热点09 尺规作图（7大题型+高分技法+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）

热点09 尺规作图 中考数学中《尺规作图》部分主要考向分为三类： 一、尺规作图的痕迹（每年1道，3~8分） 二、尺规作图画图（每年1道，3~12分） 三、网格问题中的作图设计（每年1题，6~8分） 尺规作图指的是只用无刻度的直尺和圆规，作已知线段的中垂线、已知角的角平分线；部分题型则考察由作图痕迹逆向推导是什么线，然后利用中垂线或者角平分线的性质继续解题。最近几年又出现一类不用“尺规”，只用无刻度的直尺在网格图中按要求画图或找点。当考察作图痕迹时，基本以选择题为主，实际画图题或者网格类问题则是简单题，虽然难度中等，但是对应考点的综合性已经越来越强，需要在做题时更加全面的分析。 考向一：尺规作图的痕迹 【题型1线段中垂线的尺规作图痕迹】 1、线段垂直平分线的画图痕迹： 2、线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 1．（2025·山东济南·一模）如图，在中，，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线交于点D，连接，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交射线于点E，连接．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明出，求出，再由三线合一求出，即可求解． 【详解】解：由题意得，直线垂直平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：（舍负）， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，尺规作图，等腰三角形的性质，三角形的内角和、外角定理等知识点，运用相似三角形的判定与性质是解题的关键． 2．（2025·贵州遵义·一模）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E．若D为的中点，，则的面积为（   ） A．40 B．36 C．24 D．20 【答案】C 【分析】本题主要考查了作图﹣基本作图、线段的垂直平分线的定义、勾股定理、三角形中位线等知识点，熟练掌握三角形中位线的定义是解题的关键． 如图：连接，由题意可得垂直平分线段可得，，即；再运用勾股定理可得；然后说明是的中位线可得、，即；最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意可得垂直平分线段， ∴，，即 ∵， ∴， ∵D为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴的面积为． 故选C． 3．（2025·江苏镇江·一模）如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点D，连接．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、 内角和定理、角平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，然后计算即可解答． 【详解】解：，， ， 是的平分线，， ， 点D在的垂直平分线上， ， ， 。 故选：B. 4．（2025·河南周口·一模）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，过点D，E作直线，交于点O，交于点P．，，则 【答案】20 【分析】本题考查尺规作图-作线段垂直平分线、勾股定理，得到是垂直平分线是解答的关键．先由作图得，，由勾股定理求得即可求解． 【详解】解：由题意，得是垂直平分线， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：20． 5．（2024·四川成都·二模）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交边于点E．若，，，则的长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，中垂线的性质，勾股定理，连接，根据作图得到垂直平分，进而得到，等边对等角结合三角形的内角和定理求出，进而得到，勾股定理求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：连接，由作图可知：垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 故答案为：7． 6．（2025·湖南长沙·一模）如图，在中，，分别以点为圆心，大于长为半径画弧，交于点，作直线分别交于点，若，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查垂直平分线的定义，三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的定义是解题的关键．由题意得到是的垂直平分线，根据求出，即可得到，求出，即可得到，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：是的垂直平分线， ， 是等腰三角形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 7．（2025·河南郑州·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点为的中点，连接．点为上一点，连接，先以点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】证明得，结合点为的中点，得，由勾股定理得，所以，连接，由于，所以，即，解出的值即可解答． 【详解】解：由作图可知，， ， 又，， ， ， 点为的中点，， ， 四边形是正方形， ， ， ， 如图，连接， 设，则，， ， ， 即， 解得：， 点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，垂直平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 8．（2025·广东揭阳·一模）如图所示为一直角三角形，，，，用圆规以A点为圆心画圆弧s，分别交于点D，E，然后再分别以D，E为圆心，以大于长度的一半画圆弧，两圆弧交于点F，连接交于点G，最后以点G为圆心，以的长度为半径画圆交圆弧s于点M，N，连接分别交于点P，Q，连接，则四边形的周长为 ． 【答案】16 【分析】通过题干的尺规作图得出是的角平分线，直线是的垂直平分线，再通过证明，则，所以四边形是菱形，结合三角形外角性质，则，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴， 如图： ∵用圆规以A点为圆心画圆弧s，分别交于点D，E，然后再分别以D，E为圆心，以大于长度的一半画圆弧，两圆弧交于点F，连接交于点G， ∴是的角平分线， ∴， ∵以点G为圆心，以的长度为半径画圆交圆弧s于点M，N，连接分别交于点P，Q，连接， ∴直线是的垂直平分线， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即 ∴四边形是菱形， 则中，， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 即菱形的周长是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了尺规作图，角平分线的性质以及垂直平分线的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 9．