精品解析：河南省部分名校2024-2025学年高一下学期3月联考数学试卷

2027届普通高等学校招生全国统一考试 大联考（高一） 数学（人教版） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列量中是向量的为（ ） A. 课桌的高度 B. 一段路程的公里数 C. 上课时老师敲击黑板的频率 D. 小汽车受到路面的弹力 2. 已知集合，集合B满足，则a的所有可能取值的集合为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，则=（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 4. 已知向量，向量，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 若，是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（ ） ①和 ②和 ③和 ④和 A ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 6. 已知，且，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 在一个建筑工程中，工程师需要根据斜坡的倾斜角度来计算一些结构的受力情况.设斜坡的倾斜角度为，经测算分析，发现，若该斜坡的摩擦系数为，则此系数的值为（ ） A. B. C. D. 8. 记钝角三角形ABC内角A，B，C对边分别为a，b，c，已知，，，则线段BD的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知幂函数（a，b为常数），则下列说法正确的有（ ） A. B. 若，则与表示同一个函数 C. 若，则为奇函数 D. 若，则为偶函数 10. 如图，在平面直角坐标系xAy中，，，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 四边形ABCD的面积为 C. 外接圆的周长为 D. 11. 已知函数，φ为常数，则下列说法正确的有（ ） A. 的最小正周期为π B. 当时，的值域为 C. 在，上单调递增 D. 若对于任意的φ，函数（a为常数）的图象均与曲线相交，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题p：，的否定为______． 13. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则A=______． 14. 已知平面向量，，满足，，若，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在四边形ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，，记AC，BD相交于点M．结合平面向量的有关知识回答下列问题． （1）证明：； （2）若，写出2个与共线的向量（不用证明）； （3）若，证明：E，M，F三点共线． 16. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知． （1）证明：； （2）证明：； （3）若点D在线段AB上，，，求a的值． 17. 某高中高一学生成立了课外实践数学小组，计划通过数学建模的方法来测量某人工圆形湖泊的直径，如图为该人工湖泊的大致俯视图，该小组成员首先在湖泊边缘处A点处固定一旗帜，然后从A点沿逆时针方向绕着湖泊边缘走到B点处固定一旗帜，并在红外线角度测量仪的帮助下从B点逆时针走至C点处，此时测得∠ABC=120°，且测得BC=20米，AB=10米． （1）求该人工圆形湖泊的直径； （2）若D为人工圆形湖泊优弧上一动点（异于A，C两点），求四边形ABCD面积的取值范围． 18. 近日，DeepSeek火爆出圈，其本质在于技术创新和产业影响，它通过高效算法和工程技术，显著降低了AI模型的训练成本，同时也代表着我国在AI技术方面的迅速发展和进步.相关数学建模小组通过对某AI软件的研究发现：当该程序利用后台的算法处理数据量为N（单位：字节）的数据时，处理时间t（单位：秒）满足关系式（其中，均为常数）．已知当时，；当时，． （1）求，的值； （2）若该程序利用后台算法处理一份数据量数据，求所需的处理时间； （3）若将（2）中的数据分为两份，数据量分别为和，其中，，，依次由该程序处理，求所需的总处理时间的最小值． 19. 如图，已知半径为2的扇形OAB的圆心角为，C为线段OA的中点，D是上一动点（包含A，B两点）． （1）求取值范围； （2）当时，以，为一组基底向量表示； （3）若（x，），求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2027届普通高等学校招生全国统一考试 大联考（高一） 数学（人教版） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列量中是向量的为（ ） A. 课桌的高度 B. 一段路程的公里数 C. 上课时老师敲击黑板的频率 D. 小汽车受到路面的弹力 【答案】D 【解析】 【分析】由向量的概念，可得答案. 【详解】因为向量是既有大小，又有方向的量，而高度、公里数、频率只有大小，没有方向， 弹力既有大小，又有方向，所以弹力是向量. 故选：D． 2. 已知集合，集合B满足，则a的所有可能取值的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据题设等式得出与的关系，确定的可能取值，即得所有可能取值的集合. 【详解】易知，所以，因此或π， 所以a的所有可能取值的集合为． 