第四讲 正比例和反比例（单元讲义）-2024-2025学年六年级下册数学举一反三变式拓展重点难点培优讲义（北师大版）学生版+教师版

2024-2025学年六年级下册数学举一反三变式拓展重点难点培优讲义（北师大版） 第四讲 正比例和反比例 （导图+知识精讲+易错点拨+6大考点讲练+易错压轴练+难度分层练 共64题） 目录 课前指导 讲义介绍 1 思维导图 一目了然 2 知识精讲 梳理脉络 2 知识点梳理01：正比例 2 知识点梳理02：反比例 3 知识点梳理03：正比例与反比例的区别 3 易错点拨 查漏补缺 3 易错知识点01：正比例的易错知识点 3 易错知识点02：反比例的易错知识点 4 考点讲练 明确目标 4 考点讲练01：变化的量 4 考点讲练02：正比例的意义及辨识 6 考点讲练03：正比例图形的认识 8 考点讲练04：正比例的应用 10 考点讲练05：反比例的意义及辨识 12 考点讲练06：反比例的应用 13 易错真题 培优必刷 14 压轴专练 冲刺拔尖 14 培优巩固 拔尖冲刺 17 基础夯实优选题专练 20 培优优选题专练 23 同学你好！恭喜你进入新的学期，开启新的章程！这套讲义资料由编者老师精心策划，编辑整理策划排版！非常适用于预习，复习，培优，拔尖使用。讲义包含：知识精讲，易错点拨，考点讲练，易错题专练，重点难点优选题，培优巩固和拔尖专练题。板块内容清晰，内容详尽。题目优选2023-2025年近两年名校真题。贴近考纲要求，非常有助于学生提升解题思维，强化做题技巧，解析版思路清晰。是学生自学，教师备课的优选资料！ 知识点梳理01：正比例 1. 概念：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商k）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 2. 关系式：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用式子表示为y/x=k（一定），或y=kx（k一定）。 3. 图像：正比例关系的图像是一条经过原点的直线。 4. 应用：正比例关系在生活中随处可见，例如： 速度和时间的关系：当速度一定时，路程和时间成正比例。 工作量和工资的关系：在计件工资制下，工作总量和工资成正比例。 正方形的边长与周长：正方形的周长是边长的4倍，边长是周长的1/4，均为定值，所以正方形的边长与周长成正比例。 圆的周长和直径：因为圆周率是定值，所以圆的周长和直径成正比例。 长方形的面积与长：当长方形的长一定时，面积与宽成正比例（注意，这里说的是长一定时面积与宽的关系，不是面积与长和宽的关系）。 知识点梳理02：反比例 1. 概念：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 2. 关系式：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积（k一定），反比例的关系式可以表示为xy=k（一定）。 3. 图像：反比例关系的图像是一条曲线（通常是双曲线）。 4. 应用：反比例关系也广泛存在于自然界及生活中，例如： 路程、速度和时间的关系：在路程一定的情况下，速度和时间成反比例。 面积、长和宽的关系：在面积一定的情况下，长方形的长和宽成反比例。 总价、单价和数量的关系：在总价一定的情况下，单价和数量成反比例。 铺地面积、每块砖的面积与砖的数量：在铺地面积一定的情况下，每块砖的面积与所需砖的数量成反比例。 知识点梳理03：正比例与反比例的区别 1. 定义：正比例是两个量成正比关系，即其中一个量的增加会导致另一个量的等比例增加；而反比例是两个量成反比关系，即其中一个量的增加会导致另一个量的等比例减少。 2. 图像：正比例的图像是一条穿过原点的直线，斜率为正；反比例的图像是一条双曲线，斜率始终为负（在其定义域内）。 3. 应用：正比例常见于物理量、经济量等领域；反比例则在物理、工程、经济等领域也有广泛应用，如电阻和电流的关系、机械效率等。 易错知识点01：正比例的易错知识点 1. 混淆正比例与正数关系： 易错点：学生可能误以为所有正数之间的关系都是正比例关系。 原因：对正比例关系的本质理解不够深入，只看到了数值的正负，而忽略了比值是否恒定。 解决方法：强调正比例关系的定义，即两个量的比值恒定不变，而不仅仅是两个量都是正数。 2. 忽视比例常数的存在： 易错点：在解决正比例问题时，学生可能忘记或忽视比例常数的存在。 原因：对正比例关系式的理解不够透彻，没有意识到比例常数k在关系式中的重要性。 解决方法：在解题过程中，明确写出比例关系式，并标注出比例常数k，以提醒学生注意。 3. 错误地应用正比例关系： 易错点：学生可能在不适合的情境下错误地应用正比例关系。 原因：对正比例关系的适用条件理解不够清晰，没有准确判断两个量之间是否存在正比例关系。 解决方法：通过实例和练习，加深学生对正比例关系适用条件的理解，学会准确判断两个量之间是否存在正比例关系。 易错知识点02：反比例的易错知识点 1. 混淆反比例与负数关系： 易错点：学生可能误以为所有负数之间的关系都是反比例关系。 原因：对反比例关系的本质理解不够深入，只看到了数值的负号，而忽略了乘积是否恒定。 解决方法：强调反比例关系的定义，即两个量的乘积恒定不变，而不仅仅是两个量都是负数。 2. 忽视反比例关系的图像特征： 易错点：在绘制反比例关系的图像时，学生可能无法准确描绘出双曲线的形状。 原因：对反比例关系图像的理解不够深入，缺乏绘制双曲线的经验。 解决方法：通过实例和练习，引导学生掌握绘制反比例关系图像的方法，并理解双曲线的特征。 3. 错误地判断反比例关系的存在： 易错点：学生可能在不适合的情境下错误地判断两个量之间存在反比例关系。 原因：对反比例关系的适用条件理解不够清晰，没有准确判断两个量之间是否存在反比例关系。 解决方法：通过实例和练习，加深学生对反比例关系适用条件的理解，学会准确判断两个量之间是否存在反比例关系。同时，强调反比例关系与正比例关系的区别，避免混淆。 考点讲练01：变化的量 【精讲题】（24-25六年级下·辽宁·随堂练习）当圆柱的底面积等于10时，圆柱的体积和高的变化情况如下表。 高/ 2 4 6 8 10 12 体积/ 20 40 60 80 100 120 结合上表的数据，说一说圆柱的体积与高之间的变化关系。 【精练题1】（24-25六年级下·辽宁·随堂练习）你见过摩天轮吗？人所在座舱的高度的变化情况可以用下图来表示。 （1）转动过程中，到达的最高点是多少米？最低点是多少米？ （2）转动第一圈的过程中，什么时间范围内高度在增加？什么时间范围内高度在降低？ （3）到达最高点后，下一次再到达最高点需要经过几分？ 【精练题2】（23-24六年级下·四川成都·期末）下图是一辆公共汽车从解放路站到商场站之间行驶速度的变化情况。 (1)公共汽车速度从0提高到400米/分，用了( )分。 (2)公共汽车从解放路站到商场站共行驶了( )分。 (3)公共汽车从1分到3分，行驶的速度( )，行驶的路程( )。（此小题填“没有变化”或“有变化”） 【精练题3】（23-24六年级下·山西吕梁·期末）太原地铁是山西的一张“名片”，山西省首条地铁线路——太原地铁2号线南起西桥站，北至尖草坪站，全长23.65千米，总投资20864000000元。 (1)23.65是由( )个一，( )个十分之一和5个( )组成。 (2)横线上的数读作( )，把它改写成用“万”作单位的数是( )，省略“亿”位后面的尾数约是( )。 (3)把它画在比例尺是1∶500000的图上，长( )cm。 (4)地铁运行中有两个相关联的量，它们的关系如下图。这两个量可能是（    ）。 A．地铁从起点到终点运行的平均速度与运行时间 B．笑笑一行四人从起点到终点，购票的总价和张数 C．地铁中每个人的身高和他的年龄 D．地铁运行中，已走的路程和剩下的路程 考点讲练02：正比例的意义及辨识 【精讲题】（23-24六年级下·甘肃白银·期中）下列说法正确的是（    ）。 A．一条射线长60米。 B．一年中有6个大月，6个小月。 C．∶和7∶5能组成比例。 D．一个人的身高和体重成正比例。 【精练题1】（24-25六年级下·辽宁·随堂练习）根据下表中底是6厘米的平行四边形的面积与高相对应的数据，判断它们是不是成正比例，并说明理由。 平行四边形的面积/平方厘米 6 12 18 24 30 平行四边形的高/厘米 1 2 3 4 5 【精练题2】（24-25六年级下·辽宁·课后作业）看图回答问题。 （1）从统计图中可以看出，随着年龄的增长，平均体重有什么变化？ （2）从统计图中可以看出，女生在哪个年龄段平均体重增加最快？ （3）平均体重的增加与年龄增长成正比例吗？试举例说明理由。 （4）从上图中，你还能得到哪些信息？ 【精练题3】（2024·四川成都·小升初真题）金字塔是埃及的著名建筑，其中以现高136.5米的胡夫金字塔最为著名，第一个精确测得其高度的人是数学家泰勒。原来他就是利用了我们这学期学习的比例知识（如图）。小芳和小丽也准备运用这种方法来测量学校旗杆的高度，小芳先测得小丽身高为1.6米，在阳光下影子长度为2.4米，她立刻去测量学校旗杆的影长，测得旗杆影长为12米，那么这根旗杆的实际高度是多少米？ 考点讲练03：正比例图形的认识 【精讲题】（24-25六年级下·辽宁·随堂练习）乘船的人数与所付船费如下表。 人数 0 1 2 3 4 5 6 7 … 船费/元 0 5 10 15 … （1）把上表填写完整。 （2）所付船费与乘船人数成正比例吗？ （3）先根据上表描点，再顺次连接各点，你发现了什么？ （4）点（8，40）在这条直线上吗？这一点表示什么含义？ 【精练题1】（2024·陕西西安·小升初真题）购买某种草莓熊玩偶的数量与总价如表。 数量/个 0 1 2 3 4 5 6 … 总价/元 0 80 160 240 320 400 480 … （1）购买这种草莓熊玩偶的总价与数量成正比例吗？为什么？ （2）先根据上表描点，再顺次连接各点。 （3）点（7，560）在这条直线上吗？这一点表示什么含义？ 【精练题2】（23-24六年级下·山西吕梁·期末）下面图象分别表示了香蕉、苹果的总价与购买的数量之间的关系，看图回答问题。 （1）香蕉的总价和购买的数量成（    ）比例。 （2）理由：_____________________。 （3）从图象上看，单价更贵一些的水果是（    ）。（填“香蕉”或“苹果”） （4）买6.5千克香蕉需要多少元？（用比例解答） 【精练题3】（23-24六年级下·陕西渭南·期末）下图中线段表示一架直升机飞行的路程与时间的关系。 (1)这架直升机飞行的路程与时间成( )比例。 (2)这架直升机飞行了( )小时，行驶了( )千米。 (3)这架直升机1.5时飞行了( )千米。 考点讲练04：正比例的应用 【精讲题】（23-24六年级下·浙江金华·期末）某测量小组把一根长3米的竹竿直立在地上，测得影长为1.2米，同时测得一水塔的影长为7.2米，这座水塔的高是多少米？（用方程解） 【精练题1】（23-24六年级下·福建南平·期中）认真阅读材料，完成下面各题。 材料一：“水至清，尽美。从一勺，至千里。利人利物，时行时止。”出自唐代诗人刘禹锡的杂言诗《叹水别白二十二》。 材料二：据预测，2030年全国总需水量将达10000亿立方米，全国将缺水4000～4500亿立方米。也就是说，在今后30年中，水资源供水量要增加4000～4500亿立方米，完成这项任务非常艰巨。 材料三：下面是一个没有关紧的水龙头流出的水的体积和时间的关系表。 时间（分） 0 5 10 15 20 25 … 水的体积（毫升） 0 15 30 45 … （1）把上表填写完整。 （2）根据表中数据，在下图中描出水的体积和时间对应的点，把它们连接起来。 （3）一个没有关紧的水龙头流出的水的体积和时间成什么比例？说说你的理由。 （4）点（60，180）是这条直线上的点吗？这一点表示什么含义？ （5）根据以上材料和数据，你有什么想说的吗？ 【精练题2】（2024六年级下·全国·专题练习）图像表示斑马和长颈鹿的奔跑情况。 (1)长颈鹿的奔跑路程与奔跑时间成( )比例关系。 (2)从图上看，斑马比长颈鹿跑得( )（填“快”或“慢”）。 