江苏省南京市、盐城市2024-2025学年高三下学期第一次模拟考试数学试题

南京市、盐城市2025届高三年级第一次模拟考试 之，老择丽，本那共3小题，每小题6分，秀18分.在每小题给出的选项中，有多项特合题目要求.全 部法对的限4分，部分这对的得部分分，不蓬或有遂情的得0分。 数学 9已知e9o%i-子6os(a+=},则 注意事烫： A.inng-克 且eoe-m-古C.taneang--} D.a2aa2p-是 1,本以卷考试时同为10分钟，试卷得分150分，考试形式阳卷 1.在边长为2的整形ABCD中，∠BAD-营，格楚形ACD箱对唐线BD折或四面体'5CD, 2本试卷中斯有试题必所作答在答题卡上规定的位置，否则不给分 棱得∠NBC-受，则 3.答题前，务秘将自己的蜂名，准考证号用05毫米属色重水鉴字第填写在试卷及答题卡上 一达择暴：本是共卷小题，每小题5分，共和分.在每小测给出的四个法项中，只有一项是持合题目 A直线AC与直线BD所成角为经 B直线C与平面CD所成的余微值为吾 要求的 C四面体XBCb的体积为，互 D.国置体A'BCD外报球的妻亚积为8时 1.段集合A■xx一40)，®=(xz+a01.若A二B,则实数a的取值范围是 11.E知函数fa)南足：对任意yeR,xy)+/x)=f,且当0<x<1时，/x>a.下 A,（=e,2) B(一0] C.(-9,-20 D.(-6∞，-2] 列说法正确的是 之日知复数：寓是品一G为应数单位)，则一 A.o)+f)=0 且.了x)为偶函数 C.当lxl>1时fx)<0 D,fx)在1，+e)上单调谦减 A.4 B.2 C.1 D.是 兰，填空庭：本题共多小组，每小题5分，共15分 3已知e,语e均为单位向量.若a-十，最与e夹角的大小是 1达看函数f化)r十如or的西象关于直线x一受对称，则实数a的值摄人一 A晋 R音 c等 D 1a,已勿指固C:专+y一1的上顶点为直线y一杠+m交C于M,N两点，去△AMN的重 4.某项比赛共有10个评委评分，看去掉一个量高分与一个量低分，划与原始数据相比，一定不 心为（生，0），则笑载上的值是▲一 查的是 14将9个互不相同的向量a=(),x%E(-1,0,1.-1,3·9,填人3×3的方格中，使 A极差 B,45百分位数 C,平均数 D.众数 得每行、每到的三个肉量的和都相等，则不局的填齿种数是▲ 五已知数列{也}为等出数列，公比为2，且@1十一表若a,十a4十a4t十+a44,=一，则正 召，解答题，本题共5小蹈，典77分.解客应写出文字说明，正明过程发清氰步障 整数A的值是 15.(本小绍满分15分)】 A.4 Bs C6 D.7 加图，△AC内接于圆O,AB为图O的直经，CD⊥平置AC,E为战反AD中点： (1)求正，平面BCEL面CD: &在脱角△ABC中，角A,B,C断对约边分别为a山，着-2一@osC-2cosB,居斧- 2)若AB=√了，C=1,CD=?√3，求平面BCE与平■BDE所成锁二面地的余弦值 A号 B号 C1 D.2 不已知取自线C后-首=1a>0,6>0》的左常点：右厦衣分别为F,A,过点F幅料角为片的直 线交C的两条新近线分别于点M,W若△AMN为等边三角形，则双由找C的渐近线方程是 Ay士 士C=± Dy-士 1 8.已知函数/)-。中一2>1，则关于z的不等式/儿+/八5x6)>1的解集是 A.(-6,1) B.2,3) C(-oo,1) D.2,+o) 第15题图 高三数学试卷第1夏（其4页） 高已散学试卷尾：（共4 16(本小题霭分15分) 已如数列a)的前作项和S.病足三=山+(1一nEN”为常数，且a,一4，十2 18.本小题裤分17分)】 已每属数f《x)=十a恤x (1)究：的值： (2)匠明，{位.}为等数列： 1)当a-0时，求证：但>x+1, (3)带w<S.<n+1》F,n∈N”,求a1的取值葱圈： (2)若(x之0对x后(0)恒成立，求的取值蓖围： (3)若存在x,∈(0，)，使得f(国)=fx:)■0，求证2x 17.(本小题请分15分) 1.(本小题清分17分) 甲，乙两人组队准备参如一项挑战此赛，该挑战比赛共分(x∈N·,2)关，规则如下，首先 授M是由直线构成的集合，对于由线C,春C上任意一点处的好线均在4中，且M中的任意 某队员先上扬从第一关开始抵战，若挑成成功，则该民员毽城跳最下一关，否则该队县被海 一条直线辄是C上某成处的切线，则称C为M的包络由线。 社，并由第二名队员授力，从上一名队员失败的关卡开始塘续擒成，当两名队员均被海达家 (1)已如圆Cx+2一】为4的包峰由战，判新直线la-3oa8=1(9为#数，∈R)与 者▣关霉扬战成功，挑成比睿结束，若甲每一关排截成动的辄率均为产(0<户<1)：乙每一关 奥合M的关系： 挑战成功的概率均为g(0<q<1),且甲、乙两人每美姚战成动与否互不影响，每关成功与香 (2)已知如的包路由线为C士=4，直线k山∈M录4，山与C:的公共点分别为P,Q, 我互不影纳. 