热点07 相似三角形（7大题型+高分技法+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）

热点07 相似三角形 中考数学中《相似三角形》部分主要考向分为三类： 一、黄金分割及平行线分线段成比例（每年1道，3分） 二、相似三角形的判定与性质（每年1~2道，3~12分） 三、相似三角形的应用（每年1~2题，3~14分） 相似三角形在中考数学中的地位永远都是无法撼动的第一，不管是对相似三角形性质、判定、亦或是应用的考察，都有出题类型多变，出题形式随意的特点，并且，因为其高度的融合性，不管是在选择题、填空题、解答题的压轴题中，都可以作为压轴题的问题背景出现，也是解决压轴题问题不可或缺的方法途径。基于以上特征，相似三角的考察难度可以从中等跨越到较难，属于中考数学中较为重要的压轴考点。 考向一：平行线分线段成比例 【题型1 比例与比例线段】 1、比例的性质：； 2、比例中项：，此时，c为a、b的比例中项； 3、比例线段：在四条线段中，如果的比等于的比，那么这四条线段叫做成比例线段简称比例线段； 1．（2025·广东揭阳·一模）如图所示为一测量电路，为待测电阻，为可调电阻，R，，为已知电阻，E为直流电压源，A为电流表，调节的电阻时会出现一种现象，即当电流表读数为0时，有，这个现象叫做电桥平衡，并且此时的电阻R对电路无影响．由上式便可通过的电阻求得的电阻，现已知，．当时电流表读数为0，那么此时将减小，则需要如何变，电流表示数才能为0？ A．增大 B．增大 C．减小 D．减小 2．（2025·广东深圳·一模）已知，，，成比例线段．若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·上海黄浦·一模）已知线段，，如果线段c是线段a和b的比例中项，那么线段c的长为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·湖南益阳·模拟预测）小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台A，B，C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，设A、B两地的实际直线距离为m，B、C两地的实际直线距离为n，则的值为 ． 5．（2025·上海虹口·一模）已知线段是线段、的比例中项，，，那么 ． 【题型2黄金分割】 黄金分割：把线段分成两条线段，且使是的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，其中≈0.618． 1．（2024·广东深圳·三模）黄金分割比被称之为比例之王，在艺术创作和建筑设计上有很多例子．不过，事实上黄金分割符合的是西方美学，而东方美学更钟爱于白银分割．其中爱国品牌红旗汽车的设计中应用了白银分割（图；福州华林寺大殿——现存最古老木构建筑物中也大量运用了白银比例．东方人之所以喜欢白银分割比，因为在日常生活中随处都可以见到白银分割的身影，比如常用到的纸，对折后得到两个全等的纸、纸折叠后得到两个全等的纸等等（图，纸，纸、纸等的长与宽的比都等于白银比，这样的矩形称为白银矩形． 如图3，若菱形的边长与高之比为白银比，则称这个菱形为白银菱形，以白银菱形作为平面镶嵌图形从而构造出具有对称美的图形，则这个矩形地毯的长宽比为　　 A． B． C． D． 2．（2025·江西·模拟预测）定义：若线段上有一点满足或，则称点为线段的黄金分割点．在如图所示的五角星图案中，已知点是线段的黄金分割点，若，则线段的长为 ． 3．（2023·四川达州·中考真题）如图，乐器的一根弦，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，即，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则两个支撑点C，D之间的距离 ．（结果保留根号） 4．（2024·江苏常州·模拟预测）20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，．已知为2米，则线段的长为 米． 小组在研究“黄金比例与黄金矩形”，阅读课本时发现可以通过折叠得到黄金矩形．请根据每一步的操作完成以下填空．（假设原矩形纸片的宽为） ①在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平，则______； ②如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平，则_______； ③折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处，则_______； ④展平纸片，按照所得到的点D折出，则_______，我们将这个比值称为黄金比，将宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形，如图4矩形就是一个黄金矩形． 活动二：类似的，我们将底与腰的比等于黄金比的等腰三角形称为黄金三角形． 如图，已知线段a，请你根据以下步骤作出以为腰长的黄金三角形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 步骤一：作一条线段，使得的长度等于的腰长； 步骤二：作一条线段，使得的长度等于的底边长； 步骤三：作黄金三角形． 【题型3 平分线分线段成比例】 满分技巧 如图：AB∥CD∥EF 1．（2025·河南·一模）如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则BF的长为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，直线，直线分别与直线相交于点和点，若，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，，垂足分别为B、D，和相交于点E，垂足为F．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，点是重心，连接交于点，，，是边上一点，当时，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·上海崇明·一模）如图，，，，那么的长等于 ． 6．（2025·上海长宁·一模）如图，，如果，，，那么的长是 ． 7．（2023·安徽宿州·一模）如图，在中，平分，过点A作交于点H，且H是的中点．若，则的长为 ． 考向二：相似三角形判定与性质 【题型4 相似三角形的性质】 相似三角形的性质：对应边成比例、对应角相等、对应边上的“三线”之比=相似比、对应面积之比=相似比的平方、对应周长之比=相似比。另外，相似三角形之前还有有关平行线分线段成比例的基本性质的考察。 1．（2025·河南开封·一模）如果两个相似三角形的对应边之比是．那么它们的面积之比是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·重庆·模拟预测）如图，与位似，点O为位似中心，已知，的面积为8，则的面积为（    ） A．8 B．12 C．18 D．24 3．（2025·河北邯郸·一模）嘉嘉的作业纸不小心被撕毁了（如图所示），已知．测得，，的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·重庆·模拟预测）如图，与位似，点O为位似中心，若，则的长为（   ） A．15 B．20 C．10 D．5 5．（2024·四川成都·模拟预测）如图，D，E分别是的边，上的点，，若，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【题型5 相似三角形的判定】 重点记“AA”与“SAS”类型，小题勿忘“SSS”类型； 相似三角形的判定方法中，最常用的是有两个角对应相等的两个三角形相似，其次是对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。三边对应成比例的两个三角形相似不长出现，但是个别小题，特别是和网格结合的问题小题中，也是有出现几率的。 1．（2025·湖南长沙·一模）如图，下列条件不能判定的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023·山东·中考真题）（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．    【问题解决】 （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 3．（2025·广东广州·模拟预测）如图，中，，是边上的高，求证：． 4．（2025·上海徐汇·一模）在矩形中连接，过点D作的垂线交于E，于F． (1)证明：； (2)若，，连接，求的值． 5．（2025·湖北·一模）（1）如图1，在中，于点H，求证：； （2）如图2，已知，E为上一点，且，若，求的值； （3）如图3，在四边形中，，，E为边上一点，且，求的值． 