精品解析：重庆市第二十九中学校2024-2025学年九年级下学期定时作业（一）数学试题

九年级下定时作业（一） （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据“正数大于负数，两个负数，绝对值大的而反而小”进行比较即可判断求解，掌握实数的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵正数大于负数， ∴最小的数在和中， ∵，， 又∵两个负数，绝对值大的而反而小， ∴， ∴最小的数是， 故选：． 2. 史料证明：我国是最早认识负数，并进行相关运算的国家．古籍中记载了利用算筹实施“正负术”的方法，若图表示的是计算的过程，则图表示的过程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加法、正负数的定义，解题的关键是理解图表示的计算． 由图可以看出白色表示正数，黑色表示负数，观察图即可列式． 【详解】解：由图知：白色表示正数，黑色表示负数， 所以图表示的过程是：， 故选：A． 3. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解是指将几个单项式和的形式转化为几个单项式或多项式的积的形式，逐个判断即可，熟练掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解是解题的关键． 【详解】解：、，是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； 、，等式的左边不是一个多项式，等式右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； 、，符合因式分解的定义，是因式分解，符合题意； 、，等式右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； 故选：． 4. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，与的面积比为，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，熟记位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，得到，得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形， ，， ， ， 与的面积比为， ∴， ， ∴， 故选：C． 5. 下列说法中正确的是（　　）． A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是正方形 C. 平行四边形的对角线平分一组对角 D. 矩形的对角线相等且互相平分 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形和正方形的判定方法容易得出A、B不正确；由平行四边形的性质和矩形的性质容易得出C不正确，D正确． 【详解】∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴A不正确； ∵对角线互相垂直的矩形是正方形， ∴B不正确； ∵平行四边形的对角线互相平分，菱形的对角线平分一组对角， ∴C不正确； ∵矩形的对角线互相平分且相等， ∴D正确； 故选D． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、正方形的判定；熟练掌握平行四边形、矩形、正方形的判定与性质是解决问题的关键． 6. 某农业合作社在春耕期间采购了，两种型号无人驾驶农耕机器，已知每台型机器的进价比每台型机器进价的2倍少万元；采购相同数量的，两种型号机器．分别花费了万元和万元．若设每台型机器的进价为万元，根据题食可列出关于的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用．熟练掌握分式方程的应用是解题的关键． 设每台型机器的进价为万元，则每台型机器的进价为万元，根据采购数量相同可列方程． 【详解】解：设每台型机器的进价为万元，则每台型机器的进价为万元， 依题意得，， 故选：C． 7. 如图，用个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为．记这个图形的周长（实线部分）为，则下列整数与最接近的是（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，无理数的估算，掌握勾股定理的计算，无理数的估算方法是解题的关键． 根据勾股定理得到第九个直角三角形的斜边长，得到该图形周长，根据无理数的估算即可求解． 【详解】解：每一个直角三角形都有一条直角边长为，如图所示， ∴左起第一个直角三角形的斜边长为， 第二个直角三角形的斜边长为， 第三个直角三角形的斜边长为， 第四个直角三角形的斜边长为， ， ∴第九个直角三角形的斜边长为， ∴这个图形的周长（实线部分）为， ∵，， ∴，即， ∴， ∴最接近的是13， 故选：B ． 8. 