热点08 解直角三角形及其应用（6大题型+高分技法+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）

热点08 解直角三角形及其应用 中考数学中《锐角三角函数及其应用》部分主要考向分为三类： 一、特殊角的三角函数值相关运算（每年1道，6~8分） 二、解直角三角形（每年1道，3分） 三、解直角三角形的应用（每年1题，3~8分） 中考数学中，对锐角三角函数的考察主要以特殊角的三角函数值及其有关计算、解直角三角形、解直角三角形的应用三个方面为主。其中，特殊角的三角函数值主要和实数相关概念放一起考察计算题，而解直角三角形及其各种应用则选择、填空、简答题都有出现，其中应用则偏向大题多些，难度一般中等或偏上，分值也比较可观，但对应考点掌握熟练，计算和审题上够小心了，一般不会失分。 考向一：特殊角的三角函数值的运算 【题型1和实数概念结合的特殊角的三角函数值的运算】 特殊角的三角函数值表 α sinα cosα tanα 30° 45° 60° 特殊角的三角函数值，可以直接记数值，也可以记定义，然后现退对应函数值，但显然，直接熟记对应数值会便捷很多。 1． （2025·山东济南·一模）计算：． 2． （2025·江苏镇江·一模）计算： 3．（2025·江苏宿迁·一模）计算：． 4．（2025·湖南长沙·一模）计算： 5．（2025·湖南长沙·模拟预测）计算： 6．（2025·湖南长沙·模拟预测）计算：． 7．（2025·广东清远·模拟预测）计算：． 8．（2024·广东梅州·一模）计算：． 考向二：解直角三角形 【题型2 利用已知信息求解对应角的三角函数值】 解直角三角形口诀“直乘斜除，对正临余”——求直角三角形的直角边，多用乘法；求斜边，多用除法。求已知角的对边，多用正弦或正切值；求已知角的临边，多用余弦值。 常见辅助线：作垂线 1.（2025·广东深圳·一模）在中，，那么的值是（   ） A． B．1 C． D． 2．（2024·云南·中考真题）在中，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东深圳·一模）如图所示的电视塔是某城市的标志性建筑物，在水平地面上的点A，C处分别测得电视塔塔顶B的仰角均为α度，且点A，C，D在同一直线上，，若测得，则塔高是（       ） A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·广东佛山·期末）如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 5．（2024·安徽宿州·模拟预测）如图，实线部分是一个正方体展开图，点A，B，C，D，E均在的边上，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·广东广州·模拟预测）已知点与点分别在反比例函数 与 的图像上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【题型3 利用三角函数值求解几何图形的线段】 此类计算更多的是注意审题，因为题目中可能会要求精确位数，或者保留几位有效数字，这时候要注意，一般计算到最后一步才带入参考数据计算，然后四舍五入。 1．（2025·陕西榆林·一模）如图，在中，是的高．若，，，则的长为（    ） A． B． C．5 D． 2．（2025·海南三亚·模拟预测）如图，建筑物和旗杆的水平距离为，在建筑物的顶端测得旗杆顶部的仰角为，旗杆底部的俯角为，则旗杆的高度为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·浙江宁波·一模）在菱形中， 点E，F分别是， 的中点， 连接， ．若 ，， 则的长为（    ） A． B． C． D．6 4．（2025·陕西西安·二模）如图，在平行四边形中，过D 作于 点E，若，，则 的长为（   ） A． B．3 C． D． 考向三：解直角三角形的应用 【题型4 坡度坡角问题】 坡度坡角的意义： 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α， 坡度越大，坡角越大，坡面越陡 1．（2024·湖南·模拟预测）如图，在冬奥会滑雪场有一坡度为的滑雪道，滑雪道的长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东广州·模拟预测）如图，小乐和小静一起从点出发去拍摄木棉树．小乐沿着水平面步行17m到达点时拍到树顶点，仰角为；小静沿着坡度的斜坡步行13m到达点C时拍到树顶点F，仰角为，那么这棵木棉树的高度约（    ）m．（结果精确到1m）（参考数据：，，） A．22 B．21 C．20 D．19 3．（2024·四川自贡·模拟预测）如图为一大坝的横截面图，，背水坡的坡度为，迎水坡的坡角为，若米，坝高为米，则坡底长为（   ）米．    A．17 B．18 C．19 D．20    4．（2025·广东潮州·模拟预测）如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，河堤的高米，则坡面的长度是 米．（坡比也叫坡度．坡比是指点B向水平面作垂线，垂足为C，．）    5．（2025·上海青浦·一模）如图，梯形是某水库大坝的横截面．已知坝高，如果将坡度为的斜坡改为坡度为的斜坡，那么大坝底部应加宽 ．（结果保留根号） 6．（2024·四川巴中·中考真题）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为． (1)求点离水平地面的高度． (2)求电线塔的高度（结果保留根号）． 7．（2023·湖北·中考真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长．（结果精确到米）（参考数据：）    【题型5 仰角俯角问题】 仰角俯角的意义： 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角. 俯角：视线在水平线下方的叫俯角 1．（2024·山西·中考真题）研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集纪念碑的相关数据． 数据采集：如图，点是纪念碑顶部一点，的长表示点到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点处竖直上升，飞行至距离地面20米的点处时，测得点的仰角；然后沿方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点正上方的点处时，测得米； 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，，，三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点到地面的距离的长（结果精确到1米．参考数据：，，，，，． 2．（2024·西藏·中考真题）在数学综合实践活动中，次仁和格桑自主设计了“测量家附近的一座小山高度”的探究作业．