热点05 二次函数的图象及简单应用（8大题型+高分技法+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）

热点05 二次函数的图象及简单应用 中考数学中《二次函数的图象及简单应用》部分主要考向分为五类： 一、二次函数图象与性质（每年1道，3~4分） 二、二次函数图象与系数的关系（每年1题，3~4份） 三、二次函数与一元二次方程（每年1~2道，4~8分） 四、二次函数的简单应用（每年1题，6~10分） 二次函数是初中数学三中函数中知识点和性质最多的一个函数，也是中考数学中的重点和难点，考简答题时经常在二次函数的几何背景下，和其他几何图形一起出成压轴题；也经常出应用题利用二次函数的增减性考察问题的最值。此外，二次函数的性质、二次函数与系数的关系、二次函数上点的坐标特征也是中考中经常考到的考点，都需要大家准确记忆二次函数的对应考点。只有熟悉掌握二次函数的一系列考点，才能在遇到对应问题时及时提取有用信息来应对。 考向一：二次函数图象与性质 【题型1二次函数的图象与性质】 1. 对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象： 形状：抛物线； 对称轴：直线；顶点坐标：； 2、抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y随x的增大而增大（或减小）是不对的，必须在确定a的正负后，附加一定的自变量x取值范围； 3、当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值；而函数的最值都是定点坐标的纵坐标。 1．（2025·陕西·一模）已知二次函数，则下列说法正确的是（    ） A．该函数的最大值为5 B．该函数的图象开口向上 C．该函数的图象一定经过点 D．该函数的图象对称轴在y轴右侧 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，先把二次函数解析式化为顶点式，得到二次函数开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，可判断B错误；结合可判断A错误；把代入解析式可判断C错误；根据对称轴为直线，可判断D正确． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，故B错误， ∵， ∴， ∴该函数的最大值大于5，故A错误； ∵当时，， ∴该函数的图象不经过点，故C错误； ∵， ∴， ∴该函数的图象对称轴在y轴右侧，故D正确． 故选：D． 2．（2024·四川凉山·中考真题）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线， 该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小， ∵，，， 而，，， ∴点离对称轴最近，点离对称轴最远， ∴； 故选：D． 3．（2023·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（    ） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 【答案】D 【分析】将代入二次函数解析式，进而得出的值，再利用对称轴在轴左侧，得出，再利用二次函数的顶点式即可求出二次函数最值． 【详解】解：将代入二次函数解析式得：，解得：，， ∵二次函数，对称轴在轴左侧，即， ∴， ∴， ∴， ∴当时，二次函数有最小值，最小值为， 故选：． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，正确得出的值是解题关键． 4．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如表，则下列结论正确的是（   ）． x … 0 3 y … 3 3 A．当时，y随x的减小而减小 B．图象的开口向上 C．图象只经过第二，三，四象限 D．图象的顶点坐标是 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先根据对称性确定二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由表格可知：和时的函数值相同， ∴对称轴为直线， 由表格可知：当时，随着的增大而增大，y随x的减小而减小，时，随着的增大而减小， ∴抛物线的开口向下， ∵函数图象过点和，且函数图象的开口向下， ∴抛物线的开口方向向下，顶点在第二象限，且与轴交于正半轴，与轴的两个交点分别在的正半轴和负半轴上， ∴函数图象过一，二，三，四象限， ∵抛物线的对称轴为直线； ∴抛物线的顶点的横坐标为，不是， 综上：只有选项A正确，符合题意； 故选A． 5．（2025·江苏宿迁·一模）二次函数在的范围内的最小值为6，则实数的值为（   ） A．3 B．或3 C．或1 D．或3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及函数的最值．利用二次函数图象上点的特征找出时自变量的值是解题的关键．利用二次函数图象上点的特征找出时自变量的值，结合时，函数值的最小值为1，可得到关于的一元一次方程，解即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数图象的顶点坐标为， ∴二次函数在实数范围内的最小值为， 令，则， 解得：，， 时，函数值的最小值为6， 或， 或． 故选：D． 6．（2025·陕西咸阳·一模）“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果二次函数的图象只经过三个象限，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是利用数形结合的思想解答． 首先配方得到，然后得出抛物线开口向上，对称轴，顶点坐标为，然后根据二次函数的图象只经过三个象限，得到，求解即可． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴，顶点坐标为， 二次函数的图象只经过三个象限， 二次函数的图象经过第一，二，三象限 ∴， ∴． 故选：C． 7．（2025·湖北黄石·一模）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据抛物线的顶点坐标为 利用以上结论直接写出顶点坐标即可． 【详解】解：∵ ， ∴抛物线的顶点坐标是． 故选：B． 【题型2二次函数图象上点的坐标特征】 牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与之结合的几何图形的性质 1．（2025·上海虹口·一模）如图，正方形的顶点、在轴上，点、恰好在抛物线上，那么正方形的面积是 ． 【答案】 【分析】此题考查二次函数的图象和性质、正方形的性质．根据题意设点的坐标是，点、恰好在抛物线上，得到，解得，（不合题意，舍去），得到点的坐标是，得到正方形的边长为，即可求出正方形的面积． 【详解】解：∵四边形是正方形，顶点、在轴上，点、恰好在抛物线上， ∴， ∴可设点的坐标是， ∵点、恰好在抛物线上， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴点的坐标是， ∴正方形的边长为， ∴正方形的面积是， 故答案为： 2．（2025·上海闵行·一模）如图，在等腰直角三角形中，，点、在抛物线上，点在轴上，、两点的横坐标分别为1和，的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数与特殊三角形，全等三角形的判定与性质等知识，先求出A、B的坐标为，，则，，，，过A作于D，过B作轴于E，利用证明，得出，，则可得出，然后解方程即可． 【详解】解∶过A作于D，过B作轴于E， ∵点、在抛物线上，、两点的横坐标分别为1和， ∴点A、B的纵坐标为、， ∴，， ∴，，，， ∴， ∴， 在等腰直角三角形中，，， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴，， 又， ∴， 解得，（不符合题意，舍去） ∴b的值为2， 故答案为：2． 3．（2023·内蒙古·中考真题）已知二次函数，若点在该函数的图象上，且，则的值为 ． 【答案】2 【分析】将点代入函数解析式求解即可． 【详解】解：点在上， ∴， ， 解得：(舍去) 故答案为：2． 【点睛】题目主要考查二次函数图象上的点的特点，理解题意正确求解是解题关键． 4．（2025·辽宁大连·一模）如图，抛物线过点，与x轴的正半轴交于点B，与y轴交于点C，连接AC，BC，点D是第四象限内抛物线上的一点，连接AD，CD，AD交BC于点P．当的值最小时，点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数的解析式，熟练运用数形结合的思想是解题的关键． 利用待定系数法求得抛物线的表达式为，过点A作x轴的平行线交的延长线于点E，过点D作交的延长线于点F，则，推导出、为定值；求得的函数表达式为，推导出，当时，的长最大，的值最小，进而求得点D的坐标即可． 【详解】解：∵抛物线过点，代入抛物线得： ∴，解得：． ∴抛物线的函数表达式为； 当时，；当时，解得或6， ∴； 设直线的解析式为，代入得： ，解得：， ∴直线的函数表达式为； 如图：过点A作x轴的平行线交的延长线于点E，过点D作交的延长线于点F，即， ∵和等高， ∴， ∵轴， ∴，代入直线的函数表达式得： ，解得：， ∴， ∴为定值． ∴要使的值最小，则的长最大． 设直线的函数表达式为，，则， ∴直线的函数表达式为， 令，则， ∴， ∴当时，的长最大，的值最小，此时点D的坐标为． 故答案为：． 【题型3 二次函数图象与几何变换】 1、二次函数的几何变化，多考察其平移规律，对应方法是： ①将一般式转化为顶点式；②根据口诀“左加右减，上加下减”去变化。 2、二次函数一般式往顶点式转化，可以用顶点公式转化，也可以用配方法 1．（2025·河南·一模）将二次函数的图象先向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到抛物线，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，把化成顶点式，代数式求值知识点，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键：左加右减，上加下减． 先把化成顶点式，然后根据二次函数图象的平移规律求出平移后的抛物线解析式，由此即可得出、、的值，然后将其代入求值即可． 【详解】解：， 将二次函数的图象先向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式为： ， ，，， ， 故选：． 2．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知二次函数的最大值为25，则将此函数平移后可能得到的函数表达式为：（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，根据函数的最大值求出的值，根据平移后抛物线的开口方向和大小均不变，进行判断即可． 【详解】解：∵有最大值为25， ∴，， 解得：， ∵平移后抛物线的开口方向和大小均不变，即的值不变， ∴将此函数平移后可能得到的函数表达式为：； 故选C． 3．（2025·河北沧州·一模）已知点为抛物线上一点，在透明胶片上描画出包含点的抛物线的一段，向上平移该胶片得到点和抛物线，如图．已知抛物线的顶点的纵坐标为，且，则平移得到的点的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线的平移，正确理解题意、明确求解的方法是解题关键． 先求出平移前的顶点，结合平移后的顶点，求出这两点间的距离,再根据，即可求． 【详解】解：抛物线， 平移前的顶点纵坐标为， 平移后的抛物线的顶点纵坐标为， 平移的距离为， ， 顶点在线段的垂直平分线上， 平移得到的点的纵坐标为． 故答案为：D． 4．（2025·辽宁抚顺·一模）抛物线通过变换可以得到抛物线，以下变换过程正确的是（   ） A．先向左平移2个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移2个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移2个单位，再向下平移2个单位 D．