热点06 全等三角形与特殊三角形（11大题型+高分技法+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）

热点06 全等三角形与特殊三角形 中考数学中《全等三角形与特殊三角形》部分主要考向分为五类： 一、三角形的重要定理（每年1~2道，3~7分） 二、全等三角形（每年1道，4~8分） 三、等腰三角形（每年1~2题，3~7分） 四、直角三角形（每年1~2题，3~7分） 五、三角形的综合（每年1~2题，3~9分） 全等三角形与特殊三角形的基础知识是学习后续很多几何问题的基础，也可以在很多综合压轴问题中起到较强的辅助作用，所以，中考复习，掌握好全等三角形和特殊三角形的性质和判定至关重要。首先，全等三角形是几何问题中证明线段相等或者角相等的常用关系，所以在中考中，考察的几率也是比较大，小题、简单题均有可能出现。而特殊三角形的考察，则更灵活多样，单独考察时，难度一般不大，准确掌握对应知识技巧后一半都能拿下。而综合问题中，就需要大家更加注意各问题间的关联性，在合适的步骤用其性质或判定解决压轴题中重要的一步。 考向一：三角形的重要定理 【题型1三角形的三边关系】 1、三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；实际操作时，只需要两较小边长之和大于最长边即可； 2、在等腰三角形中考三边关系时，只需满足--两腰长之和大于底边长即可； 3、做题时，注意看题目中是让求第三边的长还是求三角形的周长，不要因此失分。 1．（2025·江苏镇江·一模）等腰三角形的周长是12，底边长为2，那么它的一条腰长是（   ） A．2 B．5 C．6 D．4 2．（2025·四川泸州·一模）已知中，， ，第三边的长为一元二次方程的一个根，则三角形的周长为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 3．（2024·江苏扬州·一模）如图①，将长为8的长方形纸片沿虚线折成3个长方形，其中左、右两侧长方形的宽相等，若要将其围成如图②所示的三棱柱形物体，则图中a的范围是（    ）    A． B． C． D． 4．（2024·湖南株洲·模拟预测）已知三角形的两边长分别为和，则第三边的长可以是（   ） A． B． C． D． 【题型2三角形的内角和定理与外角的性质】 1、 三角形三个内角的和=180°，三角形的一个外角=与之不相邻2个内角的和； 2、 三角形有关角的这两个定理通常可以交换着用，有时可用内角和又可用外角的题，可能外角用着更方便； 3、 等腰三角形顶角的外角=底角的2倍； 在求角度的问题中，内角和定理和外角的性质是常用的等量关系，也是求任何角度都要首选的等量关系，这个思想要根深蒂固！ 1．（2025·河南周口·一模）如图所示，直线，，，则的度数（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）将一副三角板如图放置，其中，，，点落在线段上，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，，、为直线上的两点，连接，于点，点在上，连接，，若，则的度数为（    ） A．20° B．30° C．40° D．45° 4．（2025·陕西榆林·一模）如图，点，分别在线段，上，连接，交于点．若，， ，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·广东清远·一模）在2024年10月的广交会现场，某商家的展台是一个不完整的正多边形图案，如图，小李量得展台中一边与对角线的夹角，则这个正多边形的边数是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 6．（2025·广东·模拟预测）如图，在与中，点在上，点在上，且，，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 7．（2025·河北·一模）如图①是某种型号拉杆箱的实物图，如图②是它的示意图，行李箱的侧面可看成一个矩形，点F，C，D在同一条直线上，为了拉箱时的舒适度，现将调整为，若保持不变，则图中应（   ） A．减少 B．减少 C．增加 D．增加 8．（2025·重庆·模拟预测）如图，在和中，点在边上，交于点．若，，，，则 ． 【题型3 三角形中的“三线”】 三角形中“三线”的常见作用及其辅助线： 1、中线 常见“用途”：平分线段、平分面积； 辅助线类型：倍长中线造全等—→延伸：倍长中线类模型； 2、高线 常见“用途”：求面积（等积法）、求角度（余角）； 辅助线类型：见特殊角做⊥，构特殊直角△、见等腰做底边上高线，构三线合一； 3、角平分线 常见“用途”：得角相等（定义）、得线段相等（性质）、SAS证全等、知2得1等； 辅助线类型：见角平分线作双垂、见角平分线作对称、截长补短构全等、见角平分线＋垂直，延长出等腰； 4、中垂线 常见“用途”：平分线段、得90°、证全等、求新形成三角形周长等； 5、辅助线类型：连接两点 由△的三线组成的几个“心”： △三边中线交点—→重心—→性质：△的重心到一中线中点的距离=重心到这条中线定点距离的一半； △三条角平分线交点—→内心—→性质：△的内心到△三边的距离（垂线段）相等； △三边中垂线交点—→外心—→性质：△的外心到△三个顶点的距离（连接）相等； 1．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在中，点D，E分别是边，的中点，连接，．若的面积是8，则的面积是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2025·陕西西安·一模）如图，在中，为中点，，若的面积为，则的面积为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·安徽亳州·一模）如图，是的中线，点在上，延长交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·陕西·模拟预测）如图，分别是的高线和中线．若的面积为12，，则的长为（　　） A．1.5 B．3 C．4 D．6 5．（2025·广东·模拟预测）如图，大正方形面积为，小正方形的面积为，则阴影部分的面积是（ ） A． B． C． D． 6．（2024·陕西渭南·模拟预测）如图，在中，过点作于点，过点作于点，若，则的高与的比是（   ） A． B． C． D． 7．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C都在网格线的交点上，则中边上的高为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，、分别是边上的中线和高，，，则（    ） A．－1 B．－1 C．1 D． 9．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，若，，点E为的中点，过点E作于点F，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 10．（2024·重庆·三模）如图，中，于点，于点，与相交于点，已知，，则的面积为 ． 考向二：全等三角形 【题型4 全等三角形的性质与判定】 1、全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等； 2、全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS＋Rt△的HL 3、证三角形全等的基本步骤：①准备条件；②罗列条件；③得出结论。 4、有关三角形全等问题应用的三个方向： ①证边相等就证它们所在的三角形全等； ②证角相等就证它们所在的三角形全等； ③全等三角形可以提供相等线段、相等角 1．（2024·山东德州·中考真题）如图，C是的中点，，请添加一个条件 ，使． 2．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，，．    (1)求证：； (2)若，则__________°． 3．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，分别以B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接，，，与交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 4．（2024·云南·中考真题）如图，在和中，，，． 求证：． 5．（2024·江苏盐城·中考真题）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，． 若________，则． 请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【题型5 角平分线的性质】 1、性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；（做题必要时考虑作“垂线”巧妙解题） 2、判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上； 1．（2024·陕西西安·一模）如图，在中，平分，交于点，作，交于点，若，，则的长为（     ） A． B．9 C． D．8 2.（2024·云南·模拟预测）在中，的平分线相交于I，过点I且，若，则（　　） A．8 B．6 C．7 D．5 3．（2024·四川泸州·二模）在计算的值时，可以借用“数形结合”思想构建几何图形的方法解决，如图，在中，，，延长到使，连接，得，设，则，，，中 ．类比这种方法，可以得到的值为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·四川南充·中考真题）如图，在中，，平分交于点D，点E为边上一点，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C．2 D．3 5．（2024·西藏·中考真题）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为 ． 6．（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ． 7．（2025·贵州·一模）如图，在中，，，以B为圆心，适当长为半径画弧，分别交和于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点F，作射线交于点G，若，则的面积为 ． 8．（2024·湖南·中考真题）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则 ． 9．（2025·河南郑州·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点为的中点，连接．点为上一点，连接，先以点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，，则点的坐标为 ． 10．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则 ． 【题型5 线段垂直平分线性质】 1、性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； 2、判定定理：到线段两端距离相等的点在这条线段的中垂线上； 1．