考向三：相似三角形的应用 【题型6 相似三角形的应用】 相似三角形在实际生活中的应用： （1） 建模思想：建立相似三角形的模型 （二）常见题目类型： 1.利用投影、平行线、标杆等构造相似三角形求解 2.测量底部可以到达的物体的高度 3.测量底部不可以到达的物体的高度 4.测量河的宽度 1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，小杰从灯杆的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（    ） A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米 2．（2025·山东东营·一模）如图所示，在洞孔成像问题中，已知玻璃棒AB与它的物像平行，已知玻璃棒厘米，根据图中给定的尺寸，那么它的物像的长是（    ）厘米 A．5 B．6 C．8 D．4 3．（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．          (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； (2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； (3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：          如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 4．（2023·四川攀枝花·中考真题）拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为，选取与塔底在同一水平地面上的、两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且东塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，、、在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察A点，A、、三点也在一直线上，且、、、、在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔的高度．    5．（2025·陕西咸阳·一模）某校初三学生开展主题为“测量校园凉亭高度的方案设计”的数学综合与实践活动． 甲、乙、丙三位同学制作出一个简易测高仪．取两根小木条钉在一起，使它们互相垂直，其中木条AB长，木条长，长（接头处忽略不计）．为了便于校正竖直位置，在点B处悬挂一个铅垂，这样就制作出一个简易测高仪． 任务：测量校园内凉亭的高度（凉亭顶端M与底部N的距离）． 工具：简易测高仪、卷尺． 实践活动 实践操作 甲手持测高仪，C端朝上D端朝下，从测高仪的，点A经过点C望向凉亭顶端M，调整人到凉亭的距离，使得点M与点C，A恰好在一条直线上，然后标记铅垂线的下端刚好接触地面的点E的位置，如示意图所示． 示意图 获取数据 乙负责测量，得到点B到地面的垂直距离． 解决问题 利用得到的数据求出凉亭的高度． 6．（2025·湖南长沙·一模）小明晚上在路灯下的示意图如下，线段表示直立的灯杆，灯泡在其上端某处，线段表示一棵树，线段表示它在地面上的影子，线段表示小明． (1)请确定灯泡所在的位置，并画出小明站在处的影子； (2)若小明的身高，当小明离灯杆的距离时，影子长为，求灯泡离地面的高度． 7．（2025·陕西西安·一模）学习完锐角三角函数知识后，雷莹老师组织学生开展测量物体高度的实践活动，格格所 在小组的任务为测量校园里一棵树的高度，由于有围栏保护，他们无法到达树的底部．于是，格格所在 小组经过讨论后决定利用平面镜和测倾器进行实地测量，并完成了如下的测量报告： 课题 测量树的高度 测量工具 平面镜、测倾器和皮尺 测量示意图及说明 说明： D、C、B、F四点共线，、均垂直于； 平面镜放置于C处，且大小忽略； 测倾器放置于F处，且高度忽略． 测量过程及相关数据 格格站在D处，恰好可以通过平面镜看到树的顶端A，格格眼睛与地面高度米，格格到平面镜的距离米，平面镜到测倾器的距离为米，测得， 参考数据 请你根据以上测量报告，求树的高度． 8．（2024·广东·模拟预测）九年级（1）班课外活动小组想利用标杆测量佛山千灯湖市民广场醒狮雕塑的高度，见图（醒狮雕塑线条图）．已知点A，C，E在同一直线上，标杆高度，标杆与雕塑的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，求醒狮雕塑的高度． 9．（2024·陕西咸阳·模拟预测）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律． 【解决问题】阿房宫遗址被联合国确定为世界上最大的宫殿基址，属于世界奇迹．上天台是阿房宫殿祭祀天神的建筑物，重现的上天台，是根据有关史料营造．如图2，小江和小海两位同学想利用学过的知识来测量上天台的高度．一天，他们带着测量工具来到上天台前，但由于整体规划的原因，无法到达上天台底部B．于是小江在地面上的点C处放置了一个平面镜，小海从C处出发沿着方向移动，当移动到点E处时，恰好在平面镜内看到上天台的顶端A的像，此时，测得，小海眼睛到地面的距离为1.6 m；然后，小江沿方向移动到点G，用测角仪测得上天台顶端A的仰角为，此时，测得，测角仪的高度也为1.6 m．已知点B，G，C，E在同一水平直线上，且均垂直于，求该上天台的高度． 【题型7 位似变换】 位似图形满足的条件： ①所有经过对应点的直线都相交于同一点（该点叫做位似中心）； ②这个交点到两个对应点的距离之比都相等（这个比值叫做位似比） 1．（2023·河南洛阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点为位似中心，将扩大为原来的4倍，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 2．（2025·河南安阳·一模）如图，已知线段的两个端点坐标分别为，，以原点为位似中心在第一象限内画线段，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，，是上的点，，是外的点，和是位似图形，位似中心为点，点，对应点是点，，交于点，若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2025·广西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 5．（2024·云南昆明·模拟预测）如图与关于点A 成位似图形，若他们的位似比为，则与的面积比为（  ） A． B． C． D． 6．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，原点是和的位似中心，点与点是对应点，的面积是，则的面积是 ． 7．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，在直角坐标系中，， ，以为位似中心，把按相似比放大，放大后的图形记作，则点的坐标为 ． 8．（2024·吉林·模拟预测）如图，以点O为位似中心，作的位似图形．已知的面积为3，，则的面积为 ． 9．（2024·陕西西安·模拟预测）与的半径分别为R、r，如果在直线取一点P，使，那么称与关于点P位似，P叫作位似中心，k叫作与的位似比（规定：同心圆关于圆心位似）． (1)如图①，已知和点P，画，使与关于点P位似，且与的位似比为； (2)如图②，已知和关于点P位似，直线l经过点P且与相切，切点为A，请判断直线l与的位置关系，并说明理由． （建议用时：30分钟） 一、单选题 1．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在中，点O是边上一点，连接并延长，交的延长线于点E．若，，则的长为（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 2．（2025·山东·一模）如图，中，的平分线交于点，交的延长线于点，若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2025·江苏宿迁·一模）如图，的中位线，把沿折叠，使点A落在边上的点F处，若A、F两点间的距离是，则的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·辽宁沈阳·一模）如图，在正方形中，G为边中点，连接并延长交边的延长线于点E，对角线交于点F．已知，则线段的长度为（   ）    A．6 B．8 C．10 D．12 5．（2024·安徽亳州·模拟预测）如图，是的中线，点F在上，延长交于点D，若，则（   ） A． B． C． D． 6．（2023·浙江杭州·三模）如图，在中，点分别在和上，，为边上一点，连接交于点，若，则下列选项不成立的是（   ） A． B． C． D． 7．（2024·安徽宣城·模拟预测）如图，是的中线，于点，且，则的长为（    ） A．13 B．