先向右平移2个单位，再向上平移2个单位 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，进行判断即可． 【详解】解：把抛物线，先向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到：，即， 故选：A． 5．（2025·陕西西安·一模）已知抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），点A的坐标是，与轴相交于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)将抛物线向左或向右平移，得到抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴相交于点，要使，求所有满足条件的抛物线的函数表达式． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题的关键是掌握函数平移的性质． （1）用待定系数法，将点A的坐标代入即可求解； （2）由题可知抛物线与轴的交点为，当抛物线向左或向右平移时，与轴的交点向上移动， ，要使，则与轴的交点为， 设平移后，，将代入，解方程即可求出答案． 【详解】（1）解：将点A的坐标代入， 得， ， 抛物线的函数表达式为； （2）解：抛物线与轴的交点为， 当抛物线向左或向右平移时， 由题可知，要使， 则与轴的交点为（负值已舍）， 设平移后，， 将代入， 得， 解得， 当时，， 当时，， 综上所述，抛物线的函数表达式为或． 6．（2025·上海徐汇·一模）“2022年北京冬奥会”的召开，冰雪运动在中国大地蓬勃发展．滑雪爱好者小楠从山坡滑下，为了得出滑行距离（单位：米）与滑行时间（单位：秒）之间的关系式，测得一些数据（如下表）： 滑行时间（秒） 0 1 2 3 4 滑行距离（米） 0 4.5 14 28.5 48 为观察与的之间的关系，以为横轴，为纵轴建立坐标系，描出与上表中数据对应的5个点，并用平滑的曲线连接它们（如图所示），小楠观察发现这条曲线近似抛物线的一部分． (1)由上述信息，设这条曲线的表达式为，求与的函数关系式； (2)若将拋物线先向右平移2个单位，再向上平移20个单位，求平移后所得抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）依据题意，根据（1），再结合“左加右减，上加下减”的平移规律，即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，得解得； 与的函数关系式为． （2）解：由（1）得，； 所以，新抛物线的表达式为； 即． 7．（2024·贵州遵义·三模）如图，是小明在自家院子里晾晒衣服的示意图，他发现此时晾衣绳的形状可以近似的看作一条抛物线．经过测量，他发现立柱，均与地面垂直，且，、之间的水平距离．绳子最低点与地面的距离为． (1)按如图（1）建立的平面直角坐标系，求抛物线的解析式. (2)由于晾晒的衣服比较多，为了防止衣服碰到地面，小明用一根垂直于地面的立柱撑起绳子，如图（2）的高度为，通过调整的位置，使左边抛物线对应的函数关系式为，且最低点离地面1.4米，求水平距离. (3)在（2）的条件下，小明测得右边抛物线对应的函数关系式为，将图（2）中，两条抛物线组成的新函数图象整体向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，待定系数法求函数的解析式，函数图象平移的性质，以及利用数形结合的思想是解题的关键． （1）根据题意可得，抛物线的对称轴为，顶点坐标为，点，点，设设抛物线的表达式为：，将点代入求解即可； （2）根据的最低点离地面1.4米，可得，：，将点 可求出抛物线的表达式，根据的高度为，令，求出横坐标的值，即可求得，进而得到水平距离； （3）由于抛物线：，抛物线： 的对称轴分别为和，当或时，y的值随x值的增大而减小，将新函数图象向右平移m个单位长度，可得平移后的函数图象的对称轴分别为，，由于平移不改变图形形状和大小，故当或时，y的值随x值的增大而减小，而新函数图象在时，y的值随x值的增大而减小，利用数形结合可知，区间必须包含在或区间内，才能满足条件，分情况讨论即可得解． 【详解】（1）解：（1）如图所示， 由题意得， 抛物线的对称轴为， 顶点的坐标为：，点，点， 设抛物线的表达式为：， 将点代入得：，， ∴或 （2）解：如图所示， 由题知，的最低点离地面1.4米， ∴ ∴抛物线的表达式为：， ∵点A在抛物线上， ∴当时，， ∴ ∴ 则抛物线的表达式为：或 ∴当时，即， 整理得： ∴，（不合题意，舍去） ∴，（米）． （3）解：由（2）题可知，抛物线：，抛物线： 的对称轴分别为和， 此时，当或时，y的值随x值的增大而减小， 将新函数图象向右平移m个单位长度，可得平移后的函数图象的对称轴分别为， 如图所示， ∵平移不改变图形形状和大小， ∴当或时，y的值随x值的增大而减小， ∴当时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象， 得m的取值范围是： ①且，得， ②且，得， 由题意知， 综上所述，m的取值范围是或． 考向二：二次函数图像与系数关系 【题型4 二次函数图象与系数的关系】 二次函数图象与系数a、b、c的关系 a的特征与作用 b的特征与作用(a与b“左同右异”） c的特征与作用 2、二次函数图象题符号判断类问题大致分为以下几种基本情形∶ ①a、b、c单个字母的判断，a 由开口判断，b由对称轴判断（左同右异），c由图象与y轴交点判断; ②含有a、b两个字母时，考虑对称轴; ③含有a、b、c三个字母，且a 和b系数是平方关系，给x取值，结合图像判断， 例如∶二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）， 当x=1时，y=a+b+c， 当x=-1时，y=a-b+c， 当x=2时，y=4a+2b+c 当x=-2 时，y=4a-2b+c; 另：含有 a、b、c 三个字母，a和b系数不是平方关系，想办法消掉一到两个字母再判断∶ ④含有b2和 4ac，考虑顶点坐标，或考虑△. ⑤其他类型，可考虑给x取特殊值，联立方程进行判断;也可结合函数最值，图像增减性进行判断。 1．（2025·湖北·模拟预测）如图是二次函数图象的一部分，图象过，对称轴为直线，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D．若点，为函数图象上的两点，则 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系．根据抛物线与轴的交点情况判断A，根据对称轴，增减性判断B，D，根据抛物线上点的坐标特点判断C． 【详解】解：抛物线与轴有两个交点， ，即，选项A不正确； 抛物线的对称轴是直线， ∴， ，选项B不正确； 点，对称轴为直线， 抛物线的对称轴是直线， ∴， ∵ ∴，选项C不正确； 关于直线的对称点坐标为， 当时，随的增大而减小，， ，选项D正确； 故选：D． 2．（2025·湖北恩施·一模）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为，下列结论：①；②；③；④当时，；⑤若，是抛物线上两点，且，，则． 其中正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由二次函数图象的对称轴为直线得出，即可判断①；由图象可得当时，，即可判断②；由图象得出，，从而可得，即可判断③；求出图象与轴的另一个交点为，即可判断④；由，是抛物线上两点，且，，得出，即可判断⑤；采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数图象的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由图象可得：当时，， ∴，故②错误； ∵函数图象开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∴， ∴，故③正确； ∵图象过点，对称轴为， ∴图象与轴的另一个交点为， 由图象可得，当时，或，故④错误， ∵，是抛物线上两点，且，， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有①③⑤；共个， 故选：B． 3．（2025·湖北·一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线的对称轴为，与轴的一个交点位于，两点之间．下列结论： ①；②；③； ④若，为方程的两个根，则； 其中正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由图象函数与轴有两个交点，即；由图象得，，由对称轴得，，，则；抛物线与x轴的一个交点位于，两点之间，由对称性知另一个交点在，之间，得 ，于是；结合，为方程的两个根，且抛物线的对称轴为，得出，即．本题考查二次函数图象性质，不等式变形，掌握函数图象性质，注意利用特殊点是解题的关键． 【详解】解：由图象函数与轴有两个交点， 即； 故①错误的； 由图象函数的开口向下，得，与y轴交于正半轴，， 对称轴，， 则， ∴， 故②正确； 抛物线与x轴的一个交点位于，两点之间，对称轴为，故知另一个交点在，之间，故时， ∴，得， 故③正确； 由，，知， ∵，为方程的两个根，且抛物线的对称轴为， ∴得出， 即． 故④正确； 故选：C 4．（2024·河南周口·三模）直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象．根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中和的正负情况和二次函数图象中的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：由一次函数的图象可知，， 则抛物线与轴的交点在原点上方，故排除AB选项； ∵，， ∴， ∴抛物线的对称轴直线， 即对称轴位于轴左侧，故C选项不符合题意，D选项符合题意； 故选：D． 5．（2024·山东泰安·中考真题）如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查的是图象法求一元二次方程的近似值、抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数与方程的关系等知识点，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质逐个判断即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴, ∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在2、3之间， ∴与x轴的另一个交点在、0之间， ∴方程一定有一个根在和0之间，故②错误； ∵抛物线与直线有两个交点， ∴方程一定有两个不相等的实数根，故③正确； ∵抛物线与x轴的另一个交点在，0之间， ∴， ∵图象与y轴交点的纵坐标是2， ∴， ∴， ∴．故④错误． 综上，①③正确，共2个． 故选：B． 考向三：二次函数与一元二次方程 【题型6 抛物线与x轴交点问题】 1、求抛物线与x轴的交点，就是让抛物线解析式的y=0，就得到了一元二次方程，而①一元二次方程的解法、②根的判别式、③根与系数的关系等性质也就分别对应①抛物线与x轴交点横坐标、②交点个数、③交点横坐标与其对称轴的关系的考点； 2、求抛物线与直线的交点时，联立抛物线与直线的解析式，得新的一元二次方程时，上述结论与用法大多依然适用，使用时注意联想和甄别。 1．（2024·甘肃·三模）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（　　）    A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系；理解函数与方程的联系是解题的关键．由图知，抛物线与轴交于点，代入求出m的值，再解方程即可． 【详解】解：由图知，抛物线与轴交于点， 将，代入，则， ， ∴原方程为 解得：或； 故选：B． 2．（2024·陕西西安·一模）抛物线（x为自变量）经过点，，且该抛物线与x轴有交点，则线段长为（     ） A．2 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，抛物线上的点的坐标的特征，不等式的解法，利用抛物线的对称性求得抛物线的对称轴是解题的关键．