（2025·山东济南·一模）如图，在中，，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线交于点D，连接，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交射线于点E，连接．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·贵州遵义·一模）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E．若D为的中点，，则的面积为（   ） A．40 B．36 C．24 D．20 3．（2025·江苏镇江·一模）如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点D，连接．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 考向三：等腰三角形 【题型7 等腰三角形的性质与判定】 1、等腰三角形的性质：①等腰三角形有轴对称性，对称轴有1或3条；②等边对等角；③“三线合一” 2、等腰三角形的判定：①定义法；②等角对等边；③角平分线与高线、中线与高线重合时，利用全等证等腰； 3、等边三角形的性质：三边相等、三个角都等于60°、三边均存在“三线合一”； 4、等边三角形的判定：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 1．（2024·广东广州·中考真题）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（    ） A．18 B． C．9 D． 2．（2024·四川广元·中考真题）如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，连接，点D恰好落在线段上，若，，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 3．（2024·安徽·中考真题）如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（    ）    A． B． C． D． 4．（2024·江西·中考真题）追本溯源： 题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，在中，平分，交于点D，过点D作的平行线，交于点E，请判断的形状，并说明理由． 方法应用： （2）如图2，在中，平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G． ①图中一定是等腰三角形的有（    ） A．3个　B．4个　C．5个　D．6个 ②已知，，求的长． 【题型8 等腰三角形的常见模型】 手拉手全等： 条件：两个顶角相等的等腰三角形有一个公共的顶角顶点 结论：有SAS类三角形全等； 双平等腰： 条件：①AD为角平分线；②DE∥AB；③AE=ED 若以上3个条件中有2个成立，则剩余的那个就会成立。即：三条件满足“知2得1” 1．（2024·新疆·中考真题）【探究】 （）已知和都是等边三角形． ①如图，当点在上时，连接．请探究和之间的数量关系，并说明理由； ②如图，当点在线段的延长线上时，连接．请再次探究和之间的数量关系，并说明理由． 【运用】 （）如图，等边三角形中，，点在上，．点是直线上的动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，请直接写出的长． 2．（2025·浙江杭州·一模）如图，C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交与点O、与交于点P、与交于点Q． 求证： (1)； (2)是等边三角形 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，是的角平分线，点在上，且． (1)求证：； (2)在上取一点，连接，添加一个条件，使四边形为菱形，直接写出这个条件． 4．（2024·浙江宁波·一模）如图，在中，分别是边上的点，已知且． (1)求证：是的角平分线； (2)若，，求的度数． 考向四：直角三角形 【题型9 直角三角形的性质与判定】 1、直角三角形的性质： ①直角三角形的两个锐角互余 ②直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半 ③在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边长的一半 2、直角三角形的判定： ①有一个角是90°的三角形时直角三角形 ②有两个角互余的三角形是直角三角形 ③勾股定理的逆定理 1．（2025·贵州黔南·一模）将一个含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南长沙·一模）如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点落在斜边上的点处，已知，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 3．（2025·河南开封·一模）用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图，，为边的中点，点、对应的刻度分别为，．则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（2023·黑龙江哈尔滨·三模）如图，中，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过作于，若，则长为（   ） A． B． C． D．2 【题型10 勾股定理】 勾股定理及其逆定理 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 勾股定理逆定理 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，成为勾股数 常见的勾股数：3,4,5及其倍数；5,12,13及其倍数；7,24,25及其倍数；8,15,17及其倍数 ☆：勾股定理是初中数学中求解长度非常重要的等量关系，故很多求长度的问题没方向时，就往直角三角形勾股定理方向去想。 1．（2025·安徽六安·一模）如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，，则的长为（   ） A． B． C．5 D．6 2．（2025·安徽阜阳·一模）如图，折叠矩形纸片，使得顶点，重合，点落在处，然后还原，得到折痕．已知：，，则折痕的长为（　　） A． B． C． D． 3．（2024·西藏·中考真题）如图，为的直径，点B，D在上，，，则的长为（    ） A．2 B． C． D．4 4．（2024·海南·中考真题）如图，菱形的边长为2，，边在数轴上，将绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（    ） A．1 B． C．0 D． 5．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，D是边的中点，E是边上一点，连接．将沿翻折，点C落在上的点F处，则 ． 6．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，中，，，，将点折叠到边的点处，折痕为，则的长为 ． 7．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边中点处．若，则 ． 考向五：三角形的综合题 【题型11 全等三角形与特殊三角形的综合应用】 1．（2024·宁夏·中考真题）综合与实践 如图1，在中，是的平分线，的延长线交外角的平分线于点． 【发现结论】 结论1：___________； 结论2：当图1中时，如图2所示，延长交于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点．则与的数量关系是___________． 【应用结论】 （1）求证：； （2）在图2中连接，，延长交于点，补全图形，求证：． 2．（2024·山东东营·中考真题）在中，，，． (1)问题发现 如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)类比探究 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由； (3)迁移应用 如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 3．（2024·四川资阳·中考真题）（1）【观察发现】如图1，在中，点D在边上．若，则，请证明； （2）【灵活运用】如图2，在中，，点D为边的中点，，点E在上，连接，．若，求的长； （3）【拓展延伸】如图3，在菱形中，，点E，F分别在边，上，，延长，相交于点G．若，，求的长． 4．（2024·辽宁·中考真题）如图，在中，，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，垂足为．    图1                图2                   图3 (1)如图1，求证：； (2)如图2，的平分线与的延长线相交于点，连接，的延长线与的延长线相交于点，猜想与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿折叠，在变化过程中，当点落在点的位置时，连接． ①求证：点是的中点； ②若，求的面积． 5．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知是等腰三角形，，，在的内部，点M、N在上，点M在点N的左侧，探究线段之间的数量关系．    （1）如图①，当时，探究如下： 由，可知，将绕点A顺时针旋转，得到，则且，连接，易证，可得，在中，，则有． （2）当时，如图②：当时，如图③，分别写出线段之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明． （建议用时：30分钟） 一、单选题 1．（2025·安徽·一模）如图，在中，，点D，E在边上，且，，则的长是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．当落在上时，的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 4．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为（    ） A．15 B． C． D．18 5．（2024·四川资阳·中考真题）第届国际数学教育大会（）会标如图所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（   ） A． B． C． D． 6．（2024·山东泰安·中考真题）如图，中，，分别以顶点A，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线分别与，交于点和点；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，若射线恰好经过点，则下列四个结论： ①；②垂直平分线段；③；④． 