如图，次仁在A处测得山顶C的仰角为；格桑在B处测得山顶C的仰角为．已知两人所处位置的水平距离米，A处距地面的垂直高度米，B处距地面的垂直高度米，点M，F，N在同一条直线上，求小山的高度．（结果保留根号）    3．（2025·陕西西安·二模）如图是某市的广播电视中心，小明同学想利用所学的知识来测量该建筑物的高度．他先在B处用测倾器测得电视中心顶端E的仰角为，再从B沿方向走了米到达D处，在D处竖立标杆，发现水平地面上的点M、标杆的顶端C与该建筑物的顶端E恰好在一条直线上，已知米，测得米．点B、M、D、F在同一条直线上，．根据上述数据，计算该广播电视中心的高度．（结果精确到1米，参考数据：，，） 4．（2025·河南·一模）开封铁塔又称“开宝寺塔”（如图1），素有“天下第一塔”之称，是见证开封千余年繁华的参照．才思数学兴趣小组利用所学知识开展“测量开封铁塔高度”的主题活动，并写出如下报告，请完成任务． 课题 测量开封铁塔高度 测量工具 无人机、测角仪、秒表等 测量示意图 测量过程 如图2，测量小组使用无人机在点A处以的速度竖直上升飞行至点B处，在点B处测得塔顶D的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为 说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上，．（参考数据：，，） 任务 求开封铁塔的高度（结果精确到） 5．（2025·辽宁·模拟预测）如图（1）是一台实物投影仪，图（2）是它的示意图，折线表示可转动支架，支架可以伸缩调节，投影探头始终垂直于水平桌面，与始终在同一平面内．已知投影仪的底座高3厘米，支架厘米，探头厘米．（参考数据：，，，，）    (1)当支架与水平线的夹角为，与支架的夹角为，且时，求探头的端点到桌面的距离．（结果保留一位小数） (2)为获得更好的投影效果，调节支架，如图（3）所示，使得与水平线的夹角为，同时调节支架，使得探头端点与点在同一水平线上，且从点看点的俯角为，此时支架的长度为多少？（结果保留一位小数） 6．（2025·上海静安·一模）舞狮文化源远流长，其中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①所示）．在舞狮表演中，梅花桩垂直于地面，且在一直线上（如图②所示）．如果在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和，且桩与桩的高度差为米，两桩的距离为米． (1)舞狮人从跳跃到，随后再跳跃至，所成的角 ； (2)求桩与桩的距离的长．（结果精确到米） 【题型6 方向角问题】 方向角遵循——上北下南，左西右东。 因为这类题目常和特殊角结合，故作辅助线时，谨记一个原则：不能破坏已有的特殊角。 1．（2025·河南焦作·一模）如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的处，此时船长接到台风预警信息，台风将在小时后袭来，他计划立即沿正南方向航行，赶往位于灯塔的南偏东方向上的避风港处． (1)问避风港处距离灯塔有多远． (2)如果轮船的航速是海里时，问轮船能否在小时内赶到避风港处．参考数据：，，， 2．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别向，两港运送物资，最后到达港正东方向的港装运新的物资．甲货轮沿港的东南方向航行10海里后到达港，再沿北偏东万向航行一定距离到达港．乙货轮沿港的北偏东方向航行一定距离到达港，再沿南偏东方向航行一定距离到达港．（参考数据：，，） (1)求，两港之间的距离（结果保留小数点后一位）； (2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明． 3．（2024·湖南长沙·模拟预测）今年4月23日，是人民海军成立75周年纪念日．东部战区海军某基地海边举办舰艇开放活动，、两点分别为活动入口和出口．且点在一水平海岸线（如图所示）上，测得，，从点出发按方向前进20米到达点，即米，测得，，试根据已知条件求出活动入口和出口之间的直线距离． 4．（2024·四川资阳·中考真题）如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东方向，且A，B相距海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向．    (1)求B，C两处的距离； (2)该渔船从C处沿北偏东方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东方向，便立即以18海里/小时的速度沿方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间． （注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：，） （建议用时：40分钟） 一﹑选择题 1．（2025·陕西·一模）如图，在矩形中，对角线相交于点O，于点E，且，若，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 2．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在中，，于点，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东深圳·一模）如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L水平距离为，当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为，则这枚火箭此时的高度为（   ）． A． B． C． D． 4．（2025·陕西西安·二模）如图，是的直径，点C、D都在上，若点A是的中点，，，则的长为（   ） A． B．6 C． D．8 5．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·广东深圳·三模）无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量某大楼的高度，无人机在空中点P处，测得地面点A处的俯角为，且点P到点A的距离为米，同时测得楼顶点C处的俯角为．已知点A与大楼的距离为70米（点A，B，C，P在同一平面内），则大楼的高度为（    ） A．51米 B．米 C．米 D．米 7．（2024·陕西咸阳·三模）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若的三个顶点都在格点上，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 8．（2024·湖南长沙·一模）如图，三角形纸片中，，，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处：再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则（   ） A． B． C． D． 