11 C．8 D．6 8．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，在中，，，，为上一点，且满足，为的中点，连接交于点，则的面积为（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 二、填空题 9．（2024·江苏扬州·中考真题）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ． 10．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，铁道口的栏杆短臂长米，长臂长米，当短臂端点下降米，长臂端点升高 米． 11．（2025·山西朔州·一模）如图，在平面直角坐标系中，与关于原点O位似，点B的坐标为，点的坐标为，点A的坐标为，则点的坐标为 ． 12．（2023·四川成都·二模）如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的周长为8，则四边形的周长为 ． 13．（2025·广东茂名·模拟预测）如图，D是中上的中点，连接，是的中线，的延长线与交于点，则 ． 14．（2025·广东·模拟预测）小周要在一块三角形钢板中裁出一个矩形，裁剪方案如图所示，顶点、在边上，顶点，分别在边、上，已知，，，则当矩形的面积最大时， ． 15．（2025·陕西咸阳·模拟预测）响铃塔位于陕西省榆林市境内，作为全国重点文物保护单位，对研究陕北元代建筑、历史、宗教文化等的发展提供了宝贵的历史资料．某校项目式学习小组开展了测量响铃塔高度的项目活动，共拟定了如下表所示的两种测量方案： 方案 方案① 方案② 测量示意图 测量说明 测量员在地面上的点处测得塔顶的仰角的度数，在地面上竖立一根标杆，发现地面上的点、标杆顶端和塔顶在一条直线上，、，点、、、在一条直线上，图中所有的点都在同一平面内 测量员在地面上的点处测得塔顶A的仰角的度数，在地面上的点处放置一面平面镜（大小不计），测量员站在地面上的点处，眼睛位于点处时恰好在平面镜内看到塔顶的像，、，点在一条直线上，图中所有的点都在同一平面内 测量结果 ，，， ，，， 请你选择上述两种方案中的一种，计算响铃塔的高度． 你选择的是方案_____． 16．（2025·广东·模拟预测）【问题情境】如图，在中，，，点在边上将线段绕点顺时针旋转得到线段（旋转角小于），连接，、以为底边在其上方作等腰三角形，使，连接． 【尝试探究】（1）如图，当时，易知；如图，当时，则与的数量关系为______； （2）如图，请判断与的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图，当且点，、三点共线时若，，请求出的长． 17．（2025·贵州·一模）【阅读理解】“赵爽弦图”被誉为中国古代数学的图腾，如图①即“赵爽弦图”，该图由4个全等的直角三角形围成一个大正方形和中间的一个小正方形，巧妙地证明了勾股定理．根据“赵爽弦图”的结构特点，可联想一些直角问题是否可以通过构造“弦图”结构得以解决． 【初步探究】 （1）如图②，M，N是正方形内的点，且，，连接，则的度数为 ；（M，N不重合） 【问题解决】 （2）如图③，在中，，P为边上一个动点（不与点A，C重合），连接，过点C作于点D，E是上一点，且，过点E作交于点F，试判断三条线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展探究】 （3）在（2）的条件下，当，时，求线段的长．    14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点07 相似三角形 中考数学中《相似三角形》部分主要考向分为三类： 一、黄金分割及平行线分线段成比例（每年1道，3分） 二、相似三角形的判定与性质（每年1~2道，3~12分） 三、相似三角形的应用（每年1~2题，3~14分） 相似三角形在中考数学中的地位永远都是无法撼动的第一，不管是对相似三角形性质、判定、亦或是应用的考察，都有出题类型多变，出题形式随意的特点，并且，因为其高度的融合性，不管是在选择题、填空题、解答题的压轴题中，都可以作为压轴题的问题背景出现，也是解决压轴题问题不可或缺的方法途径。基于以上特征，相似三角的考察难度可以从中等跨越到较难，属于中考数学中较为重要的压轴考点。 考向一：平行线分线段成比例 【题型1 比例与比例线段】 1、比例的性质：； 2、比例中项：，此时，c为a、b的比例中项； 3、比例线段：在四条线段中，如果的比等于的比，那么这四条线段叫做成比例线段简称比例线段； 1．（2025·广东揭阳·一模）如图所示为一测量电路，为待测电阻，为可调电阻，R，，为已知电阻，E为直流电压源，A为电流表，调节的电阻时会出现一种现象，即当电流表读数为0时，有，这个现象叫做电桥平衡，并且此时的电阻R对电路无影响．由上式便可通过的电阻求得的电阻，现已知，．当时电流表读数为0，那么此时将减小，则需要如何变，电流表示数才能为0？ A．增大 B．增大 C．减小 D．减小 【答案】A 【分析】本题考查了比例式，读懂题意，则根据，，，，求出，因为将减小，故把代入算出调整后的，即可作答． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∵将减小， ∴调整后的， ∵电流表示数才能为0， ∴， ∵，，， 则， 解得， ∴， 即增大， 故选：A． 2．（2025·广东深圳·一模）已知，，，成比例线段．若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查成比例线段，解题的关键是掌握：若四条线段，，，成比例，则（或），是有顺序的，位置不能随意颠倒．据此列式解答即可． 【详解】解：∵，，，成比例线段，且，，， ∴，即， ∴． 故选：B． 3．（2025·上海黄浦·一模）已知线段，，如果线段c是线段a和b的比例中项，那么线段c的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据比例中项的定义，成比例线段，构建方程即可解决问题． 本题考查比例中项的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，利用成比例线段性质列出等式，属于中考常考题型． 【详解】解：解：∵线段c是线段a和b的比例中项， ∴， ∵，，， ∴， 故选：B． 4．（2024·湖南益阳·模拟预测）小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台A，B，C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，设A、B两地的实际直线距离为m，B、C两地的实际直线距离为n，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了比例线段．根据题意，得出、两地的实际直线距离，、两地的实际直线距离，然后求根据比例线段求值即可． 【详解】解：由题意，得、两地的实际直线距离为，、两地的实际直线距离为， ， 即． 故答案为：2． 5．（2025·上海虹口·一模）已知线段是线段、的比例中项，，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例线段，根据题意可得，代入数值求解即可． 【详解】解：线段是线段的比例中项，， （负值舍去） 故答案为：． 【题型2黄金分割】 黄金分割：把线段分成两条线段，且使是的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，其中≈0.618． 1．（2024·广东深圳·三模）黄金分割比被称之为比例之王，在艺术创作和建筑设计上有很多例子．不过，事实上黄金分割符合的是西方美学，而东方美学更钟爱于白银分割．其中爱国品牌红旗汽车的设计中应用了白银分割（图；福州华林寺大殿——现存最古老木构建筑物中也大量运用了白银比例．东方人之所以喜欢白银分割比，因为在日常生活中随处都可以见到白银分割的身影，比如常用到的纸，对折后得到两个全等的纸、纸折叠后得到两个全等的纸等等（图，纸，纸、纸等的长与宽的比都等于白银比，这样的矩形称为白银矩形． 如图3，若菱形的边长与高之比为白银比，则称这个菱形为白银菱形，以白银菱形作为平面镶嵌图形从而构造出具有对称美的图形，则这个矩形地毯的长宽比为　　 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得，白银矩形四边形白银矩形四边形， ， 即， ， ， ， （负值舍去） 即白银矩形的长与宽的比为． 如下图，作于点,于，于，在上截取,连接, 由题可知：, , , , , 同理可得, , , , , , , 设, , , , , 故选：． 【点睛】本题考查的时候相似多边形的性质、平面镶嵌（密铺）、菱形的判定与性质、翻折变换（折叠问题）、比例的性质、黄金分割，解决本题的关键是理解白银矩形的定义． 2．（2025·江西·模拟预测）定义：若线段上有一点满足或，则称点为线段的黄金分割点．