其中，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（    ） A．8 B．16 C．12 D．24 8．（2024·四川广元·中考真题）如图①，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以1的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，的面积随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（    ） A．5 B．7 C． D． 二、填空题 9．（2025·内蒙古包头·一模）如图，在中，，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，连结，则的周长为 ． 10．（2025·浙江宁波·一模）如图，长方形沿折叠，使点D落在边上的点F处．如果，那么 ， ， ． 11．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，四边形为正方形，为等边三角形，于点F，若，则 ． 三、解答题85． 12．（2024·四川乐山·中考真题）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地． 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉． 良工高士素好奇，算出索长有几？ 词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直） (1)如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度； (2)如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方，两次位置的高度差．根据上述条件能否求出秋千绳索的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由． 13.如图1，在中，点，在边上，，．求证：． 应用 （1）如图2，用直尺和圆规在直线上取点，点（点在点的左侧），使得，且（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图3，用直尺和圆规在直线上取一点，在直线上取一点，使得，且（不写作法，保留作图痕迹）． 15．（2024·甘肃·中考真题）【模型建立】 （1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点06 全等三角形与特殊三角形 中考数学中《全等三角形与特殊三角形》部分主要考向分为五类： 一、三角形的重要定理（每年1~2道，3~7分） 二、全等三角形（每年1道，4~8分） 三、等腰三角形（每年1~2题，3~7分） 四、直角三角形（每年1~2题，3~7分） 五、三角形的综合（每年1~2题，3~9分） 全等三角形与特殊三角形的基础知识是学习后续很多几何问题的基础，也可以在很多综合压轴问题中起到较强的辅助作用，所以，中考复习，掌握好全等三角形和特殊三角形的性质和判定至关重要。首先，全等三角形是几何问题中证明线段相等或者角相等的常用关系，所以在中考中，考察的几率也是比较大，小题、简单题均有可能出现。而特殊三角形的考察，则更灵活多样，单独考察时，难度一般不大，准确掌握对应知识技巧后一半都能拿下。而综合问题中，就需要大家更加注意各问题间的关联性，在合适的步骤用其性质或判定解决压轴题中重要的一步。 考向一：三角形的重要定理 【题型1三角形的三边关系】 1、三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；实际操作时，只需要两较小边长之和大于最长边即可； 2、在等腰三角形中考三边关系时，只需满足--两腰长之和大于底边长即可； 3、做题时，注意看题目中是让求第三边的长还是求三角形的周长，不要因此失分。 1．（2025·江苏镇江·一模）等腰三角形的周长是12，底边长为2，那么它的一条腰长是（   ） A．2 B．5 C．6 D．4 【答案】B 【分析】分两种情况：当等腰三角形的底边长为2时；当等腰三角形的一腰长为2时；然后分别进行计算即可解答． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键． 【详解】解：分两种情况： 当等腰三角形的底边长为2时， 等腰三角形的周长为12， 它的一条腰长， ， 能组成三角形； 当等腰三角形的一腰长为2时， 等腰三角形的周长为12， 它的底边长， ， 不能组成三角形； 综上所述：它的一条腰长是5， 故选：B 2．（2025·四川泸州·一模）已知中，， ，第三边的长为一元二次方程的一个根，则三角形的周长为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，三角形三边之间的关系等知识点，熟练掌握三角形三边之间的关系是解题的关键：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 先利用因式分解法解一元二次方程，然后根据三角形三边之间的关系确定第三边的长，最后求出三角形的周长即可． 【详解】解：， 解得：或， ， ， ，， ， 三角形的周长为： ， 故选：． 3．（2024·江苏扬州·一模）如图①，将长为8的长方形纸片沿虚线折成3个长方形，其中左、右两侧长方形的宽相等，若要将其围成如图②所示的三棱柱形物体，则图中a的范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用．熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 由题意知，第三个长方形的宽为，依题意得，，计算求解然后判断作答即可． 【详解】解：由题意知，第三个长方形的宽为， ∵围成如图②所示的三棱柱形物体， ∴，， 解得，， 故选：C． 4．（2024·湖南株洲·模拟预测）已知三角形的两边长分别为和，则第三边的长可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出三角形第三边长的范围，再根据范围逐一判断即可求解． 【详解】解：设第三边的长为， 由题意可得，， ∴ 观察选项，只有选项C符合题意 故选：C. 【题型2三角形的内角和定理与外角的性质】 1、 三角形三个内角的和=180°，三角形的一个外角=与之不相邻2个内角的和； 2、 三角形有关角的这两个定理通常可以交换着用，有时可用内角和又可用外角的题，可能外角用着更方便； 3、 等腰三角形顶角的外角=底角的2倍； 在求角度的问题中，内角和定理和外角的性质是常用的等量关系，也是求任何角度都要首选的等量关系，这个思想要根深蒂固！ 1．（2025·河南周口·一模）如图所示，直线，，，则的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题主要考查了平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 根据得出，再根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）将一副三角板如图放置，其中，，，点落在线段上，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形的外角性质，利用平行线性质求出的度数，再利用外角的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，，、为直线上的两点，连接，于点，点在上，连接，，若，则的度数为（    ） A．20° B．30° C．40° D．45° 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和以及等腰三角形的性质，解题的关键是利用这些性质找出角之间的关系来求解的度数．先根据平行线性质和直角三角形性质求出的度数，再依据等腰三角形性质得出与的关系，进而求出． 【详解】解： ， ． ． ， ． ， ． 故选：A． 4．（2025·陕西榆林·一模）如图，点，分别在线段，上，连接，交于点．若，， ，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形外角的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据，求解即可． 【详解】解：∵， ， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 5．（2025·广东清远·一模）在2024年10月的广交会现场，某商家的展台是一个不完整的正多边形图案，如图，小李量得展台中一边与对角线的夹角，则这个正多边形的边数是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，正多边形的性质，正多边形的外角与边数的关系，熟练掌握正多边的外角和等于360°是解题的关键． 根据三角形内角和定理以及正多边形的性质，得出，然后可得每一个外角为，进而即可求解． 【详解】解：依题意，，， ∴ ∴ ∴这个正多边形的一个外角为， 所以这个多边形的边数为， 故选：C． 6．（2025·广东·模拟预测）如图，在与中，点在上，点在上，且，，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角性质，熟记三角形内角和定理、三角形外角性质是解题的关键，根据三角形内角和定理求出，再根据三角形外角性质求解即可． 【详解】解：，，， ， ，， ， 故选：． 7．（2025·河北·一模）如图①是某种型号拉杆箱的实物图，如图②是它的示意图，行李箱的侧面可看成一个矩形，点F，C，D在同一条直线上，为了拉箱时的舒适度，现将调整为，若保持不变，则图中应（   ） A．减少 B．减少 C．增加 D．增加 【答案】C 【分析】此题考查了三角形外角的性质，根据三角形外角的性质得到，再由平角的定义即可求出．掌握平角的定义是解题的关键． 【详解】解：，， ， ， ， ， 故选：C． 8．（2025·重庆·模拟预测）如图，在和中，点在边上，交于点．若，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形的外角，解题的关键是掌握这些知识点．根据题意可用判定，即可得，根据三角形的外角即可得． 【详解】解：在和中， ， ， ， 故答案为：． 【题型3 三角形中的“三线”】 三角形中“三线”的常见作用及其辅助线： 1、中线 常见“用途”：平分线段、平分面积； 辅助线类型：倍长中线造全等—→延伸：倍长中线类模型； 2、高线 常见“用途”：求面积（等积法）、求角度（余角）； 辅助线类型：见特殊角做⊥，构特殊直角△、见等腰做底边上高线，构三线合一； 3、角平分线 常见“用途”：得角相等（定义）、得线段相等（性质）、SAS证全等、知2得1等； 辅助线类型：见角平分线作双垂、见角平分线作对称、截长补短构全等、见角平分线＋垂直，延长出等腰； 4、中垂线 常见“用途”：平分线段、得90°、证全等、求新形成三角形周长等； 5、辅助线类型：连接两点 由△的三线组成的几个“心”： △三边中线交点—→重心—→性质：△的重心到一中线中点的距离=重心到这条中线定点距离的一半； △三条角平分线交点—→内心—→性质：△的内心到△三边的距离（垂线段）相等； △三边中垂线交点—→外心—→性质：△的外心到△三个顶点的距离（连接）相等； 1．