（2025·贵州·模拟预测）如图，的周长为20，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M和N，作直线，交边于点D，连接，则的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作图，线段垂直平分线的性质，正确理解线段垂直平分线的作图及线段垂直平分线的性质是解题的关键．根据的周长为20，可得，根据作图可知垂直平分，再由线段垂直平分线的性质得到，即可求得答案． 【详解】的周长为20， ， ， 由已知作图可知垂直平分， ， 的周长． 故答案为：12． 【题型2角平分线的尺规作图痕迹】 1、角平分线的画法： 2、角平分线的性质： 角平分线上的点到角两边的距离相等 1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在中，．按以下步骤作图：①以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点N，M；②分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点G；③作射线．若，D为边的中点，E为射线上一动点，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D．5 【答案】B 【分析】由题意得，为的角平分线，在上截取，可得是等腰直角三角形，继而得到垂直平分，则为点A关于的对称点，连接，交于点E，此时最小，即的值，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，为的角平分线， 在上截取， ， 是等腰直角三角形， ，，即垂直平分， 为点A关于的对称点， 连接，交于点E， ， 此时最小，即的值， ，为边的中点， ，， ， 即． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、等腰直角三角形的判定和性质，垂直平分线的性质及勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键． 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，是的高，以点为圆心，适当长为半径画弧交于点，交于点；分别以为圆心，以大于的长为半径画弧交于点；作射线交于点．若，，，则的长为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，角平分线的作法及性质，证明是解题的关键． 先证是等腰直角三角形，推出，，作于点F，由角平分线的性质定理得，推出，进而得出，依次求出，即可． 【详解】解： ，， 是等腰直角三角形， 是的高， ，， 如图，作于点F， 由作图知，平分， ，， ， ， 又 ， ， ， ， ， 故选C． 3.（2025·辽宁沈阳·模拟预测）在中，，以为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，若，则点到的距离为（　　） A．3 B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查尺规作角平分线，角平分线的性质定理，掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 根据题意可得，由作图可得平分，由此可得，由此即可求解． 【详解】解：在中，，过点作于点，如图， ∵， ∴， 由作图可知：平分， ∴， ∴点到的距离为4， 故选：B． 4．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；以O为端点作射线，在射线上截取线段，则M点到的距离为（  ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了基本作图-作角平分线，含角的直角三角形，直接利用角平分线的作法得出是的角平分线，再利用直角三角形的性质得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意可得：是的角平分线， ∴， ， 故选：B． 5．（2024·贵州铜仁·一模）如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点．已知，，的面积为（    ） A．4 B．8 C．10 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了作图—基本作图、角平分线的性质．根据角平分线的尺规作图可得平分．作，再根据角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：过点作于T，如图所示： 由题意可知：平分， ，， ， ， 故选：D． 6．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点；④过点作于点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线）．也考查了角平分线的性质． 过D点作于H，首先根据，可得，在中，求出，然后根据角平分线的性质可得． 【详解】解：如图所示，过D点作于H， ∵， ∴， ∴， 由作图可得，平分 ∵，， ∴． 故答案为：． 7．（2024·内蒙古通辽·模拟预测）如图，在中，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M，N； ②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P； ③作射线交于点D． 若，的面积为3，则的面积为 ． 【答案】 【分析】根据基本作图，得平分，过点D作于点E，于点F，则，利用三角形面积公式计算即可． 本题考查了角的平分线的基本作图，角的平分线的性质，熟练掌握作图和性质是解题的关键． 【详解】解：根据基本作图，得平分， 过点D作于点E，于点F， 则， ∵ ∴， ∵，的面积为3， ∴， 解得， 故答案为：． 考向二：尺规作图画图 【题型3 作一条线段的垂直平分线】 线段垂直平分线的画图步骤： 1、 分别以线段两端点为圆心，相同适当长（大于线段的一半）为半径画圆弧，上下各得两个弧的一个交点； 过两个弧的交点作一条直线，则该直线即为所求作的线段中垂线。 1．（2024·甘肃嘉峪关·二模）如图，已知． (1)尺规作图：作的边的垂直平分线，交于点D，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了作图-基本作图，熟练掌握基本作图（作已知线段的垂直平分线）是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和解直角三角形、角平分线的性质． （1）利用基本作图作的垂直平分线即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，根据角平分线的性质和正切定义即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：连接， ∵是的垂直平分线， ， ， ， ， ， 又， ， 故的长为． 2．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在中，，，． (1)在上求作一点P，使；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质，勾股定理的应用； （1）作的垂直平分线与相交于P即可； （2）设，则，可得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图所示， ∴， ∴, ∴点P即为所求． （2）解：设，则， 由（1）中作图知， 在中， ∴， 解得：， ∴． 