9．（22-23九年级上·山东烟台·期中）喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟，小亮在龙舟竞渡中心广场点P处观看400米直道竞速赛，如图所示，赛道AB为东西方向，赛道起点A位于点P的北偏西方向上，终点B位于点P的北偏东方向上，米，求点P到赛道AB的距离（  ）（结果保留整数，参考数据：） A． B． C．87 D．173 二、填空题 10．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在正方形中，，延长至点E，使平分交于点F，则线段的长为 ． 11．（2025·广东清远·一模）图1是一个地铁站入口的双翼闸机，图2是它的简化图，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为 ．（参考数据：，，） 12．（2024·湖北武汉·中考真题）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为，底端B的俯角为，则测得黄鹤楼的高度是 m．（参考数据：） 三、解答题 13．（2025·陕西·一模）如图，某商场开业当天，在商场门前的广场上举行无人机表演，某一时刻，甲在商场的楼顶C处观测到其中一架无人机D的仰角为，同一时刻，乙在A处观测到无人机D的仰角为，已知乙的位置A到商场的距离，商场的高度，，，点A、B、C、D、E都在同一平面上，求此时无人机的高度DE．（结果取整数，参考数据：，，，） 14．（2025·江苏镇江·一模）图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，可分别绕点A，C转动，测得．小明爸爸把支架调整到适合的位置，测得． (1)求点C到的距离； (2)求点D到的距离．(结果均保留一位小数，参考数据：，，，) 15．（2025·山西朔州·一模）【实践情景】如图，太原市在本市两景点之间开设了两条徒步路线，线路1为路线，路线为之间的线段；线路2为越野线路，路线为之间的折线段． 【数据收集】 数据①：点在点的北偏东方向上； 数据②：线路2的行走方式为从起点出发，先向北偏东的方向越野行走一段路程到达中转点，再从中转点向正东方向行走2000米即可到达终点． 【数据应用】 利用以上数据，求的长．（结果保留整数，参考数据：） 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点08 解直角三角形及其应用 中考数学中《锐角三角函数及其应用》部分主要考向分为三类： 一、特殊角的三角函数值相关运算（每年1道，6~8分） 二、解直角三角形（每年1道，3分） 三、解直角三角形的应用（每年1题，3~8分） 中考数学中，对锐角三角函数的考察主要以特殊角的三角函数值及其有关计算、解直角三角形、解直角三角形的应用三个方面为主。其中，特殊角的三角函数值主要和实数相关概念放一起考察计算题，而解直角三角形及其各种应用则选择、填空、简答题都有出现，其中应用则偏向大题多些，难度一般中等或偏上，分值也比较可观，但对应考点掌握熟练，计算和审题上够小心了，一般不会失分。 考向一：特殊角的三角函数值的运算 【题型1和实数概念结合的特殊角的三角函数值的运算】 特殊角的三角函数值表 α sinα cosα tanα 30° 45° 60° 特殊角的三角函数值，可以直接记数值，也可以记定义，然后现退对应函数值，但显然，直接熟记对应数值会便捷很多。 1．（2025·山东济南·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，先计算零次幂，化简二次根式，代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，计算负整数指数幂，再合并即可． 【详解】解： 2．（2025·江苏镇江·一模）计算： 【答案】4 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及到绝对值，特殊角三角函数，熟练掌握实数混合运算法则是解题的关键．根据实数运算法则，先进行幂的运算，绝对值和特殊角三角函数，再进行加减运算，即可得到结果． 【详解】解： ． 3．（2025·江苏宿迁·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键．根据绝对值的意义，负整数指数幂，零指数幂及锐角三角函数分别化简，然后进行计算． 【详解】解：原式 ． 4．（2025·湖南长沙·一模）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，先把每一项算出，再加减即可，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 5．（2025·湖南长沙·模拟预测）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查零指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值以及负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式． 6．（2025·湖南长沙·模拟预测）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了实数的运算，先计算乘方，特殊角的三角函数值，二次根式，零指数幂，负整数指数幂，再进行加减运算即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ． 7．（2025·广东清远·模拟预测）计算：． 【答案】1 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，绝对值、零次幂，先运算乘方、化简绝对值、零次幂以及特殊角的三角函数，再运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 8．（2024·广东梅州·一模）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了实数的混合运算．代入特殊角是三角函数值、利用零指数幂法则、求算术平方根的法则、负整数指数幂法则进行计算即可． 【详解】解： ． 考向二：解直角三角形 【题型2 利用已知信息求解对应角的三角函数值】 解直角三角形口诀“直乘斜除，对正临余”——求直角三角形的直角边，多用乘法；求斜边，多用除法。求已知角的对边，多用正弦或正切值；求已知角的临边，多用余弦值。 常见辅助线：作垂线 1.（2025·广东深圳·一模）在中，，那么的值是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了特殊三角函数的值，三角形内角和定理，根据三角形内角和定义求出，再由特殊三角函数的值即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， 故选：A． 