利用抛物线的对称性求得抛物线的对称轴，进而得到b与c的关系，再利用抛物线与x轴有交点则，列出不等式即可求解． 【详解】解：∵抛物线（x为自变量）经过点，， ∴对称轴为， ∴， ∴， ∴ ∵该抛物线与x轴有交点， ∴， ∴， ∴，即， 又 ∴， ∴． 故选：D． 3．（2023·四川自贡·中考真题）经过两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段长为（    ） A．10 B．12 C．13 D．15 【答案】B 【分析】根据题意，求得对称轴，进而得出，求得抛物线解析式，根据抛物线与轴有交点得出，进而得出，则，求得的横坐标，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线 ∵抛物线经过两点 ∴， 即， ∴， ∵抛物线与轴有交点， ∴， 即， 即，即， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的对称性，与轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 4．（2025·陕西西安·一模）已知抛物线经过点和，且抛物线与x轴的其中一个交点的横坐标m满足，那么a的取值可能是（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象和性质，根与系数之间的关系，把点和代入解析式，求出，根与系数的关系得到，进而求出的范围，即可． 【详解】解：∵抛物线经过点和， ∴， ∴， ∵抛物线与x轴的其中一个交点的横坐标m满足，另一个交点的横坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴； 故a的取值可能是； 故选：D． 5．（2025·河南开封·一模）若抛物线与轴其中一个交点的坐标是，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 若抛物线与轴其中一个交点的坐标是，则，将化为，再整体代入求值． 【详解】解：若抛物线与轴其中一个交点的坐标是， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 6．（2025·宁夏·模拟预测）抛物线与x轴交于两点，分别是，，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，与x轴的交点即令二次函数中得到对应的一元二次方程．令中，再由韦达定理得到 即可． 【详解】解：由题意得令中， ∴的两根为， ∴ ， 故答案为：2． 【题型7 二次函数与不等式】 1、当抛物线与x轴相交、与直线相交时，只要有交点，就可以接着考察两图象的上下关系，进而得不等式，根据图象直接写出不等式的解集。 2、由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：①根据图象找出交点横坐标，②不等式中不等号开口朝向的一方，图象在上方，对应交点的左边或右边符合，则x取对应一边的范围。 1．（2025·陕西咸阳·一模）已知抛物线（是常数），当时，函数值小于，当时，则函数值的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据题意和二次函数的性质，可以求得的取值范围，从而可以求得当时，函数值的取值范围，本题得以解决． 【详解】解：∵抛物线（是常数，当时，函数值小于， ， ， 当时，，当时，， ， 当时，， ， ， ， ， ， ， ， 即， 故选：C． 2．（2025·山东滨州·模拟预测）抛物线的部分图像如图所示，则当时，的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数与不等式，能根据题意利用数形结合求出的取值范围是解答此题的关键． 先结合图像求出抛物线的对称轴与轴的交点坐标，再利用函数对称性可得，关于对称轴的对称点是，结合图像即可而出结论． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的交点坐标为， ∴关于对称轴的对称点是， ∴当时，或． 故选：B． 3．（2025·广东广州·模拟预测）如图，函数与的图象相交于点及，当（    ）时，式子． A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了图象法解不等式，数形结合是解题的关键． 根据函数图像写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可求解． 【详解】解： ∵二次函数与一次函数的图象相交于点及， ∴能使成立的x的取值范围即使得的取值范围，结合图象得：． 故选：D． 4．（2022·江苏徐州·二模）二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据图象，写出函数图象在轴上方部分的的取值范围即可．本题考查了二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解更简便． 【详解】解：由图可知，或时，． ∴则函数值时，的取值范围是或， 故选：D． 5．（2024·浙江温州·三模）二次函数的部分对应值如下表所示，则当时，x的取值范围为（   ） x 3 4 y m 0 m A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点、二次函数的性质，认真观察学会利用表格信息解决问题是解题的关键． 根据表格信息找出函数值时x的取值，然后借助函数图象即可得到答案． 【详解】解：由表格数据可得抛物线的对称轴为，开口向下， ∴当时，或， ∴当时，x的取值范围为或， 故选C． 6．（2024·河南周口·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，若直线的解析式为，则的解集为（    ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数图象与性质，待定系数法求一次函数参数，熟练掌握函数图象与不等式的关系是解题的关键．先由二次函数可求得点坐标，代入即可得到，然后由变形为，观察图象即可得到答案． 【详解】解： 与轴交于点，即时，， 又点在直线：上， 将代入，得 直线的解析式为 观察图象可知，当时，直线在抛物线的上面，当时，直线在抛物线的下面，当时，直线在抛物线的上面， ，即 观察图象可知，该不等式的解集为：或． 故选：D． 7．（2024·广西南宁·模拟预测）如图，二次函数的图象与一次函数的图象在第一象限的交点为A，点A的横坐标为1，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了利用函数图形解不等式，理解是二次函数值小于一次函数值时自变量的取值是关键． 即二次函数的图象在一次函数的图象的下边，求自变量x的范围． 【详解】解：由题意得，二次函数的图象与一次函数的图象都经过点， ∵点A的横坐标为1， ∴关于x的不等式的解集为． 故答案为：． 考向四：二次函数的应用 【题型8 利用二次函数的性质求最值】 1、利用二次函数的性质求解最值多出现在销售问题中，利用二次函数解决销售中最大利润问题一般步骤如下： ①设自变量，用含自变量的代数式表示销售单价或销售量及销售收入 ②用含自变量的代数式表示销售商品成本 ③用含自变量的关系式分别表示销售利润，根据销售利润=单件利润×销售量，得到函数表达式 ④根据函数表达式求出最值及取得最值时的自变量的值 2.利润最大化问题与二次函数模型 牢记两公式：①单位利润=售价-进价； ②总利润=单件利润×销量； 谨记两转化：①销量转化为售价的一次函数； ②总利润转化为售价的二次函数； 函数性质的应用：常利用二次函数的性质求出在自变量取值范围内的函数最值； 1．（2025·贵州遵义·一模）2025年电影春节档被称为“最强春节档”，春节票房的火爆反映出中国消费市场的旺盛活力，也彰显了中国经济强大的内生动力和广阔的发展前景．已知遵义某影城每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（张）随售价x（元/张）之间满足一次函数关系（，且x为整数） 售价x元/张 30 35 40 45 电影票数量y张 1640 1440 1240 1040 (1)请求出y与x之间的函数表达式； (2)该影院将电影票的售价定为多少时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)（，且x为整数） (2)当售价为x定为35或36时，有最大利润，最大利润是48400元 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、二次函数的应用等知识点，灵活运用二次函数解决实际问题成为解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）先列出每天的利润，然后根据二次函数的性质以及实际意义求解即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数表达式为 把代入得： ，解得：． （，且x为整数）． （2）解：每天的利润 ∴该函数的抛物线对称轴为：， 为整数， 当售价为x定为35或36时，有最大利润， 元． 2．（2025·广东·模拟预测）广东某镇盛产的荔枝远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克元的该荔枝，以不低于成本价且不超过每千克元的价格销售．当每千克售价为元时，每天售出荔枝；当每千克售价为元时，每天售出荔枝，通过分析销售数据发现：每天销售荔枝的数量与每千克售价(元)满足一次函数关系， (1)请直接写出与的函数关系式； (2)超市将该荔枝每千克售价定为多少元时，每天销售该荔枝的利润可达到元？ (3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)； (2)每千克售价定为元时，利润可达到元； (3)当每千克售价定为元时，每天获利最大，最大利润为元． 【分析】（1）该函数经过点，，利用待定系数法求出与的函数关系式即可； （2）设超市将该荔枝每千克售价定为元每千克时，利润最大，根据利润销量单件利润，列出关于的一元二次方程，解方程求出荔枝的售价，把不符合题意的解舍去； （3）设利润为，可以列出关于的函数解析式为，根据二次函数的图象与性质可知抛物线开口向下，对称轴为，可知当时，所获得的利润最大，把代入函数解析式求出最大利润． 【详解】（1）解：根据题意可知，该函数经过点，， 设与的函数关系式为， 将 代入， 得到：， 解得：， 与的函数关系式为； （2）解：设超市将该荔枝每千克售价定为元每千克时，利润最大， 根据题意可得：， ， 整理得：， 分解因式得：， 解得：，， 售价不低于成本价且不超过每千克元， 每千克售价定为元时，利润可达到元； （3）解：设利润为， ， 函数开口向下， 当时，随的增大而增大， ， 当时，有最大值， 此时， 当每千克售价定为元时，每天获利最大，最大利润为元． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、用待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的图象和性质、一元二次方程的应用．解决本题的关键是利用二次函数的图象与性质求出最大利润． 3．（2023·辽宁丹东·中考真题）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米；当每千克售价为6元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量与每千克售价（元）满足一次函数关系． (1)请直接写出y与x的函数关系式； (2)超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？ (3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)6元 (3)当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元 【分析】（1）根据题意可得，该函数经过点，y与x的函数关系式为，将代入，求出k和b的值，即可得出y与x的函数关系式； （2）根据总利润=每千克利润×销售量，列出方程求解即可； （3）设利润为w，根据总利润=每千克利润×销售量，列出w关于x的函数表达式，再根据二次函数的性质， 即可解答． 