3．（2025·广东清远·一模）如图，在中，是对角线． (1)作线段的垂直平分线，垂足为点，与边、分别交于点、（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用尺规作出线段的垂直平分线即可； （2）根据垂直平分线的性质得到，，由平行四边形的性质得到，然后证明出，进而得到． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵垂直平分 ∴， ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质和判定，垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，尺规作线段的垂直平分线，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质． 4．（2025·广东茂名·模拟预测）如图，已知，． (1)作的垂直平分线，分别交于点D、E；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加墨） (2)在（1）的前提下，求的大小． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了尺规作图及等腰三角形的性质，垂直平分线的性质；解决此类题目的关键是熟悉基本尺规作图和等腰三角形的性质． （1）根据垂直平分线的作法画图即可； （2）根据垂直平分线的性质得到，从而，根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，直线为所求； （2）证明：是的垂直平分线， ， ， ． 5．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，且． (1)作的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接，延长，交直线于点F；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图中，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的作图，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，证明是等腰三角形是解题的关键． （1）作图：分别以为圆心，大于为半径作圆弧相交于两点，过两点作直线，交于点D，交于点，即可求解； （2）根据和（1）的结论，证明是等腰三角形，且，即可证明． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）如（1）中所作的图 ，且 是的垂直平分线 ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， 又 ， ． 6．（22-23九年级上·重庆江北·期末）如图，在矩形中，为对角线． (1)用尺规完成以下作图：作的垂直平分线分别交于点E，F．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质、矩形的性质、勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的作图步骤以及性质是解答本题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作图步骤作图即可． （2）由线段垂直平分线的性质可得，设，则，在中，利用勾股定理可求得x的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：连接， ∵为线段的垂直平分线， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， 设， 则， 由勾股定理得，， 解得， ∴的长为． 7．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知矩形． (1)尺规作图：作对角线的垂直平分线，交于点E，交于点F；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接．求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题主要考查矩形的性质，垂直平分线的画法及性质，三角形全等的判定与性质，菱形的判定． （1）根据垂直平分线的画法即可求解； （2）由直线是线段的垂直平分线．得到，，，，根据矩形的性质可证，可得，即可得到，即可求证． 【详解】（1）解：如图1所示，直线为所求； （2）证明：如图2，设与的交点为O， 由（1）可知，直线是线段的垂直平分线． ∴，，，， 又∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【题型4 作一个角的角平分线】 一个角的角平分线的画图步骤： 1、以角的顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交角的两边于一点； 2、分别以两个交点为圆心，相同适当长（大于两交点长的一半）为半径画圆弧，相交于一点； 3、连结角的顶点与两弧交点并延长，则该射线即为所求作的角平分线。 1．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，，、． (1)在边上找一点P使得P到的距离等于到的距离，（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查基本作图、线段的垂直平分线、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会构建方程解决问题． （1）作的平分线交于，即为所求； （2）设，在中，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）解：如图点即为所求； ； （2）解：作，垂足为， 在中，， ，， ， 在与中， ， ， ，． 设，则； 在中，， ， 解得，， ． 2．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在中，． (1)尺规作图：作的角平分线，在角平分线上确定点，使得；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，，则的长是多少？（请直接写出的值） 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）作的角平分线和线段的垂直平分线相交于点D，即为所求． （2）过点D作交与点E，过点D作交与点F，先利用角平分线的性质定理证明四边形为正方形，设，则，，以为等量关系利用勾股定理解出x，在利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）解：如下图：即为所求． （2）过点D作交与点E，过点D作交与点F， 则， 又∵ ∴四边形为矩形， ∵是的平分线， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， 设， ∴，， 在中，， 在中，， ∵ ∴ ∴ 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了作角平分线以及垂直平分线，角平分线的性质定理，正方形的判定以及勾股定理的应用，作出图形以及辅助线是解题的关键． 3．