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在中，点D，E分别是边，的中点，连接，．若的面积是8，则的面积是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．根据三角形的中线与面积公式即可得到结论． 【详解】解：∵点D是边的中点，的面积等于8， ∴， ∵E是的中点， ∴， 故选：A． 2．（2025·陕西西安·一模）如图，在中，为中点，，若的面积为，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，平行线分线段成比例，根据三角形的中线的性质可得，根据平行线分线段成比例可得，再根据三角形中线平分三角形面积即可求解． 【详解】解：∵在中，点D是的中点， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， 故选：B． 3．（2025·安徽亳州·一模）如图，是的中线，点在上，延长交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，过点E作，构造相似三角形是解题的关键． 先利用三角形的中线的定义得到，过点E作交于G，再根据相似三角形的性质得到，由得到，最后由相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：如图， ∵BE是的中线， ∴， 过点E作交AD于G， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 4．（2025·陕西·模拟预测）如图，分别是的高线和中线．若的面积为12，，则的长为（　　） A．1.5 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查三角形的中线性质，根据三角形的中线平分三角形的面积求得，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵是的中线，的面积为12， ∴， ∵分别是的高线，， ∴，则， 故选：B． 5．（2025·广东·模拟预测）如图，大正方形面积为，小正方形的面积为，则阴影部分的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根和三角形的面积和二次根式的混合运算，掌握算术平方根和二次根式的运算是解题的关键． 由题意得出大、小正方形的边长，再求出，利用三角形的面积公式表示出阴影部分面积，再代入数据，利用二次根式混合运算化简，即可得出答案． 【详解】解：∵大正方形面积为，小正方形的面积为， ∴大正方形边长为，小正方形的边长为， ∴， ． 故选：C． 6．（2024·陕西渭南·模拟预测）如图，在中，过点作于点，过点作于点，若，则的高与的比是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查与高有关的计算，根据等积关系求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：A． 7．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C都在网格线的交点上，则中边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、面积法以及三角形面积公式等知识，由勾股定理求出的长，再由三角形面积求出中边上的高即可．熟练掌握勾股定理和面积法是解题的关键． 【详解】解：设中边上的高为， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 即中边上的高为， 故选：B． 8．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，、分别是边上的中线和高，，，则（    ） A．－1 B．－1 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，求三角形的面积，先根据三角形的面积公式求出，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得，然后根据勾股定理求出，进而得出答案． 【详解】∵，， ∴， 解得． ∵是的中线， ∴． 在中，， ∴． 故选：A． 9．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，若，，点E为的中点，过点E作于点F，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形性质和勾股定理，连接．由等腰三角形三线合一性质可知，，再由勾股定理求出，进而由三角形面积求出高． 【详解】如图，连接． ∵，点E为的中点，， ∴，， ∵， ∴在中，， ∵， ∴． 故选C． 10．（2024·重庆·三模）如图，中，于点，于点，与相交于点，已知，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，根据证明，得到，再根据的面积解答即可求解，证明是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴的面积， 故答案为：． 考向二：全等三角形 【题型4 全等三角形的性质与判定】 1、全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等； 2、全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS＋Rt△的HL 3、证三角形全等的基本步骤：①准备条件；②罗列条件；③得出结论。 4、有关三角形全等问题应用的三个方向： ①证边相等就证它们所在的三角形全等； ②证角相等就证它们所在的三角形全等； ③全等三角形可以提供相等线段、相等角 1．（2024·山东德州·中考真题）如图，C是的中点，，请添加一个条件 ，使． 【答案】或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定定理，是解决问题的关键． 要使，已知，，则可以添加一对边，从而利用来判定其全等，或添加一对夹角，从而利用来判定其全等（填一个即可，答案不唯一）． 【详解】解：∵C是的中点， ∴， ∵， ∴添加或， 可分别根据判定（填一个即可，答案不唯一）． 故答案为：或． 2．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，，．    (1)求证：； (2)若，则__________°． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）利用即可证得； （2）先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据全等三角形的性质即可得出的度数． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：，， ， 由（1）知， ， 故答案为：20． 3．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，分别以B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接，，，与交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是： （1）直接利用证明即可； （2）利用全等三角形的性质可求出，利用三线合一性质得出，，在中，利用正弦定义求出，即可求解． 【详解】（1）证明：由作图知：． 在和中， ． （2）解：，， ． 又， ，． ， ， ． 4．（2024·云南·中考真题）如图，在和中，，，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．利用“”证明，即可解决问题． 【详解】证明： ， ，即， 在和中， ， ． 5．（2024·江苏盐城·中考真题）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，． 若________，则． 请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【答案】①或③（答案不唯一），证明见解析 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，①根据平行线的性质得出，再由全等三角形的判定和性质得出，结合图形即可证明；②得不出相应的结论；③根据全等三角形的判定得出，结合图形即可证明；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 【详解】解：选择①； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； 选择②； 无法证明， 无法得出； 选择③； ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴，即； 故答案为：①或③（答案不唯一） 【题型5 角平分线的性质】 1、性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；（做题必要时考虑作“垂线”巧妙解题） 2、判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上； 1．（2024·陕西西安·一模）如图，在中，平分，交于点，作，交于点，若，，则的长为（     ） A． B．9 C． D．8 【答案】B 【分析】先证，则，，再证明得，即，由此即可求出的长．此题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， ， ∴ ， ， 即， ， 故选：B 2.（2024·云南·模拟预测）在中，的平分线相交于I，过点I且，若，则（　　） A．8 B．6 C．7 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，利用“等角对等边”及“等边对等角”证明，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴； 故选：A． 3．（2024·四川泸州·二模）在计算的值时，可以借用“数形结合”思想构建几何图形的方法解决，如图，在中，，，延长到使，连接，得，设，则，，，中 ．类比这种方法，可以得到的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，中，，，，作于，则，设，则，，，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图，中，，，， 作于， 又∵是的角平分线， ∴， 设，则，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，等角对等边，正弦，正切．熟练掌握角平分线的性质，等角对等边，正弦，正切是解题的关键． 4．