【详解】（1）解∶ 根据题意可得，该函数经过点， 设y与x的函数关系式为， 将代入得： ，解得：， ∴y与x的函数关系式为， （2）解；根据题意可得：， ∴， 整理得：， 解得：， ∵售价不低于成本价且不超过每千克7元， ∴每千克售价定为6元时，利润可达到1800元； （3）解：设利润为w， ， ∵，函数开口向下， ∴当时，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w有最大值，此时， ∴当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程和函数关系式，熟练掌握二次函数的性质． 4．（2023·湖北黄石·中考真题）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为万元/件．设第个生产周期设备的售价为万元/件，售价与之间的函数解析式是，其中是正整数．当时，；当时，． (1)求，的值； (2)设第个生产周期生产并销售完设备的数量为件，且y与x满足关系式． 当时，工厂第几个生产周期获得的利润最大?最大的利润是多少万元? 当时，若有且只有个生产周期的利润不小于万元，求实数的取值范围． 【答案】(1)，； (2) ，； ． 【分析】（）用待定系数法求出，的值即可； （）当，根据利润(售价成本)设备的数量，可得出关于的二次函数，由函数的性质求出最值； 当时，关于的函数解析式，再画出关于的函数图象的简图，由题意可得结论． 【详解】（1）把时，；时，代入得： ，解得：，； （2）设第个生产周期创造的利润为万元，由（）知，当时，， ∴， ， ， ∵，， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴工厂第个生产周期获得的利润最大，最大的利润是万元； 当时，， ∴， ∴， 则与的函数图象如图所示：      由图象可知，若有且只有个生产周期的利润不小于万元， ∴当，时，， 当，时，， ∴的取值范围． 【点睛】此题考查了一次函数与二次函数在销售问题中的应用，明确一次函数与二次函数的性质并分类讨论是解题的关键． 【题型9 将实际问题转化为二次函数模型】 题型一：利用二次函数解决抛物线形问题 解决此类问题一般步骤： ①合理建立直角坐标系，把已知数据转化为点的坐标； ②根据题意，把所求问题转化为求最值或已知x的范围就y的值的问题。 题型二：二次函数在实际生活中的应用 利用二次函数解决生活中的实际问题时，一般先根据题意建议二次函数表达式，并确定自变量的取值范围，然后利用二次函数的图象与性质解决问题。 1．（2024·江苏盐城·中考真题）请根据以下素材，完成探究任务． 制定加工方案 生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等. 背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元． 信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元） 风 y 2 24 雅 x 1 正 1 48 探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系． 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式． 任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 【答案】任务1：；任务2：；任务3：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润 【分析】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，根据二次函数的性质求解是解题关键． 任务1：根据题意安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，得出加工“正”服装的有人，然后利用“正”服装总件数和“风”服装相等，得出关系式即可得出结果； 任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：，然后将2种服装的获利求和即可得出结果； 任务3：根据任务2结果化为顶点式，然后结合题意，求解即可． 【详解】解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装， ∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装， ∴加工“正”服装的有人， ∵“正”服装总件数和“风”服装相等， ∴， 整理得：； 任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：， ∴， 整理得： ∴ 任务3：由任务2得， ∴当时，获得最大利润， ， ∴， ∵开口向下， ∴取或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴， 综上：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润． 2．（2025·广东深圳·一模）综合与实践 【发现问题】如图1是某景点的入口处，大门轮廓形状可视为抛物线，拱门宽3米（拱门所在抛物线与地面所在直线的两交点之间的距离称为拱门宽，这两个交点称为拱门的左端点与右端点），拱高4米（拱门所在抛物线的顶点到地面所在直线的距离称为拱高）．为了缓解入口处人流压力，让拱门成为景点的新一个标志建筑，需要重造扩建拱门．经测算，当拱顶到地面的距离为拱门宽的一半时，拱门最为美观． 【提出问题】在拱门右侧距拱门右端点10米处有一棵高为2米的珍贵树木，不宜移栽，为了不影响树木的生长，需要给树木左右两侧各留足3米，上方留足8米的生长空间（不考虑拱门厚度）．由于地域限制，为使改建后拱门的拱门宽不能超过25米，现以原拱门左端点为起点，向右扩建，拱高在什么范围，才能使拱门最美观，又不影响树木的生长呢？ 【分析问题】 （1）二次函数的图象经过和，此抛物线的对称轴为直线________； （2）如图2，已知二次函数经过点，且与的图象均经过和，则的取值范围是________； 【解决问题】 （3）以原拱门左端点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，以，为端点的拱门表示原拱门，表示大树．当以原拱门左端点为起点向右扩建，使拱门扩建后最美观且不影响树木的生长时，求此时拱顶到地面的距离的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）根据二次函数的性质求解即可； （2）待定系数法求出，，由图象可得的顶点在的下方，即可得出，求解即可； （3）设新拱门抛物线解析式为，则抛物线顶点坐标为由题意可得，从而解得，（不符题意，舍去），得到新拱门抛物线解析式为，将代入得，，解得，从而可得，将代入得，，解得，从而可得；将代入得，，解得，从而可得；分别求解即可得解． 【详解】解：（1）∵二次函数的图象经过和， ∴此抛物线的对称轴为直线； （2）∵二次函数经过和， ∴， 将代入可得：， ∴， ∴， ∵的图象均经过和， ∴， ∵由图象可得：的顶点在的下方， ∴， 解得：； （3）如图所示，将点分别向左右两侧平移3个单位得到点、，将向上平移个单位，矩形即为大树生长空间． 由题意得，，， ∴，； 设新拱门抛物线解析式为 ∴抛物线顶点坐标为 ∵拱顶到地面的距离为拱宽的一半， ∴， 解得，（不符题意，舍去）， ∴新拱门抛物线解析式为 将代入得，，解得   ∴， ∵原拱门拱顶距地面为4米， ∴ 将代入得，，解得， ∴ 将代入得，，解得 ∴ ∴ 综上所述，的取值范围是或． 3．（2024·广东深圳·模拟预测）请阅读信息，并解决问题： 问题 芙蓉大桥检修后需要更换吊杆及相关装饰品 查询信息 深圳有许多桥，有一座坐落于罗湖区的桥—芙蓉大桥，如图，是芙蓉大桥的一个拱，其外形酷似竖琴．桥拱固定在桥面上，拱的两侧安装了17对吊杆（俗称“琴弦”）此段桥长120米，拱高25米．    处理信息 如图是芙蓉大桥其中一拱的主视图，，分别表示是桥的起点和终点，桥拱可看成抛物线，拱的两端，位于线段上，且．一根琴弦固定在拱的对称轴处，其余16根琴弦对称固定在两侧，每侧各8根．记离拱端最近的一根为第1根，从左往右，依次记为第2根，第3根，为第9根， 测量数据 测得上桥起点与拱端水平距离为20米，最靠近拱端的“琴弦” 高9米，与之间设置7根“琴弦”，各琴弦的水平距离相等，记为米． 解决问题 任务1：建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； 任务2：求琴弦与拱端的水平距离及的值． 任务3：若需要在琴弦与之间垂直安装一个如图所示高为的高音谱号艺术品，艺术品底部在桥面上，顶部恰好扣在拱桥上边缘，问该艺术品顶部应该安装在哪两根琴弦之间？ 【答案】任务1：；任务2：琴弦与拱端的水平距离为8米，的值为4米；任务3：该艺术品顶部应该安装在第3根和第4根琴弦之间 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的表达式及性质是解题的关键． 任务1：以桥所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则点为原点，令抛物线的解析式为，将点代入中即可得出答案； 任务2：将代入即可得出的长度，再根据线段的和差即可得出的长度，进而求出的值； 任务3：将代入出的值，再进行判断该艺术品顶部应该安装在哪两根琴弦之间． 【详解】解：任务 如图，以桥所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系， 则点为原点， 由题意得，，， 则点的坐标为， 令抛物线的解析式为， 将点代入中得， ， 解得：， 则抛物线的解析式为．      任务（米）， 将代入得， ，（舍）， （米， （米），（米）， 琴弦与拱端的水平距离为8米，的值为4米． 任务3：将代入得， ，（舍）， ， 该艺术品顶部应该安装在第3根和第4根琴弦之间． 4．（2025·河北·一模）如图，在射门训练中，一球员第一次接球后，在A处踢球，踢球点A距离地面的高度米．在足球运行时，球的运动路线可以看成是抛物线的一部分，设足球运行的水平距离为x（米），足球与地面的竖直高度为y（米），建立如图所示的平面直角坐标系，得到如下数据： x/米 0 1 2 3 4 5 6 y/米 (1)根据数据，球射出后__________米时，离地面的距离最大，并求出该抛物线对应的函数解析式； (2)如图，当球员第二次踢球时，后退1米到点，踢球点为，，且踢球后球的运动路线所在抛物线形状与第一次相同，若守门员距离第一次击球点A的水平距离为6米，他跳起后手距离地面的最大距离为米，则守门员是否可以阻挡住球？请说明理由． 【答案】(1)4，； (2)可以接到球，见解析． 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意和表中数据可知，球射出后米时，离地面的距离最大米，用待定系数法可求出函数解析式； （2）根据题意，当击球员后退1米在点踢球时，抛物线对应的函数解析式为，当时，，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意和表中数据可知，球射出后米时，离地面的距离最大米， 设该抛物线对应的函数解析式为，由题意可知，， 将分别代入中， 得， 解得， ∴该抛物线对应的函数解析式为， 故答案为：； （2）解：守门员可以接到球，理由如下： 由（1）得， 当击球员后退1米在点踢球时，抛物线对应的函数解析式为， 当时， ∵米米， ∴守门员可以接到球． 5．（2025·江西景德镇·模拟预测）【发现问题】 在2024年巴黎奥运会跳水女子双人10米跳台决赛中，中国选手陈芋汐和全红婵夺得金牌，跳水梦之队实现该项目七连冠．两位选手如同复制粘贴般上演“水花消失术”，令人叹为观止．我们把运动员从跳台上起跳、腾空到入水，近似看成是一条漂亮的抛物线． 【提出问题】 在如图所示的平面直角坐标系中，如果将运动员从点处起跳后的运动路线看作是抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，运动的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）之间有怎样的函数关系． 【分析问题】 在某次训练完成一次动作后，记录了全红婵运动时的竖直高度与水平距离的几组数据如下： 水平距离 3 4 竖直高度 10 10 （1）根据表中数据，_____，关于的函数解析式为_____． 