（2024·广西·模拟预测）如图：在中，． (1)在边上找一个D点，使得D点到边的距离等于（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了作图-角平分线，角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． （1）作的角平分线即可； （2）由勾股定理求得，根据角平分线的性质得，即可求得，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程即可． 【详解】（1）解：如图，点D即为所求． （2）解：在中，， 如图，过点D作，垂足为E， 由（1）可得：， ， ， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 解得：， ∴． 4．（2024·广东·中考真题）如图，在中，．    (1)实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，长为半径作．求证：与相切． 【答案】(1)见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了尺规作角平分线，角平分线的性质定理，切线的判定等知识．熟练上述知识是解题的关键． （1）利用尺规作角平分线的方法解答即可； （2）如图2，作于，由角平分线的性质定理可得，由是半径，，可证与相切． 【详解】（1）解：如图1，即为所作；    （2）证明：如图2，作于，    ∵是的平分线，，， ∴， ∵是半径，， ∴与相切． 5．（2024·河南周口·三模）如图，在中，，．    (1)尺规作图：作的角平分线交于点；（不写作图过程，需保留作图痕迹） (2)若点到的距离为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质，30度角所对的直角边等于斜边的一半，直角三角形两个锐角互余，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的作图方法作图即可． （2）过点作于点，则，由角平分线的性质可得，在中，，可得，最后根据即可得答案． 【详解】（1）如图，即为所求    （2）过点 作于点    是的平分线， ， 在中， 【题型5作一个三角形一边上的高线】 作一个三角形一边上的高线的画图步骤： 1、以边所对的顶点为圆心，顶点挨着的较短边为半径画弧，交边与两点（其中一点为边的端点）； 2、作两交点间线段的垂直平分线，以虚线形式画，必过边所对的顶点； 3、将垂直平分线中顶点到边的部分画成实线，表上字母，则该线段即为所求作的三角形的高线。 1．（2025·河南开封·一模）如图，是中边上的高． (1)利用尺规作中边上的高，交于点；（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作三角形的高，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）以为圆心，适当长度为半径画弧，交于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，最后连接，交于点，即为所求； （2）根据三角形高的定义可得：，由可得，证明得到，，推出，即可得证． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明： 是中边上的高，是中边上的高， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，即． 2．（2023·广东江门·一模）如图，在中，，，． (1)根据要求用尺规作图：作边上的高交于点；（不写作法，只保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的步骤画图； （2）利用面积相等求解． 【详解】（1）解：如图： 即为所求； （2）在中，，，， ， ， ． 【点睛】本题考查了基本作图，利用面积法计算是解题的关键． 3．（2022·陕西西安·三模）已知，如图所示，，求作边上的高．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】延长，过点以大于到的距离，作弧交的延长线于点两点，分别以为圆心，为半径在下方作弧，两弧交于点，连接，交的延长线于点，则即为所求． 【详解】如图，延长，过点以大于到的距离，作弧交的延长线于点两点，分别以为圆心，为半径在下方作弧，两弧交于点，连接，交的延长线于点，则即为所求 【点睛】本题考查了作三角形的高线，掌握基本作图，三角形的高的定义是解题的关键． 考向三：网格问题中的作图设计 【题型6 利用网格找符合题意的点】 1、找中点：则找矩形对角线交点； 2、找三等分点：则转化为水平或竖直边的平行相似的相似比； 1．（2024·浙江杭州·二模）如图，在由边长为1的小正方形构成的5×6的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母． (1)如图1，在内寻找格点，使得． (2)如图2，在线段上找一点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图——应用与设计作图，相似三角形的判断与性质，圆周角定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识． （1）分别作线段、的垂直平分线，相交于点，连接、，则点、、在以点为圆心，的长为半径的圆上，根据圆周角定理即可求解． （2）分别取格点，，使，且，连接，交于点，结合相似三角形的判定与性质，即可求解； 【详解】（1）如图2，分别作线段、的垂直平分线，相交于点，连接、，则点、、在以点为圆心，的长为半径的圆上， ， 则点即为所求． （2）解：如图1，分别取格点，，使，且，连接，交于点， 则， ， 则点即为所求； 2．（2024·吉林长春·三模）图①、图②、图③均是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点均在格点上，点为线段的中点．仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图，保留作图痕迹．    (1)在图①中，在线段上作点，连结，使； (2)在图②中，在线段上作点，连结，使； (3)在图③中，在线段上作点，连结，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了三角形中位线和直角三角形斜边中线的性质，解题关键是利用格点作线段中点或垂直的线段． （1）取的中点，由三角形中位线性质可得， （2）过点作，垂足为，连接，则是直角三角形斜边中线，， （3）过点作，垂足为，连接，则是直角三角形斜边中线，， 【详解】（1）解：如图，为所求，    （2）解：如图，为所求，    （3）解：如图，为所求．    3．（2024·广东佛山·模拟预测）如图，点E是线段上一点．在射线上截取，在射线上截取． (1)用尺规作图法作出符合题意的图形（保留作图痕迹，不需要写作法）； (2)若． ①求的长； ②若，探究的长； (3)连接，在四边形内找一点O，使它到A、B、C、D四个顶点的距离之和最小，并说明理由． 【答案】(1)图形见解答 (2)①；② (3)图形见解答，理由：两点之间线段最短 【分析】本题是四边形综合题，考查了尺规作图，两点之间线段最短，解决本题的关键是掌握尺规作图方法． （1）根据题意利用尺规即可画出符合题意的图形； （2）①结合（1）根据线段的和差即可求出； ②分两种情况：点在点的上方或者下方，计算即可； （3）根据两点之间线段最短，即可在四边形内找一点，使它到、、、四个顶点的距离之和最小． 【详解】（1）解：（1）如图1，即为符合题意的图形； （2）①，． ， ， ； ②， 或； 所以； （3）如图2，连接，交于点， ，最短， 因为两点之间线段最短， 所以点到、、、四个顶点的距离之和最小． 