在如图所示的五角星图案中，已知点是线段的黄金分割点，若，则线段的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是黄金分割的概念，熟记线段的黄金分割点有两个是解题的关键．根据黄金分割的定义可得，继而由求出，再由线段和差计算即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2023·四川达州·中考真题）如图，乐器的一根弦，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，即，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则两个支撑点C，D之间的距离 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，利用黄金分割的等积式得一元二次方程是解题的关键．设，则，由得，解方程求出的长，同理求出的长，进而可求出点C，D之间的距离． 【详解】解：设，则， ， ， 解得（舍）， ， 同理可求， ， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（2024·江苏常州·模拟预测）20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，．已知为2米，则线段的长为 米． 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例为进行求解即可． 【详解】解：∵E为边的黄金分割点，， ∴米， 故答案为：． 5．（2024·福建厦门·模拟预测）活动一：某数学兴趣小组在研究“黄金比例与黄金矩形”，阅读课本时发现可以通过折叠得到黄金矩形．请根据每一步的操作完成以下填空．（假设原矩形纸片的宽为） ①在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平，则______； ②如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平，则_______； ③折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处，则_______； ④展平纸片，按照所得到的点D折出，则_______，我们将这个比值称为黄金比，将宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形，如图4矩形就是一个黄金矩形． 活动二：类似的，我们将底与腰的比等于黄金比的等腰三角形称为黄金三角形． 如图，已知线段a，请你根据以下步骤作出以为腰长的黄金三角形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 步骤一：作一条线段，使得的长度等于的腰长； 步骤二：作一条线段，使得的长度等于的底边长； 步骤三：作黄金三角形． 【答案】（1）活动一：①2；②1；③；④； （2）见解析 【分析】活动一：利用折叠的性质和勾股定理解答即可； 活动二：利用作一条线段等于已知线段的方法，黄金分割的作法和公理解答即可． 【详解】解：活动一： ①在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平，则； ②如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平，则； ③折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处，则； ④展平纸片，按照所得到的点D折出，，则； 活动二： 步骤一：作一条线段，使得的长度为， 步骤二：1．过点H作于点H， 2．在上截取，连接， 3．在上截取， 4．以点G为圆心，以为半径画弧交于点M， 则点M为的黄金分割点，的长度等于，则的长度等于底边的长度，即，如图： 步骤三：作，作线段，分别以为圆心，以为半径画弧，两弧交于点，连接，如图， 则为黄金三角形． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，黄金分割的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，基本作图，本题是操作性题 目，熟练掌握基本作图的知识和折叠的性质是解题的关键． 【题型3 平分线分线段成比例】 满分技巧 如图：AB∥CD∥EF 1．（2025·河南·一模）如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则BF的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分定理列比例式成为解题的关键． 先根据平行线等分线段定理列比例式求得，再运用线段的和差求解即可． 【详解】解：∵， ，即，解得：． ． 故选C． 2．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，直线，直线分别与直线相交于点和点，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分线段定理解答即可求解，掌握平行线等分线段定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，，垂足分别为B、D，和相交于点E，垂足为F．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 利用平行线的性质以及相似三角形的性质一一判断即可． 【详解】解： ∴ ∴， ，故选项A错误，选项 B正确， ∵， ∴， ∴，故选项C正确； ∵， ∴， ，故选项D正确， 故选：A． 4．（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，点是重心，连接交于点，，，是边上一点，当时，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了重心的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例，掌握相关知识是解题的关键．根据重心和等腰三角形的性质可得：，，，由可得，结合得到，推出，即可求解． 【详解】解：在中，，点是重心， ，，， ， ， ， ，， ， ，即， ， 故选：B． 5．（2025·上海崇明·一模）如图，，，，那么的长等于 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理得到，求出，即可求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 6．（2025·上海长宁·一模）如图，，如果，，，那么的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解： ， ， ，，， ， 解得：， ． 故答案为：． 7．（2023·安徽宿州·一模）如图，在中，平分，过点A作交于点H，且H是的中点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的中位线，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，作交于点K，由平行线分线段成比例定理可证，根据勾股定理求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：作交于点K， ∴，． ∵H是的中点， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 考向二：相似三角形判定与性质 【题型4 相似三角形的性质】 相似三角形的性质：对应边成比例、对应角相等、对应边上的“三线”之比=相似比、对应面积之比=相似比的平方、对应周长之比=相似比。另外，相似三角形之前还有有关平行线分线段成比例的基本性质的考察。 1．（2025·河南开封·一模）如果两个相似三角形的对应边之比是．那么它们的面积之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比等于相似比、相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 根据相似三角形的性质，相似三角形的面积的比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：∵相似三角形的面积之比等于相似比的平方， ∵两个相似三角形的相似比是， ∴它们的面积的比是， 故选：D． 2．（2025·重庆·模拟预测）如图，与位似，点O为位似中心，已知，的面积为8，则的面积为（    ） A．8 B．12 C．18 D．24 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换，利用位似的性质得到，所以，然后根据相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵与位似，点O为位似中心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 3．