【解决问题】 （2）全红婵和陈芊汐完成了一次双人10米跳台训练，全红婵的数据如上表中所示，陈芋汐的竖直高度与水平距离近似满足函数关系． ①用，分别表示全红婵，陈芋汐入水时入水点距跳台的水平距离，则_____；（填“”“”或“”） ②在距水面高5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则容易失误．全红婵在空中调整好入水姿势时，水平距离恰好是米，她本次训练是否会失误，请通过计算说明理由． 【答案】（1），；（2）①；②不会失误，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）根据表中数据求出对称轴，再由顶点式求出函数解析式，即可得到的值； （2）①将代入两个函数解析式，求出，的值即可； ②将代入求出，即可进行判断． 【详解】解：（1）由表中数据可知，经过， 故对称轴 顶点坐标为 设关于的函数解析式为， 将代入， 得 解得 故关于的函数解析式为， 将代入，， ， 故答案为：，； （2）①将代入， 解得（舍去）或， ， 将将代入， 解得（舍去）或， ， ， 故答案为：． ②不会失误，理由如下： 将代入， 即， ， ， 全红婵本次训练不会失误． 6．（24-25九年级上·广西钦州·期中）如图①，一小球从静止沿斜坡下滑，小球离开桌面时做平抛运动（不考虑空气阻力），用频闪照相机观测到小球运动过程中的几个位置，并用平滑曲线连接得到小球平抛运动的轨迹．如图②，以小球滚出桌面的水平方向为轴正方向，竖直向上方向为轴正方向，小球离开桌面的位置为原点建立平面直角坐标系（小球的体积忽略不计），得到小球的位置坐标，根据平抛运动可知，与时间的关系如下：．已知桌面的高度为厘米，观测到三个时刻小球的位置坐标如下表： （秒） （厘米） （厘米） (1)求和的值； (2)求小球做平抛运动时，运动轨迹所形成的抛物线的解析式； (3)小球水平抛出的正前方有一高为厘米的正方体纸箱（纸箱厚度忽略不计），若要使小球落入纸箱中，求纸箱左侧到桌子的水平距离的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的应用， （1）根据当时，，代入；当时，，代入，分别求解即可 （2）利用（1）中所求得出，即可得出抛物线的解析式； （3）将代入（2）中所求解析式即可得出答案； 根据图表与坐标系相结合得出正确信息是解题的关键． 【详解】（1）解：∵当时，，代入， 得：， ∴， ∵当时，，代入， 得：， ∴， ∴，； （2）∵，， ∴， ∴， ∴小球做平抛运动时，运动轨迹所形成的抛物线的解析式为； （3）∵桌面的高度为厘米，正方体纸箱的高度为厘米，小球要落入纸箱中，则小球要在时进入纸箱， ∴将代入， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∵正方体纸箱的高度为厘米， ∴纸箱左侧到桌子的最短水平距离为：（厘米）， ∴纸箱左侧到桌子的水平距离的取值范围为． 7．（2024·福建泉州·模拟预测）【项目化学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”． 项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用． 实验过程：如图（a）所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从黑球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据． 记录的数据如下： 运动时间 0 2 4 6 8 10 … 运动速度 10 9 8 7 6 5 … 滑行距离 0 19 36 51 64 75 … 根据表格中的数值分别在图（b）、图（c）中即可作出与的函数图象、与的函数图象； 任务一：描点画图 （1）请在图（b）中画出与的函数图象； 任务二：观察分析 （2）数学兴趣小组通过观察所作的函数图象，并结合已学习过的函数知识，发现图（b）中与的函数关系为一次函数关系，图（c）中与的函数关系为二次函数关系.请你结合表格数据，分别求出与的函数关系式和与的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） 任务三：问题解决 （3）若黑球到达木板点处的同时，在点的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若黑球不能撞上小车，求的取值范围． 【答案】（1）见详解；（2）；；（3） 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，待定系数法，一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键． （1）利用描点法解答即可； （2）利用待定系数法解答即可； （3）假定经过秒小球追上小电动车得到关于的一元二次方程，令，得到关于的不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】解：（1）画出与的函数图象如下： （2）由（b）中图象可知：与的函数关系为一次函数关系， 设，代入，得： ， 解得：， 与的函数关系为； 设代入，得： ， 所得：， 与的函数关系式为； （3）假定经过秒小球追上小电动车， ， ． 由题意：， ． 若黑球不能撞上小车，则的取值范围为． 故答案为：． （建议用时：40分钟） 一、单选题 1．（2025·山西朔州·一模）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则得到的新抛物线的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的平移，解题关键是知道平移规律：左加右减上加下减可得．根据函数平移的规律：左加右减上加下减，即可得到答案． 【详解】解：抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则得到的新抛物线的函数解析式为， ， 故选：D． 2．（2025·陕西西安·二模）已知抛物线，当时，，且当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 当时，得到，则；当时，y随x的增大而减小，则，即可求解． 【详解】解：当时，， ∴， 解得：， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．（2025·陕西咸阳·一模）已知二次函数的图象经过第一、二、四象限，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与性质．利用二次函数的性质，抛物线与轴有2个交点，开口向上，而且与轴的交点不在负半轴上，然后解不等式组即可． 【详解】解：二次函数图象经过第一、二、四象限， 设抛物线与轴两个交点的横坐标分别为，由题意可得 解得． 故选：D． 4．（2025·广东潮州·模拟预测）关于二次函数，下列说法错误的是（         ） A．y的最大值为1 B．图象与y轴的交点坐标为 C．当时，y的值随x值的增大而减小 D．图象的对称轴是y轴 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，由表达式得到二次函数开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为，进而得到当时，y随x增大而减小，由此即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为，最小值为， ∴A选项错误，符合题意； 当时，，则图象与y轴的交点坐标为，故B选项正确； ∴当时，y随x增大而减小，故C选项正确； ∵对称轴为轴，故D选项正确． 故选：A． 5．（2025·河南濮阳·一模）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质，判断的大小即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称为直线， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而增大而减小， ∵关于直线的对称点坐标为， ∵，，又， ∴． 故选：C． 6．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表，则下列结论正确的是（） 0 2 4 6 9 21 25 21 9 A．当时，随的减小而减小 B．图象的开口向上 C．图象只经过第一，二，三象限 D．图象的对称轴为 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，将代入 ，得到于是得到对称轴为直线，图象的开口向下，当时，的值随的值减小而减小，由图象可知，函数图象经过第一、二、三、四象限，即可得到D、B、C错误，不符合要求，A正确，符合要求，熟练掌握二次函数解析式，二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：将代入，得： ， 解得， ， ， ∴对称轴为直线，图象的开口向下，当时，的值随的值减小而减小， ∵函数图象的顶点坐标为：，与y轴的交点坐标为： , ∴函数图象经过第一、二、三、四象限， ∴错误，不符合要求；正确，符合要求， 故选：A． 7．（2025·广东潮州·模拟预测）将二次函数的图象向左平移8个单位长度，得到的抛物线的解析式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的平移，根据二次函数的平移法则“左加右减，上加下减”即可得出答案，熟练掌握平移法则是解此题的关键． 【详解】解：将二次函数的图象向左平移8个单位长度，得到的抛物线的解析式是， 故选：C． 8．（2025·河北·一模）在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度与离发射点O的水平距离的几组关系数据如下： 水平距离 0 3 4 10 15 20 22 27 竖直高度 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24 你能计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为时，水火箭距离地面的竖直高度吗？（    ） A．5米 B．9米 C．4米 D．8米 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，先利用待定系数法求出抛物线的表达式，然后再把代入函数解析式求出y值即可． 【详解】解：根据题意可知抛物线过原点，设抛物线的表达式， 由表格得抛物线的顶点坐标为， 则，解得， 则抛物线的表达式， 由题意知，则， 那么，水火箭距离地面的竖直高度米． 故选：A 9．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）对称轴为直线的抛物线（，，为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤当时，随的增大而减小．其中结论正确为（    ） A．①②④ B．②④⑤ C．①④⑤ D．②③⑤ 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的关系，由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，熟知二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定是解题的关键． 【详解】解：①∵抛物线与x轴有两个交点， ， ，故①不符合题意； ②由图象可知：，， ， ， ，故②正确，符合题意； ③当时，， ∴，故③符合题意； ④当时，，故④不符合题意； ⑤由图象可知，当时，y随x的增大而减小，故⑤符合题意， 故选：D． 10．（2024九年级·河北·学业考试）如图，正方形的顶点坐标分别为，，．抛物线经过点D，顶点坐标为，将此抛物线在正方形内(含边界)的部分记为图象G．若直线与图象G有唯一交点，则k的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先求出抛物线解析式为，再求出抛物线与正方形边长另一个交点为，再根据直线过定点，结合函数图象解题即可． 