【题型7 利用网格画符合题意的线】 1、画平行线：利用平行四边形的对边平行且相等画图； 2、画垂线：利用正方形的十字架模型画图； 1．（2025·浙江·一模）如图，在平行四边形中，平分交于点． (1)用直尺和圆规作的平分线交于点． (2)在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)作图见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查作角平分线和平行四边形的判定与性质，正确作图是解答本题的关键． （1）根据作角平分线作法画图即可； （2）由平行四边形性质可得，再证明即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：四边形是平行四边形， ， 平分平分， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中有格点，请仅用无刻度直尺，在给定的网格中依次完成下列画图，过程线用虚线，结果线用实线，并回答下列问题：    (1)在图1中线段上画点D，使，并画出点A关于的对称点M； (2)在图1中线段上画点E，使； (3)如图2，点F为线段上任意一点，在线段上画点G，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图一应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）构造等腰直角三角形，交于点D，点D即为所求，在点B的正下方取点M，使得，点M即为所 求； （2）如图1中，连接交一点J，连接，延长交于点E，连接即可； （3）利用网格的特点作的中线，连接交一点O，连接，延长交一点G，连接即可． 【详解】（1）解：如图1，点D，点M为所求； （2）解：如图1，为所求；    （3）解：如图2，点G，线段为所求． （建议用时：30分钟） 一、单选题 1．（2025·河南郑州·模拟预测）已知在正方形中，长为，分别以，为圆心，以大于长度的一半为半径作弧，两弧交于、两点，作直线，交于点，再分别以，为圆心，以大于长的一半为半径作弧，两弧交于、两点，作直线，分别与，交于点、，那么四边形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，易得四边形为平行四边形，根据作图可知垂直平分，垂直平分，证明，得到，根据，求出的长，进而求出的长，利用梯形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：如图，过点作， ∵正方形， ∴， 由作图可知：垂直平分，垂直平分，则：四边形为矩形，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为； 故选B． 【点睛】本题考查正方形的性质，尺规作图---作垂线，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，是解题的关键． 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，已知，直线l与直线分别交于点A，B．按如下步骤作图：（1）以点A为圆心，适当长为半径画弧，交直线于点；（2）分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交直线于点；（3）分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，先证明，则，结合等角对等边证明，则，即可求解． 【详解】解：连接， 由题意得平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了尺规作图角平分线，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 二、填空题 3．（2025·江苏连云港·模拟预测）小明借助尺规作图，在线段上作一点．若，则 ． 【答案】32 【分析】本题考查平行线分线段成比例，由作图痕迹可得，，，得出，即可得解． 【详解】解：由作图痕迹可得，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：32． 4．（2025·新疆和田·模拟预测）如图在矩形中，，以为圆心，适当长为半径画弧，交，边于点，，分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交边于点，再以为圆心，长为半径画弧，交边于点，将扇形剪下来做成圆锥，则该圆锥底面半径为 ． 【答案】 【分析】由作图可知，为的平分线，结合矩形的性质可得，则，再利用勾股定理求出的长，利用弧长公式求出的长，可知的长即为该圆锥底面的周长，根据圆的周长公式可得答案． 【详解】解：由作图可知，为的平分线， 四边形为矩形， ，， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 设该圆锥的底面半径为， 则， 解得：， 该圆锥底面半径为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图—基本作图，角平分线的定义，矩形的性质，勾股定理，圆锥的弧长公式等知识，解答本题的关键是熟练掌握以上知识点． 三、解答题 5．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在中，，．请用尺规作图法，在边上作出D，E两点，使得为等边三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了复杂作图，掌握线段的垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质是解题的关键．分别作，的垂直平分线，交于、，结合垂直平分线的性质根据“三个角相等的三角形是等边三角形”即可求解． 【详解】解：作，的垂直平分线，交于、， ∵，， ∴， ∵、分别在，的垂直平分线上， ∴，， ∴，， ∴，同理：， ∴为等边三角形，   如图所示，即为所求． 6．（2025·河南信阳·三模）如图，在中，，点D在边上，且．    (1)请用无刻度的直尺和圆规过点D作的平行线，交于点E(保留作图痕迹，不写作法)． (2)求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查尺规作图法作出和已知角相等的角，平行线的判定，相似三角形的判定与性质，掌握作图方法是关键． （1）利用同位角相等，两直线平行，在点D处作一个角等于即可； （2）由（1）知，证明，得到，根据，即可求解． 【详解】（1）解：作图如图所示．    （2）解：如图，∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 7．（2025·河南郑州·一模）如图，已知平行四边形． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)E为上一点，设（1）中的平分线交于点F，连接，若，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)菱形，理由见解析 【分析】（1）按照作角平分线的步骤即可作图； （2）先证明四边形是平行四边形，然后证明，即可证明为菱形． 【详解】（1）解：如图：即为所作： （2）解：四边形是菱形，理由如下， 证明：如图，∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，尺规作图，等腰三角形的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键． 8．