【精练题3】（21-22六年级下·四川成都·期末）下图表示斑马和长颈鹿的奔跑情况，下面说法不符合这个图象的是（    ）。    A．斑马跑12千米用了10分钟 B．长颈鹿奔跑的路程与时间成正比例 C．照这样的速度长颈鹿跑40千米需50分钟 D．斑马比长颈鹿跑得慢 考点讲练05：反比例的意义及辨识 【精讲题】（（2024·陕西商洛·小升初真题）下面几组相关联的量中，成反比例关系的是（    ）。 A．长方形的面积一定，它的长和宽。 B．优优的年龄和爸爸的年龄。 C．全班人数一定，男生人数和女生人数。 D．正方形的周长和它的边长。 【精练题1】（22-23六年级下·陕西商洛·期末）柞水核桃，是柞水县特产，为中国农产品地理标志产品。柞水核桃坚果方椭圆形，外壳自然黄白色，缝合线紧密，种仁饱满，取仁容易，种皮色浅，仁味油香，涩味淡。某农户要将一批核桃装箱，下表是每箱核桃的质量和装的箱数之间的关系。 每箱核桃的质量/千克 4 5 6 10 装的箱数/箱 75 60 50 30 (1)每箱核桃的质量用表示，装的箱数用表示。用式子表示出、与核桃总质量之间的关系：( )。与成( )比例关系。 (2)如果每箱核桃的质量是15千克，这批核桃要装( )箱。 【精练题2】（2024·陕西咸阳·小升初真题）下面说法不正确的是（    ）。 A．如果，那么x和y成反比例。 B．在一个比例中，若两个内项互为倒数，则两个外项也一定互为倒数。 C．圆柱的体积比与它等底等高的圆锥体积多。 【精练题3】（24-25六年级下·辽宁·随堂练习）如图是两个互相啮（niè）合的齿轮，它们在同一时间内转动时，大齿轮和小齿轮转过的总齿数是相同的。尝试回答下面的问题。 （1）大齿轮和小齿轮在同一时间内转动时，哪个齿轮转得更快？哪个齿轮转的圈数多？ （2）转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数和转过的圈数是什么关系？ （3）大齿轮有40个齿，小齿轮有24个齿。如果大齿轮每分转90圈，小齿轮每分转多少圈？ 考点讲练06：反比例的应用 【精讲题】（21-22六年级下·陕西榆林·期末）下图是两个相互咬合的齿轮，大齿轮的半径是3dm，小齿轮的半径是3cm，如果大齿轮转动100周，小齿轮要转动( )周。 【精练题1】（19-20六年级下·四川成都·期末）从甲城到乙城，客车需要6小时，货车需要9小时。现在两车同时从甲、乙两城相对开出，相遇时客车正好行180千米，甲、乙两城相距( )千米。 【精练题2】（23-24六年级下·甘肃白银·期中）青东小学一年级同学参加阳光体育大课间活动比赛，每行站20人，正好站18行，如果每行站24人，可以站多少行？（用比例知识解） 【精练题3】（23-24六年级下·陕西宝鸡·期末）给一间教室铺地砖，如果采用0.8平方米的地砖，需要350块；如改用0.5平方米的地砖，需要( )块。 1．（2024春•正定县期中）关于比例关系的判断，以下说法正确的有　　个。 （1）订同一份杂志的钱数和份数成正比例关系。 （2）正方形的面积和它的边长成正比例关系。 （3）圆的面积和它的直径成反比例关系。 （4）三角形的面积一定，它的底和高成反比例关系。 A．3 B．2 C．1 D．4 2．（2023秋•安定区期末）美术兴趣小组共有36名学生，男生人数与女生人数的比可能是　　 A． B． C． 3．（2023秋•宁津县期中）从甲桶中取出的油倒入乙桶，这时两桶油的重量相等，原来甲、乙两桶中油的重量比是　　 A． B． C． D． 4．（2024•兰山区）两个圆的半径之比是，它们的周长比是 　　，面积比是 　　． 5．（2024•嘉定区模拟）一本书一共有64页，已经看了全书的，未看的和已看的页数比为　　． 6．（2024•沙坪坝区）一个圆柱和一个圆锥，底面周长的比是，它们的体积比是，圆柱和圆锥的高的最简整数比是　　． 7．下面的图象表示小强从甲地到乙地不同的速度和所对应的时间。 （1）在这个过程中，哪种量没有变？ （2）速度和所对应的时间成什么比例关系？ （3）不计算，观察图象，如果每小时行，那么从甲地到乙地大约需要多少小时？ 8．判断下面每题中的两种量是不是成正比例，并说明理由． （1）每小时织布数数一定，织布总数数和时间． （2）幼儿园老师分给每个小朋友饼干的块数一定，小朋友的人数和所需的饼干数． （3）订阅《中国少年报》的份数和钱数． 9．（2024春•法库县期中）一位工人师傅生产零件的时间和数量情况如表： 时间时 1 2 3 4 5 6 生产零件数量个 12 24 36 48 60 72 表中两种相关联的量是 　　和 　　； 　　随着 　　的变化而变化；表中第三组这两种量相对应的两个数的比是 　　，比值是 　　，第五组这两种量相对应的两个数的比是 　　，比值是 　　。这个比值表示的意义是 　　，生产的时间和生产零件的个数的 　　是一定的，所以生产的时间和生产零件的个数成 　　。 10．（2023春•通道县期中）一辆汽车行驶的时间和路程如表。 时间时 1 2 3 4 5 6 路程千米 80 160 240 320 400 480 （1）写出几组路程与相对应的时间的比，并比较比值的大小。说一说这个比值表示什么。 （2）汽车行驶的路程与时间成正比例关系还是反比例关系？为什么？ （3）在图中描出表示路程和相对应时间的点，然后把它们按顺序连起来。并估计一下行200千米大约需要多少时间。 11．（2024•莘县）有两支蜡烛，当第一支燃去，第二支燃去时，剩下的部分一样长。第一支蜡烛与第二支蜡烛原来长度的比是　　 A． B． C． D． 12．（2024•交口县）“宫、商、角、徵、羽”（读音为gōng、shāng、jué、zhǐ、yǔ是我国古代音乐的基本音阶。基本音阶“商”的发音管比基本音阶“徵”的发音管短，则“徵”和“商”的发音管长度比是　　 A． B． C． D． 13．（2024•宝丰县）阴影部分与整个正方形的面积比是　　 A． B． C． D． 14．（2024•南召县）如图中两个正方形中阴影部分的面积比是，空白部分甲和乙的面积比是 　　．如果空白部分甲的面积是，那么两个正方形的面积之和是 　　． 15．（2022秋•曲阳县期末）从地到地，同样的路程，李叔叔开汽车用了25分钟，张叔叔骑自行车用了一个小时，张叔叔与李叔叔的速度比是 　　。 16．（2023•淮安区）如图描述了一个水池进水管打开后进水情况。 （1）照这样的速度，要进水540立方米，需要 　　分钟；水管放水1.5小时，水池进水量是 　　立方米。 （2）水池的进水量与时间成 　　比例。 17．（2021•兴义市）在一张长方形彩纸上摆满小正方形，每个小正方形面积与所需小正方形的数量如表： 每个小正方形的面积 4 9 16 所需小正方形的数量个 216 96 54 （1）每个小正方形的面积与所需小正方形的数量成 　　比例关系。 （2）如果采用面积是的小正方形来摆满这张长方形彩纸，需要多少个小正方形？（用比例方法解答） 18．（2024春•宁乡市期中）余阿姨是剪纸艺人。平时余阿姨每天工作6小时，剪出72张剪纸；节日期间，余阿姨每天要工作8小时，能剪出96张剪纸。 ①写出余阿姨平时和节日期间剪纸张数及相应工作时间的比； ②画出工作时间和剪纸张数的图像； ③从图上看出，余姨姨要剪120张剪纸，需要多少小时？ 19．（2023•紫阳县）一根弹簧挂上物体（质量不超过 20千克）后长度会伸长。如表是挂上物体的质量和弹簧伸长的长度的变化情况。 挂上物体的质量千克 0 2 4 6 8 10 12 弹簧伸长的长度厘米 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 （1）判断挂上物体的质量与弹簧伸长的长度成什么比例？并说明理由。 （2）根据表中数据，在如图中描出挂上物体的质量和弹簧伸长的长度所对应的点，再把这些点依次连接起来。 （3） 如果挂上9千克的物体，那么弹簧伸长 　　厘米。 20．（2023春•西峰区校级期中）如表所示是欢欢制订的练毛笔字的计划表。 练字天数天 1 2 3 4 5 练字总个数个 25 50 75 100 125 （1）把练字天数与练字总个数所对应的练字点在图中描出来，并连线。 （2）练字天数与练字总个数成 　　比例关系。 （3）欢欢练字7天，她一共练了 　　个字。 （4）欢欢练200个字，需要 　　天。 基础夯实优选题专练 1．（2024·河南鹤壁·小升初真题）下面几组相关联的量中，成反比例关系的是（    ）。 A．差一定，被减数与减数 B．单价一定，总价与数量 C．互为倒数的两个数 D．淘气看一本书，已看的页数与剩下的页数 2．（23-24六年级下·吉林长春·期末）下列各选项中的两个量成正比例的是（    ）。 A．被减数一定，减数与差 B．互为倒数的两个数 C．圆的面积与它的半径 D．小麦的出粉率一定，磨出面粉的质量和所需小麦的质量 3．（2024·四川成都·小升初真题）下面说法错误的有（    ）个。 ①乘积为1的两个数一定互为倒数。 ②一本书的已读页数和未读页数成反比例。 ③一副三角尺能拼出145°的角。 ④两个等底等高的三角形就可以拼出平行四边形。 A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2023·陕西西安·小升初真题）如图是一个水龙头打开后出水量情况统计图。 (1)这个水龙头出水量和打开的时间成( )比例关系。 (2)照这样计算，2分出水( )升。 5．（2023·陕西西安·小升初真题）在如下表中，当与成正比例时，“？”处应填( )；当与成反比例时，“？”处应填( )。 x 6 ？ y 9 12 6．（2024·陕西西安·小升初真题）若a、b是两个相关联的量（a、b均不为0），且ab－9＝9，那么a和b成反比例。( )（判断对错） 7．（23-24六年级下·河南驻马店·期末）在同一时间和地点测得不同树的高度与其影长的数据如下图。 (1)图中的树高与影长成( )比例关系。 (2)在同一时间和地点测得一棵树的影长是4.8米，这棵树高( )米。 8．（23-24六年级下·河南驻马店·期末）三角形的面积一定，底和对应的高成反比例关系。( )（判断对错） 9．（23-24六年级下·广东茂名·期末）下图是淘气从家出发，骑车到科技馆参观，参观结束后又骑车回家的时间与路程的关系。请你回答下列问题。 （1）淘气从家到科技馆的时间与路程成正比例吗？请说明理由。 （2）淘气骑车一共骑了多少时间？一共骑了多少千米？ （3）淘气从家骑车到科技馆的速度是多少？ （4）淘气从家骑车到科技馆所用的时间比从科技馆骑车到家所用的时间少几分之几？ 10．（21-22六年级下·北京·单元测试）解方程。 x－x＝                   42∶＝x∶ 5x＋16×2＝36                  ＝ 培优优选题专练 11．（23-24六年级下·广东深圳·期中）下列选项中，两个量不成正比例的是（    ）。 A．圆锥的底面积一定，高和体积 B．一根铁丝，用去部分和剩下部分 C．单价一定，总价和数量 D．速度不变，路程和时间 12．（23-24六年级下·辽宁丹东·期中）下面是四位同学关于“两个量是否成正比例”的说法，正确的是（    ）。 笑笑：“路程与时间的比值一定，路程与时间成正比例。” 奇思：“长方形的面积一定，长方形的长与宽成正比例。” 淘气：“小明的年龄会随爸爸年龄的变化而变化，爸爸的年龄与小明的年龄成正比例。” 妙想：“书的单价一定，买书应付金额与所买书的数量成正比例。” A．只有笑笑 B．有笑笑和淘气 C．有笑笑和妙想 D．有笑笑、妙想和奇思 13．（20-21六年级下·黑龙江大兴安岭地·期中）甲、乙两人骑自行车行驶的路程与时间的关系如图所示。 （1）甲骑自行车行驶的路程与行驶的时间成( )比例。 （2）如果甲、乙两人骑自行车从A、B两地同时出发，相向而行，那么经过5小时，甲骑自行车行了( )km，乙骑自行车行了( )km。 （3）从图上看，( )骑自行车行驶得快。 14．（19-20六年级下·广西桂林·期末）一辆自行车的前齿轮数是26，后齿轮数是16。前齿轮转数是8转时，后齿轮转数是( )转。车轮直径是64cm，蹬一圈，自行车前进了( )cm。 15．（2019·辽宁·小升初模拟）判断下列说法是否成比例，成什么比例．（1）xy=K3，当K一定时，x和y成( )比例．(2)4x-6y=0,且x和y都不等于0，x和y成( )比例．