记几a■AC的焦成为F a已知甲先上杨，净=子g一子m=2, ①证明，FA是FP,Q的等比中项： ①求挑战设有一关成功的餐率， ②者底A在图+(+-1上，求路的最大直 ②设X为挑业比赛轴束时艳战战功的关卡数，求E(X), ()如果州关福挑成成功，那么比赛麓战成功.试判新甲先出畅与乙先出据蛇赛挑载成功的 概率是否相同，并说明理宙， 高三数学试卷第闲页《我4) 属三数学试世第4更（共别风）南京市、盐城市2025届高三年级第一次模拟考试 数学参考答案 2025.03 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.D2.B3.C4.B5.B6.D7.C8.A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分。 9.BC 10.ABD 11.ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.5 3.寻 14.72 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 解：(1)因为△MBC内接于圆O,AB为圆O的直径，所以AC⊥BC.……1分 因为CD⊥平面ABC,BCC平面ABC,所以CD⊥BC。…3分 又AC,CDC平面ACD,AC门CD=C,所以BC⊥平面ACD.…4分 因为BCC平面BCE,所以平面BCE⊥平面ACD.+…6分 (2)因为CD⊥平面ABC,AC,BCC平面ABC,所以CD⊥AC,CD⊥BC. 以C为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 因为AB=5,BC=1,所以AC=2, 则42,0,0)，B0,1,0),D0,0,2V3),E1,0,V5), 所以CE=1,0,5,CB=0,1,0). 设平面BCE的法向量m=(:片，小 m…C正=0 a+V51=0, 由 m·CB=0, 得=0 不妨设=1，则=-5 所以平面BCE的一个法向量m=(一V5,0,1).…8分 又BD=0,-1,2V5),DE=(1,0,-V5), 设平面BDE的法向量n=(a,2,), 2.8D=0,」上n+25a=0, 由 ·Di=0, 得a-5a=0, 不妨设2=1，则=5，均=2V5. 所以平面BDE的一个法向量n=(5,2V5,1).……10分 所以c0s<m,n>=mn=-1 ……12分 4 即平面BCE与平面BDE所成锐二面角的余弦值为 44……+4……4…3分 16.(本小题满分15分) 解：(1)因为=a,+1-n,n∈N, 所以2=m-h,即a1一=21. …2分 又阳=引十2，所以=1。………4分 (2)因为-a+1-m,n∈N,所以S,=a十n-, 因此S+1=(n十1)a+1十n十1一(n十1，………………6分 2 相减得aa+1=(m十1)a+1一nan一2n, 得am+1一an=2,n∈N, 所以{}为等差数列。………………………10分 (3)由(2)得S=m1+-山x2=r+a-1m, **4+1】分 2 由㎡<S<(n+I,neN,得1<a<3+ …13分 因为1<am<3+对n∈N恒成立， 所以1<阻≤3。……15分 17.(本小题满分15分) 解：(1)①记甲先上场且挑战没有一关成功的概率为P, 则P=1-p1-q-方 ………3分 ②依题可知，X的可能取值为0,1,2，则 =0-号 P==I-p1-g+-p-gX-共-- ………5分 =2)=1-L点=2 …7分 31818 所以0=0×+1X点+2×7-19 …………8分 18 1818 (2)设甲先出场比赛挑战成功的概率为P1,乙先出场比赛挑战成功的概率为乃， 则P1=p十(1一pq十p1一p)g2+…十(1一p灯…10分 =p+p"q+p++q)-(prq+pg+pq++pq): 乃=g十(1-qp十g气1-qp2十…十(1一qp…………12分 =(+gp+gp+…+p）-(4p+p+gp++qp 由p+pPq+pq+…+q"=+qp+qp++p pq+pq2+p7g3+…+p"=4p+4p2+qp+…+qp 得P=P3 因此，甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率相同.……………15分 18.(本小题满分17分) 解：(1)由a=0,得fx)=e. 要证但x十1，只要证c-x-1>0。……2分 令gx)=e-x-1,则gx)=e-1. 