故选：D． 3. 已知向量，，则=（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量线性运算与数量积的坐标表示，可得答案. 【详解】由题意可得，故． 故选：B． 4. 已知向量，向量，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用投影向量的计算公式，在上的投影向量为. 【详解】在上的投影向量为． 故选:A． 5. 若，是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（ ） ①和 ②和 ③和 ④和 A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 【答案】B 【解析】 【分析】可根据向量共线定理，判断两个向量是否共线，即可. 【详解】由题意可得，是平面内一组基底向量. ，故这是一组共线向量，无法作为基底向量，故①错误； 假设与是一组共线向量，由平面向量基本定理可得存在非零常数k使得，易知k不存在，矛盾，故与不是共线向量，可以作为一组基底向量，故②正确； 同理可得和也不是共线向量，可以作为一组基底向量，故③正确； ，故这是一组共线向量，无法作为基底向量，故④错误， 故满足题意的为②③. 故选：B． 6. 已知，且，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】条件结合指数函数性质可得，再利用基本不等式求的最小值. 【详解】由题可得，且，均为正数， 故， 即，当且仅当，时取等号. 所以的最小值为. 故选：D 7. 在一个建筑工程中，工程师需要根据斜坡的倾斜角度来计算一些结构的受力情况.设斜坡的倾斜角度为，经测算分析，发现，若该斜坡的摩擦系数为，则此系数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正切的二倍角公式由求出的值，再将所求式子利用三角函数的二倍角公式及同角三角函数的基本关系转化为关于的式子，最后代入的值进行计算. 【详解】已知，则， 即，解得， 因为，故， 故． 故选：B． 8. 记钝角三角形ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则线段BD的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据钝角三角形的性质以及余弦定理求出边的取值范围，再利用向量关系和余弦定理得出关于的表达式，最后根据的取值范围求出的取值范围. 【详解】由是钝角三角形且可得，，故， 由题意知，，故，；由得，，故． 由得，，则， 故，由知，线段BD的取值范围是． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知幂函数（a，b为常数），则下列说法正确的有（ ） A. B. 若，则与表示同一个函数 C. 若，则为奇函数 D. 若，则为偶函数 【答案】BD 【解析】 【分析】由幂函数定义结合对数函数性质求得值，判定A；根据函数的定义，从定义域值域两方面判定是否为同一函数，判定B;利用函数奇偶性的定义判定CD. 【详解】由幂函数定义可得，解得，故A错误； 若，则，，定义域、对应关系、值域均相同，故与表示同一个函数，故B正确； 若，则，故为偶函数，故C错误； 若，则，故为偶函数，故D正确. 故选：BD． 10. 如图，在平面直角坐标系xAy中，，，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 四边形ABCD的面积为 C. 外接圆的周长为 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算求得即可求解选项A；根据四边形的面积为求解选项B；利用正弦定理求解选项C；利用向量数量积公式求解选项D. 详解】由题意可得， 所以，故A错误； 过点C作x轴的垂线，设垂足为点E，过点D作x轴的垂线，设垂足为点F， ， 则四边形的面积为 =，故B正确； 因， 在直角三角形中，易得， 设外接圆的半径为R，由正弦定理，，解得， 故外接圆的周长为，故C正确； 因，， ，故D错误. 故选：BC． 11. 已知函数，φ为常数，则下列说法正确的有（ ） A. 的最小正周期为π B. 当时，的值域为 C. 在，上单调递增 D. 若对于任意的φ，函数（a为常数）的图象均与曲线相交，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用三角恒等变形化简得，然后利用三角函数的性质求解判定ABC；利用分类讨论方法，研究函数的值域，进而得到实数的取值范围. 【详解】由题意可得 ． 易得的最小正周期为，故A正确. 当时，，其值域为，故B错误. 当时，单调递增， 故在上单调递增，故C正确. 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，， 故且. 当时，，此时； 当时，，此时. 故． 综上所述，，故D正确. 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题p：，的否定为______． 【答案】， 【解析】 【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题可写出. 【详解】原命题的否定为：，． 故答案为为：，． 13. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则A=______． 【答案】#### 【解析】 【分析】首先利用半角公式将原式化为关于的等式，再和余弦定理比对，得到等量关系解出角. 