（3）侧面积一定，圆柱的体积和底面半径成( )比例． 16． （20-21五年级下·辽宁·单元测试）上午8点整。甲从A地出发匀速去B地，8点20分甲与从B地出发匀速去A地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的3倍，乙速度不变；8点30分，甲、乙两人同时到达各自的目的地。那么，乙从B地出发时是8点几分？ 17．（19-20六年级下·辽宁·单元测试）李明的爸爸在使用一种面粉机的过程中收集到下面一些数据。 小麦质量/千克 … 100 200 300 400 500 … 面粉质量/千克 … 70 140 210 280 350 … （1）把上表中的小麦质量和面粉质量所对应的点描在方格纸上，再顺次连结起来。 （2）观察上图，你发现了什么？ （3）王大爷家有800千克小麦，如果全部加工，能磨出多少千克面粉？ 18．（18-19六年级下·辽宁·单元测试）在比例尺是1：3000000的地图上，量得两地的距离是6厘米．甲、乙两辆汽车同时从两地相向开出，4时后相遇．已知甲、乙两车的速度比为4：5，求甲、乙两辆汽车每时各行多少千米． 19．（23-24六年级下·山西晋城·期末）一辆汽车行驶路程和耗油量如下表： 行驶路程/千米 16 24 32 48 80 耗油量/L 2 3 4 6 10 （1）表中的耗油量与行驶路程成（    ）比例关系。 （2）在下图中描出表示行驶路程与对应耗油量的点，然后把它们连起来。 （4） 李叔叔开这辆车从A城出发时，看到汽车里程表显示为370千米，到达B城时里程表显示为530千米。算一算这辆汽车从A城到B城耗油多少升？ 20．（19-20六年级下·辽宁·课后作业）一列火车行驶的时间和路程表如下所示，根据表格描点，并连接起来。 时间/千米 1 2 3 4 5 6 …… 路程/时 90 180 270 360 450 540 …… 火车行驶的时间和路程图： 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年六年级下册数学举一反三变式拓展重点难点培优讲义（北师大版） 第四讲 正比例和反比例 （导图+知识精讲+易错点拨+6大考点讲练+易错压轴练+难度分层练 共64题） 目录 课前指导 讲义介绍 1 思维导图 一目了然 2 知识精讲 梳理脉络 2 知识点梳理01：正比例 2 知识点梳理02：反比例 3 知识点梳理03：正比例与反比例的区别 3 易错点拨 查漏补缺 3 易错知识点01：正比例的易错知识点 3 易错知识点02：反比例的易错知识点 4 考点讲练 明确目标 4 考点讲练01：变化的量 4 考点讲练02：正比例的意义及辨识 8 考点讲练03：正比例图形的认识 11 考点讲练04：正比例的应用 16 考点讲练05：反比例的意义及辨识 20 考点讲练06：反比例的应用 23 易错真题 培优必刷 25 压轴专练 冲刺拔尖 31 培优巩固 拔尖冲刺 40 基础夯实优选题专练 40 培优优选题专练 47 同学你好！恭喜你进入新的学期，开启新的章程！这套讲义资料由编者老师精心策划，编辑整理策划排版！非常适用于预习，复习，培优，拔尖使用。讲义包含：知识精讲，易错点拨，考点讲练，易错题专练，重点难点优选题，培优巩固和拔尖专练题。板块内容清晰，内容详尽。题目优选2023-2025年近两年名校真题。贴近考纲要求，非常有助于学生提升解题思维，强化做题技巧，解析版思路清晰。是学生自学，教师备课的优选资料！ 知识点梳理01：正比例 1. 概念：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商k）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 2. 关系式：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用式子表示为y/x=k（一定），或y=kx（k一定）。 3. 图像：正比例关系的图像是一条经过原点的直线。 4. 应用：正比例关系在生活中随处可见，例如： 速度和时间的关系：当速度一定时，路程和时间成正比例。 工作量和工资的关系：在计件工资制下，工作总量和工资成正比例。 正方形的边长与周长：正方形的周长是边长的4倍，边长是周长的1/4，均为定值，所以正方形的边长与周长成正比例。 圆的周长和直径：因为圆周率是定值，所以圆的周长和直径成正比例。 长方形的面积与长：当长方形的长一定时，面积与宽成正比例（注意，这里说的是长一定时面积与宽的关系，不是面积与长和宽的关系）。 知识点梳理02：反比例 1. 概念：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 2. 关系式：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积（k一定），反比例的关系式可以表示为xy=k（一定）。 3. 图像：反比例关系的图像是一条曲线（通常是双曲线）。 4. 应用：反比例关系也广泛存在于自然界及生活中，例如： 路程、速度和时间的关系：在路程一定的情况下，速度和时间成反比例。 面积、长和宽的关系：在面积一定的情况下，长方形的长和宽成反比例。 总价、单价和数量的关系：在总价一定的情况下，单价和数量成反比例。 铺地面积、每块砖的面积与砖的数量：在铺地面积一定的情况下，每块砖的面积与所需砖的数量成反比例。 知识点梳理03：正比例与反比例的区别 1. 定义：正比例是两个量成正比关系，即其中一个量的增加会导致另一个量的等比例增加；而反比例是两个量成反比关系，即其中一个量的增加会导致另一个量的等比例减少。 2. 图像：正比例的图像是一条穿过原点的直线，斜率为正；反比例的图像是一条双曲线，斜率始终为负（在其定义域内）。 3. 应用：正比例常见于物理量、经济量等领域；反比例则在物理、工程、经济等领域也有广泛应用，如电阻和电流的关系、机械效率等。 易错知识点01：正比例的易错知识点 1. 混淆正比例与正数关系： 易错点：学生可能误以为所有正数之间的关系都是正比例关系。 原因：对正比例关系的本质理解不够深入，只看到了数值的正负，而忽略了比值是否恒定。 解决方法：强调正比例关系的定义，即两个量的比值恒定不变，而不仅仅是两个量都是正数。 2. 忽视比例常数的存在： 易错点：在解决正比例问题时，学生可能忘记或忽视比例常数的存在。 原因：对正比例关系式的理解不够透彻，没有意识到比例常数k在关系式中的重要性。 解决方法：在解题过程中，明确写出比例关系式，并标注出比例常数k，以提醒学生注意。 3. 错误地应用正比例关系： 易错点：学生可能在不适合的情境下错误地应用正比例关系。 原因：对正比例关系的适用条件理解不够清晰，没有准确判断两个量之间是否存在正比例关系。 解决方法：通过实例和练习，加深学生对正比例关系适用条件的理解，学会准确判断两个量之间是否存在正比例关系。 易错知识点02：反比例的易错知识点 1. 混淆反比例与负数关系： 易错点：学生可能误以为所有负数之间的关系都是反比例关系。 原因：对反比例关系的本质理解不够深入，只看到了数值的负号，而忽略了乘积是否恒定。 解决方法：强调反比例关系的定义，即两个量的乘积恒定不变，而不仅仅是两个量都是负数。 2. 忽视反比例关系的图像特征： 易错点：在绘制反比例关系的图像时，学生可能无法准确描绘出双曲线的形状。 原因：对反比例关系图像的理解不够深入，缺乏绘制双曲线的经验。 解决方法：通过实例和练习，引导学生掌握绘制反比例关系图像的方法，并理解双曲线的特征。 3. 错误地判断反比例关系的存在： 易错点：学生可能在不适合的情境下错误地判断两个量之间存在反比例关系。 原因：对反比例关系的适用条件理解不够清晰，没有准确判断两个量之间是否存在反比例关系。 解决方法：通过实例和练习，加深学生对反比例关系适用条件的理解，学会准确判断两个量之间是否存在反比例关系。同时，强调反比例关系与正比例关系的区别，避免混淆。 考点讲练01：变化的量 【精讲题】（24-25六年级下·辽宁·随堂练习）当圆柱的底面积等于10时，圆柱的体积和高的变化情况如下表。 高/ 2 4 6 8 10 12 体积/ 20 40 60 80 100 120 结合上表的数据，说一说圆柱的体积与高之间的变化关系。 【答案】当高变化时，体积按相同的倍数变化，且体积与高的比值始终等于底面积（10 cm²）。 【思路点拨】根据表中的数据，用圆柱的体积除以高，观察商的变化情况即可解答。 【规范解答】20÷2＝10（） 40÷4＝10（） 60÷6＝10（） 80÷8＝10（） 100÷10＝10（） 120÷12＝10（） 圆柱的体积÷高＝10（）（一定）。 答：当高变化时，体积按相同的倍数变化，且体积与高的比值始终等于底面积（10 cm²）。 【精练题1】（24-25六年级下·辽宁·随堂练习）你见过摩天轮吗？人所在座舱的高度的变化情况可以用下图来表示。 （1）转动过程中，到达的最高点是多少米？最低点是多少米？ （2）转动第一圈的过程中，什么时间范围内高度在增加？什么时间范围内高度在降低？ （3）到达最高点后，下一次再到达最高点需要经过几分？ 【答案】（1）18米；3米 （2）0～6分；6～12分 （3）12分 【思路点拨】（1）根据折线统计图的变化，可以发现，最高的点是18米，最低点是3米； （2）转动第一圈是0分到12分之间，在这个时间段里面可以发现，人所在座舱的高度在0分到6分从3米上升到了18米，从6分到12分从18米下降到了3米； （3）第一个最高点的时间是6分，第二个最高点的时间是18分，相差12分，则每12分钟，就会到达下一个最高点。 【规范解答】（1）到达的最高点是18米，最低点是3米。 （2）在第一圈的过程中，0～6分内高度在增加，6～12分内高度在降低。 （3）18－6＝12（分） 答：到达最高点后，下一次再到达最高点需要经过12分钟。 【精练题2】（23-24六年级下·四川成都·期末）下图是一辆公共汽车从解放路站到商场站之间行驶速度的变化情况。 (1)公共汽车速度从0提高到400米/分，用了( )分。 (2)公共汽车从解放路站到商场站共行驶了( )分。 (3)公共汽车从1分到3分，行驶的速度( )，行驶的路程( )。（此小题填“没有变化”或“有变化”） 【答案】(1)1 (2)4 (3) 没有变化 有变化 【思路点拨】（1）竖轴表示速度，横轴表示时间，找到竖轴400米/分对应的时间即可； （2）观察横轴即可得出从解放路站到商场站共行驶的时间； （3）折线平缓无变化，表示速度不变；速度×时间＝路程，车辆行驶中，随着时间的变化，路程也在发生变化，据此分析。 【规范解答】（1）公共汽车速度从0提高到400米/分，用了1分。 （2）公共汽车从解放路站到商场站共行驶了4分。 （3）公共汽车从1分到3分，行驶的速度没有变化，行驶的路程有变化。 【精练题3】（23-24六年级下·山西吕梁·期末）太原地铁是山西的一张“名片”，山西省首条地铁线路——太原地铁2号线南起西桥站，北至尖草坪站，全长23.65千米，总投资20864000000元。 (1)23.65是由( )个一，( )个十分之一和5个( )组成。 (2)横线上的数读作( )，把它改写成用“万”作单位的数是( )，省略“亿”位后面的尾数约是( )。 (3)把它画在比例尺是1∶500000的图上，长( )cm。 (4)地铁运行中有两个相关联的量，它们的关系如下图。这两个量可能是（    ）。 A．地铁从起点到终点运行的平均速度与运行时间 B．笑笑一行四人从起点到终点，购票的总价和张数 C．地铁中每个人的身高和他的年龄 D．地铁运行中，已走的路程和剩下的路程 【答案】(1) 23 6 0.01/百分之一 (2) 二百零八亿六千四百万 2086400万 209亿 (3)4.73 (4)B 【思路点拨】（1）每个数位上的数都有相对应的计数单位，个位的计数单位是个（一），十位的计数单位是十，十分位的计数单位是十分之一，百分位的计数单位是百分之一，每相邻两个计数单位之间的进率是10。据此解答。 （2）读数之前，先分级。从个位起，每四个数位是一级。先读亿级，再读万级，最后读个级。每级内都先按照个级的读法来读，再在后面加一个“亿”（“万”）字。每级末尾不管有几个0，都不读；其他数位上有一个0或连续几个0，都只读一个0。