【详解】解：设抛物线与正方形边长另一个交点为， ， ∵正方形的顶点坐标分别为，，， ∴， ∵抛物线经过点D，顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为， 把代入得到，解得， ∴抛物线解析式为， 当时，解得， ∴， ∵直线， ∴直线过定点， 当时， ∴直线与必有两个交点， ∵将此抛物线在正方形内(含边界)的部分记为图象G，直线与图象G有唯一交点， ∴当时，抛物线过，，即，解得， 当时，抛物线过，，即，解得， 综上所述，或， 故选：A． 11.（2025·上海黄浦·一模）体育课上投掷实心球活动，如图，小明某次投掷实心球，实心球出手后的运动过程中距离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，当实心球运动到点时达到最高点，那么实心球的落地点与出手点的水平距离为 米． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数，二次函数与轴交点问题，熟练掌握二次函数的顶点式和二次函数与轴交点求法是解题的关键．先利用顶点结合顶点式得出，再令，即可求解． 【详解】解：∵当实心球运动到点时达到最高点，且抛物线函数解析式为， ∴抛物线函数解析式为， 令，得， 解得：，， ∴， ∴实心球的落地点与出手点的水平距离为米， 故答案为：． 12．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知点，为二次函数图象上两点，当时，二次函数随增大而减小，若，时，恒成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质得到，即得，又根据二次函数的性质可得当时，有最大值，最大值为，当时，有最小值，最小值为，得到，由即可得到，画出函数图象即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上，当时，随增大而减小， 又∵当时，二次函数随增大而减小， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴在中， 当时，有最大值，最大值为， 当时，有最小值，最小值为， ∴当，时， ， ∵恒成立， ∴， 画出函数和的图象如图所示， 由图象可得，当时，， ∵， ∴， 故答案为：． 13．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底为原点建立平面直角坐标系，已知碗口宽，碗深，则当满碗汤面的竖直高度下降时，碗中汤面的水平宽度为 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出二次函数解析式是解题的关键． 根据题意得抛物线过点，设抛物线解析式为，代入得，求出，得到抛物线的解析式为，令，求出的值，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得抛物线过点， 设抛物线解析式为， ， ， 抛物线的解析式为， ， 令， 解得， 碗中汤面的水平宽度为， 故答案为： ． 14．（2024·安徽合肥·三模）已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点，利用根的判别式的意义得到，然后解不等式即可 【详解】解：根据题意得，， 解得，， 所以，的取值范围为， 故答案为： 15．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图是二次函数和一次函数的图象，当时，x的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据图象可以直接回答，即可． 【详解】解：观察图象得：当或时，二次函数的图象位于一次函数的图象的上方， ∴当时，x的取值范围是或 故答案为：或 16．（2024·贵州·模拟预测）如图①，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口离地面竖直高度为．如图②，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边缘抛物线的最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口． (1)求外边缘抛物线的函数表达式； (2)求内边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标； (3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)的取值范围是 【分析】本题主要考查了二次函数是实际应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式以及数形结合的思想是解题的关键． （1）根据题意可得是外边缘抛物线的顶点，抛物线过点，用顶点式即可求解函数解析式； （2）根据对称轴为直线可得点的对称点为，则是由向左平移得到的，即可求出点B的坐标； （3）如图：当时，可得点的纵坐标为；令则结合可得；由当时，则随的增大而减小，然后分、、三种情况确定x的取值范围，进而确定的最大值和最小值即可解答． 【详解】（1）解：由题意得是外边缘抛物线的顶点， 设． 又 抛物线过点， ， ， 外边缘抛物线的函数表达式为． （2）解：的对称轴为直线， 点的对称点为， 是由向左平移得到的， ． 令，即，解得或（舍去）， 点的坐标为， 点的坐标为． （3）解：， 点的纵坐标为， 令，即，解得：． ， ． 当时，随的增大而减小， 当时，要使，则． 当时，随的增大而增大，且时，， 当时，要使，则． ，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， 的最大值为． 喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， 的最小值为2． 综上所述，的取值范围是． 17．（2023·四川绵阳·中考真题）随着国家乡村振兴政策的推进，凤凰村农副产品越来越丰富．为增加该村村民收入，计划定价销售某土特产，他们把该土特产（每袋成本10元）进行4天试销售，日销量y（袋）和每袋售价x（元）记录如下： 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 x/元 15 20 25 30 y/袋 25 20 15 10 若试销售和正常销售期间，日销量y与每袋售价x的一次函数关系相同，解决下列问题： (1)求日销量y关于每袋售价x的函数关系式； (2)请你帮村民设计，每袋售价定为多少元，才能使这种土特产每日销售的利润最大？并求出最大利润.（利润销售额成本） 【答案】(1)日销量y关于每袋售价x的函数关系式为 (2)每袋售价定为25元时，这种土特产日销售的利润最大，最大利润为225元 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系． （1）设日销售量y（袋）和每袋售价x（元）的函数关系式为（）代入数据，利用待定系数法即可求解； （2）设每袋土特产的售价定为x元，则日销量为袋，成本为，总利润为W元，根据销售利润销售每袋土特产的利润每日的销售量，得到与的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设（） 将，代入， 得 解得， ∴日销量y关于每袋售价x的函数关系式为； （2）解：设每袋土特产的售价定为x元，则日销量为袋，成本为，总利润为W元， （） ， 当时，W最大，最大值为225 答：每袋售价定为25元时，这种土特产日销售的利润最大，最大利润为225元． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点05 二次函数的图象及简单应用 中考数学中《二次函数的图象及简单应用》部分主要考向分为五类： 一、二次函数图象与性质（每年1道，3~4分） 二、二次函数图象与系数的关系（每年1题，3~4份） 三、二次函数与一元二次方程（每年1~2道，4~8分） 四、二次函数的简单应用（每年1题，6~10分） 二次函数是初中数学三中函数中知识点和性质最多的一个函数，也是中考数学中的重点和难点，考简答题时经常在二次函数的几何背景下，和其他几何图形一起出成压轴题；也经常出应用题利用二次函数的增减性考察问题的最值。此外，二次函数的性质、二次函数与系数的关系、二次函数上点的坐标特征也是中考中经常考到的考点，都需要大家准确记忆二次函数的对应考点。只有熟悉掌握二次函数的一系列考点，才能在遇到对应问题时及时提取有用信息来应对。 考向一：二次函数图象与性质 【题型1二次函数的图象与性质】 1. 对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象： 形状：抛物线； 对称轴：直线；顶点坐标：； 2、抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y随x的增大而增大（或减小）是不对的，必须在确定a的正负后，附加一定的自变量x取值范围； 3、当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值；而函数的最值都是定点坐标的纵坐标。 1．（2025·陕西·一模）已知二次函数，则下列说法正确的是（    ） A．该函数的最大值为5 B．该函数的图象开口向上 C．该函数的图象一定经过点 D．该函数的图象对称轴在y轴右侧 2．（2024·四川凉山·中考真题）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（    ） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 4．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如表，则下列结论正确的是（   ）． x … 0 3 y … 3 3 A．当时，y随x的减小而减小 B．图象的开口向上 C．图象只经过第二，三，四象限 D．图象的顶点坐标是 5．（2025·江苏宿迁·一模）二次函数在的范围内的最小值为6，则实数的值为（   ） A．3 B．或3 C．或1 D．或3 6．（2025·陕西咸阳·一模）“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果二次函数的图象只经过三个象限，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·湖北黄石·一模）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【题型2二次函数图象上点的坐标特征】 牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与之结合的几何图形的性质 1．（2025·上海虹口·一模）如图，正方形的顶点、在轴上，点、恰好在抛物线上，那么正方形的面积是 ． 2．（2025·上海闵行·一模）如图，在等腰直角三角形中，，点、在抛物线上，点在轴上，、两点的横坐标分别为1和，的值为 ． 3．（2023·内蒙古·中考真题）已知二次函数，若点在该函数的图象上，且，则的值为 ． 4．（2025·辽宁大连·一模）如图，抛物线过点，与x轴的正半轴交于点B，与y轴交于点C，连接AC，BC，点D是第四象限内抛物线上的一点，连接AD，CD，AD交BC于点P．当的值最小时，点D的坐标为 ． 【题型3 二次函数图象与几何变换】 1、二次函数的几何变化，多考察其平移规律，对应方法是： ①将一般式转化为顶点式；②根据口诀“左加右减，上加下减”去变化。 2、二次函数一般式往顶点式转化，可以用顶点公式转化，也可以用配方法 1．（2025·河南·一模）将二次函数的图象先向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到抛物线，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知二次函数的最大值为25，则将此函数平移后可能得到的函数表达式为：（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河北沧州·一模）已知点为抛物线上一点，在透明胶片上描画出包含点的抛物线的一段，向上平移该胶片得到点和抛物线，如图．已知抛物线的顶点的纵坐标为，且，则平移得到的点的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁抚顺·一模）抛物线通过变换可以得到抛物线，以下变换过程正确的是（   ） A．