【详解】对于等式左边，；对于等式右边，由于， 代入等式整理得，由余弦定理可得， 故，因为，所以，因为，所以． 14. 已知平面向量，，满足，，若，则的最小值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据已知的向量数量积等式，利用向量投影的性质得出投影向量长度，再结合向量垂直的条件构建几何关系，进而分析的最小值情况. 【详解】不妨固定向量，，的起点为同一点，因为，由向量投影的性质，在方向上的投影向量的长度为1． 由，可知，故在向量方向上的投影向量的长度为1． 又因为，所以，，可以围成如图所示的直角三角形， 由图知，当与的夹角为时，平行于，此时取得最小值2． 故答案为：2. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在四边形ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，，记AC，BD相交于点M．结合平面向量的有关知识回答下列问题． （1）证明：； （2）若，写出2个与共线的向量（不用证明）； （3）若，证明：E，M，F三点共线． 【答案】（1）证明见解析 （2），，，，，，，，． （3）证明见解析 【解析】 【分析】利用数形结合，结合向量的线性运算，可得答案. 【小问1详解】 证明：因为E为AB的中点，所以， 则， 故． 【小问2详解】 由，，则四边形为平行四边形， 由向量的概念可得在四边形ABCD中，与共线的向量有 ，，，，，，，，． 【小问3详解】 证明：设，又因为，所以，， 由（1）知，同理， 其中，所以， 故E，M，F三点共线. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知． （1）证明：； （2）证明：； （3）若点D在线段AB上，，，求a的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由已知结合正弦定理及余弦定理进行化简可求，进而求得，本题得证； （2）利用反证法证明即可； （3）由条件可得，得到，再结合条件及即可求得a的值. 【小问1详解】 证明：由正弦定理可得，即， 由余弦定理， 得， 又，故． 【小问2详解】 证明：若，则是等边三角形，则， 而由可知，矛盾，故，得证． 【小问3详解】 因为，， 所以， 由相似可知， 又， 故， 又，代入得， 解得（负值舍去）， 即a的值为． 17. 某高中高一学生成立了课外实践数学小组，计划通过数学建模的方法来测量某人工圆形湖泊的直径，如图为该人工湖泊的大致俯视图，该小组成员首先在湖泊边缘处A点处固定一旗帜，然后从A点沿逆时针方向绕着湖泊边缘走到B点处固定一旗帜，并在红外线角度测量仪的帮助下从B点逆时针走至C点处，此时测得∠ABC=120°，且测得BC=20米，AB=10米． （1）求该人工圆形湖泊的直径； （2）若D为人工圆形湖泊优弧上一动点（异于A，C两点），求四边形ABCD面积的取值范围． 【答案】（1）该人工圆形湖泊的直径为米 （2）四边形ABCD面积的取值范围为（平方米） 【解析】 【分析】（1）在中，由余弦定理求得，利用正弦定理求得直径； （2）利用三角形面积公式求得，利用四点共圆性质及余弦定理，结合基本不等式求得的最大值(，)，进而得到的最大值，从而得到四边形ABCD面积的取值范围. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得， 即， 故米． 设该人工圆形湖泊的半径为R， 故， 所以该人工圆形湖泊的直径为米． （2）易得， 因为A，B，C，D四点共圆，所以， 设，，由余弦定理可得， 所以， 当且仅当时取等号， 故四边形ABCD面积的取值范围为（平方米）． 18. 近日，DeepSeek火爆出圈，其本质在于技术创新和产业影响，它通过高效的算法和工程技术，显著降低了AI模型的训练成本，同时也代表着我国在AI技术方面的迅速发展和进步.相关数学建模小组通过对某AI软件的研究发现：当该程序利用后台的算法处理数据量为N（单位：字节）的数据时，处理时间t（单位：秒）满足关系式（其中，均为常数）．已知当时，；当时，． （1）求，的值； （2）若该程序利用后台算法处理一份数据量的数据，求所需的处理时间； （3）若将（2）中的数据分为两份，数据量分别为和，其中，，，依次由该程序处理，求所需的总处理时间的最小值． 【答案】（1）， （2）所需的处理时间为秒 （3）所需的总处理时间的最小值为秒 【解析】 【分析】（1）由题干中的函数解析式以及给定的值，建立方程组，结合对数运算，可得答案； （2）由（1）所得函数解析式，代入给定值，可得答案； （3）由基本不等式，可得答案. 【小问1详解】 由题意得，故， 两式相减可得，故， 故． 【小问2详解】 由（1）可知，当时，， 故所需的处理时间为秒. 【小问3详解】 ， 当且仅当时取等号， 故所需的总处理时间的最小值为秒. 19. 如图，已知半径为2的扇形OAB的圆心角为，C为线段OA的中点，D是上一动点（包含A，B两点）． （1）求的取值范围； （2）当时，以，为一组基底向量表示； （3）若（x，），求最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1），则可得即可求解； （2）由图可得，，再根据投影向量确定，即可求解； （3）因为，，所以再结合（2）可得进而利用正弦函数的性质即可求最大值. 【小问1详解】 设，， 因为， 故， 所以的取值范围为． 【小问2详解】 ， 则在方向上的投影向量为， 在方向上投影向量为， 所以， 所以， 将代入，得． 【小问3详解】 因为，， 所以， 又由（2）知， 故 则， 因为，所以当且仅当时，取得最大值1， 故的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$