把整万的数改写成用“万”做单位的数，要先分级，再将个级的四个0省略，换成“万”字。省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，也就是把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字。据此解答。 （3）比例尺是图上距离和实际距离的比，图上距离等于实际距离（先换算成厘米）乘比例尺，据此计算。 （4）从图上看两个相关联的量随着一个量的增大，另一个量也增大。据此逐个选项分析。 【规范解答】（1）十位上是2，表示2个十（20个一）；个位上是3，表示3个一；十分位是6，表示6个十分之一（0.1）；百分位是5，表示5个百分之一（0.01）。故23.65是由23个一，6个十分之一和5个百分之一组成。 （2）横线上的数读作二百零八亿六千四百万，把它改写成用“万”作单位的数是2086400万，省略“亿”位后面的尾数约是209亿。 （3） （厘米） 故把它画在比例尺是1∶500000的图上，长4.73厘米。 （4）A．起点到终点距离一定，平均速度越大，运行时间越短，与图像不符； B．笑笑一行四人，票价是固定的，所以购买车票的张数增大，购票总价也增大，与图像符合； C．地铁中每个人的身高和他的年龄没有必然联系（不是相关联的量），与图像不符； D．地铁运行中，随着已走的路程的增大，剩下的路程是变小的，与图像不符。 故答案为：B 考点讲练02：正比例的意义及辨识 【精讲题】（23-24六年级下·甘肃白银·期中）下列说法正确的是（    ）。 A．一条射线长60米。 B．一年中有6个大月，6个小月。 C．∶和7∶5能组成比例。 D．一个人的身高和体重成正比例。 【答案】C 【思路点拨】A．射线是指由线段的一端无限延长所形成的直的线。特点：只有一个端点，不可度量。 B．一年中大月有：1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月，共有7个大月；小月有：4月、6月、9月、11月，共有4个小月。 C．根据比例的意义可知，比值相等的能组成比例。 D．判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。如果既不是比值一定，也不是乘积一定，则这两种相关联的量不成比例。 【规范解答】A．射线的长度不可度量，原题说法错误。 B．一年中有7个大月，4个小月，原题说法错误。 C．∶＝÷＝×7＝，7∶5＝7÷5＝；比值相等，所以∶和7∶5能组成比例，原题说法正确。 D．一个人的身高与体重无论是乘积，还是商，都不是定值，所以一个人的身高和体重不成比例，原题说法错误。 故答案为：C 【精练题1】（24-25六年级下·辽宁·随堂练习）根据下表中底是6厘米的平行四边形的面积与高相对应的数据，判断它们是不是成正比例，并说明理由。 平行四边形的面积/平方厘米 6 12 18 24 30 平行四边形的高/厘米 1 2 3 4 5 【答案】成正比例；见详解 【思路点拨】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定，如果是比值（商）一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 观察表格，发现表中有平行四边形的面积和高两种相关联的量，平行四边形的面积随着高的变化而变化，且平行四边形的面积和高的商都是一定的，就是底一定，所以平行四边形的面积与高成正比例关系。 【规范解答】6÷1＝12÷2＝18÷3＝24÷4＝30÷5＝6 答：平行四边形的面积与高成正比例关系，因为平行四边形的面积÷高＝底（一定）。 【精练题2】（24-25六年级下·辽宁·课后作业）看图回答问题。 （1）从统计图中可以看出，随着年龄的增长，平均体重有什么变化？ （2）从统计图中可以看出，女生在哪个年龄段平均体重增加最快？ （3）平均体重的增加与年龄增长成正比例吗？试举例说明理由。 （4）从上图中，你还能得到哪些信息？ 【答案】（1）平均体重越来越重 （2）11~12岁 （3）不成正比例，理由见详解 （4）见详解 【思路点拨】（1）观察折线统计图，根据两条折线的变化趋势，折线向上表示体重向上升的趋势，折线向下表示体重向下降的趋势； （2）计算女生每两岁之间平均体重相差的重量，比较大小，求出女生在哪个年龄段平均体重增加最快； （3）两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，如果相对应的两个量x和y的比值一定，即x∶y＝k（定值），那么这两个量叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系； （4）观察折线统计图，比较男生和女生在6~12岁平均体重的变化数据，据此回答。（答案不唯一） 【规范解答】⑴从统计图中可以看出，随着年龄的增长，平均体重越来越重。 （2）20.4－18.7＝1.7（千克） 22.4－20.4＝2（千克） 24.6－22.4＝2.2（千克） 27.1－24.6＝2.5（千克） 30.1－27.1＝3（千克） 34.3－30.1＝4.2（千克） 1.7＜2＜2.2＜2.5＜3＜4.2 答：女生在11~12岁这个年龄段平均体重增长最快。 （3）男生6岁时的平均体重是18.7千克，体重与年龄的比值是：18.7∶6≈3.12；当男生7岁时平均体重是21千克，体重与年龄的比值是：21∶7＝3；比值不相同，所以体重的增加与年龄的增长不成正比例。（举例答案不唯一） （4）6~11岁，男生的平均体重比女生重，而11~12岁，女生的平均体重超过了男生。（答案不唯一） 【精练题3】（2024·四川成都·小升初真题）金字塔是埃及的著名建筑，其中以现高136.5米的胡夫金字塔最为著名，第一个精确测得其高度的人是数学家泰勒。原来他就是利用了我们这学期学习的比例知识（如图）。小芳和小丽也准备运用这种方法来测量学校旗杆的高度，小芳先测得小丽身高为1.6米，在阳光下影子长度为2.4米，她立刻去测量学校旗杆的影长，测得旗杆影长为12米，那么这根旗杆的实际高度是多少米？ 【答案】8米 【思路点拨】根据题意可知，同一时刻，物体的实际高度与影长的比值一定，那么物体的实际高度与影长成正比例关系，据此列出正比例方程，并求解。 【规范解答】解：设这根旗杆的实际高度是米。 1.6∶2.4＝∶12 2.4＝1.6×12 2.4＝19.2 ＝19.2÷2.4 ＝8 答：这根旗杆的实际高度是8米。 考点讲练03：正比例图形的认识 【精讲题】（24-25六年级下·辽宁·随堂练习）乘船的人数与所付船费如下表。 人数 0 1 2 3 4 5 6 7 … 船费/元 0 5 10 15 … （1）把上表填写完整。 （2）所付船费与乘船人数成正比例吗？ （3）先根据上表描点，再顺次连接各点，你发现了什么？ （4）点（8，40）在这条直线上吗？这一点表示什么含义？ 【答案】（1）见详解 （2）成正比例 （3）描点见详解：发现这些点在同一条直线上，表示这两种量成正比例关系 （4）在；当人数是8人时，船费是40元 【思路点拨】（1）根据表格中的数据，船费与乘船人数之间的关系是每增加1人，船费增加5元。据此补充表格； （2）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。据此判断； （3）根据表格中的数据描点、连线，结合连接后的图像写出发现； （4）根据（3）的直线进行判断，看点（8，40）是否在直线上，如果在直线上，这点表示当人数是8人时，船费是40元。 【规范解答】（1） 人数 0 1 2 3 4 5 6 7 … 船费/元 0 5 10 15 20 25 30 35 … （2）5∶1＝10∶2＝15∶3＝20∶4＝25∶5…＝5（一定），即船费∶人数=单价（一定），比值一定，所以所付船费与乘船人数成正比例； （3）如图： 发现：这些点在同一条直线上，表示这两种量成正比例关系； （4）点（8，40）在这条直线上，表示当人数是8人时，船费是40元。 【精练题1】（2024·陕西西安·小升初真题）购买某种草莓熊玩偶的数量与总价如表。 数量/个 0 1 2 3 4 5 6 … 总价/元 0 80 160 240 320 400 480 … （1）购买这种草莓熊玩偶的总价与数量成正比例吗？为什么？ （2）先根据上表描点，再顺次连接各点。 （3）点（7，560）在这条直线上吗？这一点表示什么含义？ 【答案】（1）成正比例；总价与数量的比值一定。 （2） （3）点（7，560）在这条直线上；这一点表示的含义是7个的总价。 【思路点拨】（1）先算出总价和数量的比值，80∶1＝80；160∶2＝80；240∶5＝80；320∶4＝80；400∶5＝80；480∶8＝80。因为总价：数量＝单价（一定），所以购买这种草莓熊玩偶的总价与数量成正比例。 （2）根据表中的数据描点，再连线。 （3）当数量是7的时候，总价是560元，则单价就是80元/个。即在这条直线上。这一点表示数量为7的总价。 【规范解答】（1）因为总价∶数量＝80（一定），所以购买这种草莓熊玩偶的总价与数量成正比例。 （2）作图如下： （3）80×7＝560（元） 所以点（7，560）在这条直线上。这一点表示的含义是7个的总价。 【精练题2】（23-24六年级下·山西吕梁·期末）下面图象分别表示了香蕉、苹果的总价与购买的数量之间的关系，看图回答问题。 （1）香蕉的总价和购买的数量成（    ）比例。 （2）理由：_____________________。 （3）从图象上看，单价更贵一些的水果是（    ）。（填“香蕉”或“苹果”） （4）买6.5千克香蕉需要多少元？（用比例解答） 【答案】（1）正； （2）总价÷数量＝单价，单价固定不变，所以总价和数量成正比例； （3）香蕉； （4）52元 【思路点拨】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。正比例的图像是一条递增的直线，反比例的图像是一条曲线，且一个量扩大，另一个量缩小。通过观察可知，两条折线都是递增的直线，所以总价和数量成正比例。 （2）总价÷数量＝单价，单价固定不变，所以总价和数量成正比例。 （3）观察这个折线统计图，1千克时，香蕉的价钱高于苹果的价钱，所以单价更贵一些的水果是香蕉。 （4）根据总价÷数量＝单价，设买6.5千克香蕉需要x元，列比例为x∶6.5＝24∶3，然后解出方程即可。 【规范解答】（1）通过观察可知，两条折线都是递增的直线，所以香蕉的总价和购买的数量成正比例。 （2）24÷3＝8（元） 16÷2＝8（元） …… 理由：总价÷数量＝单价，单价固定不变，所以总价和数量成正比例。 （3）从图象上看，单价更贵一些的水果是香蕉。 （4）解：设买6.5千克香蕉需要x元。 x∶6.5＝24∶3 3x＝24×6.5 3x＝156 x＝156÷3 x＝52 答：买6.5千克香蕉需要52元。 【精练题3】（23-24六年级下·陕西渭南·期末）下图中线段表示一架直升机飞行的路程与时间的关系。 (1)这架直升机飞行的路程与时间成( )比例。 (2)这架直升机飞行了( )小时，行驶了( )千米。 (3)这架直升机1.5时飞行了( )千米。 【答案】(1)正 (2) 5 1500 (3)450 【思路点拨】（1）正比例图像是一条经过原点的射线，反比例图像是一条平滑的曲线，据此解答即可； （2）点A可以用数对（5，1500）表示，即直升机飞行了5小时，行驶了1500千米； （3）根据路程÷时间＝速度，据此求出直升机的速度，再根据速度×时间＝路程，据此解答即可。 【规范解答】（1）这架直升机飞行的路程与时间成正比例。 （2）这架直升机飞行了5小时，行驶了1500千米。 （3）1500÷5×1.5 ＝300×1.5 ＝450（千米） 这架直升机1.5时飞行了450千米。 考点讲练04：正比例的应用 【精讲题】（23-24六年级下·浙江金华·期末）某测量小组把一根长3米的竹竿直立在地上，测得影长为1.2米，同时测得一水塔的影长为7.2米，这座水塔的高是多少米？（用方程解） 【答案】18米 【思路点拨】同一时间，同一地点，物体高度与影长成正比例关系，即竹竿高度∶影长＝水塔高度∶影长，据此列出比例式，解比例即可解答。 【规范解答】解：设这座水塔的高是x米。 