当x∈（一o,0时，gx)<0,则gx)单调递减， 当x∈(0，+∞时，gx)>0,则gx)单调递增， 所以g)>g0)=0,即e>x+1, 因儿但今x+1.…4分 (2)f(x)=(x+D)e'+acosx.f"(x)=(x+2)e*-asinx. ①当a≥0时， 由x∈(0，π.得xe>0,asinx≥0， 因此x)>0,满足题意。 ……5分 ②当a<0时， 由x∈(0，，得(x+2)e>0,-sinx>0, 因此∫气x)>0,则∫x)在(0，)上单调递增.……6分 1°若一1≤a<0,则f>f0)=1十a≥0，则x)在(0，)上单调递增， 所以x)>O)=0,满足题意： 小…8分 2°若a<-1,则f0<0,f>0, 因此/代在0，存在唯一的零点，且∈0， 当0<x<x和时，fx)K0,fx)单调递减， 当物<x<π时，f气x)>0,x)单调递增， 所以)<0)=0，不合题意. 综上，☑的取值范围为一1，十6∞.…10分 (3)由(2)知a<一1，设物=x2,则x)在(0，)上单调递减，在(2，)上单调递增， 注意到0)=0，x)<0)=0,)=c>0, 故fx)在(0，)上存在唯一的零点，∈(，) 注意到x,2∈(，，且x)在(，)上单调递增. 要证明x1<2,只要证x)<f(2x2, 因为x)=0,所以只要证f(2x)>0, 即证2x心2十5n22>0.…+……13分 因为+1e8+ac0sn=0,即a=一+1e COSY2 所以，只要证2xe-十Ie -sin2x2>0, COSY2 只要证xc0-6:+l小n>0.6∈0.爱（9）.15分 由(1)得c>十1， 因此xc-(x2+1)sin>x2+x2一(n+1sin=(+1)(-sinx). 设=一n,0长受 则h《x)=1一cosx>0,所以hx)在(0. 上单调递增， 所以Mx)>h0)=0, 从而M)>0,即2一si2>0,因此(*)得证， 从而x有<2x。…17分 19.(本小题满分17分) 1 (1)解：圆心C到1的距离d= sin0+(-cosop =1, 即直线1与圆C相切，所以后山，…………………………………………3分 (2)方法1 ①证明：由)=六知0，少小C的准线方程为)=-1， 2 设As,),Px,n),Q2, 因为h∈h,且h与C2的公共点为P,所以h是曲线C在点P处的切线， 其方程为P4:y=x(x一x)十，即y=xx一， …5分 2 则=xs一y() 同理，Q:y=Lx一方，则=s一为() 2 2 由(X*)得直线PQ的方程为=一少，即y=l一1.…7分 2 f2=4y =Lx-1,消去x,得y2+(21-5y+P=0,则m+2=s2-21,nm= 2 又因为FP=片+1，FQ=十1， 则FPF0=0m+102+1)=y+2++1=2-21++1=2+(-1). 又因为FP=2+(I-1P,所以FEP=FPFQ, 故FA是FP,FQ的等比中项.… 9分 ②解：由①知，EM=FP·FQ=F2, FP2 FP2 FP 则EQ+FP-2+1+h+1 …1们分 FPF0+1'2+1 =2+-2 ，=2+3-40 …13分 0m+1002+1)s2+-1P 因为s2+(+1P=1,所以s2+(1-1P=1一4 则E2+FP=2+2一40， FP FO 1-41 又因为-2≤1<0,5≤1，则6-40<二40=≤1， 1-41 1-4/ 从而可得EE+FP≤3， …15分 FP2 FA2 解得1≤1+⑤ FP 2 6 当4，-1.P1-5,35时等号成立 故4的最大值为1+5 FP 方法2 ①证明：由感意知A0,小)一子则/ 设P2m,m2),Q2n,,m≠m. 因为∈h,且h与C2的公共点为P,所以h是曲线C2在点P处的切线， 所以p:y-m2=mx-2m）,即y=m一m㎡2，()…5分 同理Q4:=瓜一示，() 联立())得x=m十n,y=mn,即A(m十，mm）,…7分 所以E=(m+nP+(mm-1)P=m2十m2+mm+1=(m2+1Xr+1), 注意到FP=m+1,FQ=m2+l,因此FP=FPFQ, 所以A是FP,F观的等比中项。…9分 ②解：由①知， 唑=+出设=+出 Fp2 m+1' m2+1 则+=+1m+L 44……11分 1m2+1R+1 m2(m+22mn 2㎡2+m2+m2+1 m2n2+m2+m2+1 =2+m-nm+n2 ≤2+(m+ …13分 (mn十1)2+(m一 因为点A(m十，mm)在圆十0y十1)=1上， 所以(m+nP十(mn+1P=1,于是m+n)2≤1， 从而1十≤3， …15分 解得3-5≤1≤3+5，即5-1E4≤5+出 2 2 FP 2 又当41.-.m-5,35时，4-5+出 2 FP 2 故4的最大值为+⑤ ……*…………17分 F