（2024·四川南充·中考真题）如图，在中，，平分交于点D，点E为边上一点，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查解直角三角形和角平分线的性质，垂线段最短，根据题意求得和，结合角平分线的性质得到和，当时，线段长度的最小，结合角平线的性质可得即可． 【详解】解：∵， ∴， 在中，，解得， ∵平分， ∴， ∴，解得， 当时，线段长度的最小， ∵平分， ∴． 故选∶C． 5．（2024·西藏·中考真题）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了作图基本作图：作角平分线，角平分线的性质定理，勾股定理及全等三角形的判定与性质等知识．根据基本作图可判断平分，过F作于G，再利用角平分线的性质得到，根据勾股定理求出，证明，得出，设，则，，根据勾股定理得出，求出，根据勾股定理求出． 【详解】解：过F作于G， 由作图得：平分，，， ∴， 在中根据勾股定理得：， ，， ， ， 设，则，， 在中，根据勾股定理得： ， 即：， 解得：， ， 在中根据勾股定理得：． 故答案为：． 6．（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ． 【答案】60 【分析】本题考查等边对等角，平行线的性质，角平分线的性质，勾股定理：过点作，，根据等边对等角结合平行线的性质，推出，进而得到，得到，进而得到四边形的面积等于，设，勾股定理求出的长，再利用面积公式求出的面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 过点作，， 则：， ∵，且， ∴， ∴四边形的面积， ∵， ∴， 设，则：， 由勾股定理，得：， ∴， 解：， ∴， ∴， ∴四边形的面积为60． 故答案为：60． 7．（2025·贵州·一模）如图，在中，，，以B为圆心，适当长为半径画弧，分别交和于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点F，作射线交于点G，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、尺规作图—作角平分线，过点G作于点H，由题意可知平分，由角平分线的性质定理可得，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】解：过点G作于点H， 由题意可知平分， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（2024·湖南·中考真题）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知平分，根据角平分线的性质可知，结合求出，． 【详解】解：作图可知平分， ∵是边上的高，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 9．（2025·河南郑州·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点为的中点，连接．点为上一点，连接，先以点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】证明得，结合点为的中点，得，由勾股定理得，所以，连接，由于，所以，即，解出的值即可解答． 【详解】解：由作图可知，， ， 又，， ， ， 点为的中点，， ， 四边形是正方形， ， ， ， 如图，连接， 设，则，， ， ， 即， 解得：， 点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，垂直平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 10．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出． 求出，由线段垂直平分线的性质推出． 【详解】解：，， ， 在的垂直平分线上， ． 故答案为：3． 【题型5 线段垂直平分线性质】 1、性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； 2、判定定理：到线段两端距离相等的点在这条线段的中垂线上； 1．（2025·山东济南·一模）如图，在中，，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线交于点D，连接，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交射线于点E，连接．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明出，求出，再由三线合一求出，即可求解． 【详解】解：由题意得，直线垂直平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：（舍负）， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，尺规作图，等腰三角形的性质，三角形的内角和、外角定理等知识点，运用相似三角形的判定与性质是解题的关键． 2．（2025·贵州遵义·一模）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E．若D为的中点，，则的面积为（   ） A．40 B．36 C．24 D．20 【答案】C 【分析】本题主要考查了作图﹣基本作图、线段的垂直平分线的定义、勾股定理、三角形中位线等知识点，熟练掌握三角形中位线的定义是解题的关键． 如图：连接，由题意可得垂直平分线段可得，，即；再运用勾股定理可得；然后说明是的中位线可得、，即；最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意可得垂直平分线段， ∴，，即 ∵， ∴， ∵D为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴的面积为． 故选C． 3．（2025·江苏镇江·一模）如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点D，连接．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、 内角和定理、角平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，然后计算即可解答． 【详解】解：，， ， 是的平分线，， ， 点D在的垂直平分线上， ， ， 。 故选：B. 考向三：等腰三角形 【题型7 等腰三角形的性质与判定】 1、等腰三角形的性质：①等腰三角形有轴对称性，对称轴有1或3条；②等边对等角；③“三线合一” 2、等腰三角形的判定：①定义法；②等角对等边；③角平分线与高线、中线与高线重合时，利用全等证等腰； 3、等边三角形的性质：三边相等、三个角都等于60°、三边均存在“三线合一”； 4、等边三角形的判定：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 1．（2024·广东广州·中考真题）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（    ） A．18 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相关的线段与角度的转化是解题关键．连接，根据等腰直角三角形的性质以及得出，将四边形的面积转化为三角形的面积再进行求解． 【详解】解：连接，如图： ∵，，点D是中点， ∴ ∴， ∴ 又∵ ∴ 故选：C 2．（2024·四川广元·中考真题）如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，连接，点D恰好落在线段上，若，，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，由旋转得，，，推出是等腰直角三角形，，过点A作于点H，得到，利用勾股定理求出的长． 【详解】解：由旋转得，， ∴，，， ∴是等腰直角三角形，， 过点A作于点H， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．（2024·安徽·中考真题）如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，对顶角的性质，勾股定理，过点作的延长线于点，则，由，，可得，，进而得到，，即得为等腰直角三角形，得到，设，由勾股定理得，求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作的延长线于点，则， ∵，， ∴，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 故选：．    4．（2024·江西·中考真题）追本溯源： 题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，在中，平分，交于点D，过点D作的平行线，交于点E，请判断的形状，并说明理由． 方法应用： （2）如图2，在中，平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G． ①图中一定是等腰三角形的有（    ） A．3个　B．4个　C．5个　D．6个 ②已知，，求的长． 【答案】（1）是等腰三角形；理由见解析；（2）①B；②． 【分析】本题考查了平行四边形的性质和等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键； （1）利用角平分线的定义得到，利用平行线的性质得到，推出，再等角对等边即可证明是等腰三角形； （2）①同（1）利用等腰三角形的判定和性质可以得到四个等腰三角形； ②由①得，利用平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：（1）是等腰三角形；理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）①∵中， ∴，， 同（1）， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴，，， ∴，，， 即、、、是等腰三角形；共有四个， 故选：B． ②∵中，，， ∴，， 由①得， ∴． 【题型8 等腰三角形的常见模型】 手拉手全等： 条件：两个顶角相等的等腰三角形有一个公共的顶角顶点 结论：有SAS类三角形全等； 双平等腰： 条件：①AD为角平分线；②DE∥AB；③AE=ED 若以上3个条件中有2个成立，则剩余的那个就会成立。即：三条件满足“知2得1” 1．（2024·新疆·中考真题）【探究】 （）已知和都是等边三角形． ①如图，当点在上时，连接．请探究和之间的数量关系，并说明理由； ②如图，当点在线段的延长线上时，连接．请再次探究和之间的数量关系，并说明理由． 【运用】 （）如图，等边三角形中，，点在上，．点是直线上的动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】（） ，理由见解析； ，理由见解析；（）或． 【分析】（） ．证明可得，即得，进而可得； ．