先向左平移2个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移2个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移2个单位，再向下平移2个单位 D．先向右平移2个单位，再向上平移2个单位 5．（2025·陕西西安·一模）已知抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），点A的坐标是，与轴相交于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)将抛物线向左或向右平移，得到抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴相交于点，要使，求所有满足条件的抛物线的函数表达式． 6．（2025·上海徐汇·一模）“2022年北京冬奥会”的召开，冰雪运动在中国大地蓬勃发展．滑雪爱好者小楠从山坡滑下，为了得出滑行距离（单位：米）与滑行时间（单位：秒）之间的关系式，测得一些数据（如下表）： 滑行时间（秒） 0 1 2 3 4 滑行距离（米） 0 4.5 14 28.5 48 为观察与的之间的关系，以为横轴，为纵轴建立坐标系，描出与上表中数据对应的5个点，并用平滑的曲线连接它们（如图所示），小楠观察发现这条曲线近似抛物线的一部分． (1)由上述信息，设这条曲线的表达式为，求与的函数关系式； (2)若将拋物线先向右平移2个单位，再向上平移20个单位，求平移后所得抛物线的表达式． 7．（2024·贵州遵义·三模）如图，是小明在自家院子里晾晒衣服的示意图，他发现此时晾衣绳的形状可以近似的看作一条抛物线．经过测量，他发现立柱，均与地面垂直，且，、之间的水平距离．绳子最低点与地面的距离为． (1)按如图（1）建立的平面直角坐标系，求抛物线的解析式. (2)由于晾晒的衣服比较多，为了防止衣服碰到地面，小明用一根垂直于地面的立柱撑起绳子，如图（2）的高度为，通过调整的位置，使左边抛物线对应的函数关系式为，且最低点离地面1.4米，求水平距离. (3)在（2）的条件下，小明测得右边抛物线对应的函数关系式为，将图（2）中，两条抛物线组成的新函数图象整体向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，直接写出m的取值范围． 考向二：二次函数图像与系数关系 【题型4 二次函数图象与系数的关系】 二次函数图象与系数a、b、c的关系 a的特征与作用 b的特征与作用(a与b“左同右异”） c的特征与作用 2、二次函数图象题符号判断类问题大致分为以下几种基本情形∶ ①a、b、c单个字母的判断，a 由开口判断，b由对称轴判断（左同右异），c由图象与y轴交点判断; ②含有a、b两个字母时，考虑对称轴; ③含有a、b、c三个字母，且a 和b系数是平方关系，给x取值，结合图像判断， 例如∶二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）， 当x=1时，y=a+b+c， 当x=-1时，y=a-b+c， 当x=2时，y=4a+2b+c 当x=-2 时，y=4a-2b+c; 另：含有 a、b、c 三个字母，a和b系数不是平方关系，想办法消掉一到两个字母再判断∶ ④含有b2和 4ac，考虑顶点坐标，或考虑△. ⑤其他类型，可考虑给x取特殊值，联立方程进行判断;也可结合函数最值，图像增减性进行判断。 1．（2025·湖北·模拟预测）如图是二次函数图象的一部分，图象过，对称轴为直线，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D．若点，为函数图象上的两点，则 2．（2025·湖北恩施·一模）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为，下列结论：①；②；③；④当时，；⑤若，是抛物线上两点，且，，则． 其中正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（2025·湖北·一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线的对称轴为，与轴的一个交点位于，两点之间．下列结论： ①；②；③； ④若，为方程的两个根，则； 其中正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024·河南周口·三模）直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（2024·山东泰安·中考真题）如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考向三：二次函数与一元二次方程 【题型6 抛物线与x轴交点问题】 1、求抛物线与x轴的交点，就是让抛物线解析式的y=0，就得到了一元二次方程，而①一元二次方程的解法、②根的判别式、③根与系数的关系等性质也就分别对应①抛物线与x轴交点横坐标、②交点个数、③交点横坐标与其对称轴的关系的考点； 2、求抛物线与直线的交点时，联立抛物线与直线的解析式，得新的一元二次方程时，上述结论与用法大多依然适用，使用时注意联想和甄别。 1．（2024·甘肃·三模）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（　　）    A．， B．， C．， D．， 2．（2024·陕西西安·一模）抛物线（x为自变量）经过点，，且该抛物线与x轴有交点，则线段长为（     ） A．2 B．4 C．5 D．7 3．（2023·四川自贡·中考真题）经过两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段长为（    ） A．10 B．12 C．13 D．15 4．（2025·陕西西安·一模）已知抛物线经过点和，且抛物线与x轴的其中一个交点的横坐标m满足，那么a的取值可能是（   ） A． B．1 C．2 D． 5．（2025·河南开封·一模）若抛物线与轴其中一个交点的坐标是，则的值为 ． 6．（2025·宁夏·模拟预测）抛物线与x轴交于两点，分别是，，则 ． 【题型7 二次函数与不等式】 1、当抛物线与x轴相交、与直线相交时，只要有交点，就可以接着考察两图象的上下关系，进而得不等式，根据图象直接写出不等式的解集。 2、由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：①根据图象找出交点横坐标，②不等式中不等号开口朝向的一方，图象在上方，对应交点的左边或右边符合，则x取对应一边的范围。 1．（2025·陕西咸阳·一模）已知抛物线（是常数），当时，函数值小于，当时，则函数值的范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东滨州·模拟预测）抛物线的部分图像如图所示，则当时，的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 3．（2025·广东广州·模拟预测）如图，函数与的图象相交于点及，当（    ）时，式子． A． B． C．或 D． 4．（2022·江苏徐州·二模）二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 5．（2024·浙江温州·三模）二次函数的部分对应值如下表所示，则当时，x的取值范围为（   ） x 3 4 y m 0 m A． B． C．或 D．或 6．（2024·河南周口·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，若直线的解析式为，则的解集为（    ） A．或 B．或 C． D．或 7．（2024·广西南宁·模拟预测）如图，二次函数的图象与一次函数的图象在第一象限的交点为A，点A的横坐标为1，则关于x的不等式的解集为 ． 考向四：二次函数的应用 【题型8 利用二次函数的性质求最值】 1、利用二次函数的性质求解最值多出现在销售问题中，利用二次函数解决销售中最大利润问题一般步骤如下： ①设自变量，用含自变量的代数式表示销售单价或销售量及销售收入 ②用含自变量的代数式表示销售商品成本 ③用含自变量的关系式分别表示销售利润，根据销售利润=单件利润×销售量，得到函数表达式 ④根据函数表达式求出最值及取得最值时的自变量的值 2.利润最大化问题与二次函数模型 牢记两公式：①单位利润=售价-进价； ②总利润=单件利润×销量； 谨记两转化：①销量转化为售价的一次函数； ②总利润转化为售价的二次函数； 函数性质的应用：常利用二次函数的性质求出在自变量取值范围内的函数最值； 1．（2025·贵州遵义·一模）2025年电影春节档被称为“最强春节档”，春节票房的火爆反映出中国消费市场的旺盛活力，也彰显了中国经济强大的内生动力和广阔的发展前景．已知遵义某影城每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（张）随售价x（元/张）之间满足一次函数关系（，且x为整数） 售价x元/张 30 35 40 45 电影票数量y张 1640 1440 1240 1040 (1)请求出y与x之间的函数表达式； (2)该影院将电影票的售价定为多少时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 2．（2025·广东·模拟预测）广东某镇盛产的荔枝远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克元的该荔枝，以不低于成本价且不超过每千克元的价格销售．当每千克售价为元时，每天售出荔枝；当每千克售价为元时，每天售出荔枝，通过分析销售数据发现：每天销售荔枝的数量与每千克售价(元)满足一次函数关系， (1)请直接写出与的函数关系式； (2)超市将该荔枝每千克售价定为多少元时，每天销售该荔枝的利润可达到元？ (3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 3．（2023·辽宁丹东·中考真题）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米；当每千克售价为6元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量与每千克售价（元）满足一次函数关系． (1)请直接写出y与x的函数关系式； (2)超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？ (3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 4．（2023·湖北黄石·中考真题）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为万元/件．设第个生产周期设备的售价为万元/件，售价与之间的函数解析式是，其中是正整数．当时，；当时，． (1)求，的值； (2)设第个生产周期生产并销售完设备的数量为件，且y与x满足关系式． 当时，工厂第几个生产周期获得的利润最大?最大的利润是多少万元? 当时，若有且只有个生产周期的利润不小于万元，求实数的取值范围． 【题型9 将实际问题转化为二次函数模型】 题型一：利用二次函数解决抛物线形问题 解决此类问题一般步骤： ①合理建立直角坐标系，把已知数据转化为点的坐标； ②根据题意，把所求问题转化为求最值或已知x的范围就y的值的问题。 题型二：二次函数在实际生活中的应用 利用二次函数解决生活中的实际问题时，一般先根据题意建议二次函数表达式，并确定自变量的取值范围，然后利用二次函数的图象与性质解决问题。 1．（2024·江苏盐城·中考真题）请根据以下素材，完成探究任务． 制定加工方案 生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等. 背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元． 信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元） 风 y 2 24 雅 x 1 正 1 48 探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系． 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式． 任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 2．