（2025·河南周口·一模）如图，在等腰中，已知，是的中点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作腰上的高，交于点．（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）的条件下，连接交于点，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图，作垂线，等腰三角形三线合一性质和全等三角形的判定与性质等知识，判定是解题的关键． （1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可； （2）证明得出，从而的得解． 【详解】（1）如图所示，即为所求作上的高； （2）如图所示，连接交于点， 由（1）得， ∵，是的中点 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴． 9．（2025·广东深圳·一模）在矩形中，连接． (1)如图1，请用尺规在边上求作一点，连接，使；（不写作法，保留作图痕迹） (2)如图2，已知点在边上，且，连接，交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）作的垂直平分线交于，点即为所求； （2）设，则，由勾股定理可得，证明，再由相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】（1）解：如图，即为所作； ， 由作图可得：， ∴； （2）解：如图， ， ∵，又， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 设， ∴， ∴， 解得， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴． 10．（2025·广东·模拟预测）如图，是的一个外角，，． (1)尺规作图：作的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，求证：四边形是菱形 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作图—基本作图，角平分线的定义，平行线的判定，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和菱形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用基本作图作的平分线即可； （2）根据题意得到，进而得到，，得证四边形是平行四边形，即可证明结论． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形． 11．（2024·广西贵港·模拟预测）如图，在中，平分，交于点． (1)实践与操作：过点A作的垂线，分别交，于点，；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)猜想与证明：试猜想线段与的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了基本作图，平行四边形的性质，等腰三角形的判定． （1）根据“过直线外一点作已知直线的垂线的基本作法”作图； （2）根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质证明． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：，证明如下： 平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ． 12．（2024·广东清远·模拟预测）如图，在中， (1)实践与操作：用尺规作图法作边的高（保留作图痕迹，不用写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，，求的长． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图—作垂线及解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义并熟记特殊角的三角函数值是解题关键． （1）过点作边的垂线，垂足为，即为所求； （2）利用、的正切值分别求出、的长即可得答案． 【详解】（1）解：如图所示：为所要求作的高． （2）∵为边上的高， ∴， ∴， 在中，，即， ∴， 在中，，即， ∴， ∴． 13．（2024·河南郑州·三模）如图，是一张锐角三角形纸片． (1)按下面的步骤完成尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） ①作的平分线，交于点D； ②作的垂直平分线，分别交、于点E和F． (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)①图见解析②图见解析 (2) 【分析】本题主要考查作图（角平分和垂直平分线）和菱形的判定和性质， （1）①根据作已知角的角平分线作图即可，②根据作垂直平分线的作图即可； （2）根据角平分线的性质和垂直平分线的性质证得四边形为平行四边形，进一步得到为菱形，则 ，即即可． 【详解】（1）解：如图， （2）解：连接和，如图， ∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， 则， ∴， 同理， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， 则，，即， ∵，， ∴，解得． 14．（2024·广东中山·模拟预测）如图所示，是等边三角形，点是的中点，延长到，使． (1)用尺规作图的方法，过点作，垂足是M（不写作法，保留作图痕迹）． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了过直线外一点作已知直线的垂线及考查了等边三角形和等腰三角形的性质；作图题要注意保留做题痕迹．证得是正确解答本题的关键． （1）按照过直线外一点作已知直线的垂线步骤来作图； （2）要证可证，根据三线合一得出． 【详解】（1）作图如下： （2）是等边三角形，是的中点 平分（三线合一） 又 又 又 ． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点09 尺规作图 中考数学中《尺规作图》部分主要考向分为三类： 一、尺规作图的痕迹（每年1道，3~8分） 二、尺规作图画图（每年1道，3~12分） 三、网格问题中的作图设计（每年1题，6~8分） 尺规作图指的是只用无刻度的直尺和圆规，作已知线段的中垂线、已知角的角平分线；部分题型则考察由作图痕迹逆向推导是什么线，然后利用中垂线或者角平分线的性质继续解题。最近几年又出现一类不用“尺规”，只用无刻度的直尺在网格图中按要求画图或找点。当考察作图痕迹时，基本以选择题为主，实际画图题或者网格类问题则是简单题，虽然难度中等，但是对应考点的综合性已经越来越强，需要在做题时更加全面的分析。 考向一：尺规作图的痕迹 【题型1线段中垂线的尺规作图痕迹】 1、线段垂直平分线的画图痕迹： 2、线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 1．（2025·山东济南·一模）如图，在中，，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线交于点D，连接，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交射线于点E，连接．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·贵州遵义·一模）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E．