如图，边长为的正方形的中心与半径为的的圆心重合，，分别是，的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆面积的计算，正方形的性质，勾股定理，正确识别图形是解题的关键． 延长交于，先根据勾股定理算出，根据圆和正方形的面积公式进行列式计算，即可得到结论． 【详解】解：延长交于，连接，过点O作于H． ∵边长为的正方形的中心与半径为的的圆心重合， ∴ 在中， ， ∵， ∴， ∴， 则图中阴影部分的面积 故选：A． 9. 如图，在一张矩形纸片中，对角线，点分别是和的中点，现将这张纸片折叠，使点落在上的点处，折痕为，若的延长线恰好经过点，则点到对角线的距离为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设DH与AC交于点M，易得EG为△CDH的中位线，所以DG=HG，然后证明△ADG≌△AHG，可得AD=AH，∠DAG=∠HAG，可推出∠BAH=∠HAG=∠DAG=30°，然后设BH=a，则BC=AD=AH=2a，利用勾股定理建立方程可求出a，然后在Rt△AGM中，求出GM，AG，再求斜边AM上的高即为G到AC的距离. 【详解】如图，设DH与AC交于点M，过G作GN⊥AC于N， ∵E、F分别是CD和AB的中点， ∴EF∥BC ∴EG为△CDH的中位线 ∴DG=HG 由折叠的性质可知∠AGH=∠B=90° ∴∠AGD=∠AGH=90° 在△ADG和△AHG中， ∵DG=HG，∠AGD=∠AGH，AG=AG ∴△ADG≌△AHG（SAS） ∴AD=AH，AG=AB，∠DAG=∠HAG 由折叠的性质可知∠HAG=∠BAH， ∴∠BAH=∠HAG=∠DAG=∠BAD=30° 设BH=a， 在Rt△ABH中，∠BAH=30° ∴AH=2a ∴BC=AD=AH=2a，AB= 在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2 即 解得 ∴DH=2GH=2BH=，AG=AB= ∵CH∥AD ∴△CHM∽△ADM ∴ ∴AM=AC=，HM=DH= ∴GM=GH-HM= 在Rt△AGM中， ∴ 故选B. 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形与相似三角形的判定与性质，以及勾股定理的应用，解题的关键是求出∠BAH=30°，再利用勾股定理求出边长. 10. 已知，（为正整数），下列说法：①；② ；③；④若，则的最小值为3．其中正确选项的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据新定义得出 ，，进而判断①②；根据新定义得出，进而根据分式的性质化简判断③，根据已知条件化简，得出，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴ ∴，故②不正确； ∵， ∴，故③不正确； 若 即 ∴的最大值为，没有最小值，故④不正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了新定义运算，分式的混合运算，二次函数的性质求最值，熟练掌握分式的化简求值，理解新定义是解题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂、特殊角的三角函数值，熟练掌握相关知识点是解题的关键．先根据负整数指数幂的法则化简，再代入特殊角的三角函数值，最后利用实数的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 如图，一架小提琴中、、各部分长度的比满足，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割比的应用；正确建立方程是解题关键．设，，则，根据建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设，，则， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， 经检验，是所列分式方程的解， ∴， 故答案为：． 13. 非物质文化遗产是我国传统文化的优秀代表．深圳市非物质文化遗产有上川黄连胜醒狮舞、大船坑舞麒麟、潮俗皮影戏、沙头角鱼灯舞等．小聪和小颖商定从“上川黄连胜醒狮舞”、“大船坑舞麒麟”、“潮俗皮影戏”、“沙头角鱼灯舞”四种中各随机选择一种，用于宣传深圳的非物质文化遗产，两人恰好选中同一种的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了画树状图法求概率, 画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解． 【详解】解：根据题意，“上川黄连胜醒狮舞”、“大船坑舞麒麟”、“潮俗皮影戏”、“沙头角鱼灯舞”四种非物质文化遗产分别记为 画出树状图如下： 一共有16种等可能的情况，两人恰好选中同一种的情况有4种， （两人恰好选中同一种）． 故答案为：． 14. 若关于的不等式组有且仅有4个整数解，且关于、的方程组的解为整数，则所有满足条件的整数的值之和为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和解二元一次方程组，先求出一元一次不等式组的解集，再根据不等式组有且仅有4个整数解，得出，进而求得a的取值范围，再根据加减消元法用a表示出y的值，根据方程组的解为整数，即可得出满足条件的整数的值，进而即可求出答案． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 关于的不等式组有且仅有4个整数解， ， 解得， ， 得，， ∵方程组有解，且a为整数， ∴或， ， 关于、的方程组的解为整数， 当时，，， 当时，，， 所有满足条件的整数的值之和为， 故答案为：． 15. 如图，矩形中，点，分别在边，上，且，，的外接圆恰好切于点，交于点，连结若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先证，求出，连接并延长，交于点M，求出半径，进一步求出直径，再连接，过点E作于点N，分别在及中求出与的长度，最后相加即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 如图，连接并延长，交于点M， ∵的外接圆恰好切于点， ∴， ∵， ∴， 则四边形为矩形， ∴， 设半径为r， 在中，， ∴， 解得，， ∵， ∴为的直径，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 过点E作于点N， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， 在中， ， ∵， ∴在等腰中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形相似的判定与性质，等腰直角三角形的性质，切线的性质，垂径定理，圆周角定理、勾股定理等，解题的关键是作辅助线利用特殊角构造直角三角形来求相关线段的长度． 16. 图是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度． （1）当面汤的深度为时，汤面的直径长为______； （2）如图，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液面宽度______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（）设点的坐标为，则抛物线的表达式为则点的坐标为： ，点再用待定系数法即可求解； （）确定直线的表达式为，求出，进而求解； 本题考查了二次函数 ，一次函数 以及直角三角形在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键． 【详解】（）以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，如图： 设点的坐标为：，则抛物线的表达式为， 则点的坐标为，点， 将点的坐标代入抛物线表达式得： ， 解得：， 即抛物线的表达式为：， ∴， 故答案为：； （）将瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止， ∴所以旋转前与水平方向的夹角为， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入上式的：直线的表达式为：， 联立并整理得：， 则，， 则， 则， 由的表达式知，其和轴的夹角为，则， 故答案为：． 三、解答题（17题16分，其余每题10分，共86分） 17. 计算： （1）． （2） （3） （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算、整式的混合运算、分式的混合运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据乘方、算术平方根、绝对值、立方根的运算法则计算即可求解； （2）利用完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则化简，再合并同类项即可； （3）利用多项式除以单项式、单项式除以单项式的运算法则计算即可； （4）根据分式的混合运算法则化简即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 18. 在学习角平分线判定的过程中，小凤遇到一个问题：在四边形中，，，交于点．求证：平分．他的思路，首先过点作的垂线，利用三角形全等得两垂线段相等，由角平分线的判定，使问题得到解决．请根据小凤的思路完成下面的作图和填空． 证明：用直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为．（保留作图痕迹） ∵，， ∴ ① ， ∵，， ∴ ② ， 又∵ ③ ， ∴ ④ ， ∴ ⑤ ， ∵，， ∴平分． 【答案】 ，，，， 【解析】 【分析】本题考查了垂线的画法，全都三角形的判定和性质，角平分线的判定，先根据垂线的画法画出图形，根据补角性质得到，即得到，进而得到，最后根据角平分线的判定即可求证，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】略 19. 