精品解析：广东省深圳市宝安区2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题

2024-2025学年广东省深圳市宝安区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A B. C. D. 2. 2024年10月30日，神舟19号在酒泉卫星发射中心成功发射．以下选项中，能够准确表示“酒泉卫星发射中心”地理位置的是（ ） A. 北纬，东经 B. 离北京市1500千米 C. 在巴丹吉林沙漠深处 D. 在中国甘肃 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一组数据2，3，4，4，5，7，若添加一个数据4，则下列统计量中，发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 极差 5. 如图是宝安公园一角的平面地图，利用软件测得起点A到第一个拐角处点B的距离为30米，点B到终点C的距离是30米，如果，那么A、C两点的距离大约是（ ） A. 30米 B. 40米 C. 60米 D. 70米 6. 下列命题中是假命题的是（ ） A. 全等三角形的面积相等 B. 三角形三个内角的和等于 C. 若函数的图象与函数的图象平行，则 D. 如果，，那么 7. 小明在线上商城购买学习用品，结账后得到如图的小票，其中包装费和优惠券的费用被污染了，根据小票信息，你认为包装费和优惠券分别可能为（ ） A. 2元和50元 B. 2元和52元 C. 3元和53元 D. 4元和51元 8. 宝安图书馆是阅读爱好者们喜爱的去处，提供了24小时停车服务，具体的收费标准如下表所示．小明爸爸于某天上午9：00驾驶小型私家车进入停车场，在12小时后驶离．他此次停车所需支付的费用可能为（ ） 车型 收费标准 小型车 工作日 高峰时段(8：00-20：00)首小时5元，第二小时起0.5元/半小时 非高峰时段(20：00-次日8：00)每小时0.5元 非工作日 首小时3元，第二小时起0.5元/小时 A. 8.5元 B. 15.5元 C. 8.5元或15.5元 D. 9元或15.5元 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9 比较大小：______2.6，(请填写“”“”或“”) 10. 一次函数图象不过第三象限，写出满足条件的的一个值_______． 11. 如图所示为某城市几条道路的位置关系，道路与道路平行，．城市规划部门计划新修一条道路，要求，则的度数是______． 12. 如图，平面上的25个点组成一个的点阵，同一行或同一列中的两个相邻点之间的距离相等，在点阵中建立平面直角坐标系，若，，则点A的坐标为______． 13. 如图，在中，，平分，平分外角，若，点D到边距离是3，则______． 三、解答题：本题共7小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 计算： （1） （2） 15. 解方程组： 16. 发生火灾时，逃生时间通常仅有几分钟，采取有效的自救与逃生措施能够显著降低人员伤亡．某中学针对八年级学生进行了逃生技能掌握情况的调查，随机抽取了班和班各名学生进行问卷调查，分数越高表明学生掌握的逃生技能越好，根据调查结果绘制了相应的统计图．请根据信息，解答下列问题： 数据分析结果详见下表： 班级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 班 班 （1） ， ； （2）补全条形统计图； （3）小颖的得分是分，其分数高于她所在班级半数同学的个人得分，则小颖在 班（填“”或“”）； （4）在逃生技能的掌握方面，你认为哪个班级的学生表现更优异？请说明理由． 17. 如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知三个顶点分别为，，． （1）将点A、B、C的纵坐标保持不变，横坐标分别乘，得到点，请在图中作出，则与关于 轴对称； （2）在y轴的负半轴上找一点P使得的面积与面积相等，则点P的坐标为 ． 18. 绿动未来—追踪碳排放 【素材呈现】 素材一：在对A城市交通工具的二氧化碳排放量所进行的一项调研中，我们发现：10辆燃油车与10辆电动汽车每公里共同排放的二氧化碳总量约为2600克，而5辆燃油车与6辆电动汽车每公里的总排放量则为1374克． 素材二：为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关换算标准，每棵成年的阔叶树种（例如杨树）每年大约吸收172千克二氧化碳，而每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收111千克的二氧化碳． 【问题解决】 问题一：一辆燃油车和一辆电动汽车每公里分别产生的二氧化碳排放量是多少克？ 问题二：某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买杨树a棵，这100棵树木一年内吸收二氧化碳总量为w千克． （1）求w与a的函数关系式； （2）杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树不超过30棵，请设计一个最优的采购方案，使得这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 19. 在平面直角坐标系中，给出如下新定义：对于任意一点和给定的正整数n，如果满足，则把点称作“精致点”． （1）是“精致点”，当，时， ； （2）在第一象限内，当时， ①设“精致点”的横坐标为x，那么纵坐标可以用含x的代数式表示为 ； ②如图直线l经过和，求出直线l所对应的函数表达式，并判断该直线在第一象限内是否存在“精致点”．