（2025·河北邯郸·一模）嘉嘉的作业纸不小心被撕毁了（如图所示），已知．测得，，的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质．根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，的面积为， ∴， ∴的面积为． 故选：B． 4．（2025·重庆·模拟预测）如图，与位似，点O为位似中心，若，则的长为（   ） A．15 B．20 C．10 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了位似变换、相似三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的对应边的比等于相似比是解题的关键． 根据位似图形的性质可得且相似比为，然后由相似三角形对应边的比等于相似比解答即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵与位似，点O为位似中心， ∴且， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 5．（2024·四川成都·模拟预测）如图，D，E分别是的边，上的点，，若，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握等高不同底的三角形的面积的比等于底的比与三角形的面积比等于相似比的平方是解决问题的关键． 由，得到，于是得到，根据，推出，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解： 故选：D． 【题型5 相似三角形的判定】 重点记“AA”与“SAS”类型，小题勿忘“SSS”类型； 相似三角形的判定方法中，最常用的是有两个角对应相等的两个三角形相似，其次是对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。三边对应成比例的两个三角形相似不长出现，但是个别小题，特别是和网格结合的问题小题中，也是有出现几率的。 1．（2025·湖南长沙·一模）如图，下列条件不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定的判定方法即可得出答案，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴，故选项不符合题意； 、∵， ∴，故选项不符合题意； 、∵， ∴， 又∵， ∴，故选项不符合题意； 、对应边不成比例，不能判定，故选项符合题意． 故选：． 2．（2023·山东·中考真题）（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．    【问题解决】 （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 【答案】（1）见解析    （2）见解析    （3）3 【分析】（1）由矩形的性质可得，则，再由，可得，则，根据等角的余角相等得，即可得证； （2）利用“”证明，可得，由，可得，利用“”证明，则，由正方形的性质可得，根据平行线的性质，即可得证； （3）延长到点，使，连接，由菱形的性质可得，，则，推出，由全等的性质可得，，进而推出是等边三角形，再根据线段的和差关系计算求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， 又 ， ， 点在的延长线上， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，延长到点，使，连接，   四边形是菱形， ，， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点并灵活运用是解题的关键． 3．（2025·广东广州·模拟预测）如图，中，，是边上的高，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，垂直的定义，余角的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，由相似三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（2025·上海徐汇·一模）在矩形中连接，过点D作的垂线交于E，于F． (1)证明：； (2)若，，连接，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质． （1）由矩形的性质得，再由垂直得，由角的等量代换推出，即可得出结论； （2）先证明得，进而得，再由平行得，，最后由可得答案． 【详解】（1）证明：∵是矩形， ∴， ∵于点E， ∴， ∴，， ∴，即， ∴； （2）解：如图， ∵， ∴， 由（1）， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴（负值舍去）， ∵是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（2025·湖北·一模）（1）如图1，在中，于点H，求证：； （2）如图2，已知，E为上一点，且，若，求的值； （3）如图3，在四边形中，，，E为边上一点，且，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，利用前面探索的结论和方法解决新问题是解题的关键． （1）利用同角的余角相等得，即可证明结论； （2）过点A作于点F，利用两个角相等证明，得，从而得出答案； （3）过点A作于点H，延长相交于点N，设，则首先证明，得再根据，得最后根据进而解决问题． 【详解】解：（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）过点A作于点F，则， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． （3）过点A作于点H，延长相交于点N． ∵， ∴． 设，则． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 考向三：相似三角形的应用 【题型6 相似三角形的应用】 相似三角形在实际生活中的应用： （1） 建模思想：建立相似三角形的模型 （二）常见题目类型： 1.利用投影、平行线、标杆等构造相似三角形求解 2.测量底部可以到达的物体的高度 3.测量底部不可以到达的物体的高度 4.测量河的宽度 1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，小杰从灯杆的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（    ） A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的应用举例，设回过程中小杰身高为，连接并延长交于点G，根据题意得到，证明，得到，由推出，即可得出结论． 【详解】解：设回过程中小杰身高为，连接并延长交于点G， 根据题意得到， ， ， ， ， ， 米， ， 返回过程中小杰在灯光下的影长可以是2.5米， 故选：D． 2．（2025·山东东营·一模）如图所示，在洞孔成像问题中，已知玻璃棒AB与它的物像平行，已知玻璃棒厘米，根据图中给定的尺寸，那么它的物像的长是（    ）厘米 A．5 B．6 C．8 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的相似，根据相似三角形的性质计算答案即可； 【详解】解：由题易得：, ∴=相似三角形的对应高之比， 又， ∴， 故选：D 3．（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．          (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； (2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； (3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：          如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 【答案】(1) (2)旗杆高度为； (3)雕塑高度为． 【分析】本题考查平行投影，相似三角形的应用． （1）根据同一时刻物高与影长对应成比例，进行求解即可； （2）根据镜面反射性质，可求出，得出，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案； （3），由题意得：，，利用相似三角形的性质列出式子，计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，由题意得：， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，由题意得，， 根据镜面反射可知：， ，， ， ， ，即， ， 答：旗杆高度为； （3）解：设， 由题意得：，， ∴，， 即，， ∴， 整理得， 解得，经检验符合他 ∴， 答：雕塑高度为． 