3∶1.2＝x∶7.2 1.2x＝3×7.2 1.2x＝21.6 1.2x÷1.2＝21.6÷1.2 x＝18 答：这座水塔的高是18米。 【精练题1】（23-24六年级下·福建南平·期中）认真阅读材料，完成下面各题。 材料一：“水至清，尽美。从一勺，至千里。利人利物，时行时止。”出自唐代诗人刘禹锡的杂言诗《叹水别白二十二》。 材料二：据预测，2030年全国总需水量将达10000亿立方米，全国将缺水4000～4500亿立方米。也就是说，在今后30年中，水资源供水量要增加4000～4500亿立方米，完成这项任务非常艰巨。 材料三：下面是一个没有关紧的水龙头流出的水的体积和时间的关系表。 时间（分） 0 5 10 15 20 25 … 水的体积（毫升） 0 15 30 45 … （1）把上表填写完整。 （2）根据表中数据，在下图中描出水的体积和时间对应的点，把它们连接起来。 （3）一个没有关紧的水龙头流出的水的体积和时间成什么比例？说说你的理由。 （4）点（60，180）是这条直线上的点吗？这一点表示什么含义？ （5）根据以上材料和数据，你有什么想说的吗？ 【答案】（1）60；75 （2）见详解 （3）正比例；见详解 （4）是；见详解 （5）见详解 【思路点拨】（1）根据统计表中已知的数据，用流出水的体积除以时间，求出水龙头每分钟流出水的体积；再用每分钟流出水的体积分别乘20、25，即可求出20分钟、25分钟水龙头流出水的体积，并将统计表补充完整。 （2）根据表中数据，先在图中描出各点，再把它们连接起来。 （3）判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 （4）根据用数对表示位置的方法可知，点（60，180）中的60表示时间，180表示水龙头流出水的体积，用流出水的体积除以时间，求出每分钟流出水的体积，如果与前面数据所求出的每分钟流出水的体积相等，那么点（60，180）是这条直线上的点，并解释其含义。 （5）根据以上材料和数据，从“节约用水”的角度出发，写出想说的话，合理即可。 【规范解答】（1）水龙头每分钟流出水的体积：15÷5＝3（毫升） 3×20＝60（毫升） 3×25＝75（毫升） 如下表： 时间（分） 0 5 10 15 20 25 … 水的体积（毫升） 0 15 30 45 60 75 … （2）如图： （3）＝＝＝＝＝…＝3（一定） 答：一个没有关紧的水龙头流出的水的体积和时间成正比例，因为流出水的体积和时间的比值一定。 （4）水龙头每分钟流出水的体积：180÷60＝3（毫升） 答：点（60，180）是这条直线上的点，这一点表示60分钟流出180毫升的水。 （5）根据以上材料和数据，我想说，节约用水，从我做起；关好水龙头，珍惜每一滴水。（答案不唯一） 【精练题2】（2024六年级下·全国·专题练习）图像表示斑马和长颈鹿的奔跑情况。 (1)长颈鹿的奔跑路程与奔跑时间成( )比例关系。 (2)从图上看，斑马比长颈鹿跑得( )（填“快”或“慢”）。 【答案】(1)正 (2)快 【思路点拨】（1）长颈鹿的奔跑路程与奔跑时间之间的关系图像是一条直线，可知长颈鹿的奔跑路程与奔跑时间成正比例关系； （2）由图可知，斑马跑24千米需要20分钟，长颈鹿跑24千米需要30分钟，所以斑马跑得快。 【规范解答】（1）长颈鹿的奔跑路程与奔跑时间成正比例关系。 （2）从图上看，斑马比长颈鹿跑得快。 【精练题3】（21-22六年级下·四川成都·期末）下图表示斑马和长颈鹿的奔跑情况，下面说法不符合这个图象的是（    ）。    A．斑马跑12千米用了10分钟 B．长颈鹿奔跑的路程与时间成正比例 C．照这样的速度长颈鹿跑40千米需50分钟 D．斑马比长颈鹿跑得慢 【答案】D 【思路点拨】根据统计图可知，在10分钟的时候，斑马跑了12千米，A选项据此判断； 长颈鹿的奔跑的路程和时间的商一定，也就是速度一定，可以判断长颈鹿奔跑的路程与时间是否成正比例，B选项据此解答； 根据速度＝路程÷时间，先计算出长颈鹿的速度，再根据路程＝速度×时间，求出长颈鹿50分钟跑的路程，C选项据此判断； 计算出斑马和长颈鹿的速度，再进行比较，即可判断谁跑的快，谁慢，D选项据此解答。 【规范解答】A．观察统计图可知，斑马跑12千米用了10分钟，原题干说法正确； B．观察图形可知，长颈鹿奔跑的速度不变，根据路程÷时间＝速度（一定），长颈鹿奔跑的路程与时间成正比例，原题干说法正确； C．20÷25×50 ＝0.8×50 ＝40（千米） 照这样的速度长颈鹿跑40千米需50分钟，原题干说法正确； D．斑马速度：24÷20＝1.2（千米） 长颈鹿速度：20÷25＝0.8（千米） 1.2千米＞0.8千米，长颈鹿跑得慢。 原题干说法错误。 下图表示斑马和长颈鹿的奔跑情况，下面说法不符合这个图象的是斑马比长颈鹿跑得慢。    故答案为：D 【考点评析】本题考查了对成正比例关系图像的认识，根据图像，按要求找出有用的信息进行计算解答本题。 考点讲练05：反比例的意义及辨识 【精讲题】（（2024·陕西商洛·小升初真题）下面几组相关联的量中，成反比例关系的是（    ）。 A．长方形的面积一定，它的长和宽。 B．优优的年龄和爸爸的年龄。 C．全班人数一定，男生人数和女生人数。 D．正方形的周长和它的边长。 【答案】A 【思路点拨】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例；据此逐项分析，进行解答。 【规范解答】A．长×宽＝长方形的面积（一定），即积一定，所以它的长和宽成反比例； B．爸爸年龄－优优年龄＝年龄差（一定），是差一定，所以他们的年龄不成比例； C．男生人数＋女生人数＝全班人数（一定），是和一定，所以全班人数一定，男生人数和女生人数不成比例； D．正方形的周长÷它的边长＝4（一定），所以正方形的周长和它的边长成正比例。 故答案为：A 【精练题1】（22-23六年级下·陕西商洛·期末）柞水核桃，是柞水县特产，为中国农产品地理标志产品。柞水核桃坚果方椭圆形，外壳自然黄白色，缝合线紧密，种仁饱满，取仁容易，种皮色浅，仁味油香，涩味淡。某农户要将一批核桃装箱，下表是每箱核桃的质量和装的箱数之间的关系。 每箱核桃的质量/千克 4 5 6 10 装的箱数/箱 75 60 50 30 (1)每箱核桃的质量用表示，装的箱数用表示。用式子表示出、与核桃总质量之间的关系：( )。与成( )比例关系。 (2)如果每箱核桃的质量是15千克，这批核桃要装( )箱。 【答案】(1) ＝300 反 (2)20 【思路点拨】（1）结合表格中的数据发现：每箱核桃的质量×装的箱数＝核桃的总质量（一定），乘积一定，则每箱核桃的质量与装的箱数成反比例关系，用含字母的式子表示数量关系。 （2）已知每箱核桃的质量是15千克，用核桃的总质量除以每箱核桃的质量，即是这批核桃的箱数。 【规范解答】（1）4×75＝300（千克） 5×60＝300（千克） 6×50＝300（千克） 10×30＝300（千克） ＝300（一定），乘积一定，则与成反比例关系。 填空如下： 每箱核桃的质量用表示，装的箱数用表示。用式子表示出、与核桃总质量之间的关系：（＝300）。与成（反）比例关系。 （2）300÷15＝20（箱） 如果每箱核桃的质量是15千克，这批核桃要装（20）箱。 【精练题2】（2024·陕西咸阳·小升初真题）下面说法不正确的是（    ）。 A．如果，那么x和y成反比例。 B．在一个比例中，若两个内项互为倒数，则两个外项也一定互为倒数。 C．圆柱的体积比与它等底等高的圆锥体积多。 【答案】C 【思路点拨】判断两种相关联的量是否成反比例，就看这两种量是否是对应的乘积一定，如果是乘积一定，就成反比例，如果不是乘积一定或乘积不一定，就不成反比例。 根据倒数的意义与比例的基本性质作答，即乘积是1的两个数互为倒数；在比例里两个外项的积等于两个内项的积。 因为圆柱的体积等于和它等底等高的圆锥的体积的3倍，把圆锥的体积看作单位“1”，圆柱的体积则是3，根据求一个数比另一个数多（或少）几分之几的计算方法，用“（大数－小数）÷单位1的量”，则为（3－1）÷1＝2倍；得出结论。 【规范解答】A．如果，那么xy＝8，乘积一定，所以x和y成反比例。正确。 B．在一个比例中，若两个内项互为倒数，则两个外项也一定互为倒数。正确。 C．（3－1）÷1＝2因此圆柱的体积比与它等底等高的圆锥的体积多2倍。所以本选项说法错误。 故答案为：C 【精练题3】（24-25六年级下·辽宁·随堂练习）如图是两个互相啮（niè）合的齿轮，它们在同一时间内转动时，大齿轮和小齿轮转过的总齿数是相同的。尝试回答下面的问题。 （1）大齿轮和小齿轮在同一时间内转动时，哪个齿轮转得更快？哪个齿轮转的圈数多？ （2）转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数和转过的圈数是什么关系？ （3）大齿轮有40个齿，小齿轮有24个齿。如果大齿轮每分转90圈，小齿轮每分转多少圈？ 【答案】（1）小齿轮；小齿轮 （2）反比例关系 （3）150圈 【思路点拨】（1）根据“它们在同一时间内转动时，大齿轮和小齿轮转过的总齿数是相同的”，可知小齿轮转得更快，转的圈数也多。 （2）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量成反比例关系。 （3）根据上一题可知，每个齿轮的齿数×转过的圈数＝转过的总齿数（一定），乘积一定，每个齿轮的齿数和转过的圈数成反比例，据此列出反比例方程，并求解。 【规范解答】（1）大齿轮和小齿轮在同一时间内转动时，小齿轮转得更快，小齿轮转的圈数多。 （2）每个齿轮的齿数×转过的圈数＝转过的总齿数（一定），乘积一定，所以每个齿轮的齿数和转过的圈数成反比例关系。 （3）解：设小齿轮每分转圈。 24＝90×40 24＝3600 ＝3600÷24 ＝150 答：小齿轮每分转150圈。 考点讲练06：反比例的应用 【精讲题】（21-22六年级下·陕西榆林·期末）下图是两个相互咬合的齿轮，大齿轮的半径是3dm，小齿轮的半径是3cm，如果大齿轮转动100周，小齿轮要转动( )周。 【答案】1000 【思路点拨】因为两个是相互交合的齿轮，即转动齿数相等，所以转动的周数和每周齿数成反比，由此列出比例解决问题。 【规范解答】3dm＝30cm 解：设小齿轮要转动x周。 100×3.14×2×30＝3.14×2×3×x 100×2×30＝2×3×x 100×30＝3×x 3000＝3x x＝1000 【考点评析】答此题的关键是，根据题意，先判断哪两种相关联的量成何比例，即两个量的乘积一定则成反比例，两个量的比值一定则成正比例，另外还要注意单位的统一。 【精练题1】（19-20六年级下·四川成都·期末）从甲城到乙城，客车需要6小时，货车需要9小时。现在两车同时从甲、乙两城相对开出，相遇时客车正好行180千米，甲、乙两城相距( )千米。 【答案】300 【思路点拨】从甲地到乙地客车需要6小时，货车需要9小时，因为路程一定，速度和时间成反比例；客车和货车的速度比为9∶6；两车分别从两地相对开出，相遇时时间一定，客车和货车的路程成正比例，客车和货车的路程比是9∶6；客车行了全程的，用客车行驶的路程180÷，即可求出甲、乙两地的路程。 【规范解答】客车速度∶货车速度＝9∶6 180÷ ＝180÷ ＝180× ＝300（千米） 【考点评析】本题考查对正比例、反比例的应用，关键明确：路程一定，速度和时间成反比例；时间一定，距离和速度成比例。 【精练题2】（23-24六年级下·甘肃白银·期中）青东小学一年级同学参加阳光体育大课间活动比赛，每行站20人，正好站18行，如果每行站24人，可以站多少行？（用比例知识解） 【答案】15行 【思路点拨】总人数固定时，每行人数与行数成反比例。设每行站24人时可站行，根据反比例的定义可知等量关系式：每行24人×行数＝每行20人×18，据此列方程并求解。 【规范解答】解：设每行站24人时可站行。 答：可以站15行。 【精练题3】（23-24六年级下·陕西宝鸡·期末）给一间教室铺地砖，如果采用0.8平方米的地砖，需要350块；如改用0.5平方米的地砖，需要( )块。 【答案】560 【思路点拨】教室的面积是不变的，每一块地砖的面积与所需块数的乘积是一定的，即每一块地砖的面积与所需要块数这两种量成反比例，由此设如改用0.5平方米的地砖，需要x块，列出比例式解答即可。 