若D为的中点，，则的面积为（   ） A．40 B．36 C．24 D．20 3．（2025·江苏镇江·一模）如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点D，连接．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河南周口·一模）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，过点D，E作直线，交于点O，交于点P．，，则 5．（2024·四川成都·二模）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交边于点E．若，，，则的长为 ． 6．（2025·湖南长沙·一模）如图，在中，，分别以点为圆心，大于长为半径画弧，交于点，作直线分别交于点，若，则的度数是 ． 7．（2025·河南郑州·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点为的中点，连接．点为上一点，连接，先以点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，，则点的坐标为 ． 8．（2025·广东揭阳·一模）如图所示为一直角三角形，，，，用圆规以A点为圆心画圆弧s，分别交于点D，E，然后再分别以D，E为圆心，以大于长度的一半画圆弧，两圆弧交于点F，连接交于点G，最后以点G为圆心，以的长度为半径画圆交圆弧s于点M，N，连接分别交于点P，Q，连接，则四边形的周长为 ． 9．（2025·贵州·模拟预测）如图，的周长为20，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M和N，作直线，交边于点D，连接，则的周长为 ． 【题型2角平分线的尺规作图痕迹】 1、角平分线的画法： 2、角平分线的性质： 角平分线上的点到角两边的距离相等 1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在中，．按以下步骤作图：①以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点N，M；②分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点G；③作射线．若，D为边的中点，E为射线上一动点，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D．5 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，是的高，以点为圆心，适当长为半径画弧交于点，交于点；分别以为圆心，以大于的长为半径画弧交于点；作射线交于点．若，，，则的长为（   ） A．4 B． C． D． 3.（2025·辽宁沈阳·模拟预测）在中，，以为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，若，则点到的距离为（　　） A．3 B．4 C． D．5 4．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；以O为端点作射线，在射线上截取线段，则M点到的距离为（  ） A．4 B．3 C．2 D． 5．（2024·贵州铜仁·一模）如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点．已知，，的面积为（    ） A．4 B．8 C．10 D．6 6．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点；④过点作于点．若，则的长为 ． 7．（2024·内蒙古通辽·模拟预测）如图，在中，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M，N； ②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P； ③作射线交于点D． 若，的面积为3，则的面积为 ． 考向二：尺规作图画图 【题型3 作一条线段的垂直平分线】 线段垂直平分线的画图步骤： 1、 分别以线段两端点为圆心，相同适当长（大于线段的一半）为半径画圆弧，上下各得两个弧的一个交点； 过两个弧的交点作一条直线，则该直线即为所求作的线段中垂线。 1．（2024·甘肃嘉峪关·二模）如图，已知． (1)尺规作图：作的边的垂直平分线，交于点D，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，求的长． 2．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在中，，，． (1)在上求作一点P，使；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)求的长． 3．（2025·广东清远·一模）如图，在中，是对角线． (1)作线段的垂直平分线，垂足为点，与边、分别交于点、（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：． 4．（2025·广东茂名·模拟预测）如图，已知，． (1)作的垂直平分线，分别交于点D、E；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加墨） (2)在（1）的前提下，求的大小． 5．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，且． (1)作的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接，延长，交直线于点F；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图中，求证：． 6．（22-23九年级上·重庆江北·期末）如图，在矩形中，为对角线． (1)用尺规完成以下作图：作的垂直平分线分别交于点E，F．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，若，求的长． 7．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知矩形． (1)尺规作图：作对角线的垂直平分线，交于点E，交于点F；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接．求证：四边形是菱形． 【题型4 作一个角的角平分线】 一个角的角平分线的画图步骤： 1、以角的顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交角的两边于一点； 2、分别以两个交点为圆心，相同适当长（大于两交点长的一半）为半径画圆弧，相交于一点； 3、连结角的顶点与两弧交点并延长，则该射线即为所求作的角平分线。 1．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，，、． (1)在边上找一点P使得P到的距离等于到的距离，（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求的长． 2．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在中，． (1)尺规作图：作的角平分线，在角平分线上确定点，使得；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，，则的长是多少？（请直接写出的值） 3．（2024·广西·模拟预测）如图：在中，． (1)在边上找一个D点，使得D点到边的距离等于（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，求线段的长． 4．（2024·广东·中考真题）如图，在中，．    (1)实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，长为半径作．求证：与相切． 5．（2024·河南周口·三模）如图，在中，，．    (1)尺规作图：作的角平分线交于点；（不写作图过程，需保留作图痕迹） (2)若点到的距离为，求的长． 【题型5作一个三角形一边上的高线】 作一个三角形一边上的高线的画图步骤： 1、以边所对的顶点为圆心，顶点挨着的较短边为半径画弧，交边与两点（其中一点为边的端点）； 2、作两交点间线段的垂直平分线，以虚线形式画，必过边所对的顶点； 3、将垂直平分线中顶点到边的部分画成实线，表上字母，则该线段即为所求作的三角形的高线。 1．（2025·河南开封·一模）如图，是中边上的高． (1)利用尺规作中边上的高，交于点；（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)若，求证：． 2．（2023·广东江门·一模）如图，在中，，，． (1)根据要求用尺规作图：作边上的高交于点；（不写作法，只保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求的长． 3．（2022·陕西西安·三模）已知，如图所示，，求作边上的高．（保留作图痕迹，不写作法） 考向三：网格问题中的作图设计 【题型6 利用网格找符合题意的点】 1、找中点：则找矩形对角线交点； 2、找三等分点：则转化为水平或竖直边的平行相似的相似比； 1．（2024·浙江杭州·二模）如图，在由边长为1的小正方形构成的5×6的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母． (1)如图1，在内寻找格点，使得． (2)如图2，在线段上找一点，使得． 2．（2024·吉林长春·三模）图①、图②、图③均是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点均在格点上，点为线段的中点．仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图，保留作图痕迹．    (1)在图①中，在线段上作点，连结，使； (2)在图②中，在线段上作点，连结，使； (3)在图③中，在线段上作点，连结，使． 3．（2024·广东佛山·模拟预测）如图，点E是线段上一点．在射线上截取，在射线上截取． (1)用尺规作图法作出符合题意的图形（保留作图痕迹，不需要写作法）； (2)若． ①求的长； ②若，探究的长； (3)连接，在四边形内找一点O，使它到A、B、C、D四个顶点的距离之和最小，并说明理由． 【题型7 利用网格画符合题意的线】 1、画平行线：利用平行四边形的对边平行且相等画图； 2、画垂线：利用正方形的十字架模型画图； 1．（2025·浙江·一模）如图，在平行四边形中，平分交于点． (1)用直尺和圆规作的平分线交于点． (2)在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中有格点，请仅用无刻度直尺，在给定的网格中依次完成下列画图，过程线用虚线，结果线用实线，并回答下列问题：    (1)在图1中线段上画点D，使，并画出点A关于的对称点M； (2)在图1中线段上画点E，使； (3)如图2，点F为线段上任意一点，在线段上画点G，使． （建议用时：30分钟） 一、单选题 1．（2025·河南郑州·模拟预测）已知在正方形中，长为，分别以，为圆心，以大于长度的一半为半径作弧，两弧交于、两点，作直线，交于点，再分别以，为圆心，以大于长的一半为半径作弧，两弧交于、两点，作直线，分别与，交于点、，那么四边形的面积为（ ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，已知，直线l与直线分别交于点A，B．按如下步骤作图：（1）以点A为圆心，适当长为半径画弧，交直线于点；（2）分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交直线于点；（3）分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（2025·江苏连云港·模拟预测）小明借助尺规作图，在线段上作一点．若，则 ． 4．（2025·新疆和田·模拟预测）如图在矩形中，，以为圆心，适当长为半径画弧，交，边于点，，分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交边于点，再以为圆心，长为半径画弧，交边于点，将扇形剪下来做成圆锥，则该圆锥底面半径为 ． 三、解答题 5．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在中，，．请用尺规作图法，在边上作出D，E两点，使得为等边三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 6．（2025·河南信阳·三模）如图，在中，，点D在边上，且．    (1)请用无刻度的直尺和圆规过点D作的平行线，交于点E(保留作图痕迹，不写作法)． (2)求线段的长． 7．（2025·河南郑州·一模）如图，已知平行四边形． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)E为上一点，设（1）中的平分线交于点F，连接，若，判断四边形的形状，并说明理由． 8．（2025·河南周口·一模）如图，在等腰中，已知，是的中点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作腰上的高，交于点．（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）的条件下，连接交于点，若，求证：． 9．（2025·广东深圳·一模）在矩形中，连接． (1)如图1，请用尺规在边上求作一点，连接，使；（不写作法，保留作图痕迹） (2)如图2，已知点在边上，且，连接，交于点，若，，求的长． 10．（2025·广东·模拟预测）如图，是的一个外角，，． (1)尺规作图：作的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，求证：四边形是菱形 11．（2024·广西贵港·模拟预测）如图，在中，平分，交于点． (1)实践与操作：过点A作的垂线，分别交，于点，；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)猜想与证明：试猜想线段与的数量关系，并加以证明． 12．（2024·广东清远·模拟预测）如图，在中， (1)实践与操作：用尺规作图法作边的高（保留作图痕迹，不用写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，，求的长． 13．（2024·河南郑州·三模）如图，是一张锐角三角形纸片． (1)按下面的步骤完成尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） ①作的平分线，交于点D； ②作的垂直平分线，分别交、于点E和F． (2)连接，若，，求的长． 14．（2024·广东中山·模拟预测）如图所示，是等边三角形，点是的中点，延长到，使． (1)用尺规作图的方法，过点作，垂足是M（不写作法，保留作图痕迹）． (2)求证：． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$