同理即可求解； （）分点在上，和点在的延长线上，两种情况，画出图形，结合四点共圆及圆周角定理解答即可求解； 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，解直角三角形，等角对等边，应用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：（） ，理由如下： ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ，理由如下： ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 即； （）解：分两种情况：如图，当点在上，时， ∵和都是等边三角形， ∴， ∴四点共圆， ∵， ∴为该圆的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴； 如图，当点在的延长线上，时， ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∵， ∴为该圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或． 2．（2025·浙江杭州·一模）如图，C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交与点O、与交于点P、与交于点Q． 求证： (1)； (2)是等边三角形 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过等边三角形的性质找出三角形全等的条件． （1）由等边三角形的性质得，， 由等式性质推出，从而证明出，根据全等三角形的对应边相等得； （2）由全等三角形的对应角相等得，根据平角定义可推出，从而证明，根据全等三角形的对应边相等得，从而根据有一个角为的等腰三角形是等边三角形可得结论． 【详解】（1）证明：，是等边三角形， ， ，即， ， ； （2）证明：， ， ， ， 在和中， ， ， 又， 是等边三角形． 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，是的角平分线，点在上，且． (1)求证：； (2)在上取一点，连接，添加一个条件，使四边形为菱形，直接写出这个条件． 【答案】(1)见解析 (2)在上取一点，使得, 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线 的定义、菱形的判定等知识点，掌握菱形的判定方法成为解题的关键． （1）根据角平分线的定义和平行线的性质得到,然后根据等角对等边即可证明结论； （2）根据菱形的判定定理即可解答． 【详解】（1）解：∵是的角平分线， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图：在上取一点，使得,连接，则四边形为菱形，理由如下： ∵，, ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 4．（2024·浙江宁波·一模）如图，在中，分别是边上的点，已知且． (1)求证：是的角平分线； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰三角形性质及平行线性质，等量代换得到，再由角平分线定义求证即可得到答案； （2）由三角形内角和定理得到，由（1）得到，在中，再根据三角形内角和定理求解即可得到． 【详解】（1）证明： ， ， ， ， ，即是的角平分线； （2）解：在中，，，则， 由（1）知，则， 在中，． 【点睛】本题考查等腰三角形性质、平行线性质、角平分线定义、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关几何性质，灵活运用是解决问题的关键． 考向四：直角三角形 【题型9 直角三角形的性质与判定】 1、直角三角形的性质： ①直角三角形的两个锐角互余 ②直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半 ③在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边长的一半 2、直角三角形的判定： ①有一个角是90°的三角形时直角三角形 ②有两个角互余的三角形是直角三角形 ③勾股定理的逆定理 1．（2025·贵州黔南·一模）将一个含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，直角三角形两锐角互余，理解图示，掌握角的和差计算是解题的关键． 根据题意，，中，，根据对顶角相等即可求解． 【详解】解：如图所示，， 根据题意，， 在中，， ∴， 故选：C ． 2．（2025·湖南长沙·一模）如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点落在斜边上的点处，已知，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠、勾股定理、含的直角三角形的性质，找准相等关系是解题的关键． 根据折叠得到，，再结合含的直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知：，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， 根据勾股定理，得， ∴， 解得：． ∴． 故选：A ． 3．（2025·河南开封·一模）用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图，，为边的中点，点、对应的刻度分别为，．则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的斜边中线定理，根据直角三角形的斜边中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：由题意得：， ，为边的中点， ， 故选：C． 4．（2023·黑龙江哈尔滨·三模）如图，中，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过作于，若，则长为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用旋转的性质，得到，证明，得到，利用以及含30度角的直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等，是解题的关键． 【题型10 勾股定理】 勾股定理及其逆定理 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 勾股定理逆定理 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，成为勾股数 常见的勾股数：3,4,5及其倍数；5,12,13及其倍数；7,24,25及其倍数；8,15,17及其倍数 ☆：勾股定理是初中数学中求解长度非常重要的等量关系，故很多求长度的问题没方向时，就往直角三角形勾股定理方向去想。 1．（2025·安徽六安·一模）如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，，则的长为（   ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等角对等边，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据角平分线可知，，，结合四边形是平行四边形，，，从而得到，，，最后在中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ，， 的平分线和的平分线交于上一点 ， ，， ， 故选：B． 2．（2025·安徽阜阳·一模）如图，折叠矩形纸片，使得顶点，重合，点落在处，然后还原，得到折痕．已知：，，则折痕的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 分别连接与相交于，由折叠知，，所以共线，可以证明四边形为菱形，则，作，证明四边形是矩形，所以，设，则，，然后由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，分别连接与相交于， 由折叠知， ∴， ∴共线， 由折叠知， ∴， ∵，， ∴四边形为菱形， ∴， 作，则， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则，， 在直角中，， 解得：，即， ∴， 同理， ∴， ∴， 故选：． 3．（2024·西藏·中考真题）如图，为的直径，点B，D在上，，，则的长为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理及勾股定理，根据同弧所对圆周角相等及直径所对圆周角是直角得到，，根据得到，最后根据勾股定理求解即可得到答案 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 4．（2024·海南·中考真题）如图，菱形的边长为2，，边在数轴上，将绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理．作于点，利用菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理计算即可． 【详解】解：作于点， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵点E表示的数是3， ∴点A表示的数是， 故选：D． 5．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，D是边的中点，E是边上一点，连接．将沿翻折，点C落在上的点F处，则 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠得到，，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵，，，D是边的中点， ∴， ∴， ∵将沿翻折，点C落在上的点F处， ∴，， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故答案为：． 6．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，中，，，，将点折叠到边的点处，折痕为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握相关知识点的应用是解题的关键． 由勾股定理求出，再根据折叠性质得，，，设，则，最后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠性质可知：，，， ∴，， 设，则， ∴，即， ∴，即， 故答案为：． 7．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边中点处．若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，关键是由勾股定理列出关于的方程．由矩形的性质推出，由线段中点定义得到，由折叠的性质得到：，设，由勾股定理得到，求出，得到的值． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵是中点， ∴， 由折叠的性质得到：， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 考向五：三角形的综合题 【题型11 全等三角形与特殊三角形的综合应用】 1．