4．（2023·四川攀枝花·中考真题）拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为，选取与塔底在同一水平地面上的、两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且东塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，、、在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察A点，A、、三点也在一直线上，且、、、、在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔的高度．    【答案】36m 【分析】设，则，通过证明，得到，即，同理得到，则可建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设，则 ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 同理可证， ∴，即， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴， ∴该古建筑的高度为36m． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的性质建立方程是解题的关键． 5．（2025·陕西咸阳·一模）某校初三学生开展主题为“测量校园凉亭高度的方案设计”的数学综合与实践活动． 甲、乙、丙三位同学制作出一个简易测高仪．取两根小木条钉在一起，使它们互相垂直，其中木条AB长，木条长，长（接头处忽略不计）．为了便于校正竖直位置，在点B处悬挂一个铅垂，这样就制作出一个简易测高仪． 任务：测量校园内凉亭的高度（凉亭顶端M与底部N的距离）． 工具：简易测高仪、卷尺． 实践活动 实践操作 甲手持测高仪，C端朝上D端朝下，从测高仪的，点A经过点C望向凉亭顶端M，调整人到凉亭的距离，使得点M与点C，A恰好在一条直线上，然后标记铅垂线的下端刚好接触地面的点E的位置，如示意图所示． 示意图 获取数据 乙负责测量，得到点B到地面的垂直距离． 解决问题 利用得到的数据求出凉亭的高度． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用，先证明，得出，求出，进而可得出答案． 【详解】解：由题意知，四边形是矩形，， ． ． ． ， ． ． ． ． 这个凉亭的高度为 6．（2025·湖南长沙·一模）小明晚上在路灯下的示意图如下，线段表示直立的灯杆，灯泡在其上端某处，线段表示一棵树，线段表示它在地面上的影子，线段表示小明． (1)请确定灯泡所在的位置，并画出小明站在处的影子； (2)若小明的身高，当小明离灯杆的距离时，影子长为，求灯泡离地面的高度． 【答案】(1)见解析 (2)灯泡离地面的高度为 【分析】本题考查投影，相似三角形的应用． （1）连接并延长，与的交点即为点P，连接并延长交地面于点Q，即为的影子； （2）证明，根据对应边成比例列方程，即可求解． 【详解】（1）解：如图，点为灯泡，线段为小明的影子． （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴灯泡离地面的高度为． 7．（2025·陕西西安·一模）学习完锐角三角函数知识后，雷莹老师组织学生开展测量物体高度的实践活动，格格所 在小组的任务为测量校园里一棵树的高度，由于有围栏保护，他们无法到达树的底部．于是，格格所在 小组经过讨论后决定利用平面镜和测倾器进行实地测量，并完成了如下的测量报告： 课题 测量树的高度 测量工具 平面镜、测倾器和皮尺 测量示意图及说明 说明： D、C、B、F四点共线，、均垂直于； 平面镜放置于C处，且大小忽略； 测倾器放置于F处，且高度忽略． 测量过程及相关数据 格格站在D处，恰好可以通过平面镜看到树的顶端A，格格眼睛与地面高度米，格格到平面镜的距离米，平面镜到测倾器的距离为米，测得， 参考数据 请你根据以上测量报告，求树的高度． 【答案】8米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据垂直定义可得，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再根据题意可得：，从而证明，进而利用相似三角形的性质进行计算． 【详解】解：由题意可得，，， ∴， 设米， ∵米， ∴米， 在中，， ∴（米）， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 经检验是原分式方程的解， ∴（米） ∴树的高度约为8米． 8．（2024·广东·模拟预测）九年级（1）班课外活动小组想利用标杆测量佛山千灯湖市民广场醒狮雕塑的高度，见图（醒狮雕塑线条图）．已知点A，C，E在同一直线上，标杆高度，标杆与雕塑的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，求醒狮雕塑的高度． 【答案】12.8米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求的长度分成了2个部分，和部分，其中，剩下的问题就是求的长度，利用，得出，把相关条件代入即可求得的长度即可． 【详解】如图所示，设线段与线段交于点G． ∵， ∴，四边形、是矩形， ∴， ∵， ∴， ， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴ 答：醒狮雕塑的高度为． 9．（2024·陕西咸阳·模拟预测）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律． 【解决问题】阿房宫遗址被联合国确定为世界上最大的宫殿基址，属于世界奇迹．上天台是阿房宫殿祭祀天神的建筑物，重现的上天台，是根据有关史料营造．如图2，小江和小海两位同学想利用学过的知识来测量上天台的高度．一天，他们带着测量工具来到上天台前，但由于整体规划的原因，无法到达上天台底部B．于是小江在地面上的点C处放置了一个平面镜，小海从C处出发沿着方向移动，当移动到点E处时，恰好在平面镜内看到上天台的顶端A的像，此时，测得，小海眼睛到地面的距离为1.6 m；然后，小江沿方向移动到点G，用测角仪测得上天台顶端A的仰角为，此时，测得，测角仪的高度也为1.6 m．已知点B，G，C，E在同一水平直线上，且均垂直于，求该上天台的高度． 【答案】该上天台的高度为19.8米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，相似三角形的应用，过点F作于点H，解，得到，设，证明，列出比例式，求出的值，进一步求出的长即可． 【详解】解：如图，过点F作于点H， 则，， 在中，， ∴． 设， 根据题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴，解得， ∴， 答：该上天台的高度为19.8米． 【题型7 位似变换】 位似图形满足的条件： ①所有经过对应点的直线都相交于同一点（该点叫做位似中心）； ②这个交点到两个对应点的距离之比都相等（这个比值叫做位似比） 1．（2023·河南洛阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点为位似中心，将扩大为原来的4倍，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】直接利用位似图形的性质得出对应点坐标即可．此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点，以原点O为位似中心，将扩大为原来的4倍， ∴， ∴点A的对应点的坐标在第一象限时，即点A的对应点的坐标是 ∴点A的对应点的坐标在第三象限时，即点A的对应点的坐标是， 故选：D． 2．（2025·河南安阳·一模）如图，已知线段的两个端点坐标分别为，，以原点为位似中心在第一象限内画线段，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标平面内的位似变换，掌握在平面直角坐标系中以原点为位似中心的坐标变化规律是解题的关键． 根据在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换的相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵以原点为位似中心，线段在第一象限内的位似图形为线段， ∴线段和线段的位似比为， ∴点坐标为，即， 故选：． 3．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，，是上的点，，是外的点，和是位似图形，位似中心为点，点，对应点是点，，交于点，若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查位似图形的性质，圆的性质，熟练掌握位似图形的对应边成比例相等是解题的关键．