2．（2024·云南·中考真题）在中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数．根据题意利用锐角三角函数即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 3．（2025·广东深圳·一模）如图所示的电视塔是某城市的标志性建筑物，在水平地面上的点A，C处分别测得电视塔塔顶B的仰角均为α度，且点A，C，D在同一直线上，，若测得，则塔高是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据等腰三角形的性质得D为的中点，利用锐角三角函数即可解决问题． 【详解】解：由题意可知：， ∴点D为的中点， ∵米， ∴米， ∴（米）． 故选：C． 4．（22-23九年级上·广东佛山·期末）如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键． 根据正切函数的定义，可得答案． 【详解】解：如图： 在中，，，， ， 故选D． 5．（2024·安徽宿州·模拟预测）如图，实线部分是一个正方体展开图，点A，B，C，D，E均在的边上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理、余弦的定义等知识点，得到是解决本题的关键． 如图：由题意得，，从而得出，设，则，由勾股定理得出，最后代入计算即可． 【详解】解：如图： 由题意得：，， ∴， 设，则， ， ∵在中，， ∴． 故选：A． 6．（2025·广东广州·模拟预测）已知点与点分别在反比例函数 与 的图像上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 过点A作轴，过点B作轴，证明得到，再由反比例函数性质可求出，再利用正弦定义求的值即可． 【详解】解：过点A作轴，过点B作轴，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点A与点B分别在反比例函数 与 的图像上， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【题型3 利用三角函数值求解几何图形的线段】 此类计算更多的是注意审题，因为题目中可能会要求精确位数，或者保留几位有效数字，这时候要注意，一般计算到最后一步才带入参考数据计算，然后四舍五入。 1．（2025·陕西榆林·一模）如图，在中，是的高．若，，，则的长为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形和勾股定理，正确作辅助线构造直角三角形是解题的关键．解直角三角形得，由勾股定理得：，求得的长，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， 故选：A． 2．（2025·海南三亚·模拟预测）如图，建筑物和旗杆的水平距离为，在建筑物的顶端测得旗杆顶部的仰角为，旗杆底部的俯角为，则旗杆的高度为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键掌握锐角三角函数的定义．根据题意可得四边形是矩形，，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，最后利用线段的和差，即可解答． 【详解】解，如图： 由题意得：四边形是矩形 ∴ 在中，， ， 在中，， ， ． 故选：D． 3．（2025·浙江宁波·一模）在菱形中， 点E，F分别是， 的中点， 连接， ．若 ，， 则的长为（    ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】延长，交于点M，证明，，可得，过E点作于N点，结合可得，，，再进一步可得答案. 【详解】解：延长，交于点M， 在菱形中，点E，F分别是，的中点， ，，，， 在和中 ， ， ， 在和中 ， ， ，， 过E点作于N点， ，， ，， ， ， 在中 ， 即， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，运用三角函数解直角三角形，勾股定理等，正确添加辅助线构造直角三角形是解本题的关键． 4．（2025·陕西西安·二模）如图，在平行四边形中，过D 作于 点E，若，，则 的长为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，锐角三角函数的应用，证明，，根据可得答案． 【详解】解：在平行四边形中，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故选：C 考向三：解直角三角形的应用 【题型4 坡度坡角问题】 坡度坡角的意义： 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α， 坡度越大，坡角越大，坡面越陡 1．（2024·湖南·模拟预测）如图，在冬奥会滑雪场有一坡度为的滑雪道，滑雪道的长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定义解应用题，涉及坡度定义，根据坡度定义得到，设，则，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】解：在冬奥会滑雪场有一坡度为的滑雪道， ， 设，则， 在中，，则由勾股定理可得，解得， ， 故选：B． 2．（2024·广东广州·模拟预测）如图，小乐和小静一起从点出发去拍摄木棉树．小乐沿着水平面步行17m到达点时拍到树顶点，仰角为；小静沿着坡度的斜坡步行13m到达点C时拍到树顶点F，仰角为，那么这棵木棉树的高度约（    ）m．（结果精确到1m）（参考数据：，，） A．22 B．21 C．20 D．19 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得：，，米，再根据已知可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算可得米，米，最后设米，则米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得：，，米， 斜坡的坡度， ， 设米，则米， 在中，（米， 米， ， 解得：， 米，米， 设米， 米， 在中，， 米， 在中，， 米， ， ， 解得：， （米， 这棵木棉树的高度约为20米， 故选：C． 3．（2024·四川自贡·模拟预测）如图为一大坝的横截面图，，背水坡的坡度为，迎水坡的坡角为，若米，坝高为米，则坡底长为（   ）米．    