【规范解答】解：设改用0.5平方米的地砖，需要x块。 如改用0.5平方米的地砖，需要560块。 1．（2024春•正定县期中）关于比例关系的判断，以下说法正确的有　　个。 （1）订同一份杂志的钱数和份数成正比例关系。 （2）正方形的面积和它的边长成正比例关系。 （3）圆的面积和它的直径成反比例关系。 （4）三角形的面积一定，它的底和高成反比例关系。 A．3 B．2 C．1 D．4 【思路点拨】两种相关联的量，如果比值一定，就成正比例关系，如果乘积一定，就成反比例关系； （1）订同一份杂志时，钱数和份数的比值一定，据此分析； （2）正方形的面积边长边长，即正方形的面积与它的边长的比值不一定，据此分析； （3）圆的面积直径直径，由此判断； （4）三角形的底高面积，由此判断。 【规范解答】解：（1）订杂志的钱数份数每份的钱数，订同一份杂志时，每份的钱数不变，则订同一份杂志的钱数和份数成正比例关系； （2）正方形的面积边长边长，因此正方形的面积和它的边长不成正比例关系； （3）圆的面积和它的直径不成反比例关系； （4）三角形的底高面积，则三角形的面积一定时，它的底和高成反比例关系。 综上所述，正确的是（1）（4），共2个。 故选：。 【考点评析】本题考查的是正比例和反比例的应用。 2．（2023秋•安定区期末）美术兴趣小组共有36名学生，男生人数与女生人数的比可能是　　 A． B． C． 【思路点拨】把每个选项中的比的前项和后项加在一起，能整除36，即为正确答案． 【规范解答】解：选项，，不能整除36，所以不可能； 选项，，能整除36，所以可能； 选项，，不能整除36，所以不可能； 故选：． 【考点评析】解答此题的关键是明白：总份数应能整除总数量． 3．（2023秋•宁津县期中）从甲桶中取出的油倒入乙桶，这时两桶油的重量相等，原来甲、乙两桶中油的重量比是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据题意可知：把甲桶油的重量看作单位“1”，则甲桶油的重量比乙桶油的重量多甲桶油重量的，即乙桶油的重量是甲桶油重量的，进而根据题意，进行解答即可． 【规范解答】解：， 答：原来甲、乙两桶中油的重量比是． 故选：． 【考点评析】明确甲桶油的重量比乙桶油的重量多甲桶油重量的，是解答此题的关键所在． 4．（2024•兰山区）两个圆的半径之比是，它们的周长比是 　　，面积比是 　　． 【思路点拨】设大圆的半径为，小圆的半径为，根据“圆的周长”分别求出大圆和小圆的周长，进而求比即可； 根据“圆的面积”分别求出大圆的面积和小圆的面积，进而根据题意求比即可． 【规范解答】解：设大圆的半径为，小圆的半径为， ， ， ， ； ， ， ， ， ； 答：大圆周长和小圆周长的比是，大圆和小圆的面积比是； 故答案为：，． 【考点评析】解答此题应明确：两个圆的半径比，即周长的比，面积比是半径的平方的比；用到的知识点：（1）比的意义；（2）圆的周长计算方法；（3）圆的面积计算方法． 5．（2024•嘉定区模拟）一本书一共有64页，已经看了全书的，未看的和已看的页数比为　　． 【思路点拨】把这本书的总页数看作单位“1”，已经看了全书的，未看的占，未看的页数和已看的页数的比是：，然后根据比的基本性质化简即可． 【规范解答】解：， ， ； 故答案为：． 【考点评析】本题主要找准单位“1”，求出未看的页数是全书的几分之几，然后根据比的基本性质化简． 6．（2024•沙坪坝区）一个圆柱和一个圆锥，底面周长的比是，它们的体积比是，圆柱和圆锥的高的最简整数比是　　． 【思路点拨】根据圆的周长公式知道底面周长的比就是半径的比，设圆柱的底面半径是2，则圆锥的底面半径是3，设圆柱的体积是5，则圆锥的体积是6，再根据圆柱的体积公式与圆锥的体积公式，得出圆柱的高与圆锥的高，进而根据题意，进行比即可． 【规范解答】解：设圆柱的底面半径是2，则圆锥的底面半径是3，设圆柱的体积是5，则圆锥的体积是6， 则：， ， ； 故答案为：． 【考点评析】此题主要是根据圆柱的体积公式与圆锥的体积公式的推导出圆柱与圆锥的高的关系． 7．下面的图象表示小强从甲地到乙地不同的速度和所对应的时间。 （1）在这个过程中，哪种量没有变？ （2）速度和所对应的时间成什么比例关系？ （3）不计算，观察图象，如果每小时行，那么从甲地到乙地大约需要多少小时？ 【思路点拨】（1）图中标出5个点：速度是100时时间是1，速度是50时时间是2，速度是20时时间是5，速度是10时时间是10，速度是5时时间是20，由此得出路程没有变化。 （2）观察图象发现速度和时间的关系是反比例关系。 （3）观察图象，如果每小时行，那么从甲地到乙地大约需要2.5小时。 【规范解答】解：（1）图中标出5个点：速度是100时时间是1，速度是50时时间是2，速度是20时时间是5，速度是10时时间是10，速度是5时时间是20，由此得出路程没有变化。 （2）观察图象发现速度和时间的关系是反比例关系。 （3）观察图象，如果每小时行，那么从甲地到乙地大约需要2.5小时。 【考点评析】此题主要考查反比例的意义。解题的关键是掌握反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 8．判断下面每题中的两种量是不是成正比例，并说明理由． （1）每小时织布数数一定，织布总数数和时间． （2）幼儿园老师分给每个小朋友饼干的块数一定，小朋友的人数和所需的饼干数． （3）订阅《中国少年报》的份数和钱数． 【思路点拨】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例． 【规范解答】解：（1）因为：织布总数时间每小时织布数数（一定），织布总数和时间成正比例； （2）因为：所需的饼干数小朋友的人数每个小朋友分得饼干的块数（一定），所以小朋友的人数和所需的饼干数成正比例； （3）总钱数订阅《中国少年报》的份数每份报纸的单价（一定），所以订阅《中国少年报》的份数和钱数成正比例． 【考点评析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断． 9．（2024春•法库县期中）一位工人师傅生产零件的时间和数量情况如表： 时间时 1 2 3 4 5 6 生产零件数量个 12 24 36 48 60 72 表中两种相关联的量是 　时间　和 　　； 　　随着 　　的变化而变化；表中第三组这两种量相对应的两个数的比是 　　，比值是 　　，第五组这两种量相对应的两个数的比是 　　，比值是 　　。这个比值表示的意义是 　　，生产的时间和生产零件的个数的 　　是一定的，所以生产的时间和生产零件的个数成 　　。 【思路点拨】依据题意结合表中数据，看看两种相关量中相对应的两个数是商一定还是积一定，如果商一定，就成正比例；如果积一定，就成反比例。 【规范解答】解：表中两种相关联的量是时间和生产零件数量；生产零件数量随着时间的变化而变化；表中第三组这两种量相对应的两个数的比是，比值是，第五组这两种量相对应的两个数的比是，比值是。这个比值表示的意义是生产一个零件需要的时间，生产的时间和生产零件的个数的比值是一定的，所以生产的时间和生产零件的个数成正比例。 故答案为：时间，生产零件数量，生产零件数量，时间，，，，，生产一个零件需要的时间，比值，正比例。 【考点评析】此题属于辨识两种相关联的量成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做出判断。 10．（2023春•通道县期中）一辆汽车行驶的时间和路程如表。 时间时 1 2 3 4 5 6 路程千米 80 160 240 320 400 480 （1）写出几组路程与相对应的时间的比，并比较比值的大小。说一说这个比值表示什么。 （2）汽车行驶的路程与时间成正比例关系还是反比例关系？为什么？ （3）在图中描出表示路程和相对应时间的点，然后把它们按顺序连起来。并估计一下行200千米大约需要多少时间。 【思路点拨】（1）写出时间和路程的比，并求出比值，然后比较比值的大小，根据数量关系判断比值表示的意义； （2）判断表格中的两个量的商一定还是积一定，如果商一定就成正比例，如果积一定就成反比例，否则不成比例； （3）估计表格中的数据，在横轴表示时间，竖轴表示路程的图中先描出对应的点，然后画出图像即可。 【规范解答】解：（1） 比值都是80，比值相等，所以比值表示速度。 （2）汽车行驶的路程与时间成正比例关系。速度路程时间，速度一定，所以汽车行驶的路程与时间成正比例关系。 （3），由图可知，一个小格代表40千米，那么200千米的时候对应的时间点就是2小时和3小时之间的2.5小时。 【考点评析】本题重点考查学生由表格获取信息能力及利用描点法画图能力，难点为正比例关系的判断。 11．（2024•莘县）有两支蜡烛，当第一支燃去，第二支燃去时，剩下的部分一样长。第一支蜡烛与第二支蜡烛原来长度的比是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】当第一支燃去，可知剩下第一支长度的；第二支燃去时，还剩下第二支长度的；再根据“这时它们剩下的部分一样长”，可得出等量关系式：第一支的长度第二支的长度，然后把这个等式改写成比例即可解决问题。 【规范解答】解：由分析可知：第一支的长度第二支的长度， 第一支的长度第二支的长度， 即第一支的长度：第二支的长度。 答：这两支蜡烛原来长度的比是。 故选：。 【考点评析】解决此题的关键是先求出第一支和第二支剩下的分率，进而结合题意，根据一个数乘分数的意义写出等式，再把等式改写成比例，化简即可。 12．（2024•交口县）“宫、商、角、徵、羽”（读音为gōng、shāng、jué、zhǐ、yǔ是我国古代音乐的基本音阶。基本音阶“商”的发音管比基本音阶“徵”的发音管短，则“徵”和“商”的发音管长度比是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据题意，假设徵管的长度为，则商管的长度为，据此化简比即可。 【规范解答】解：假设徵管的长度为，则商管的长度为， “徵”和“商”的发音管长度比是： 故选：。 【考点评析】此题考查了我国古代音乐的基本音阶的常识。 13．（2024•宝丰县）阴影部分与整个正方形的面积比是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】用正方形的面积减圆的面积，求出阴影部分的面积，再写出阴影部分的面积比正方形的面积，化简即可。 【规范解答】解：阴影部分的面积为： 正方形的面积为： 阴影部分与整个正方形的面积比是。 故选：。 【考点评析】本题主要考查了比的意义及组合图形的面积，解题的关键是求出阴影部分的面积。 14．（2024•南召县）如图中两个正方形中阴影部分的面积比是，空白部分甲和乙的面积比是 　　．如果空白部分甲的面积是，那么两个正方形的面积之和是 　　． 【思路点拨】如图：由题意知：两个正方形中阴影部分面积比是，又因这两个三角形等底，所以这两个三角形高的比是，即，从而可算出这两个正方形的面积，则空白部分的面积等于每个正方形的面积去掉每个阴影部分的面积，从而算出它们的面积比． 【规范解答】解： 因为， 又因为， 又因为 所以 ； 以， ， 又因为，， 即， 所以大正方形中空白图的面积是： ， 小正方形空白图的面积是：， 所以两空白部分的面积比是：， 空白部分甲的面积是，空白部分乙的面积是 则 以 两个正方形的面积之和是 答：空白部分的面积是，那么两个正方形的面积之和是． 故答案为：，4． 【考点评析】此题解决的突破口在于先根据图形特点及两个阴影部分的比，找准两个正方形边的关系，用含字母的式子来代换，从而解决问题． 15．（2022秋•曲阳县期末）从地到地，同样的路程，李叔叔开汽车用了25分钟，张叔叔骑自行车用了一个小时，张叔叔与李叔叔的速度比是 　　。 【思路点拨】把从地到地的路程看作“1”，分别求出张叔叔与李叔叔的速度，写出比，再化简即可。 【规范解答】解：1小时分钟 答：张叔叔与李叔叔的速度比是。 故答案为：。 【考点评析】本题主要考查了比的意义，解题的关键是掌握速度路程时间。 16．（2023•淮安区）如图描述了一个水池进水管打开后进水情况。 （1）照这样的速度，要进水540立方米，需要 　27　分钟；水管放水1.5小时，水池进水量是 　　立方米。 （2）水池的进水量与时间成 　　比例。 【思路点拨】（1）先求进水的速度，，再求需要的时间，；根据，求水池的进水量。 （2）正比例：如果两种相关联的量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量。它们的关系叫做正比例关系；反比例：如果两个变量的乘积为常数时的比例关系，一方发生变化，其另一方随之起相反的变化，就是反比例。 【规范解答】解：（1）（立方米分） （分钟） （立方米） （2）（立方米分） （立方米分） （立方米分） （立方米分） （立方米分） 水池的进水量与时间成正比例。 故答案为：（1）27，1800。 （2）正。 【考点评析】此题考查了正比例在生活中的应用和如何判断正比例和反比例，要求学生理解。 17．（2021•兴义市）在一张长方形彩纸上摆满小正方形，每个小正方形面积与所需小正方形的数量如表： 每个小正方形的面积 4 9 16 所需小正方形的数量个 216 96 54 （1）每个小正方形的面积与所需小正方形的数量成 　反　比例关系。 （2）如果采用面积是的小正方形来摆满这张长方形彩纸，需要多少个小正方形？（用比例方法解答） 【思路点拨】（1）每个小正方形的面积小正方形的数量长方形彩纸的面积；长方形彩纸的面积一定，每个小正方形的面积与所需小正方形的数量成反比例关系。 （2）长方形彩纸的面积需要小正方形个数，由此解答。 【规范解答】解：（1）长方形彩纸的面积一定，每个小正方形的面积与所需小正方形的数量成反比例关系。 （2）设需要多个小正方形。 答：（1）每个小正方形的面积与所需小正方形的数量成反比例关系。 （2）需要24个小正方形。 故答案为：反，24。 【考点评析】解决此题关键是根据比值一定或乘积一定，先列出比例，进而根据比例的性质先把比例式转化为乘积式来解比例得解；注意等号要对齐。 18．（2024春•宁乡市期中）余阿姨是剪纸艺人。平时余阿姨每天工作6小时，剪出72张剪纸；节日期间，余阿姨每天要工作8小时，能剪出96张剪纸。 ①写出余阿姨平时和节日期间剪纸张数及相应工作时间的比； ②画出工作时间和剪纸张数的图像； ③从图上看出，余姨姨要剪120张剪纸，需要多少小时？ 【思路点拨】①依据比的意义，分别求出余阿姨平时和节日期间剪纸张数及相应工作时间的比，再化简即可； ②根据工作效率工作量工作时间，分别求出余阿姨平时和节日期间的工作效率，再根据工作量工作效率工作时间，即可画出折线统计图； （3）仔细观察折线统计图，即可解答。 【规范解答】解：① 答：余阿姨平时剪纸张数与工作时间的比是，节日期间剪纸张数与工作时间比是。 ②（张 （张 （张 （张 （张 （张 作图如下： （3）答：如果李阿姨要剪120张剪纸，需要10小时。 【考点评析】此题主要考查比的意义以及比例的意义的理解和灵活应用。 19．（2023•紫阳县）一根弹簧挂上物体（质量不超过 20千克）后长度会伸长。如表是挂上物体的质量和弹簧伸长的长度的变化情况。 挂上物体的质量千克 0 2 4 6 8 10 12 弹簧伸长的长度厘米 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 （1）判断挂上物体的质量与弹簧伸长的长度成什么比例？并说明理由。 （2）根据表中数据，在如图中描出挂上物体的质量和弹簧伸长的长度所对应的点，再把这些点依次连接起来。 （3）如果挂上9千克的物体，那么弹簧伸长 　2.25　厘米。 【思路点拨】（1）根据物体的质量与弹簧伸长的长度是两种相关联的量，求出每个相对应的物体的质量与弹簧伸长的长度的比值，挂上物体的质量：弹簧伸长的长度（比值一定），就可以得出结论。 （2）根据题干给出的数据描出物体的质量和弹簧伸长的长度所对应的点，再把它们连接起来即可。 （3）先求出物体的质量与弹簧伸长的长度的比值，再根据它们之间的关系，用物体的质量除以质量与弹簧伸长的长度的比值，列式求解即可。 【规范解答】解：（1）挂上物体的质量与弹簧伸长的长度成正比例。因为，，，，，，挂上物体的质量：弹簧伸长的长度（比值一定），所以挂上物体的质量与弹簧伸长的长度成正比例。 （2）根据表中数据，在下图中描出挂上物体的质量和弹簧伸长的长度所对应的点，再把这些点依次连接起来。（如图） （3） （厘米） 所以如果挂上9千克的物体，那么弹簧应伸长2.25厘米。 故答案为：2.25。 【考点评析】此题考查了绘制单式折线统计图，考查了学生分析数据的能力，还考查了正比例的知识的应用。 20．（2023春•西峰区校级期中）如表所示是欢欢制订的练毛笔字的计划表。 练字天数天 1 2 3 4 5 练字总个数个 25 50 75 100 125 （1）把练字天数与练字总个数所对应的练字点在图中描出来，并连线。 （2）练字天数与练字总个数成 　正　比例关系。 （3）欢欢练字7天，她一共练了 　　个字。 （4）欢欢练200个字，需要 　　天。 【思路点拨】（1）根据统计表完成统计图； （2）因为练字总个数练字天数（个，所以练字天数与练字总个数成正比例； （3）根据练字天数练字总个数，计算即可解答； （4）根据练字总个数练字天数，计算即可解答。 【规范解答】解：（1） （2）因为练字总个数练字天数（个，所以练字天数与练字总个数成正比例。 （3）（个 答：她一共练了175个字。 （4）（天 答：欢欢练200个字，需要8天。 故答案为：正；175；8。 【考点评析】本题考查的是正比例和反比例的意义，理解和运用正比例和反比例的意义是解答关键。 基础夯实优选题专练 1．（2024·河南鹤壁·小升初真题）下面几组相关联的量中，成反比例关系的是（    ）。 A．差一定，被减数与减数 B．单价一定，总价与数量 C．互为倒数的两个数 D．淘气看一本书，已看的页数与剩下的页数 【答案】C 【思路点拨】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【规范解答】A．因为被减数－减数＝差（一定），是两个数的差一定，所以被减数和减数不成比例； B．因为总价÷数量＝单价（一定），是两个数的比值一定，所以总价和数量成正比例； C．因为互为倒数的两个数的乘积是1，即乘积一定，符合反比例的意义，所以互为倒数的两个数成反比例； D．已看的页数＋剩下的页数＝这本书的页数（一定），和一定，所以已看的页数和剩下的页数不成比例。 故答案为：C 2．（23-24六年级下·吉林长春·期末）下列各选项中的两个量成正比例的是（    ）。 A．被减数一定，减数与差 B．互为倒数的两个数 C．圆的面积与它的半径 D．小麦的出粉率一定，磨出面粉的质量和所需小麦的质量 【答案】D 【思路点拨】乘积一定的两个量成反比例关系。比值或商一定的两个量，成正比例关系。据此解题。 【规范解答】A．减数＋差＝被减数（一定），所以被减数一定，减数与差不成比例； B．乘积是1的两个数互为倒数，那么互为倒数的两个数成反比例关系； C．圆的面积＝πr2，所以圆的面积和它的半径不成比例； D．磨出面粉的质量÷所需小麦的质量×100%＝出粉率（一定），所以小麦的出粉率一定，磨出面粉的质量和所需小麦的质量成正比例。 故答案为：D 3．（2024·四川成都·小升初真题）下面说法错误的有（    ）个。 ①乘积为1的两个数一定互为倒数。 ②一本书的已读页数和未读页数成反比例。 ③一副三角尺能拼出145°的角。 ④两个等底等高的三角形就可以拼出平行四边形。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路点拨】①根据倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数；解答。 ②根据两个相关联的量，乘积一定，我们说这个相关联的量成反比例关系，据此判断。 ③一副三角尺的角的度数有：30°、45°、90°、60°，可拼到的角有60°－45°＝l5°，60°＋45°＝105°，60°＋90°＝150°，90°＋45°＝135°，90°＋30°＝120°，30°＋45°＝75°，据此分析解答。 ④两个三角形的底和高相等时，只能确定三角形的面积，不能确定三角形的形状，形状不一定完全相同，据此解答。 【规范解答】①乘积为1的两个数一定互为倒数。故原说法正确； ②已读页数＋未读页数＝一本书的页数，所以一本书的已读页数和未读页数不成比例。故原说法错误； ③一副三角尺的角的度数有：30°、45°、90°、60°，所以这些角的和，没有拼成145度。故原说法错误； ④两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，而两个等底等高的三角形面积相等，只是面积相同，但形状不一定相同，所以两个等底等高的三角形不一定能拼成一个平行四边形，选项说法错误。 所以说法错误的有3个。 故答案为：C 4．（2023·陕西西安·小升初真题）如图是一个水龙头打开后出水量情况统计图。 (1)这个水龙头出水量和打开的时间成( )比例关系。 (2)照这样计算，2分出水( )升。 【答案】(1)正 (2)24 【思路点拨】（1）判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 （2）从图中可以看出60秒出水12升，即1分出水12升，据此即可求出2分的出水量。 【规范解答】（1）＝＝＝＝＝＝…＝0.2（一定） 乘积一定，所以这个水龙头出水量和打开的时间成正比例关系。 （2）由图可知，1分出水12升，那么2分出水： 12×2＝24（升） 照这样计算，2分出水24升。 5．（2023·陕西西安·小升初真题）在如下表中，当与成正比例时，“？”处应填( )；当与成反比例时，“？”处应填( )。 x 6 ？ y 9 12 【答案】 8 4.5// 【思路点拨】正比例关系可以用式子表示为：（一定），据此列关于的方程，，根据比例的内项之积等于外项之积，求出应表示的数；反比例关系可以用式子表示为：（一定），据此列关于的方程，，根据比例的内项之积等于外项之积，求出应表示的数，据此解答。 【规范解答】若与成正比例关系，则 若与成反比例关系，则 故当与成正比例时，“？”处应填8；当与成反比例时，“？”处应填4.5。 6．（2024·陕西西安·小升初真题）若a、b是两个相关联的量（a、b均不为0），且ab－9＝9，那么a和b成反比例。( ) 【答案】√ 【思路点拨】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 【规范解答】ab－9＝9 ab＝9＋9 ab＝18（一定） 乘积一定，则a和b成反比例。 原题说法正确。 故答案为：√ 7．（23-24六年级下·河南驻马店·期末）在同一时间和地点测得不同树的高度与其影长的数据如下图。 (1)图中的树高与影长成( )比例关系。 (2)在同一时间和地点测得一棵树的影长是4.8米，这棵树高( )米。 【答案】(1)正 (2)12 【思路点拨】（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定（也就是商一定），这两种量成正比例关系。 （2）由上一题可知，树高与影长成正比例关系，即树高与影长的比值一定，据此列出正比例方程，并求解。 【规范解答】（1）＝＝＝…＝0.4（一定） 比值一定，则图中的树高与影长成正比例关系。 （2）解：设这棵树高米。 ＝ 0.4＝4.8×1 ＝4.8÷0.4 ＝12 这棵树高12米。 8．（23-24六年级下·河南驻马店·期末）三角形的面积一定，底和对应的高成反比例关系。( ) 【答案】√ 【思路点拨】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。根据三角形的面积公式去判断。 【规范解答】 因此，底与高的积一定，所以三角形的面积一定，底和对应的高成反比例关系。原题说法正确。 故答案为：√ 9．（23-24六年级下·广东茂名·期末）下图是淘气从家出发，骑车到科技馆参观，参观结束后又骑车回家的时间与路程的关系。请你回答下列问题。 （1）淘气从家到科技馆的时间与路程成正比例吗？请说明理由。 （2）淘气骑车一共骑了多少时间？一共骑了多少千米？ （3）淘气从家骑车到科技馆的速度是多少？ （4）淘气从家骑车到科技馆所用的时间比从科技馆骑车到家所用的时间少几分之几？ 