精品解析：湖南省衡阳县第四中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题

衡阳县四中2025届高三下学期3月月考卷 数 学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解对数型函数的定义域得集合，再利用交集定义求交集即可. 【详解】因为， 又，所以. 故选：B. 2. 已知是虚数单位，复数、在复平面内对应的点坐标分别为、，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的几何意义，除法运算和复数的模计算即可. 【详解】由题意，，， . 故选：D. 3. 若向量满足，若，间的夹角为，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据代入计算可得结果. 【详解】∵，且，间的夹角为， ∴. 故选：C. 4. 的展开式中，含的项的系数为（ ） A. 240 B. C. 560 D. 360 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项特征求解即可. 【详解】因为展开式的通项为， 当，即时，展开式中会出现，此时， 对于，通项为，要想得到，则需， 此时，即含的项的系数为， 故选：B. 5. 已知函数，曲线在点处的切线在x，y轴上的截距分别为a，b，则（   ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据曲线在某点上的切线方程的性质即可求解. 【详解】依题意，，则，而 因此曲线在点处的切线方程为， 令，解得，即；令，解得，即， 所以. 故选：A. 6. 已知函数，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解之积等于（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】画出的图象，令，根据函数图象可得有两个不等实根，且有两个整数根，有三个整数根，数形结合得到，此时两个整数根分别为2和-16，数形结合三个整数根中，必有一个小于2，只有满足要求，故，求出五个整数根分别为，得到答案. 【详解】画出的图象，如下： 令，则， 根据的图象可知，要满足题意必须有两个不等实根， 且有两个整数根，有三个整数根， 结合图象，当与相切时满足要求， 根据对勾函数性质得，在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取得最小值，最小值为，故， 又，其在定义域内单调递减， 令，解得， 故时，有两个整数根，分别为2和-16， 由图象可知，三个整数根中，必有一个小于2， 显然只有满足要求，此时，故， 令，解得另一个根为4， 又，解得， 故五个整数根分别为， 所以最大整数解和最小整数解之积为. 故选：B 【点睛】方法点睛：复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数. 7. 函数y=x2㏑x的单调递减区间为 A. （1,1] B. （0,1] C. [1，+∞） D. （0，+∞） 【答案】B 【解析】 【详解】对函数求导，得（x>0）,令解得，因此函数的单调减区间为，故选B 考点定位：本小题考查导数问题，意在考查考生利用导数求函数单调区间，注意函数本身隐含的定义域 8. 如图，已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与圆相切，与双曲线在第四象限交于一点，且有轴，则离心率为（ ） A. 3 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】求出的坐标，确定，由直线与圆相切于点，求出，再求出，，，再由得到，进而求出离心率. 【详解】圆的圆心，半径， 双曲线中，令，解得，则， 由直线与圆相切于点，得， 又， 则， 即，于是，即， 有，解得：或，而，所以. 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知函数则下列说法正确的是（ ） A. 的图象可由的图象向左平移个单位得到 B. 图象关于点对称 C. 在区间上单调递减 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据三角恒等变换，化简函数，根据图像平移判断A；利用整体代入法可判断B和C；利用同角三角函数关系与二倍角公式转化即可求的值，从而判断D选项. 【详解】， 对于A，将的图象向左平移个单位所得图象对应函数为，故A错误； 对于B，因为，所以图象关于点对称，故B正确； 对于C，令，可得，， 所以的单调递减区间是，， 令，所以是函数的一个单调递减区间， 又，所以在区间上单调递减，故C正确； 对于D，， ，，则， ，化简得， 所以， ， ，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知数列的前项和为，数列的前项和为，则下列选项正确的是（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列等比数列 C. 数列的通项公式为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】借助，结合等比数列定义可得A、B；由等比数列性质可得C；裂项求和后可得D. 【详解】对A、B：由，则， 故，又， 故数列是以为首项，为公比等比数列，故A错误、B正确； 对C：，则，故C正确； 对D：， 则，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（ ） A. 直线与直线所成的角为90° B. 直线与平面所成角的余弦值为 C. 平面 D. 点到平面的距离为 【答案】ABC 【解析】 【分析】以正方体的棱建立空间直角坐标系，然后得到点的坐标，由向量与向量数量积为0得到线线垂直；求出面的法向量，由求出线面角的正弦值，然后得到线面角的余弦值；由法向量与相等，证明平面；由向量的投影计算出点到面的距离. 【详解】在正方体，以为原点，分别为如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， ∴，， ∵，∴，∴A选项正确； ∵，，设平面的一个法向量为， 则，令，解得，即， 设直线与平面所成角为， 则， ∴，∴B选项正确； ∵，∴平面，∴C选项正确； 点到平面的距离，∴D选项错误. 故选：ABC. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若正实数x，y满足，设﹐则z的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据基本（均值）不等式求出的取值范围，再结合对变形成，设函数，则问题转化成函数在给定区间上的最小值问题.利用导数分析函数的单调性，可求函数的最小值. 【详解】因为x，y为正实数，且， 所以，且（当且仅当时取“”）. 又因为. 设函数（）.问题转化为求函数的最小值. 因为， 由，又，所以； 由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以的最小值为：. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是把问题转化成函数求最小值问题，还要结合基本不等式，确定所设函数的定义域. 13. 设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆定义得到，，由余弦定理和向量数量积公式得到方程，联立求出. 【详解】由，得， 所以，所以，， 由余弦定理得， 即， 整理得， 由，得， 所以. 故答案为： 14. 圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣．索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为36m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是45°和60°，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为15°，则可估算圣．索菲亚教堂的高度CD约为______． 【答案】54m 【解析】 【分析】根据题意求得，在中由正弦定理求出，即可在直角中求出. 【详解】由题可得在直角中，，，所以， 在中，，， 所以， 所以由正弦定理可得，所以， 则在直角中，， 即圣·索菲亚教堂的高度约为54m. 故答案为：54m. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 记的内角的对边分别为，已知 （1）求； （2）若，的面积为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化以及二倍角公式即可求解， （2）根据面积公式可得，结合余弦定理即可求解. 【小问1详解】 由已知及正弦定理可得. 因为， 所以， 即. 又，所以， 则. 因为，所以，则，所以. 【小问2详解】 由（1）知， 故. 因为，所以. 由余弦定理得， 故. 16. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，上的动点，且． （1）求证：； （2）当为的中点时，求与所成角的余弦值； （3）当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角正切值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）构建空间直角坐标系，应用向量法证明线线垂直； （2）应用向量法求线线角的余弦值； （3）根据三棱锥的体积公式求体积最大时对应的长度，再利用面面角的向量法求余弦值，从而求得正切值. 【小问1详解】 以为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，因为正方体的棱长为2，可得 ，，，，，， ，， ， ∴，故得证． 【小问2详解】 当为的中点时，，， ，， ， ， 设与所成角为，则． 【小问3详解】 ， 当三棱锥的体积取得最大值时，即取得最大值， ， 当时，取得最大值， 故，，，， 设平面的法向量为，则，即， 令得，故， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， ， 故，， 故平面与平面的夹角正切值为． 17. 食品安全负责部门为了对某大型超市经营的某品牌（由A，B两个不同的产地生产）的“预制食品”的某些指标进行检测，随机从A，B两个产地生产的产品中分别抽取了30个作为样本进行检测，依据检测相应指标的相关数据，将其划定为“优良”和“合格”两个级别，记录相关数据得到如下2×2列联表： 单位：个 级别 产地 合计 A B 优良 20 15 35 合格 10 15 25 合计 30 30 60 （1）依据小概率值的独立性检验，分析“该食品的指标等级与产地”是否有关? （2）该超市对该“预制食品”进行打包促销，对于同一产地生产的食品采用每5个装为一个“促销大礼包”的促销形式，若某顾客随机购买了一个“促销大礼包”，经检测显示恰有4个为优良级别，试通过概率知识确定该“促销大礼包”内装的是A产地生产的食品的概率（该超市A，B两个产地的售出量之比为3:2，以列联表中产品的优良的频率代替各自产品优良的概率）. 参考公式和数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）可以认为“该食品的指标等级与产地”无关. （2） 【解析】 【分析】（1）计算，与临界值比较即可得解； （2）利用全概率公式及条件概率公式求解即可. 【小问1详解】 零假设为：该食品的指标等级与产地无关， 根据表中数据计算得，， 依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为“该食品的指标等级与产地”无关. 【小问2详解】 记为“‘促销大礼包’中有4个为优良级别”；A为“‘促销大礼包’中的食品由A产地生产”；B为“‘促销大礼包’中的食品由B产地生产” 依题意，，， ， 则， 所以该“促销大礼包”内装的是产地生产的食品的概率为. 18. 已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上. （1）求双曲线的标准方程； （2）设双曲线的左焦点为，过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线实轴长得到，代入，求出，得到双曲线方程； （2）写出直线的方程，与双曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，由弦长公式得到，求出点到直线的距离，从而求出三角形面积. 【小问1详解】 由已知双曲线实轴长为，即得， 所以双曲线方程为， 又双曲线过点，则，解得， 则双曲线方程； 【小问2详解】 由已知直线，即， 联立直线与双曲线，即， 得，， 且，， 则弦长 又为双曲线的左焦点，， 所以点的坐标为， 点到直线的距离为， 所以的面积， 所以的面积为. 