A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】D 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点A和点D分别作的垂线，垂足分别为E、F，则四边形是矩形，可得米，米，再分别解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A和点D分别作的垂线，垂足分别为E、F， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米，米， ∵背水坡的坡度为， ∴， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米， 故选：D．    4．（2025·广东潮州·模拟预测）如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，河堤的高米，则坡面的长度是 米．（坡比也叫坡度．坡比是指点B向水平面作垂线，垂足为C，．）    【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形问题，勾股定理，根据迎水坡的坡比为得出，再根据米，得出的值，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得， ∴（米）， ∴（米）． 故答案为：． 5．（2025·上海青浦·一模）如图，梯形是某水库大坝的横截面．已知坝高，如果将坡度为的斜坡改为坡度为的斜坡，那么大坝底部应加宽 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．根据垂直的定义得到，根据三角函数的定义得到，于是得到)． 【详解】解：， 大坝底部应加宽． 故答案为： 6．（2024·四川巴中·中考真题）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为． (1)求点离水平地面的高度． (2)求电线塔的高度（结果保留根号）． 【答案】(1)； (2)电线塔的高度． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用． （1）由斜坡的坡度，求得，利用正切函数的定义得到，据此求解即可； （2）作于点，设，先解得到，解得到米，进而得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵斜坡的坡度， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：作于点，则四边形是矩形，，， 设， 在中，， ∴， 在中，， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 答：电线塔的高度． 7．（2023·湖北·中考真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长．（结果精确到米）（参考数据：）    【答案】斜坡的长约为10米 【分析】过点作于点，在中，利用正弦函数求得，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点作于点，则四边形是矩形， 在中，， ． ∴． ∵， ∴在中，（米）． 答：斜坡的长约为10米． 【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 【题型5 仰角俯角问题】 仰角俯角的意义： 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角. 俯角：视线在水平线下方的叫俯角 1．（2024·山西·中考真题）研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集纪念碑的相关数据． 数据采集：如图，点是纪念碑顶部一点，的长表示点到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点处竖直上升，飞行至距离地面20米的点处时，测得点的仰角；然后沿方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点正上方的点处时，测得米； 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，，，三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点到地面的距离的长（结果精确到1米．参考数据：，，，，，． 【答案】点A到地面的距离的长约为27米 【分析】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 延长交于点，根据矩形的性质得到，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：延长交于点， 由题意得，四边形为矩形， ， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， 设米． ， ， ， 解得， （米）； 答：点到地面的距离的长约为27米． 2．（2024·西藏·中考真题）在数学综合实践活动中，次仁和格桑自主设计了“测量家附近的一座小山高度”的探究作业．如图，次仁在A处测得山顶C的仰角为；格桑在B处测得山顶C的仰角为．已知两人所处位置的水平距离米，A处距地面的垂直高度米，B处距地面的垂直高度米，点M，F，N在同一条直线上，求小山的高度．（结果保留根号）    【答案】米 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，解直角三角形的应用，证明四边形和四边形为矩形，得出米，米，，，设，则米，解直角三角形得出，，根据米，得出，求出，最后得出答案即可． 【详解】解：根据题意可得：，， ∴四边形和四边形为矩形， ∴米，米，，， ∴（米）， 设，则米， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵米， ∴， 解得：， ∴米． 3．（2025·陕西西安·二模）如图是某市的广播电视中心，小明同学想利用所学的知识来测量该建筑物的高度．他先在B处用测倾器测得电视中心顶端E的仰角为，再从B沿方向走了米到达D处，在D处竖立标杆，发现水平地面上的点M、标杆的顶端C与该建筑物的顶端E恰好在一条直线上，已知米，测得米．点B、M、D、F在同一条直线上，．根据上述数据，计算该广播电视中心的高度．（结果精确到1米，参考数据：，，） 【答案】302米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 延长，交于H，根据列出比例式，得到，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：如图，延长，交于H， 则米， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， 解得：， 答：该广播电视中心的高度约为米． 4．（2025·河南·一模）开封铁塔又称“开宝寺塔”（如图1），素有“天下第一塔”之称，是见证开封千余年繁华的参照．才思数学兴趣小组利用所学知识开展“测量开封铁塔高度”的主题活动，并写出如下报告，请完成任务． 