某校为确保学生安全，开展了“远离溺水·珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名学生的成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x表示），将学生竞赛成绩分为A，B，C三个等级：A：，B：，C：．下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩为：75，76，85，85，87，87，87，94，96，98； 八年级10名学生的竞赛成绩在B等级中的数据为：82，83，86，89，89． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示： 学生 平均数 中位数 众数 方差 七年级 87 86 b 52.4 八年级 87 a 89 62.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七年级共有900人参赛，八年级共有850人参赛，请估计该校七、八年级参赛学生中成绩为“优秀”的总共有多少人？ 【答案】（1）；； （2）七年级的成绩更好， 理由如下： ∵两个年级的平均数相同，而七年级的成绩的方差小于八年级的， ∴七年级的成绩更好； （3）估计该校七、八年级参赛学生中成绩为“优秀”的总共有525人． 【解析】 【分析】本题考查了数据的统计与分析，熟练掌握平均数，众数，中位数，样本估计总体等知识是解题的关键． （1）八年级名学生的竞赛成绩中，可求得等级有2名，故中位数在等级的5人中，根据中位数的计算方法即可得到的值；根据七年级名学生的竞赛成绩，利用众数的定义可得到的值；八年级名学生的竞赛成绩中，等级有3名，由此可得的值； （2）由于平均数相同，比较方差即可得到答案； （3）由样本中优秀人数的占比来估计总体中优秀人数的占比进行计算，即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题可得：八年级名学生的竞赛成绩中，可求得等级有名，等级中有5人， ∴八年级名学生的竞赛成绩的中位数为：， ∵七年级名学生的竞赛成绩为：75，76，85，85，87，87，87，94，96，98；； ∴众数， ∵八年级名学生的竞赛成绩中，等级有2名，等级中有5人， ∴等级有3名， ∴等级所占的百分比为：， ∴， 故答案为：；；； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题可得：（人） 答：估计该校七、八年级参赛学生中成绩为“优秀”的总共有525人． 20. 北碚玻璃器皿成型刻花工艺，是流行于重庆市北碚区的传统手工技艺，也是市级“非物质文化遗产”之一．其突出了玻璃制品刻花和精雕工艺的特色，更加突出了手工工艺在玻璃制品上的再创造；通过手工刻花工艺，使用粗砂、细砂砂轮切削后抛光等工艺，展现出玻璃制品晶莹剔透、高雅华贵的品质．精雕工艺的创新，使玻璃工艺的表现形式更加丰富多彩．为推进玻璃器皿销售，渝礼堂准备购进花瓶和茶具，其中茶具的进价比花瓶的进价少元，已知花瓶的售价为每件元，茶具的售价为每件元，若用元购进花瓶的数量与用元购进茶具的数量相同． （1）求茶具、花瓶每件的进价各是多少元； （2）已知渝礼堂月份卖出花瓶个，茶具套，1月份购进花瓶和茶具若干．为增加1月份花瓶的销量，渝礼堂采取降价措施．据市场调查发现，在月的基础上，若花瓶的售价每降低1元，可多售出2个，1月份茶具售卖的数量和价格与月份一样．若渝礼堂1月份卖出的花瓶和茶具共获利元，则花瓶的售价应降价多少元？ 【答案】（1）茶具每件的进价是元，花瓶每件的进价是元； （2）花瓶的售价应降价3元． 【解析】 【分析】本题考查分式方程解决应用题，本题考查一元二次方程解决销售利润问题： （1）设花瓶的进价为元，则茶具的进价为元，根据用元购进花瓶的数量与用元购进茶具的数量相同列方程求解即可得到答案； （2）设花瓶的售价降价元，得到花瓶售出的数量为：，根据利润列方程求解即可得到答案 【小问1详解】 解：设花瓶的进价为元，则茶具的进价为元，由题意可得， ， 解得：， ∴， 答：茶具每件的进价是元，花瓶每件的进价是元； 【小问2详解】 解：设花瓶的售价降价元， ∵花瓶的售价每降低1元，可多售出2个， ∴花瓶售出的数量为：， 由题意可得， ， 解得：，（不符合题意舍去）， 答：花瓶的售价应降价3元． 21. 如图，在中，，，点P为上一点，过点P作交于点Q．设的长度为x，点P，Q的距离为，的周长与的周长之比为． （1）请求出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时x的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】（1）； （2）描点，画出图象如图： 在时随x的增大而增大，随x的增大而减小 （3） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数综合应用，涉及一次函数及图象，相似三角形判定与性质． （1）由，得，可得，，即可得到答案； （2）描点画出图形，再由图象得在时随x的增大而增大，随x的增大而减小； （3）先求出时，x的值，再观察图象可得x的取值范围． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的周长与的周长之比， ∴； 【小问2详解】 解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，，； 由图象可得，在时随x的增大而增大，随x的增大而减小； 【小问3详解】 解：当时，即， 解得或（舍去）， 观察图象可得，当图象在上方时，x的范围是， ∴当时，x的取值范围是． 22. 北滨路延伸段建设是我区的重大民生项目，在建设过程中十分重视便民利民．如图，四边形区域是规划的休闲公园，其中四周是人行步道，对角线、为两条自行车道，点B为公园入口．经测量，点A在点B的正东方向，同时点A在点D的南偏东方向，点C在点D的南偏西方向，点C在点A的北偏西方向，若米．（参考数据：，，） （1）求自行车道的长．（结果保留小数点后一位） （2）测得，小明从A地以60米/分钟的速度步行前往B地，小明出发2分钟后，小刚以小明步行速度的3倍骑自行车从D出发赶往B地给小明送东西，问他们谁先到达B地，通过计算说明先到达多长时间？（结果保留小数点后两位） 【答案】（1）米 （2）小明先到达，先到达分钟． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、方位角、直角三角形的性质等知识点，将实际问题转化为三角函数问题是解题的关键． （1）由题意可得：，，即，如图：过D作，先说明，解直角三角形可得，再说明，可得，最后根据线段的和差即可解答； （2）先解直角三角形得到米，再说明，解直角三角形得到，，即；然后分别求得小明、小刚所用时间，然后作差比较即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：，，即， 如图：过D作， ∵， ∴，米，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴米 【小问2详解】 解：由题意可得：， ∴， ∵米， ∴米， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵小明从A地以60米/分钟的速度步行前往B地，小明出发2分钟后，小刚以小明骑自行车以180米/分钟从D出发赶往B地， ∴小明用时：分钟；小刚共用时：分钟， ∵， ∴小明先到达，先到达分钟． 23. 如图，抛物线与轴交于点，点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式． （2）如图，点在直线上方抛物线上运动，过点作，⏊轴于点，求的最大值，以及此时点的坐标． （3）将原抛物线沿轴向右平移个单位长度，新抛物线与轴交于点，点的对应点为，点是第一象限中新抛物线上一点，且点到轴的距离等于点到轴的距离的一半，问在平移后的抛物线上是否存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）; （2）当时，有最大值，最大值为，； （3）点的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）根据顶点式，设抛物线的解析式为：，把点代入即可求解； （2）根据题意可得，是等腰直角三角形，并求出直线的解析式为：，设与交于点，可得是等腰直角三角形，则，设，则，，且，，，结合二次函数图象的性质即可求解； （3）根据抛物线的平移可得，，，并求出直线的解析式，分类讨论：第一种情况，过点作，交抛物线与点，运用待定系数法求出直线的解析式，再联立新抛物线为方程组即可求解；第二种情况，作，交抛物线与点，接触直线的解析式为，联立抛物线为方程组即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点，点， ∴设抛物线的解析式为：， 把点代入可得，， 解得，， ∴抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 设直线的解析式为：， ∵点，点． ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：， 如图所示，设与交于点， ∵轴， ∴，且， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 设，则，，且， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：存在点，点的横坐标为或，理由如下， ∵抛物线， ∴将原抛物线沿轴向右平移个单位长度，新抛物线的解析式为：， 令，则，令，则，得， ∴，， ∵点是第一象限中新抛物线上一点，且点到轴的距离等于点到轴的距离的一半， ∴，且， 把代入得，， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：， 新抛物线图像如图所示， 第一种情况，过点作，交抛物线与点，则， ∴设直线的解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为：， 联立新抛物线与直线为方程组得，， 解得，（与点重合，不符合题意，舍去）或， ∴； 第二种情况，作，交抛物线与点，交直线于点， ∴， 设，且，， ∴，， ∴， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立抛物线与直线为方程组得，， 解得，（与点重合，不符合题意，舍去），， ∴； 综上所述，存在点，使得，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数与图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数最值问题，函数平移的性质，等腰三角形的性质，二次函数与二元一次方程组求解交点等知识的综合运用是解题的关键． 