19. 若数列满足：，若存在，都有，则称这个数列为下界数列，并把其中最小值叫做临界值，记为. （1）记数列前项和为，证明：数列是下界数列； （2）记数列前项和为，判断数列是否为下界数列，并说明理由； （3）若数列是首项及公比均为2的等比数列，记，数列的临界值为，证明：． 【答案】（1）证明见解析 （2）数列不是下界数列，理由见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用等比数列前项和公式即可求出，根据下界数列的定义，即可证明； （2）由，可分别求出，根据下界数列的定义，即可判断数列不是下界数列； （3）根据等比数列通项公式可得，利用放缩法可得，有．从而可得. 【小问1详解】 由题意知，， 故数列是下界数列. 【小问2详解】 由，知， ． 因为， 所以， 故数列不是下界数列． 【小问3详解】 由题意知，， ， 因为， 所以，所以． ，当时，， 当时， ， 所以． 【点睛】关键点点睛：充分理解“下界数列”的定义是解题关键，本题考查数列的综合应用，不等式放缩法的运用，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 衡阳县四中2025届高三下学期3月月考卷 数 学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是虚数单位，复数、在复平面内对应的点坐标分别为、，则为（ ） A. B. C. D. 3. 若向量满足，若，间的夹角为，则为（ ） A. B. C. D. 4. 的展开式中，含的项的系数为（ ） A. 240 B. C. 560 D. 360 5. 已知函数，曲线在点处的切线在x，y轴上的截距分别为a，b，则（   ） A. 0 B. 1 C. D. 6. 已知函数，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解之积等于（ ） A. B. C. 4 D. 8 7. 函数y=x2㏑x的单调递减区间为 A. （1,1] B. （0,1] C. [1，+∞） D. （0，+∞） 8. 如图，已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与圆相切，与双曲线在第四象限交于一点，且有轴，则离心率为（ ） A. 3 B. C. D. 2 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知函数则下列说法正确的是（ ） A. 的图象可由的图象向左平移个单位得到 B. 图象关于点对称 C. 在区间上单调递减 D 若，则 10. 已知数列的前项和为，数列的前项和为，则下列选项正确的是（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列是等比数列 C. 数列的通项公式为 D 11. 已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（ ） A. 直线与直线所成角为90° B. 直线与平面所成角的余弦值为 C. 平面 D. 点到平面的距离为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若正实数x，y满足，设﹐则z的最小值为______． 13. 设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则______________． 14. 圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣．索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为36m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是45°和60°，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为15°，则可估算圣．索菲亚教堂的高度CD约为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 记的内角的对边分别为，已知 （1）求； （2）若，的面积为，求. 16. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，上的动点，且． （1）求证：； （2）当为的中点时，求与所成角的余弦值； （3）当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角正切值． 17. 食品安全负责部门为了对某大型超市经营的某品牌（由A，B两个不同的产地生产）的“预制食品”的某些指标进行检测，随机从A，B两个产地生产的产品中分别抽取了30个作为样本进行检测，依据检测相应指标的相关数据，将其划定为“优良”和“合格”两个级别，记录相关数据得到如下2×2列联表： 单位：个 级别 产地 合计 A B 优良 20 15 35 合格 10 15 25 合计 30 30 60 （1）依据小概率值的独立性检验，分析“该食品的指标等级与产地”是否有关? （2）该超市对该“预制食品”进行打包促销，对于同一产地生产的食品采用每5个装为一个“促销大礼包”的促销形式，若某顾客随机购买了一个“促销大礼包”，经检测显示恰有4个为优良级别，试通过概率知识确定该“促销大礼包”内装的是A产地生产的食品的概率（该超市A，B两个产地的售出量之比为3:2，以列联表中产品的优良的频率代替各自产品优良的概率）. 参考公式和数据：，其中. 010 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7879 10.828 18. 已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上. （1）求双曲线的标准方程； （2）设双曲线的左焦点为，过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求的面积. 19. 若数列满足：，若存在，都有，则称这个数列为下界数列，并把其中最小的值叫做临界值，记为. （1）记数列前项和为，证明：数列是下界数列； （2）记数列前项和为，判断数列是否为下界数列，并说明理由； （3）若数列是首项及公比均为2的等比数列，记，数列的临界值为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$