课题 测量开封铁塔高度 测量工具 无人机、测角仪、秒表等 测量示意图 测量过程 如图2，测量小组使用无人机在点A处以的速度竖直上升飞行至点B处，在点B处测得塔顶D的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为 说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上，．（参考数据：，，） 任务 求开封铁塔的高度（结果精确到） 【答案】开封铁塔的高度约为 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键；由题意易得，则有，延长交的延长线于点F，如解图所示，则四边形为矩形，然后可得，设，则，进而根据三角函数及勾股定理可进行求解 【详解】解：由题意，可知． 在中，，， ． 延长交的延长线于点F，如解图所示，则四边形为矩形． ． 设，则． 在中，， ． ． 在中，， ，即， 解得． 答：开封铁塔的高度约为． 5．（2025·辽宁·模拟预测）如图（1）是一台实物投影仪，图（2）是它的示意图，折线表示可转动支架，支架可以伸缩调节，投影探头始终垂直于水平桌面，与始终在同一平面内．已知投影仪的底座高3厘米，支架厘米，探头厘米．（参考数据：，，，，）    (1)当支架与水平线的夹角为，与支架的夹角为，且时，求探头的端点到桌面的距离．（结果保留一位小数） (2)为获得更好的投影效果，调节支架，如图（3）所示，使得与水平线的夹角为，同时调节支架，使得探头端点与点在同一水平线上，且从点看点的俯角为，此时支架的长度为多少？（结果保留一位小数） 【答案】(1)厘米； (2)厘米 【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，掌握解直角三角形的计算，数形结合分析，合理作出辅助线是解题的关键． （1）如图，连接，延长交过点的水平线于点，则可得（厘米），，所以，由，根据三角函数的计算得到（厘米），结合探头的端点到桌面的距离（厘米）即可求解； （2）如图，作于点，根据题意（厘米），（厘米），（厘米），由（厘米），即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，延长交过点的水平线于点，    由题意得：厘米，，， ∴（厘米），， ∴， ∵始终垂直于水平桌面， ∴， ∴（厘米）， ∵投影仪的底座高3厘米， ∴探头的端点到桌面的距离（厘米）． 答：探头的端点到桌面的距离约为厘米； （2）解：如图，作于点，则，    由题意得：，， ∴， ∵厘米， ∴（厘米）， ∴（厘米）， 由题意得：， ∴（厘米）， ∴（厘米）， 由题意得：， ∴（厘米）， 答：支架的长度大约为厘米． 6．（2025·上海静安·一模）舞狮文化源远流长，其中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①所示）．在舞狮表演中，梅花桩垂直于地面，且在一直线上（如图②所示）．如果在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和，且桩与桩的高度差为米，两桩的距离为米． (1)舞狮人从跳跃到，随后再跳跃至，所成的角 ； (2)求桩与桩的距离的长．（结果精确到米） 【答案】(1) (2)米 【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形的运用，理解并掌握解直角三角形的计算是解题的关键． （1）根据仰俯角，平角为即可求解； （2）过点作，分别交于点，则四边形、、都是矩形，设米，则米，在中，由函数函数的计算，得到，在中，，得到，由，即可求解． 【详解】（1）解：在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和， ∴， 故答案为：； （2）解：过点作，分别交于点， ∵，，， ∴， ∴四边形、、都是矩形， ∴， 设米，则米， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴ ， 解得， （米）， 答：桩与桩的距离的长约为米． 【题型6 方向角问题】 方向角遵循——上北下南，左西右东。 因为这类题目常和特殊角结合，故作辅助线时，谨记一个原则：不能破坏已有的特殊角。 1．（2025·河南焦作·一模）如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的处，此时船长接到台风预警信息，台风将在小时后袭来，他计划立即沿正南方向航行，赶往位于灯塔的南偏东方向上的避风港处． (1)问避风港处距离灯塔有多远． (2)如果轮船的航速是海里时，问轮船能否在小时内赶到避风港处．参考数据：，，， 【答案】(1)海里 (2)能 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键； （1）如图，过点作于点，则．解，，求得，即可求解； （2）解，得出，进而根据，求得的距离，根据路程除以速度，即可求解． 【详解】（1）由题意得，，海里． 如图，过点作于点，则． 在中，， 海里． 在中，， 海里． 答：避风港处距离灯塔约海里． （2）如图，在中， 海里． 在中，，海里， 海里， 海里． 小时， 故轮船能在小时内赶到避风港处． 2．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别向，两港运送物资，最后到达港正东方向的港装运新的物资．甲货轮沿港的东南方向航行10海里后到达港，再沿北偏东万向航行一定距离到达港．乙货轮沿港的北偏东方向航行一定距离到达港，再沿南偏东方向航行一定距离到达港．（参考数据：，，） (1)求，两港之间的距离（结果保留小数点后一位）； (2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明． 【答案】(1)77.2海里 (2)甲货轮先到达港，计算说明见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，先在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）根据题意可得：，从而可得，然后利用角的和差关系可得，从而在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出和的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后进行计算比较即可解答． 【详解】（1）解：过点作，垂足为，如图所示： 在中，海里， ∴（海里），（海里）， 在中，， ∴（海里）， ∴（海里）， ∴两港之间的距离约为77.2海里； （2）解：甲货轮先到达港， 理由如下： 如图所示： 由题意得， ∴， ∴， 在中，， ∴海里，海里， 在中，海里， ∴（海里）， ∴甲货轮航行的路程（海里）， 乙货轮航行的路程（海里）， ∵96.4海里＜105.4海里， ∴甲货轮先到达港． 3．（2024·湖南长沙·模拟预测）今年4月23日，是人民海军成立75周年纪念日．