24. 在，点D是边一点，连接的角平分线交于点E． （1）如图1所示，，若，求边的长； （2）如图2所示，点F为上一点，过点F作于点O，若点O恰好平分线段，求证：； （3）如图3所示，点P为边上一点，且满足，过点P作于点Q，连接，当最短时，请直接写出的值． 【答案】（1）2 （2） 证明：过点D作于点M，连接，如图， ∵O为的中点，，， ∴，， ∴，，， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）过点E作交于点N，过点E作交于点M，可得，，可求得，利用角平分线的性质得，得到四边形为正方形，进一步求得，结合可求得，即可求得； （2）过点D作于点M，连接，则有，进一步得和，即可证明，得，得到，即可证明； （3）作于V，作，交的延长线于W，则有，可得和，即可证明，得，进一步证明，有，得到点Q的运动轨迹，连接，找到最短时点Q位置，作于R，利用平行得，求得，求得和即可． 【小问1详解】 解：过点E作交于点N，过点E作交于点M， ∴， ∵，， ∴， 在中，设，， ∴， ∵平分，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 作于V，作，交的延长线于W，如图， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， ∵， ∴， ∴， 那么，点Q在以为直径的上运动， 连接，交于，当点Q在处时最短，如图， 作于R，设，则，， ∴， ∵， ∴， ∴，整理得， 则， ∴ ∵， ∴， ∴， 则． 【点睛】本题主要考查解直角三角形、角平分线的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是作辅助线和对动点轨迹的确定． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级下定时作业（一） （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 史料证明：我国是最早认识负数，并进行相关运算的国家．古籍中记载了利用算筹实施“正负术”的方法，若图表示的是计算的过程，则图表示的过程是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，与的面积比为，则为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法中正确的是（　　）． A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是正方形 C. 平行四边形的对角线平分一组对角 D. 矩形的对角线相等且互相平分 6. 某农业合作社在春耕期间采购了，两种型号无人驾驶农耕机器，已知每台型机器的进价比每台型机器进价的2倍少万元；采购相同数量的，两种型号机器．分别花费了万元和万元．若设每台型机器的进价为万元，根据题食可列出关于的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，用个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为．记这个图形的周长（实线部分）为，则下列整数与最接近的是（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 8. 如图，边长为的正方形的中心与半径为的的圆心重合，，分别是，的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在一张矩形纸片中，对角线，点分别是和的中点，现将这张纸片折叠，使点落在上的点处，折痕为，若的延长线恰好经过点，则点到对角线的距离为（ ）. A. B. C. D. 10. 已知，（为正整数），下列说法：①；② ；③；④若，则的最小值为3．其中正确选项的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：___________． 12. 如图，一架小提琴中、、各部分长度的比满足，则的值为______． 13. 非物质文化遗产是我国传统文化的优秀代表．深圳市非物质文化遗产有上川黄连胜醒狮舞、大船坑舞麒麟、潮俗皮影戏、沙头角鱼灯舞等．小聪和小颖商定从“上川黄连胜醒狮舞”、“大船坑舞麒麟”、“潮俗皮影戏”、“沙头角鱼灯舞”四种中各随机选择一种，用于宣传深圳的非物质文化遗产，两人恰好选中同一种的概率是_____． 14. 若关于的不等式组有且仅有4个整数解，且关于、的方程组的解为整数，则所有满足条件的整数的值之和为________． 15. 