*3=18分） 11. 式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 12. 在中，，，点为的中点，则的长为______． 13. 请写出一个大于且小于的二次根式_____． 14. 请写出命题“如果，那么”的逆命题：________． 15. 我们在学习“实数”时画了这样一个图，即“以数轴上的单位长为“1”的线段作一个正方形，然后以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点”，如图线段的长度是______． 16. 数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容长方形面积相等（如图）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，下列说法一定正确的是_______． ① ② ③ ④ 三、解答题（17、18、19题6分一个，20、21题8分一个，22、23题9分一个，24、25题10分一个，总计72分） 17. （1）分解因式：； （2）计算： 18 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC， 求证：四边形ABED是平行四边形． 20. 设，． （1）求，的值； （2）求的值． 21. 下图为某小区绿化带示意图，已知，米，米，米，米． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）若铺设一平米草坪费用为元，请问将该绿化带铺满草坪需要多少钱？ 22. 如图，在矩形中，平分线交于点，于点，于点，与交于点． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求的长． 23. 某网店销售甲、乙两种茶具套装，甲种茶具套装的单价比乙种茶具套装的单价少30元，花1500元购进甲种茶具套装的数量是花900元购进乙种茶具套装数量的2倍． （1）求甲、乙两种茶具套装的单价； （2）某茶社准备在该网店购买甲、乙两种茶具套装共10套，花费不超过1600元，则该茶社最多可以购买多少套乙种茶具？ 24. 我们定义：对角线相等且互相垂直的四边形叫做“宁美四边形”． （1）在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“宁美四边形”的是　　（填序号）； （2）如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G，连、．求证：四边形是“宁美四边形”； （3）如图2，点F、R分别在正方形的边、上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O，若，正方形的边长为6，求线段的长． 25. 在矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，其中． （1）若，分别是，中点，则四边形一定是怎样四边形（、相遇时除外）？ 答：__________；（直接填空，不用说理） （2）在（1）条件下，若四边形为矩形，求的值； （3）在（1）条件下，若向点运动，向点运动，且与点，以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一次检测 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（10*3=30分） 1. 下列各组数，能作为直角三角形三边长的是（    ） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 1，1，2 D. 4，6，7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【详解】A． ，， ， 以2，3，4为边不能构成直角三角形，故该选项不符合题意； B． ，， ， 以3，4，5为边能构成直角三角形，故该选项符合题意； C． ，， ， 以1，1，2为边不能构成直角三角形，故该选项不符合题意； D． ，， ， 以4，6，7为边不能构成直角三角形，故该选项不符合题意； 故选：D． 2. 下列计算正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘除法及利用二次根式的性质化简，根据二次根式的运算法则逐一计算验证正误即可． 【详解】A、，故该选项错误； B、，故该选项错误； C、，故该选项正确； D、，故该选项错误， 故选：C． 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，分母有理化．根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，分母不能带根号，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、是二次根式，故本选项符合题意； B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：A． 4. 如图，在四边形中，，添加下列条件后仍不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质等知识；熟记平行四边形的判定方法是解题的关键．由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A．∵，， ∴四边形是平行四边形，故选项不符合题意； B．∵，， ∴四边形是平行四边形，故选项不符合题意； C．∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故选项不符合题意； D．∵，， ∴四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项符合题意； 故选：D． 5. 如图，在中，DE是的中位线，若DE=3，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形中位线的性质直接作答即可． 【详解】解：∵是的中位线，且， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，难度较小． 6. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角线相等且互相垂直 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质和菱形的性质，熟知矩形的性质和菱形的性质是解题的关键． 根据矩形的性质和菱形的性质逐一判断即可． 【详解】解：A、矩形和菱形的对角线都互相平分，故此选项不符合题意； B、矩形的对角线不一定垂直，菱形的对角线垂直，故此选项不符合题意； C、矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，故此选项符合题意； D、菱形和矩形的对角线都不一定相等且互相垂直，故此选项不符合题意； 故选：C． 7. 如图，图中的三角形是直角三角形，四边形都是正方形，若正方形A，B的面积分别是16，9，则最大正方形C的面积是（ ） A. 30 B. 25 C. 20 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】设正方形A、B、C边长分别为x，y，z，根据题意可知，，再根据勾股定理可求出，即最大正方形C的面积是25． 【详解】解：设正方形A、B、C的边长分别为x，y，z， 则，． ∵图中的三角形是直角三角形， ∴， ∴最大正方形C的面积是25． 故选B． 【点睛】本题考查勾股定理．熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键． 8. 若，则（    ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查算术平方根、绝对值非负性，熟练掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键． 根据算术平方根，绝对值的非负性求出a、b的值，再代入计算即可． 【详解】， ，， 解得：，， ， 故选：D． 9. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，两点的坐标分别为，，则菱形的面积为（ ） A. 24 B. 48 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算出的面积即可求解． 【详解】解：∵，两点的坐标分别为， ∴ ∴ ∵四边形是菱形 ∴ 故选：B 【点睛】本题考查菱形面积的求解．抓住是解题关键． 10. 炭河古城作为我国首个周文化主题公园，备受大家追捧，如今已成为旅游热点．在如图是古城某个绿植拐角的平面图，为了不践踏绿植，需要避开“捷径”走横平竖直的路．已知米，米，请问与捷径相比多走了多少米？（ ） A. 2米 B. 3米 C. 4米 D. 5米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，利用勾股定理求出，可得结论． 【详解】解：在中，，，， ， 则少走的长度是． 故选：C． 二、填空题（6*3=18分） 11. 式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 【答案】x≥3 【解析】 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得到关于x的不等式，解不等式即可得答案. 【详解】由题意可得：x—3≥0， 解得：x≥3， 故答案为：x≥3 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键. 12. 在中，，，点为的中点，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求得的长．掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：在中，，点为的中点， ∴是斜边上的中线， 又∵， ∴， 故答案为：． 13. 请写出一个大于且小于的二次根式_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的比较大小，根据无理数大于且小于即可求解，熟练掌握比较大小的方法是解题的关键． 【详解】大于且小于的无理数可以是， 故答案为：．（答案不唯一） 14. 请写出命题“如果，那么”的逆命题：________． 【答案】如果，那么 【解析】 【分析】本题考查了逆命题，根据题意进行解答即可得． 【详解】解：如果，那么的逆命题是如果，那么， 故答案为：如果，那么． 15. 我们在学习“实数”时画了这样一个图，即“以数轴上的单位长为“1”的线段作一个正方形，然后以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点”，如图线段的长度是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴之间的关系，勾股定理， 利用勾股定理求得对角线的长度再结合图形即可求解． 【详解】解：根据题意知， ， 故答案为： 16. 数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容长方形面积相等（如图）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，下列说法一定正确的是_______． ① ② ③ ④ 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，由题意可得四边形和四边形均为矩形，矩形的对角线将矩形平分为两个面积相等的三角形，由此逐项论证即可． 【详解】解：由矩形的性质可知，①正确； 由题意知，矩形中， ，， 四边形和四边形均为矩形， ，，②正确； ， ，③正确； ，， 现有条件无法得出， ，④错误； 故答案为：①②③． 三、解答题（17、18、19题6分一个，20、21题8分一个，22、23题9分一个，24、25题10分一个，总计72分） 17. （1）分解因式：； （2）计算： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了分解因式与实数的混合运算，掌握因式分解的方法和零指数幂、绝对值、负整数指数幂是解决问题的关键． （1）先提公因式，再利用完全平方公式，即可将多项式分解因式； （2）先算零指数幂、绝对值、负整数指数幂，再算加减法即可求解． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，利用完全平方公式进行因式分解．熟练掌握分式的化简求值是解题的关键． 利用完全平方公式进行因式分解，对括号里的进行通分，然后进行除法运算可得化简结果，最后代值求解即可． 【详解】解： ， 将代入得，原式． 19. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC， 求证：四边形ABED是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形来证明，题中已经给了一组平行的对边，只需要证明另一组对边平行即可． 【详解】证明：∵DE＝DC， ∴∠DEC＝∠C， ∵∠B＝∠C， ∴∠B＝∠DEC， ∴AB∥DE， ∵AD∥BC， ∴四边形ABED是平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，能够根据题中所给的条件选择合适的判定方法时解决本题的关键． 20. 设，． （1）求，的值； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的加减与乘除，解题的关键是能够熟练地运用二次根式的运算法则以及能熟练地运用完全平方公式． （1）将所给数据直接代入求解即可； （2）先利用完全平方公式整理，将所给数据代入求解即可． 【小问1详解】 将，代入得 ； 【小问2详解】 将，代入得 ． 21. 下图为某小区绿化带示意图，已知，米，米，米，米． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）若铺设一平米草坪费用为元，请问将该绿化带铺满草坪需要多少钱？ 【答案】（1）直角三角形，理由见解析 （2）3600元 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用； （1）根据勾股定理求得，根据勾股定理的逆定理证明为直角三角形； （2）根据三角形的面积公式求得面积，进而即可求解． 【小问1详解】 为直角三角形，理由如下： ， ， ， ， ， 为直角三角形且 【小问2详解】 总费用为：元 答：将该绿化带铺满草坪需要元 22. 如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点，与交于点． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求的长． 【答案】（1）正方形；理由见解析 （2）1 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）根据矩形性质及得，则四边形为矩形，再根据是的平分线得，由此即可得出结论； （2）根据四边形为正方形，得，证明和全等得，由此可得的长． 【小问1详解】 解：四边形为正方形．理由如下： 四边形为矩形， ． ， ， ∴四边形为矩形， ∵是的平分线， ． 四边形为正方形． 【小问2详解】 解∶∵四边形为正方形，， ． ， ． ∵是的平分线， ． 在和中， ， ． 23. 某网店销售甲、乙两种茶具套装，甲种茶具套装的单价比乙种茶具套装的单价少30元，花1500元购进甲种茶具套装的数量是花900元购进乙种茶具套装数量的2倍． （1）求甲、乙两种茶具套装的单价； （2）某茶社准备在该网店购买甲、乙两种茶具套装共10套，花费不超过1600元，则该茶社最多可以购买多少套乙种茶具？ 【答案】（1）甲种茶具的单价为150元/套，乙种茶具的单价为180元/套 （2）该茶社最多可以购买3套乙种茶具 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设甲种茶具的单价为x元/套，则乙种茶具的单价为元/套，由花1500元购进甲种茶具套装的数量是花900元购进乙种茶具套装数量的2倍建立方程求解； （2）设该茶社购买a套乙种茶具，则购买套甲种茶具，根据花费不超过1600元建立一元一次不等式求解． 【小问1详解】 解：设甲种茶具的单价为x元/套，则乙种茶具的单价为元/套，根据题意得， ， 方程两边乘，得， 解得， 检验：当时，，所以，原分式方程的解为， 元/套， 答：甲种茶具的单价为150元/套，乙种茶具的单价为180元/套； 【小问2详解】 解：设该茶社购买a套乙种茶具，则购买套甲种茶具，根据题意得， ， 解得， ∵a为整数，∴a的最大值为3， 答：该茶社最多可以购买3套乙种茶具． 24. 我们定义：对角线相等且互相垂直的四边形叫做“宁美四边形”． （1）在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“宁美四边形”的是　　（填序号）； （2）如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G，连、．求证：四边形是“宁美四边形”； （3）如图2，点F、R分别在正方形的边、上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O，若，正方形的边长为6，求线段的长． 【答案】（1）④ （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由“宁美四边形”的定义即可得出结论； （2）证，得，再由“宁美四边形”的定义即可得出结论； （3）延长交于S，由勾股定理求出长，设，则，再由勾股定理得，解得，再次利用勾股定理，即可解决问题． 【小问1详解】 平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等， 正方形是“宁美四边形”， 故答案为：； 【小问2详解】 证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是“宁美四边形”； 【小问3详解】 图，延长交于S，      由翻折的性质可知，，，，， 四边形是正方形，边长为， ，， ，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ， 即线段的长为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了新定义“宁美四边形”、折叠的性质、正方形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，三角形中位线定理等知识，熟练掌握正方形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题． 25. 在矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，其中． （1）若，分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形（、相遇时除外）？ 答：__________；（直接填空，不用说理） （2）在（1）条件下，若四边形为矩形，求的值； （3）在（1）条件下，若向点运动，向点运动，且与点，以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求的值． 【答案】（1）四边形是平行四边形 （2）四边形为矩形时或 （3）当时，四边形为菱形 【解析】 【分析】（1）利用三角形全等可得 则 即可证明； （2）分为两种情况，一种是四边形为矩形，另一种是为矩形，利用即可求解； （3）根据菱形对角线平分且垂直可证明四边形为菱形，再利用勾股定理即可求解. 【小问1详解】 解：四边形平行四边形，理由如下： 由题意得：， ∵四边形是矩形， ∴，， ， ∵分别是中点， ， ， ， ， ， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：如图1，连接， 由（1）得，，， ∴四边形是矩形， ∴， ①如图1，当四边形是矩形时， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图2，当四边形是矩形时， ∵，， ∴， ∴； 综上，四边形为矩形时或； 【小问3详解】 解：如图3，M和N分别是和的中点，连接，，，与交于O， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴，， ∴四边形为菱形， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， 即：， 解得：， ∴，即， ∴当时，四边形为菱形． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟记特殊四边形的判定与性质，在解题中灵活运用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$