东部战区海军某基地海边举办舰艇开放活动，、两点分别为活动入口和出口．且点在一水平海岸线（如图所示）上，测得，，从点出发按方向前进20米到达点，即米，测得，，试根据已知条件求出活动入口和出口之间的直线距离． 【答案】米 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键． 如图，过作于，由，设，则，可得，而，可得，结合，即，再建立方程求解即可． 【详解】解：如图，过作于，    ∵，即， 设，则， ∴，而， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 解得：， ∴（米）， 答：A、B两点间的距离为500米． 4．（2024·四川资阳·中考真题）如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东方向，且A，B相距海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向．    (1)求B，C两处的距离； (2)该渔船从C处沿北偏东方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东方向，便立即以18海里/小时的速度沿方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间． （注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：，） 【答案】(1)B，C两处的距离为16海里 (2)渔政船的航行时间为小时 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形． （1）根据题意易得，则，再求出（海里），即可解答； （2）过点D作于点F，设海里，则，，则，求出，进而得出海里，海里，根据勾股定理可得：（海里），即可解答． 【详解】（1）解：过点A作于点E， ∵灯塔B在灯塔A的南偏东方向，C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵海里， ∴（海里）， ∴（海里）， ∴B，C两处的距离为16海里．    （2）解：过点D作于点F， 设海里， ∵， ∴， 由（1）可知，海里， ∴海里， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴海里，海里， 根据勾股定理可得：（海里）， ∴渔政船的航行时间为（小时）， 答：渔政船的航行时间为小时．    （建议用时：40分钟） 一﹑选择题 1．（2025·陕西·一模）如图，在矩形中，对角线相交于点O，于点E，且，若，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．先求得，得到，利用正弦函数的定义求得，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在中，，于点，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，同角的余角相等，熟练掌握锐角三角函数定义是解答本题的关键． 根据题意，利用同角的余角相等得到，进而得到，利用锐角三角函数定义求出的长即可． 【详解】解：在中，，， ，， ， ， 在中，， ， ， 故选：B． 3．（2025·广东深圳·一模）如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L水平距离为，当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为，则这枚火箭此时的高度为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， 在中，，， ， 这枚火箭此时的高度为， 故选：D． 4．（2025·陕西西安·二模）如图，是的直径，点C、D都在上，若点A是的中点，，，则的长为（   ） A． B．6 C． D．8 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理、解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键． 连接、，根据垂径定理得，可得出，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的两倍得出，易得出，然后根据正弦的定义即可得出，最后根据直径是半径的2倍，即可得出答案． 【详解】解：连接、， 点A是的中点， ，设垂足为点， ， ， 和所对的弧都是， ， ，且， ， ， ， 在中，,，，， ， 是的直径， ， 故选D． 5．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，求角的三角函数等知识点，正确利用折叠的性质是解题的关键． 根据折叠的性质，可求得，，从而求得，，在中，由勾股定理，得，即可求得结果． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 把沿折叠，点恰好落在边上的点处， ，， ， ， 在中， ， 由勾股定理，得， ， ， ， ， 故选：A． 6．（2024·广东深圳·三模）无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量某大楼的高度，无人机在空中点P处，测得地面点A处的俯角为，且点P到点A的距离为米，同时测得楼顶点C处的俯角为．已知点A与大楼的距离为70米（点A，B，C，P在同一平面内），则大楼的高度为（    ） A．51米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过作，延长交的延长线于，由三角函数得 ，，，即可求解；掌握解直角三角形的解法是解题的关键． 【详解】解：如图，过作，延长交的延长线于， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， (米)， 故选：C． 7．（2024·陕西咸阳·三模）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若的三个顶点都在格点上，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，构造出合适的直角三角形是解题的关键．连接网格中适当的格点，构造出直角三角形即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，设每个小正方形的边长为1， 根据勾股定理得：，，， ， ， 在中， ， 故选：C． 8．（2024·湖南长沙·一模）如图，三角形纸片中，，，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处：再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形中的翻折变换，解直角三角形，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练利用勾股定理列方程．