【答案】（1）成正比例，理由见详解；（2）50分，8千米； （3）12千米/时；（4） 【思路点拨】（1）成正比例的条件是两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量。据此解答； （2）从图表可以看出，横轴代表时间，纵轴代表路程。淘气从家出发到科技馆花了20分钟，再从科技馆回家花了（100－70）分钟，两次时间加起来就是淘气骑车一共骑的时间；去程和回程的路程相同，都是4千米。据此解答； （3）从家到科技馆的路程是4千米，时间是20分钟，根据速度＝路程÷时间，代入数据即可求出速度； （4）由图可知，从家到科技馆用了20分钟，从科技馆回家用了（100－70）分钟，算它们时间差，再用时间差除以从科技馆骑车到家所用的时间，即可解答。 【规范解答】（1）4∶20＝2∶10＝0.2 答：观察图表可知，淘气从家到科技馆的路程随着时间的增加而增加，并且路程与时间的比值（速度）是一定的，所以淘气从家到科技馆的时间与路程成正比例。 （2）100－70＝30（分钟） 20＋30＝50（分钟） 4＋4＝8（千米） 答：淘气骑车一共骑了50分钟，一共骑了8千米。 （3）20分钟＝时 4÷ ＝4×3 ＝12（千米/时） （答案不唯一） 答：淘气从家骑车到科技馆的速度是12千米/时。 （4）（30－20）÷30 ＝10÷30 ＝ 答：淘气从家骑车到科技馆所用的时间比从科技馆骑车到家所用的时间少。 10．（21-22六年级下·北京·单元测试）解方程。 x－x＝                   42∶＝x∶ 5x＋16×2＝36                  ＝ 【答案】x＝3；x＝50 x＝；x＝2.5 【思路点拨】（1）先计算出方程左边x－x＝x，再根据等式的性质，方程两边都除以即可得到原方程的解； （2）根据比例的性质，两外项之积等于两内项之积，把比例转化成一般方程x＝42×，再根据等式的性质，方程两边都除以即可得到原比例的解； （3）先计算出方程左边16×2＝32，再根据等式的性质，方程两边都减32，再都除以5即可得到原方程的解； （4）根据比例的性质，两外项之积等于两内项之积，把比例转化成一般方程1.2x＝7.5×0.4，再根据等式的性质，方程两边都除以1.2即可得到原比例的解。 【规范解答】（1）x－x＝ 解：x＝ x÷＝÷ x＝÷ x＝× x＝3 （2）42∶＝x∶ 解：x＝42× x＝30 x÷＝30÷ x＝30× x＝50 （3）5x＋16×2＝36 解：5x＋32＝36 5x＋32－32＝36－32 5x＝4 5x÷5＝4÷5 x＝ （4）＝  解：1.2x＝7.5×0.4 1.2x÷1.2＝7.5×0.4÷1.2 x＝2.5 培优优选题专练 11．（23-24六年级下·广东深圳·期中）下列选项中，两个量不成正比例的是（    ）。 A．圆锥的底面积一定，高和体积 B．一根铁丝，用去部分和剩下部分 C．单价一定，总价和数量 D．速度不变，路程和时间 【答案】B 【思路点拨】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定（也就是商一定），这两种量成正比例关系。 【规范解答】A．根据V锥＝Sh可知，3V÷h＝S（一定），商一定，则圆锥的高和体积成正比例； B．用去部分的长度＋剩下部分的长度＝铁丝的全长（一定），和一定，则用去部分和剩下部分不成比例； C．总价÷数量＝单价（一定），商一定，则总价和数量成正比例； D．路程÷时间＝速度（一定），商一定，则路程和时间成正比例。 故答案为：B 12．（23-24六年级下·辽宁丹东·期中）下面是四位同学关于“两个量是否成正比例”的说法，正确的是（    ）。 笑笑：“路程与时间的比值一定，路程与时间成正比例。” 奇思：“长方形的面积一定，长方形的长与宽成正比例。” 淘气：“小明的年龄会随爸爸年龄的变化而变化，爸爸的年龄与小明的年龄成正比例。” 妙想：“书的单价一定，买书应付金额与所买书的数量成正比例。” A．只有笑笑 B．有笑笑和淘气 C．有笑笑和妙想 D．有笑笑、妙想和奇思 【答案】C 【思路点拨】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。据此判断即可。 【规范解答】路程÷时间＝速度，速度一定，则路程与时间成正比例；笑笑的说法正确； 长方形的面积＝长×宽，面积一定，长和宽成反比例；奇思的说法错误； 小明和爸爸的年龄差不变，爸爸的年龄与小明的年龄不成比例；淘气的说法错误； 总价÷数量＝单价，单价一定，所以买书应付金额与所买书的数量成正比例；妙想的说法正确； 只有笑笑和妙想的说法正确。 故答案为：C 13．（20-21六年级下·黑龙江大兴安岭地·期中）甲、乙两人骑自行车行驶的路程与时间的关系如图所示。 （1）甲骑自行车行驶的路程与行驶的时间成( )比例。 （2）如果甲、乙两人骑自行车从A、B两地同时出发，相向而行，那么经过5小时，甲骑自行车行了( )km，乙骑自行车行了( )km。 （3）从图上看，( )骑自行车行驶得快。 【答案】 正 120 80 甲 【思路点拨】（1）两种相关联的量，如果它们的比值或商一定，则这两种量成正比例关系；由图上可以看出，甲骑行的路程÷时间＝速度（一定），因此，甲骑自行车行驶的路程和时间正比例。 （2）由图上可以看出，乙骑自行车的速度＝路程÷时间，通过第（1）求得甲的骑行速度，甲乙骑自行车的路程＝速速×时间 （3）从图上看，甲和乙谁行驶得快，只要比较谁的图象斜率（倾斜程度）大，谁就行驶的快。 【规范解答】（1）甲骑自行车的速度： 72÷3＝24（千米）（一定），所以甲骑自行车行驶的路程和时间正比例； （2）乙骑自行车的速度： 48÷3＝16（千米） 经过5小时，甲骑自行车行了：24×5＝120（千米）；甲骑自行车行了：16×5＝80（千米） （3）从图上可以看出：甲的斜率（倾斜程度）大，所以甲骑自行车行驶得快。 【考点评析】此题主要考查正比例的意义，以及路程、速度、和时间的关系。 14．（19-20六年级下·广西桂林·期末）一辆自行车的前齿轮数是26，后齿轮数是16。前齿轮转数是8转时，后齿轮转数是( )转。车轮直径是64cm，蹬一圈，自行车前进了( )cm。 【答案】 13 326.56 【思路点拨】 （1）根据题意可知，自行车的前轮和后轮在相同时间内转的总齿数相同，即前轮的齿数前轮转的转数后轮的齿数后轮转的转数，所以用前轮的齿数前轮转的转数后轮的齿数后轮转的转数； （2）自行车是由后齿轮转动带动车轮带动前进的。蹬一圈表示前齿轮转一圈，后齿轮转圈。根据圆的周长公式：，把数据代入公式解答。 【规范解答】（1） （2） 【考点评析】解题的关键是知道“自行车的前轮和后轮在相同时间内转的总齿数相同”。第二空的关键是理解“蹬一圈”的含义 15．（2019·辽宁·小升初模拟）判断下列说法是否成比例，成什么比例．（1）xy=K3，当K一定时，x和y成( )比例．(2)4x-6y=0,且x和y都不等于0，x和y成( )比例．（3）侧面积一定，圆柱的体积和底面半径成( )比例． 【答案】 反 正 正 【规范解答】略 16．（20-21五年级下·辽宁·单元测试）上午8点整。甲从A地出发匀速去B地，8点20分甲与从B地出发匀速去A地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的3倍，乙速度不变；8点30分，甲、乙两人同时到达各自的目的地。那么，乙从B地出发时是8点几分？ 【答案】8点5分 【思路点拨】路程一定，速度和时间成反比例关系；相遇后乙走的路程是甲相遇前的路程，相遇后甲走的路程是乙相遇前的路程，那么甲走20分钟的路程乙用了10分钟，可知乙的速度是甲提速前的2倍，而甲后来走了10分钟，则是提速前的3倍，也就相当于走了原来速度的30分钟的路程；而乙是甲原来速度的2倍，甲后来走的10分钟，相当于乙走30÷2＝15分钟从8：20向前推算15分钟就是8点05分出发。 【规范解答】8时20分－8时＝20分钟 8时30分－8时20分＝10分钟 甲原来走20分钟的路程乙用了10分钟，那么乙的速度相当于原来甲的2倍； 甲提速后走10分钟的路程相当于原来10×3＝30分钟的路程； 乙的速度相当于原来甲的2倍；那么相遇时乙需要的时间就是 30÷2＝15（分钟） 8时20分－15分钟＝8时05分 答：乙从B地出发时是8点5分。 【考点评析】解决本题抓住“相遇后乙走的路程是甲相遇前的路程，相遇后甲走的路程是乙相遇前的路程”这一关系，根据速度的变化，得出时间的变化，从而得解。 17．（19-20六年级下·辽宁·单元测试）李明的爸爸在使用一种面粉机的过程中收集到下面一些数据。 小麦质量/千克 … 100 200 300 400 500 … 面粉质量/千克 … 70 140 210 280 350 … （1）把上表中的小麦质量和面粉质量所对应的点描在方格纸上，再顺次连结起来。 （2）观察上图，你发现了什么？ （3）王大爷家有800千克小麦，如果全部加工，能磨出多少千克面粉？ 【答案】（1） （2）小麦质量和面粉质量成正比例。 （3）560千克 【思路点拨】根据题意描点画图，然后根据图形判断小麦质量和面粉质量之间的比例关系，然后根据比例的定义得到两者成正比例，然后根据正比例的性质计算出800千克小麦，能磨出的面粉质量。 【规范解答】（1）利用表格中的数据，描点作图。 （2）图形成直线，所以面粉质量和小麦质量成正比例。 （3）由题意可得小麦质量和面粉质量的比值一定，等于 。 800÷=800× =560千克 【考点评析】本题主要考查正比例的数形结合，利用图形判断两个量之间的比例关系。当图形成一条直线时，两者成正比例。两个量成正比例，则比值一定，再把结论带入表格中进行验证。 18．（18-19六年级下·辽宁·单元测试）在比例尺是1：3000000的地图上，量得两地的距离是6厘米．甲、乙两辆汽车同时从两地相向开出，4时后相遇．已知甲、乙两车的速度比为4：5，求甲、乙两辆汽车每时各行多少千米． 【答案】甲：20千米/时；乙：25千米/时 【规范解答】6÷=18000000（厘米）=180（千米） 180÷4×=20（千米） 180÷4×=25（千米） 19．（23-24六年级下·山西晋城·期末）一辆汽车行驶路程和耗油量如下表： 行驶路程/千米 16 24 32 48 80 耗油量/L 2 3 4 6 10 （1）表中的耗油量与行驶路程成（    ）比例关系。 （2）在下图中描出表示行驶路程与对应耗油量的点，然后把它们连起来。 （3）李叔叔开这辆车从A城出发时，看到汽车里程表显示为370千米，到达B城时里程表显示为530千米。算一算这辆汽车从A城到B城耗油多少升？ 【答案】（1）正 （2）见详解 （3）20升 【思路点拨】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例关系，如果是乘积一定，就成反比例关系； （2）根据统计表，在统计图中找到对应点，然后按顺序连起来即可； （3）可先用到达B城时的里程数减去出发时的里程数求出汽车行驶的路程，再根据比例关系求解即可。 【规范解答】（1）16∶2＝8 24∶3＝8 32∶4＝8 48∶6＝8 80∶10＝8 行驶的路程∶耗油量＝8（一定），所以表中的耗油量与行驶的路程成正比例关系。 （2）作图如下： （3）530－370＝160（千米） 解：设这辆汽车从A城到B城耗油x升。 16x＝320 x＝320÷16 x＝20 答：这辆汽车从A城到B城耗油20升。 20．（19-20六年级下·辽宁·课后作业）一列火车行驶的时间和路程表如下所示，根据表格描点，并连接起来。 时间/千米 1 2 3 4 5 6 …… 路程/时 90 180 270 360 450 540 …… 火车行驶的时间和路程图： 【答案】见详解 【思路点拨】折线统计图：是用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来，以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化。根据折线统计图的绘制方法，依据数据描出各点，然后顺次连线各点即可。 【规范解答】 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$