如图，矩形中，点，分别在边，上，且，，的外接圆恰好切于点，交于点，连结若，则______. 16. 图是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度． （1）当面汤的深度为时，汤面的直径长为______； （2）如图，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液面宽度______． 三、解答题（17题16分，其余每题10分，共86分） 17. 计算： （1）． （2） （3） （4）． 18. 在学习角平分线判定的过程中，小凤遇到一个问题：在四边形中，，，交于点．求证：平分．他的思路，首先过点作的垂线，利用三角形全等得两垂线段相等，由角平分线的判定，使问题得到解决．请根据小凤的思路完成下面的作图和填空． 证明：用直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为．（保留作图痕迹） ∵，， ∴ ① ， ∵，， ∴ ② ， 又∵ ③ ， ∴ ④ ， ∴ ⑤ ， ∵，， ∴平分． 19. 某校为确保学生安全，开展了“远离溺水·珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名学生的成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x表示），将学生竞赛成绩分为A，B，C三个等级：A：，B：，C：．下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩为：75，76，85，85，87，87，87，94，96，98； 八年级10名学生的竞赛成绩在B等级中的数据为：82，83，86，89，89． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示： 学生 平均数 中位数 众数 方差 七年级 87 86 b 52.4 八年级 87 a 89 62.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七年级共有900人参赛，八年级共有850人参赛，请估计该校七、八年级参赛学生中成绩为“优秀”的总共有多少人？ 20. 北碚玻璃器皿成型刻花工艺，是流行于重庆市北碚区的传统手工技艺，也是市级“非物质文化遗产”之一．其突出了玻璃制品刻花和精雕工艺的特色，更加突出了手工工艺在玻璃制品上的再创造；通过手工刻花工艺，使用粗砂、细砂砂轮切削后抛光等工艺，展现出玻璃制品晶莹剔透、高雅华贵的品质．精雕工艺的创新，使玻璃工艺的表现形式更加丰富多彩．为推进玻璃器皿销售，渝礼堂准备购进花瓶和茶具，其中茶具的进价比花瓶的进价少元，已知花瓶的售价为每件元，茶具的售价为每件元，若用元购进花瓶的数量与用元购进茶具的数量相同． （1）求茶具、花瓶每件的进价各是多少元； （2）已知渝礼堂月份卖出花瓶个，茶具套，1月份购进花瓶和茶具若干．为增加1月份花瓶的销量，渝礼堂采取降价措施．据市场调查发现，在月的基础上，若花瓶的售价每降低1元，可多售出2个，1月份茶具售卖的数量和价格与月份一样．若渝礼堂1月份卖出的花瓶和茶具共获利元，则花瓶的售价应降价多少元？ 21. 如图，在中，，，点P为上一点，过点P作交于点Q．设的长度为x，点P，Q的距离为，的周长与的周长之比为． （1）请求出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时x的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2） 22. 北滨路延伸段建设是我区的重大民生项目，在建设过程中十分重视便民利民．如图，四边形区域是规划的休闲公园，其中四周是人行步道，对角线、为两条自行车道，点B为公园入口．经测量，点A在点B的正东方向，同时点A在点D的南偏东方向，点C在点D的南偏西方向，点C在点A的北偏西方向，若米．（参考数据：，，） （1）求自行车道的长．（结果保留小数点后一位） （2）测得，小明从A地以60米/分钟的速度步行前往B地，小明出发2分钟后，小刚以小明步行速度的3倍骑自行车从D出发赶往B地给小明送东西，问他们谁先到达B地，通过计算说明先到达多长时间？（结果保留小数点后两位） 23. 如图，抛物线与轴交于点，点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式． （2）如图，点在直线上方抛物线上运动，过点作，⏊轴于点，求的最大值，以及此时点的坐标． （3）将原抛物线沿轴向右平移个单位长度，新抛物线与轴交于点，点的对应点为，点是第一象限中新抛物线上一点，且点到轴的距离等于点到轴的距离的一半，问在平移后的抛物线上是否存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 24. 在，点D是边一点，连接的角平分线交于点E． （1）如图1所示，，若，求边的长； （2）如图2所示，点F为上一点，过点F作于点O，若点O恰好平分线段，求证：； （3）如图3所示，点P为边上一点，且满足，过点P作于点Q，连接，当最短时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $