精品解析：山西省太原市晋源区三校联考2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

2024—2025学年第二学期第一次学业诊断 初二年级数学试题 说明：答题时间（80）分钟，分值（100）分 一、选择题（本大题共10个小题）在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求， 1. 交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥面时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车重的标志．则通过该桥面的车重的范围可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据标志牌的含义列不等式即可求解． 【详解】解：由题意得：0＜x≤10． 故选：D． 【点睛】本题考查不等式的定义，理解标志牌的意义是求解本题的关键． 2. 下列式子中错误的是（ ） A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质逐个判断即可，需要特别注意不等式两边同时乘除负数变号． 【详解】解：A、由，得，原结论正确，不合题意； B、由，得，即，原结论正确，不合题意； C、由，得，原结论错误，符合题意； D、由，得，原结论正确，不合题意； 故选：C． 3. 如图，在中，于点D，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据含的直角三角形性质得到，再根据等腰三角形三线合一的性质得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了等腰三角形的三线合一的性质，含的直角三角形性质，熟练掌握各性质是解题的关键． 4. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AB=8，则AD =（　　） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出∠A，求出∠ACD，根据含30度角的直角三角形性质求出AB=2AC，AC=2AD，求出AD即可． 【详解】∵CD⊥AB，∠ACB=90°， ∴∠ADC=90°=∠ACB， ∵∠B=30°， ∴∠A=90°-∠B=60°， ∴∠ACD=90°-∠A=30°， ∵AB=8， ∴AB=2AC=8， ∴AC=2AD=4， ∴AD=2. 故答案为A. 【点睛】本题主要考查的是含30度角的直角三角形性质和三角形内角和定理的应用，关键是求出AC=2AD，AB=2AC． 5. 如图，，若要用“”证明，则还需补充条件( ) A. B. 或 C. D. 以上都不正确 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定；根据题意，已知公共边为斜边，再添加一组直角边相等，即可求解． 【详解】解：在中， 再添加或， 即可利用“”证明， 故选：B． 6. 不等式的解集在数轴上表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，将不等式解集表示在数轴上，先求出不等式解集，再表示在数轴上即可． 【详解】解：解不等式得， 表示在数轴上如图所示： 故选：C． 7. 小聪用元钱去购买笔记本和钢笔共件，已知每本笔记本元，每支钢笔元，小聪最多能买（　　）支钢笔． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设小聪买了支钢笔，则买了本笔记本，根据总价=单价×数量结合总钱数不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取最大的正整数即可得出结论． 详解】解：设小聪买了支钢笔，则买了本笔记本， 根据题意得：， 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据总价=单价×数量结合总钱数不超过元，列出关于的一元一次不等式是解题的关键． 8. 如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，若BC=20cm，AB=12cm，则△ABD的周长为（ ） A. 20 cm B. 22 cm C. 26 cm D. 32cm 【答案】D 【解析】 【分析】运用垂直平分线的性质即可求解． 【详解】由垂直平分线的性质可知：， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，理解基本性质灵活对边长进行转化是解题关键． 9. 如图，于点于，且的延长线分别交，于点C，F．下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 平分 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，以及全等三角形对应边相等，对应角相等． 通过证明，得出，，即可解答． 【详解】解：在和中， ， ∴，故A正确，不符合题意； ∴，，故C正确，不符合题意； ∴平分，故D正确，不符合题意； ∵，， ∴，故B错误，符合题意； 故选：B． 10. 如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（ ） A. 12 B. 13 C. 10 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】连接，，推出周长的最小值为，证明，再利用三角形的面积公式列方程求出即可解决问题． 【详解】解：连接，， 直线垂直平分线段， ， 点为边的中点，， ， 周长， 周长的最小值为， ，点为边的中点， ， ，， ， 解得， 周长的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，三角形面积公式，能够推出周长的最小值为是解题的关键． 二、填空题（本大题共5个小题） 11. 用反证法证明：“若，则”，应先假设____________ 【答案】若，则 【解析】 【分析】本题主要考查了反证法，反证法的第一步应先假设命题的结论不成立，据此求解即可． 【详解】解：用反证法证明：“若，则”，应先假设若，则， 故答案为：若，则． 12. 不等式的最大整数解为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式、一元一次不等式的整数解，根据解一元一次不等式的方法，求出该不等式的解集，然后写出相应的最大整数解即可． 【详解】解：解不等式得， ∴不等式的最大整数解为， 故答案为：． 13. 如图，在中，是边上的高线，若，则的度数为______． 【答案】##18度 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理．根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理求得，推出，再利用余角的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 某种商品的进价为800元，出售标价为1 200元，后来由于商品积压，准备打折出售，但要保证利润不低于5%，则最多可以打几折？设可打x折，根据题意可列不等式为____. 【答案】1200×0.1x－800≥800×5% 【解析】 【详解】分析：根据题意可得不等关系：标价×打折-进价≥利润，根据不等关系列出不等式即可． 详解：设可打x折,由题意得：1200×-800⩾800×5%. 故答案为1200×−800⩾800×5%. 点睛：此题主要考查了由实际问题列一元一次不等式，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系. 15. 如图，等边△ABC的边长为12cm，点E，D分别是边AB，AC的中点．FB⊥BC交CE的延长线于点F，连接FD，则线段FD的长为_____cm． 【答案】2 【解析】 【分析】连接AF，根据等边三角形的性质可得，，然后两次利用勾股定理即可解答． 【详解】解：连接AF， ∵为等边三角形，点E，D分别是边AB，AC的中点， ∴CF、BD分别垂直AB、AC，，AF=BF， ∵， ∴， ∴， ，BF=2EF， 在RtBEF中， , ∴EF=， ∴AF=BF=4， 在RtAFD中， FD=， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和勾股定理的应用，正确的做出辅助线是解决本题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来： （1）； （2）． 【答案】（1），见解析 （2），见解析 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能根据不等式的性质求出不等式的解集是解此题的关键． （1）先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，系数化为1，最后在数轴上表示出来即可； （2）先去括号，然后移项、合并同类项，系数化为1，最后在数轴上表示出来即可． 【小问1详解】 解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 在数轴上表示其解集如下： 【小问2详解】 解：， 去括号，得： 移项、合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 在数轴上表示其解集如下： 17. 下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：.………………第一步 .……………………第二步 ，……………………第三步 .……………………第四步 ．……………………第五步 任务一：①以上解题过程中，第二步是依据________（运算律）进行变形的； ②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________． 任务二：请直接写出该不等式的正确解集． 【答案】任务一：①乘法分配律；②五，不等式两边同时除以，不等号的方向没有改变；任务二： 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式； 任务一：①第二步去括号，依据是乘法分配律（运算律）进行变形； ②根据题目中解答过程可知：第五步出现错误，这一步错误的原因是不等式两边同时除以，不等号的方向没有改变； 任务二：写出正确的解答过程，即可得到不等式的解集． 【详解】解：任务一：①以上解题过程中，第二步是去括号，依据是乘法分配律（运算律）进行变形的； 故答案：乘法分配律 ②由题目中的解答过程可知：第五步出现错误，这一步错误的原因是不等式两边同时除以，不等号的方向没有改变； 故答案为：五，不等式两边同时除以，不等号的方向没有改变； 任务二：解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 18. 如图，在中，，，垂直平分交于点，于点，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，垂直平分线的性质，由垂直平分线的性质得，，进而得，，通过证明即可． 【详解】证明：∵在中，，， ∴， ∵垂直平分交于点， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 19. 如图，在△ABC中，求作BC边上的高AD．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） 【答案】见解析 【解析】 【分析】过A点作BC的垂线段即可． 【详解】解：如图所示，AD即为所作． 【点睛】本题考查了作图——基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的定义． 20. 燃放某种烟花时，为了确保安全，燃放者在点燃引火线后，要在燃放前转移到不小于米的安全区域.已知引火线的燃烧速度为，燃放者离开的速度为，那么引火线至少需要的长度是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据题意找出不等关系，正确列出一元一次不等式是解答本题的关键． 设导火线的长度至少是时，才能保证人的安全，根据引火线燃烧完的时间要大于等于燃放者跑到安全区域的时间，列出一元一次不等式，解之即可求解． 【详解】解：设导火线的长度至少是时，才能保证人的安全， 根据题意得：， 解得：， 答：引火线至少需要的长度是． 21. 如图，D为的边的延长线上一点，过D作，垂足为F，交于E，且．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】首先依据等腰三角形的性质得到∠BDE=∠BED，然后结合对顶角的性质可得到∠BDE=∠CEF，接下来，依据直角三角形两锐角互余、等角的补角相等等知识可得到∠A=∠C，最后，再依据等边对等角的性质进行判断即可． 【详解】解：证明：∵BD=BE， ∴∠BDE=∠BED 又∵∠BED=∠CEF， ∴∠BDE=∠CEF 又∵DF⊥AC， ∴∠A+∠BDF=90°，∠C+∠CEF=90°， ∴∠A=∠C， ∴AB=BC（等角对等边）， ∴△ABC是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． 22. 如图，C为线段上一点，分别以为底边，在的同侧作等腰和等腰，且，在线段上取一点F，使，连接. （1）如图1，判断与的数量关系，并说明理由； （2）如图2，若，延长交于点G，探究与的关系，并说明理由. 【答案】（1），理由见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角和已知条件推出，则可证明，推出，利用证明即可得到结论； （2）由全等三角形的判定得到，由等边对等角得到，则，由三角形内角和定理得到，则，即可推出． 【小问1详解】 解：，理由如下： 等腰和等腰中，和是底边， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：，理由如下： ， ， ，， ， ， ，，， ， ， ， ， 即． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判断，等边对等角，三角形内角和定理，证明是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第二学期第一次学业诊断 初二年级数学试题 说明：答题时间（80）分钟，分值（100）分 一、选择题（本大题共10个小题）在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求， 1. 交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥面时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车重的标志．则通过该桥面的车重的范围可表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子中错误的是（ ） A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 3. 如图，在中，于点D，则长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上高，∠B=30°，AB=8，则AD =（　　） A. 2 B. C. 4 D. 5. 如图，，若要用“”证明，则还需补充条件( ) A. B. 或 C. D. 以上都不正确 6. 不等式的解集在数轴上表示为（　　） A. B. C. D. 7. 小聪用元钱去购买笔记本和钢笔共件，已知每本笔记本元，每支钢笔元，小聪最多能买（　　）支钢笔． A. B. C. D. 8. 如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，若BC=20cm，AB=12cm，则△ABD的周长为（ ） A. 20 cm B. 22 cm C. 26 cm D. 32cm 9. 如图，于点于，且延长线分别交，于点C，F．下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 平分 10. 如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（ ） A. 12 B. 13 C. 10 D. 14 二、填空题（本大题共5个小题） 11. 用反证法证明：“若，则”，应先假设____________ 12. 不等式的最大整数解为______________． 13. 如图，在中，是边上的高线，若，则的度数为______． 14. 某种商品的进价为800元，出售标价为1 200元，后来由于商品积压，准备打折出售，但要保证利润不低于5%，则最多可以打几折？设可打x折，根据题意可列不等式为____. 15. 如图，等边△ABC的边长为12cm，点E，D分别是边AB，AC的中点．FB⊥BC交CE的延长线于点F，连接FD，则线段FD的长为_____cm． 三、解答题（本大题共8个小题，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解下列不等式，并把解集数轴上表示出来： （1）； （2）． 17. 下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：.………………第一步 .……………………第二步 ，……………………第三步 .……………………第四步 ．……………………第五步 任务一：①以上解题过程中，第二步是依据________（运算律）进行变形的； ②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________． 任务二：请直接写出该不等式的正确解集． 18. 如图，在中，，，垂直平分交于点，于点，求证：． 19. 如图，在△ABC中，求作BC边上的高AD．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） 20. 燃放某种烟花时，为了确保安全，燃放者在点燃引火线后，要在燃放前转移到不小于米的安全区域.已知引火线的燃烧速度为，燃放者离开的速度为，那么引火线至少需要的长度是多少？ 21. 如图，D为的边的延长线上一点，过D作，垂足为F，交于E，且．求证：是等腰三角形． 22. 如图，C为线段上一点，分别以为底边，在的同侧作等腰和等腰，且，在线段上取一点F，使，连接. （1）如图1，判断与的数量关系，并说明理由； （2）如图2，若，延长交于点G，探究与关系，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$