如果有，请求出其“精致点”的坐标，如果没有，请说明理由； （3）若直线上存在“4−精致点”，请直接写出实数b取值范围． 20. 如图1是第七届国际数学教育大会会徽，它可以近似地看成由一组具有公共顶点的“螺旋式直角三角形”演化而来．数学兴趣小组对图形的生成过程很感兴趣，尝试研究其蕴藏的秘密．如图2所示，他们选取四个直角三角形做进一步的探究，其中，． （1）若，则 ， ； （2）数学小组准备绘制具有公共顶点的两个“螺旋式直角三角形”，如图3所示，中，， ，射线于点N，请在射线上作点K，连接，使得．(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) （3）数学小组在（2）的条件下继续进行探究，将绕点N按逆时针方向旋转得到(如图4)，连接，若的面积为2，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年广东省深圳市宝安区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，熟知无限不循环小数是无理数是解题的关键．根据无理数的定义解答即可． 【详解】解：A、，是整数，属于有理数，故此选项不符合题意； B、是无理数，故此选项符合题意； C、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意； D、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意； 故选：． 2. 2024年10月30日，神舟19号在酒泉卫星发射中心成功发射．以下选项中，能够准确表示“酒泉卫星发射中心”地理位置的是（ ） A. 北纬，东经 B. 离北京市1500千米 C. 在巴丹吉林沙漠深处 D. 在中国甘肃 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标表示的点的位置：平面内点的位置用一对有序实数对表示．用一对有序实数对表示点的方法可对各选项进行判断． 【详解】解：用北纬，东经可以准确表示“酒泉卫星发射中心”地理位置． 故选：A． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键． 根据二次根式的性质对A、C选项进行判断；根据二次根式的加法运算对B选项进行判断；先把除法运算化为乘法运算，然后根据二次根式的乘法法则对D选项进行判断． 【详解】解：，所以A选项不符合题意； B．3与不能合并，所以B选项不符合题意； C．，所以C选项不符合题意； D．，所以D选项符合题意； 故选：D． 4. 一组数据2，3，4，4，5，7，若添加一个数据4，则下列统计量中，发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 极差 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是算术平均数、众数、中位数、极差，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．依据的定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、极差求解即可． 【详解】解：原数据的平均数为，中位数为4，众数为4，极差为5， 新数据的平均数为，中位数为4，众数为4，极差为5， 所以发生变化的是平均数． 故选：A． 5. 如图是宝安公园一角平面地图，利用软件测得起点A到第一个拐角处点B的距离为30米，点B到终点C的距离是30米，如果，那么A、C两点的距离大约是（ ） A. 30米 B. 40米 C. 60米 D. 70米 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其应用、无理数的估算等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由题可知米，米， ， 米， 故选：B． 6. 下列命题中是假命题的是（ ） A. 全等三角形的面积相等 B. 三角形三个内角的和等于 C. 若函数的图象与函数的图象平行，则 D. 如果，，那么 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质、三角形内角和定理、一次函数的性质、不等式的性质判断即可． 【详解】解：A、全等三角形的面积相等，是真命题，不符合题意； B、三角形三个内角的和等于，是真命题，不符合题意； C、若函数的图象与函数的图象平行，则，是真命题，不符合题意； D、当，时，或，故本选项命题是假命题，符合题意； 故选： D 【点睛】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 7. 小明在线上商城购买学习用品，结账后得到如图的小票，其中包装费和优惠券的费用被污染了，根据小票信息，你认为包装费和优惠券分别可能为（ ） A. 2元和50元 B. 2元和52元 C. 3元和53元 D. 4元和51元 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．根据题意列式计算即可． 【详解】解：（元）， 则包装费和优惠券的差值应为48元， 那么只有A符合题意； 故选：A 8. 宝安图书馆是阅读爱好者们喜爱的去处，提供了24小时停车服务，具体的收费标准如下表所示．小明爸爸于某天上午9：00驾驶小型私家车进入停车场，在12小时后驶离．