利用位似图形得出，再结合，，得出，即可求解． 【详解】解：∵和是位似图形，位似中心为点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：A． 4．（2025·广西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是位似变换，根据点A与点的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解：∵与是位似图形，位似中心为点O，点的对应点为， ∴与的相似比为， ∵点B的坐标为， ∴点B的对应点的坐标为，即， 故选：B． 5．（2024·云南昆明·模拟预测）如图与关于点A 成位似图形，若他们的位似比为，则与的面积比为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是位似图形的概念和性质，掌握位似图形的概念、相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似图形的概念得到与相似，根据相似多边形的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵与关于点A 成位似图形，他们的位似比为， ∴与相似，他们的相似比为， ∴与的面积比为， 故选：A． 6．（2025·辽宁沈阳·一模）如图，原点是和的位似中心，点与点是对应点，的面积是，则的面积是 ． 【答案】12 【分析】本题考查了位数图形的性质，掌握面积比等于位似比的平方是解题的关键．根据题意，可得位数比为，再根据位数图形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：原点是和的位似中心，点与点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 12． 7．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，在直角坐标系中，， ，以为位似中心，把按相似比放大，放大后的图形记作，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似的性质和相似三角形的判定与性质定理是解题的关键．过点作轴于点，由，，可得，，根据位似图形的性质得到，推出，证明，根据相似三角形的性质可求出，，进而求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ，， ，， 以为位似中心，把按相似比放大，放大后的图形记作， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 8．（2024·吉林·模拟预测）如图，以点O为位似中心，作的位似图形．已知的面积为3，，则的面积为 ． 【答案】27 【分析】此题主要考查了位似变换，正确得出面积比与相似比的关系是解题关键． 直接利用相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，进而得出答案． 【详解】解：由题意，，， ∴， ∵的面积为3， ∴的面积为：27． 故答案为：27． 9．（2024·陕西西安·模拟预测）与的半径分别为R、r，如果在直线取一点P，使，那么称与关于点P位似，P叫作位似中心，k叫作与的位似比（规定：同心圆关于圆心位似）． (1)如图①，已知和点P，画，使与关于点P位似，且与的位似比为； (2)如图②，已知和关于点P位似，直线l经过点P且与相切，切点为A，请判断直线l与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)直线l是的切线，理由见解析 【分析】本题主要考查了画位似图形，切线的性质与判定，相似三角形的性质与判定： （1）根据题意可得，，据此作图即可； （2）连接，作于点C，设和的半径分别为．由切线的性质得到，则可证明，得到，再由和的关于点P位似，得到，则，据此可证明直线l是的切线． 【详解】（1）解：如图所示，和即为所求； 由题意得，， 由，得到，； （2）解：直线l是的切线，理由如下： 如图，连接，作于点C， 设和的半径分别为． ∵直线l是的切线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵和的关于点P位似， ∴， ∴， ∵，是的半径， ∴直线l是的切线． （建议用时：30分钟） 一、单选题 1．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在中，点O是边上一点，连接并延长，交的延长线于点E．若，，则的长为（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．根据平行四边形的性质推出，得到，求出的长，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 2．（2025·山东·一模）如图，中，的平分线交于点，交的延长线于点，若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，等角对等边，相似三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质，结合角平分线的定义，推出，进而求出的长，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：A． 3．（2025·江苏宿迁·一模）如图，的中位线，把沿折叠，使点A落在边上的点F处，若A、F两点间的距离是，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称轴垂直平分对应点连线，可得即是的高，再由中位线的性质求出，继而可得的面积，然后根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 本题考查了翻折变换折叠问题，三角形中位线定理，三角形的面积，相似三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：是的中位线， ，． 由折叠的性质可得：，， ， ， ， ， ， ． 故选：B ． 4．（2024·辽宁沈阳·一模）如图，在正方形中，G为边中点，连接并延长交边的延长线于点E，对角线交于点F．已知，则线段的长度为（   ）    A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；本题先判定，再根据“相似三角形的对应边成比例”求得，从而得到，再判定，根据“全等三角形的对应边相等”得到，最后求出结果即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， ，， ， ， 为边中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 5．（2024·安徽亳州·模拟预测）如图，是的中线，点F在上，延长交于点D，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线、构造相似三角形是解题的关键． 过点E作交于G，先利用三角形的中线的定义得到，再根据相似三角形的性质得到，由得到，最后由相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：如图：过点E作交于G， ∵是的中线， ∴， 如图：过点E作交于G， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 6．（2023·浙江杭州·三模）如图，在中，点分别在和上，，为边上一点，连接交于点，若，则下列选项不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查面积比，相似三角形判定及性质．根据题意证明，再利用性质逐一对选项进行判断即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即A成立， ∵， ∴， ∴， ∴，即B成立， ∵， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∴，即C不成立， ∵， ∴设，则， ∴， ∴，即D成立， 故选：C． 7．（2024·安徽宣城·模拟预测）如图，是的中线，于点，且，则的长为（    ） A．13 B．11 C．8 D．6 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的性质求线段长是解答的关键．先证明求得，则，过A作于F，证明四边形是矩形得到，，在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得，则， 过A作于F，则， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， 故选：C． 8．