根据折叠的性质得，，，，即可得，则，设，可得，即可解得．再求解即可． 【详解】解：沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处， ，， 折叠纸片，使点与点重合， ，， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得， ， 故选：B. 9．（22-23九年级上·山东烟台·期中）喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟，小亮在龙舟竞渡中心广场点P处观看400米直道竞速赛，如图所示，赛道AB为东西方向，赛道起点A位于点P的北偏西方向上，终点B位于点P的北偏东方向上，米，求点P到赛道AB的距离（  ）（结果保留整数，参考数据：） A． B． C．87 D．173 【答案】D 【分析】过点P作，垂足为P，设米，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再根据米，列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：过点P作，垂足为C， 设米， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∵米， ∴， ∴， ∴， ∴米， ∴点P到赛道的距离约为173米， 故选D． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 二、填空题 10．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在正方形中，，延长至点E，使平分交于点F，则线段的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，先判断，则，设，则，然后角平分线的定义以及等角对等边可证明，根据得出关于x的方程，解方程求出即，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过F作于G， 在正方形中，， ∴，，， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（2025·广东清远·一模）图1是一个地铁站入口的双翼闸机，图2是它的简化图，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为 ．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点作于点，过点作于点，利用含的直角三角形的性质，求解，，从而可得答案．正确进行计算是解题关键． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， 在中，， ， 同理可得，， 双翼边缘的端点与之间的距离为， 当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为． 故答案为：． 12．（2024·湖北武汉·中考真题）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为，底端B的俯角为，则测得黄鹤楼的高度是 m．（参考数据：） 【答案】51 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键．延长交距水平地面的水平线于点D，根据，求出，即可求解． 【详解】解：延长交距水平地面的水平线于点D，如图， 由题可知，， 设， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：51． 三、解答题 13．（2025·陕西·一模）如图，某商场开业当天，在商场门前的广场上举行无人机表演，某一时刻，甲在商场的楼顶C处观测到其中一架无人机D的仰角为，同一时刻，乙在A处观测到无人机D的仰角为，已知乙的位置A到商场的距离，商场的高度，，，点A、B、C、D、E都在同一平面上，求此时无人机的高度DE．（结果取整数，参考数据：，，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质．熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键． 过点作，则四边形是矩形，根据，设，，分别表示相关边，，，代入三角函数值并求解x即可． 【详解】解：过点作， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴． ， 设， 则，，． 在中， ，即， 解得， ， 此时无人机的高度为． 14．（2025·江苏镇江·一模）图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，可分别绕点A，C转动，测得．小明爸爸把支架调整到适合的位置，测得． (1)求点C到的距离； (2)求点D到的距离．(结果均保留一位小数，参考数据：，，，) 【答案】(1)点C到的距离为 (2)点D到的距离约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用等知识，熟练掌握锐角三角函数定义，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点C作于点E，由锐角三角函数定义求出的长即可； （2）过点D作于点F，过点D作于点G，则四边形是矩形，得，由（1）可知，，再由锐角三角函数定义求出的长，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图2，过点C作于点E，则， 在中，， ， 答：点C到的距离为； （2）解：如图2，过点D作于点F，过点D作于点G， 则四边形是矩形， ， 由（1）可知，，， ， ， 在中，， ， ， 答：点D到的距离约为 ． 15．（2025·山西朔州·一模）【实践情景】如图，太原市在本市两景点之间开设了两条徒步路线，线路1为路线，路线为之间的线段；线路2为越野线路，路线为之间的折线段． 【数据收集】 数据①：点在点的北偏东方向上； 数据②：线路2的行走方式为从起点出发，先向北偏东的方向越野行走一段路程到达中转点，再从中转点向正东方向行走2000米即可到达终点． 【数据应用】 利用以上数据，求的长．（结果保留整数，参考数据：） 【答案】的长米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，如图，过作于，结合题意可得：，，，，证明，，再分别求解，，即可得到答案. 【详解】解：如图，过作于， 由题意可得：，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴（米）； 答：的长米． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$