（2024·宁夏·中考真题）综合与实践 如图1，在中，是的平分线，的延长线交外角的平分线于点． 【发现结论】 结论1：___________； 结论2：当图1中时，如图2所示，延长交于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点．则与的数量关系是___________． 【应用结论】 （1）求证：； （2）在图2中连接，，延长交于点，补全图形，求证：． 【答案】【发现结论】结论1：；结论2：相等（或）；【应用结论】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形外角的性质、等边对等角、等角对等边、勾股定理等知识，熟练掌握知识点推理证明是解题的关键． [发现结论]结论1：根据角平分线的定义、三角形外角的性质，推出， ，即可得出； 结论2：根据已知，和结论1 ，得出，根据角平分线的定义得出，进一步推出，利用证明，即可得出； [应用结论]（1）根据过点作的垂线交于点，得出，推出，结合结论2： ，利用证明，即可证明； （2）连接，，延长交于点，根据垂线的定义得出，由结论2得：，由（1）过程得：，根据等边对等角、勾股定理、全等三角形的性质，推出，，，根据对顶角相等得出 ，推出，进一步得出，，根据等角对等边得出，，即可证明． 【详解】解：[发现结论]结论1： ∵是的平分线，的延长线交外角的平分线于点， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； 结论2： ∵，由结论1得， ∴， ∵是的平分线，过点作的垂线交于点， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：相等（或）； [应用结论]（1）证明：∵过点作的垂线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵由结论2得：， ∴在和中， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接，，延长交于点， ∵过点作的垂线交于点， ∴， ∵由结论2得：，由（1）过程得：， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 2．（2024·山东东营·中考真题）在中，，，． (1)问题发现 如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)类比探究 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由； (3)迁移应用 如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 【答案】(1)； (2)一致；理由见解析 (3) 【分析】（1）延长交于点H，根据旋转得出，，，根据勾股定理得出，，根据等腰三角形的性质得出，，根据三角形内角和定理求出，即可得出结论； （2）延长交于点H，证明，得出，，根据三角形内角和定理得出，即可证明结论； （3）过点C作于点N，根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理得出，证明，得出，求出，根据解析（2）得出． 【详解】（1）解：延长交于点H，如图所示： ∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，，， ∴根据勾股定理得：，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴． （2）解：线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论一致；理由如下： 延长交于点H，如图所示： ∵将绕点旋转得到， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 又∵，，， ∴， ∴； （3）解：过点C作于点N，如图所示： 根据旋转可知：， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 根据解析（2）可知：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 3．（2024·四川资阳·中考真题）（1）【观察发现】如图1，在中，点D在边上．若，则，请证明； （2）【灵活运用】如图2，在中，，点D为边的中点，，点E在上，连接，．若，求的长； （3）【拓展延伸】如图3，在菱形中，，点E，F分别在边，上，，延长，相交于点G．若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）证明，得出，即可证明结论； （2）过点C作于点F，过点D作于点G，解直角三角形得出，，证明，得出，求出，根据勾股定理得出，得出，证明，得出，求出； （3）连接，证明，得出，求出，证明为直角三角形，得出，根据勾股定理求出，证明，得出，求出结果即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∴； （2）过点C作于点F，过点D作于点G，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； （3）连接，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：，负值舍去， ∴， ∴， ∵， ∴为直角三角形，， ∴， ∴在中根据勾股定理得： ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理及其逆定理，三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 4．（2024·辽宁·中考真题）如图，在中，，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，垂足为．    图1                图2                   图3 (1)如图1，求证：； (2)如图2，的平分线与的延长线相交于点，连接，的延长线与的延长线相交于点，猜想与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿折叠，在变化过程中，当点落在点的位置时，连接． ①求证：点是的中点； ②若，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2) (3)30 【分析】（1）利用“”即可证明； （2）可知，证明，则，可得，则，故； （3）①翻折得，根据等角的余角相等得到，故，则，即点F是中点； ②过点F作交于点M，连接，设，，则，由翻折得，故，因此，在中，由勾股定理得：，解得：或（舍，此时） ，在中，由勾股定理得：，解得：，则，由，得到，，因此，故． 【详解】（1）证明：如图，      由题意得，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）猜想： 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：①由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即点F是中点； ②过点F作交于点M，连接，    ∵， ∴， 设，， ∴， 由翻折得， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 整理得，， 解得：或（舍，此时） ， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∵， ∴，， ∴点M为中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，翻折的性质，勾股定理解三角形，平行线分线段成比例定理，正确添加辅助线是解题的关键． 5．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知是等腰三角形，，，在的内部，点M、N在上，点M在点N的左侧，探究线段之间的数量关系．    （1）如图①，当时，探究如下： 由，可知，将绕点A顺时针旋转，得到，则且，连接，易证，可得，在中，，则有． （2）当时，如图②：当时，如图③，分别写出线段之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明． 【答案】图②的结论是：；图③的结论是：；证明见解析 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，30度角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识 ，选②，以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H，构造全等三角形，得出，，再证明，得到；在中由勾股定理得，即，整理可得结论；选③方法同② 【详解】解：图②的结论是： 证明：∵ ∴是等边三角形， ∴， 以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H，   ，， ， 又 即 又， ， ； ∵ ∴， ∴ ， ∴， 在中,可得： 即 整理得 图③的结论是： 证明：以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H，   ，， ， 又 即 又， ， 在中，， ， ， 在中,可得： 即 整理得 （建议用时：30分钟） 一、单选题 1．（2025·安徽·一模）如图，在中，，点D，E在边上，且，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 由题意得出，，由旋转的性质，再证，得出，，设，则，，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：在中，，，， ， ， 把绕点A逆时针旋转得到，连接， 则，，，， ， ， ， 在和中 ， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 即， 得， 即． 故选：A． 2．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．当落在上时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可得， 由三角形内角和定理可得出，最后根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：由旋转的性质可得出， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的实际应用．设，则，由勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：设，则， 由题意，得：， 解得：，即， 故选：C． 4．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为（    ） A．15 B． C． D．18 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，确定点的轨迹是解题的关键．