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，在中，，，，为上一点，且满足，为的中点，连接交于点，则的面积为（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形中线的性质，连接，先利用等腰三角形的性质证明点为的中点，可得为的中位线，进而得，，即得，得到，再根据已知可得，进而由中线性质得到，再由即可得到，由得到是解题的关键． 【详解】解：连接，    ∵， ， ， ， ， ， 点为的中点 ∵为中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 9．（2024·江苏扬州·中考真题）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】由题意得：， ∴， 如图，过作于点，交于点， ∴，， ∴，即， ∴（）， 即小孔到的距离为， 故答案为：． 10．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，铁道口的栏杆短臂长米，长臂长米，当短臂端点下降米，长臂端点升高 米． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据得，据此解答即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，∵，， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴米， 故答案为：． 11．（2025·山西朔州·一模）如图，在平面直角坐标系中，与关于原点O位似，点B的坐标为，点的坐标为，点A的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求位似图形的坐标，正确求出位似比是解题关键．先根据点和点的坐标求出位似比，再根据位似图形的点坐标变换规律求解即可得． 【详解】解：∵和是以坐标原点为位似中心的位似图形，点的坐标为，点的坐标为， ∴与的位似比为， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为，即为． 故答案为： 12．（2023·四川成都·二模）如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的周长为8，则四边形的周长为 ． 【答案】28 【分析】本题考查位似图形，相似三角形的判定和性质．熟练掌握位似图形的性质，证明三角形相似，是解题的关键．根据位似的性质，得到，推出，进而求出四边形与四边形的相似比，利用周长比等于相似比，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形与四边形是位似图形， ∴四边形四边形，， ∴， ∴， ∴四边形的周长∶四边形的周长， ∵四边形的周长是8， ∴四边形的周长为28， 故答案为：28． 13．（2025·广东茂名·模拟预测）如图，D是中上的中点，连接，是的中线，的延长线与交于点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．作交于，求出即可得到答案． 【详解】解：作交于， ，D是中上的中点， ， ， ， ，是的中线， ， 且， ， ， ， ， 14．（2025·广东·模拟预测）小周要在一块三角形钢板中裁出一个矩形，裁剪方案如图所示，顶点、在边上，顶点，分别在边、上，已知，，，则当矩形的面积最大时， ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．过点作于点，交于点，求出，证明，得到，当时，矩形面积最大，即可求出答案． 【详解】解：过点作于点，交于点， ， ， 即， 解得， 四边形为矩形， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ，即， ， ， 故当时，矩形面积最大， ， 此时， 故答案为：． 15．（2025·陕西咸阳·模拟预测）响铃塔位于陕西省榆林市境内，作为全国重点文物保护单位，对研究陕北元代建筑、历史、宗教文化等的发展提供了宝贵的历史资料．某校项目式学习小组开展了测量响铃塔高度的项目活动，共拟定了如下表所示的两种测量方案： 方案 方案① 方案② 测量示意图 测量说明 测量员在地面上的点处测得塔顶的仰角的度数，在地面上竖立一根标杆，发现地面上的点、标杆顶端和塔顶在一条直线上，、，点、、、在一条直线上，图中所有的点都在同一平面内 测量员在地面上的点处测得塔顶A的仰角的度数，在地面上的点处放置一面平面镜（大小不计），测量员站在地面上的点处，眼睛位于点处时恰好在平面镜内看到塔顶的像，、，点在一条直线上，图中所有的点都在同一平面内 测量结果 ，，， ，，， 请你选择上述两种方案中的一种，计算响铃塔的高度． 你选择的是方案_____． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质； 方案①：根据，得到为等腰直角三角形，从而得到，结合证明即可得到答案；方案②：根据，得到为等腰直角三角形，从而得到，结合得到即可得到答案； 【详解】解：方案① ，， 为等腰直角三角形， ， ， ∴， ， ， ，即， 解得，即响铃塔的高度为； 方案② ，， 为等腰直角三角形， ， 又， ， ， ， ，即， 解得，即响铃塔的高度为． 16．（2025·广东·模拟预测）【问题情境】如图，在中，，，点在边上将线段绕点顺时针旋转得到线段（旋转角小于），连接，、以为底边在其上方作等腰三角形，使，连接． 【尝试探究】（1）如图，当时，易知；如图，当时，则与的数量关系为______； （2）如图，请判断与的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图，当且点，、三点共线时若，，请求出的长． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查三角函数，相似三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键： （1）证明 ，根据相似三角形的性质即可得出答案； （2）过点作于点，得出，证明 ，可得出答案； （3）过点作于点，过点作，交延长线于点，先得出，再得出，设，则，得出，根据相似三角形的性质得出，得出，在求出x的值即可． 【详解】解：（1）当时，和是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）． 理由：如图， 过点作于点， ， ，， ， ， 同理可得：， ， ， ， ， ； （3）如图，过点作于点，过点作，交延长线于点， ． ． 线段绕点顺时针旋转得到线段， ． ． 是以为底边的等腰三角形，， ，． ． ． ． ， ． 设，则， ， ， ． ． ， ， ， ， ， ， ， ， ． 17．（2025·贵州·一模）【阅读理解】“赵爽弦图”被誉为中国古代数学的图腾，如图①即“赵爽弦图”，该图由4个全等的直角三角形围成一个大正方形和中间的一个小正方形，巧妙地证明了勾股定理．根据“赵爽弦图”的结构特点，可联想一些直角问题是否可以通过构造“弦图”结构得以解决． 【初步探究】 （1）如图②，M，N是正方形内的点，且，，连接，则的度数为 ；（M，N不重合） 【问题解决】 （2）如图③，在中，，P为边上一个动点（不与点A，C重合），连接，过点C作于点D，E是上一点，且，过点E作交于点F，试判断三条线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展探究】 （3）在（2）的条件下，当，时，求线段的长．    【答案】（1）或；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）当M在N的下方时，如解图①，延长交于点O，证明，得出，，，从而可得，证明，即可得出；同理，当M在N的上方时，，即可得解； （2）过点F作于点G，则四边形是矩形，得出，．再证明，得出，即可得解； （3）设，则，由（2）可知，，得出．证明，得出，即，解得，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：（1）当M在N的下方时，如解图①，延长交于点O，    图① ∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， 同理得． ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴； 同理，当M在N的上方时，． （2），理由如下： 如解图②，过点F作于点G，    ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）如解图②，    ∵， ∴设，则， 由（2）可知，， ∴． ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴在中，， 解得（负值已舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$