（2025·广东深圳·一模）综合与实践 【发现问题】如图1是某景点的入口处，大门轮廓形状可视为抛物线，拱门宽3米（拱门所在抛物线与地面所在直线的两交点之间的距离称为拱门宽，这两个交点称为拱门的左端点与右端点），拱高4米（拱门所在抛物线的顶点到地面所在直线的距离称为拱高）．为了缓解入口处人流压力，让拱门成为景点的新一个标志建筑，需要重造扩建拱门．经测算，当拱顶到地面的距离为拱门宽的一半时，拱门最为美观． 【提出问题】在拱门右侧距拱门右端点10米处有一棵高为2米的珍贵树木，不宜移栽，为了不影响树木的生长，需要给树木左右两侧各留足3米，上方留足8米的生长空间（不考虑拱门厚度）．由于地域限制，为使改建后拱门的拱门宽不能超过25米，现以原拱门左端点为起点，向右扩建，拱高在什么范围，才能使拱门最美观，又不影响树木的生长呢？ 【分析问题】 （1）二次函数的图象经过和，此抛物线的对称轴为直线________； （2）如图2，已知二次函数经过点，且与的图象均经过和，则的取值范围是________； 【解决问题】 （3）以原拱门左端点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，以，为端点的拱门表示原拱门，表示大树．当以原拱门左端点为起点向右扩建，使拱门扩建后最美观且不影响树木的生长时，求此时拱顶到地面的距离的取值范围． 3．（2024·广东深圳·模拟预测）请阅读信息，并解决问题： 问题 芙蓉大桥检修后需要更换吊杆及相关装饰品 查询信息 深圳有许多桥，有一座坐落于罗湖区的桥—芙蓉大桥，如图，是芙蓉大桥的一个拱，其外形酷似竖琴．桥拱固定在桥面上，拱的两侧安装了17对吊杆（俗称“琴弦”）此段桥长120米，拱高25米．    处理信息 如图是芙蓉大桥其中一拱的主视图，，分别表示是桥的起点和终点，桥拱可看成抛物线，拱的两端，位于线段上，且．一根琴弦固定在拱的对称轴处，其余16根琴弦对称固定在两侧，每侧各8根．记离拱端最近的一根为第1根，从左往右，依次记为第2根，第3根，为第9根， 测量数据 测得上桥起点与拱端水平距离为20米，最靠近拱端的“琴弦” 高9米，与之间设置7根“琴弦”，各琴弦的水平距离相等，记为米． 解决问题 任务1：建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； 任务2：求琴弦与拱端的水平距离及的值． 任务3：若需要在琴弦与之间垂直安装一个如图所示高为的高音谱号艺术品，艺术品底部在桥面上，顶部恰好扣在拱桥上边缘，问该艺术品顶部应该安装在哪两根琴弦之间？ 4．（2025·河北·一模）如图，在射门训练中，一球员第一次接球后，在A处踢球，踢球点A距离地面的高度米．在足球运行时，球的运动路线可以看成是抛物线的一部分，设足球运行的水平距离为x（米），足球与地面的竖直高度为y（米），建立如图所示的平面直角坐标系，得到如下数据： x/米 0 1 2 3 4 5 6 y/米 (1)根据数据，球射出后__________米时，离地面的距离最大，并求出该抛物线对应的函数解析式； (2)如图，当球员第二次踢球时，后退1米到点，踢球点为，，且踢球后球的运动路线所在抛物线形状与第一次相同，若守门员距离第一次击球点A的水平距离为6米，他跳起后手距离地面的最大距离为米，则守门员是否可以阻挡住球？请说明理由． 5．（2025·江西景德镇·模拟预测）【发现问题】 在2024年巴黎奥运会跳水女子双人10米跳台决赛中，中国选手陈芋汐和全红婵夺得金牌，跳水梦之队实现该项目七连冠．两位选手如同复制粘贴般上演“水花消失术”，令人叹为观止．我们把运动员从跳台上起跳、腾空到入水，近似看成是一条漂亮的抛物线． 【提出问题】 在如图所示的平面直角坐标系中，如果将运动员从点处起跳后的运动路线看作是抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，运动的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）之间有怎样的函数关系． 【分析问题】 在某次训练完成一次动作后，记录了全红婵运动时的竖直高度与水平距离的几组数据如下： 水平距离 3 4 竖直高度 10 10 （1）根据表中数据，_____，关于的函数解析式为_____． 【解决问题】 （2）全红婵和陈芊汐完成了一次双人10米跳台训练，全红婵的数据如上表中所示，陈芋汐的竖直高度与水平距离近似满足函数关系． ①用，分别表示全红婵，陈芋汐入水时入水点距跳台的水平距离，则_____；（填“”“”或“”） ②在距水面高5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则容易失误．全红婵在空中调整好入水姿势时，水平距离恰好是米，她本次训练是否会失误，请通过计算说明理由． 6．（24-25九年级上·广西钦州·期中）如图①，一小球从静止沿斜坡下滑，小球离开桌面时做平抛运动（不考虑空气阻力），用频闪照相机观测到小球运动过程中的几个位置，并用平滑曲线连接得到小球平抛运动的轨迹．如图②，以小球滚出桌面的水平方向为轴正方向，竖直向上方向为轴正方向，小球离开桌面的位置为原点建立平面直角坐标系（小球的体积忽略不计），得到小球的位置坐标，根据平抛运动可知，与时间的关系如下：．已知桌面的高度为厘米，观测到三个时刻小球的位置坐标如下表： （秒） （厘米） （厘米） (1)求和的值； (2)求小球做平抛运动时，运动轨迹所形成的抛物线的解析式； (3)小球水平抛出的正前方有一高为厘米的正方体纸箱（纸箱厚度忽略不计），若要使小球落入纸箱中，求纸箱左侧到桌子的水平距离的取值范围． 7．（2024·福建泉州·模拟预测）【项目化学习】 项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”． 项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用． 实验过程：如图（a）所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从黑球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据． 记录的数据如下： 运动时间 0 2 4 6 8 10 … 运动速度 10 9 8 7 6 5 … 滑行距离 0 19 36 51 64 75 … 根据表格中的数值分别在图（b）、图（c）中即可作出与的函数图象、与的函数图象； 任务一：描点画图 （1）请在图（b）中画出与的函数图象； 任务二：观察分析 （2）数学兴趣小组通过观察所作的函数图象，并结合已学习过的函数知识，发现图（b）中与的函数关系为一次函数关系，图（c）中与的函数关系为二次函数关系.请你结合表格数据，分别求出与的函数关系式和与的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） 任务三：问题解决 （3）若黑球到达木板点处的同时，在点的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若黑球不能撞上小车，求的取值范围． （建议用时：40分钟） 一、单选题 1．（2025·山西朔州·一模）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则得到的新抛物线的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西西安·二模）已知抛物线，当时，，且当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西咸阳·一模）已知二次函数的图象经过第一、二、四象限，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·广东潮州·模拟预测）关于二次函数，下列说法错误的是（         ） A．y的最大值为1 B．图象与y轴的交点坐标为 C．当时，y的值随x值的增大而减小 D．图象的对称轴是y轴 5．（2025·河南濮阳·一模）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表，则下列结论正确的是（） 0 2 4 6 9 21 25 21 9 A．当时，随的减小而减小 B．图象的开口向上 C．图象只经过第一，二，三象限 D．图象的对称轴为 7．（2025·广东潮州·模拟预测）将二次函数的图象向左平移8个单位长度，得到的抛物线的解析式是（　　） A． B． C． D． 8．（2025·河北·一模）在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度与离发射点O的水平距离的几组关系数据如下： 水平距离 0 3 4 10 15 20 22 27 竖直高度 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24 你能计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为时，水火箭距离地面的竖直高度吗？（    ） A．5米 B．9米 C．4米 D．8米 9．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）对称轴为直线的抛物线（，，为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤当时，随的增大而减小．其中结论正确为（    ） A．①②④ B．②④⑤ C．①④⑤ D．②③⑤ 10．（2024九年级·河北·学业考试）如图，正方形的顶点坐标分别为，，．抛物线经过点D，顶点坐标为，将此抛物线在正方形内(含边界)的部分记为图象G．若直线与图象G有唯一交点，则k的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 11.（2025·上海黄浦·一模）体育课上投掷实心球活动，如图，小明某次投掷实心球，实心球出手后的运动过程中距离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，当实心球运动到点时达到最高点，那么实心球的落地点与出手点的水平距离为 米． 12．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知点，为二次函数图象上两点，当时，二次函数随增大而减小，若，时，恒成立，则的取值范围是 ． 13．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底为原点建立平面直角坐标系，已知碗口宽，碗深，则当满碗汤面的竖直高度下降时，碗中汤面的水平宽度为 14．（2024·安徽合肥·三模）已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围为 ． 15．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图是二次函数和一次函数的图象，当时，x的取值范围是 ． 16．（2024·贵州·模拟预测）如图①，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口离地面竖直高度为．如图②，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边缘抛物线的最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口． (1)求外边缘抛物线的函数表达式； (2)求内边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标； (3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围． 17．（2023·四川绵阳·中考真题）随着国家乡村振兴政策的推进，凤凰村农副产品越来越丰富．为增加该村村民收入，计划定价销售某土特产，他们把该土特产（每袋成本10元）进行4天试销售，日销量y（袋）和每袋售价x（元）记录如下： 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 x/元 15 20 25 30 y/袋 25 20 15 10 若试销售和正常销售期间，日销量y与每袋售价x的一次函数关系相同，解决下列问题： (1)求日销量y关于每袋售价x的函数关系式； (2)请你帮村民设计，每袋售价定为多少元，才能使这种土特产每日销售的利润最大？并求出最大利润.（利润销售额成本） 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$