由旋转的性质结合证明，推出，得到点在平行于，且与的距离为5的直线上运动，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，由勾股定理可求解． 【详解】解：过点作，交于，过点作垂足为， ∵矩形， ∴， ∴， ∴四边形和都是矩形， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， ∴， ∴点在平行于，且与的距离为5的直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，最小值为， ∵，， ∴， 故选：B． 5．（2024·四川资阳·中考真题）第届国际数学教育大会（）会标如图所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，根据全等三角形，正方形的性质可得，再根据勾股定理可得，即可求出的值． 【详解】解：根据题意，设，则， ∵，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形，正方形的性质，三角函数值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 6．（2024·山东泰安·中考真题）如图，中，，分别以顶点A，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线分别与，交于点和点；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，若射线恰好经过点，则下列四个结论： ①；②垂直平分线段；③；④． 其中，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查作图-复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 由作图可知垂直平分线段、平分，进而证明可判定①；再说明可得垂直平分线段可判定②；根据直角三角形的性质可得可判定③，根据三角形的面积公式即可判定④． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴， 由作图可知平分， ∴， ∵， ∴，故①正确， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分线段，故②正确， ∵， ∴，故③正确， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确． 故选：D． 7．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（    ） A．8 B．16 C．12 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图，含的直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识， 由作图知平分，则可求，利用含的直角三角形的性质得出，利用等角对等边得出，进而得出，然后利用面积公式即可求解． 【详解】解： ∵， ∴， 由作图知：平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又的面积为8， ∴的面积是， 故选B． 8．（2024·四川广元·中考真题）如图①，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以1的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，的面积随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（    ） A．5 B．7 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据函数图象获取信息，完全平方公式，勾股定理， 由图象可知，面积最大值为6，此时当点P运动到点C，得到，由图象可知， 根据勾股定理，结合完全平方公式即可求解． 【详解】解：由图象可知，面积最大值为6 由题意可得，当点P运动到点C时，的面积最大， ∴，即， 由图象可知，当时，，此时点P运动到点B， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A 二、填空题 9．（2025·内蒙古包头·一模）如图，在中，，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，连结，则的周长为 ． 【答案】/ 【分析】此题重点考查旋转的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识．由，，得，则，，由旋转得，，，则是等边三角形，所以，，则是等边三角形，，所以，即可求得的周长为，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 由旋转得，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴的周长为， 故答案为：． 10．（2025·浙江宁波·一模）如图，长方形沿折叠，使点D落在边上的点F处．如果，那么 ， ， ． 【答案】 /55度 【分析】此题考查了折叠的性质，全等三角形的性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握以上知识点． 先根据矩形的性质得到，进而根据角的运算得到，再根据折叠的性质得到，根据三角形全等的性质得到，从而结合题意进行角的运算即可求解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， 由折叠得， ； 又∵， ∴，， ∴． 故答案为：，，． 11．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，四边形为正方形，为等边三角形，于点F，若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，根据正方形和等边三角形的性质，得到为含30度角的直角三角形，，根据含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形为正方形，为等边三角形，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2． 三、解答题 12．（2024·四川乐山·中考真题）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地． 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉． 良工高士素好奇，算出索长有几？ 词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直） (1)如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度； (2)如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方，两次位置的高度差．根据上述条件能否求出秋千绳索的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)秋千绳索的长度为尺 (2)能， 【分析】该题主要考查了勾股定理的应用以及解直角三角形的应用，解题的关键是掌握以上知识点． （1）如图，过点作，垂足为点B．设秋千绳索的长度为x尺．由题可知，，，，得出．在中，由勾股定理解得，即可求解； （2）由题可知，，．在中，得出，同理，．再根据，列等式即可求出． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为点B． 设秋千绳索的长度为x尺． 由题可知，，，， ∴． 在中，由勾股定理得： ∴． 解得． 答：秋千绳索的长度为尺． （2）能． 由题可知，，． 在中，， 同理，． ∵， ∴． ∴． 13.如图1，在中，点，在边上，，．求证：． 应用 （1）如图2，用直尺和圆规在直线上取点，点（点在点的左侧），使得，且（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图3，用直尺和圆规在直线上取一点，在直线上取一点，使得，且（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质、尺规作图： 证明，即可求得； 应用（1）：以点为圆心，以长度为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长度为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，连接，； 应用（2）：以点为圆心，以长为半径作弧，交的延长线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，连接． 【详解】感悟： ∵， ∴． 在和中 ∴． ∴． 应用： （1）：以点为圆心，以长度为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长度为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，连接，，图形如图所示． （2）：以点为圆心，以长为半径作弧，交的延长线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，连接，图形如图所示． 根据作图可得：， 又， ∴， ∴. 15．（2024·甘肃·中考真题）【模型建立】 （1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），理由见详解，（2），理由见详解，（3），理由见详解 【分析】（1）直接证明，即可证明； （2）过E点作于点M，过E点作于点N，先证明，可得，结合等腰直角三角形的性质可得：， ，即有，，进而可得，即可证； （3）过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，先证明，再结合等腰直角三角形的性质，即可证明． 【详解】（1），理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2），理由如下： 过E点作于点M，过E点作于点N，如图， ∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，平分，， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴四边形是正方形， ∴是正方形对角线，， ∴， ， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， 即有； （3），理由如下， 过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，题目难度中等，作出合理的辅助线，灵活证明三角形的全等，并准确表示出各个边之间的数量关系，是解答本题的关键． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$