他此次停车所需支付的费用可能为（ ） 车型 收费标准 小型车 工作日 高峰时段(8：00-20：00)首小时5元，第二小时起0.5元/半小时 非高峰时段(20：00-次日8：00)每小时0.5元 非工作日 首小时3元，第二小时起0.5元/小时 A. 8.5元 B. 15.5元 C. 8.5元或15.5元 D. 9元或15.5元 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据题意和表格中的数据，可以分别计算出小明爸爸此次停车所需支付的费用，然后即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：， 当在工作日时，小明爸爸此次停车所需支付的费用为： 元， 当在非工作日时，小明爸爸此次停车所需支付的费用为： 元， 故选：C． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9 比较大小：______2.6，(请填写“”“”或“”) 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，利用有理数大小的比较方法“1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”可直接得出答案． 【详解】解：， ， 故答案为：． 10. 一次函数图象不过第三象限，写出满足条件的的一个值_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，根据，一次函数图象不过第三象限，可得，进而即可求解，掌握一次函数的图象特征是解题的关键． 【详解】解：∵，一次函数图象不过第三象限， ∴， ∴的值可以为， 故答案为：． 11. 如图所示为某城市几条道路的位置关系，道路与道路平行，．城市规划部门计划新修一条道路，要求，则的度数是______． 【答案】##24度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和内角和定理，解题的关键是掌握平行线的性质并灵活运用． 先根据平行线的性质，由得到，然后根据得出，求出即可． 【详解】解：， ， ，， ， ． 故答案为：． 12. 如图，平面上的25个点组成一个的点阵，同一行或同一列中的两个相邻点之间的距离相等，在点阵中建立平面直角坐标系，若，，则点A的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，能根据题意建立合适的平面直角坐标系是解题的关键．根据题意，建立合适的平面直角坐标系即可解决问题． 【详解】解：由题知， ∵点B坐标为，点C坐标为，且同一行或同一列中的两个相邻点之间的距离相等， 则建立平面直角坐标系如图所示： ∴点A的坐标为 故答案为： 13. 如图，在中，，平分，平分外角，若，点D到边的距离是3，则______． 【答案】 【解析】 【分析】过D作于E，于H，根据角平分线的性质得到，，根据正方形的性质得到，求得，根据全等三角形得到，同理，设，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：过D作于E，于H， 平分，平分外角， ，， 四边形是正方形， ， ， ， 在与中， ， ， ， 同理， 设， ， ， ， 解得， ， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理和角平分线的性质是解题的关键． 三、解答题：本题共7小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根与立方根、零指数幂、二次根式的化简与加法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先计算算术平方根、化简二次根式，再计算二次根式的加法即可得； （2）先计算立方根、零指数幂、化简二次根式，再计算加减法即可得． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 15. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， ①，得③， ③-②，得， 解得， 把代入①，得， 所以方程组的解是 16. 发生火灾时，逃生时间通常仅有几分钟，采取有效的自救与逃生措施能够显著降低人员伤亡．某中学针对八年级学生进行了逃生技能掌握情况的调查，随机抽取了班和班各名学生进行问卷调查，分数越高表明学生掌握的逃生技能越好，根据调查结果绘制了相应的统计图．请根据信息，解答下列问题： 数据分析结果详见下表： 班级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 班 班 （1） ， ； （2）补全条形统计图； （3）小颖的得分是分，其分数高于她所在班级半数同学的个人得分，则小颖在 班（填“”或“”）； （4）在逃生技能的掌握方面，你认为哪个班级的学生表现更优异？请说明理由． 【答案】（1）；； （2）见解析 （3） （4）班更优异，因为班的平均数，中位数均大于班，方差小于班（言之有理即可得分） 【解析】 【分析】根据条形统计图中的数据和抽查的学生的总人数求出班得分的人数为人，根据中位数的定义求出班的中位数，根据扇形统计图中的数据求出班每组得分的人数，再根据平均数的计算公式求出班的平均成绩即可； 由可知班得分的人数为人，补全条形统计图； 因为班的中位数是，班的中位数是，所以小颖的得分超过了班级半数同学，所以小颖是班的； 因为两个班的众数相同，但是班的平均数，中位数均大于班，方差小于班，说明班学生的总体成绩较好，并且班学生的成绩波动比班小，所以班学生的表现更优异． 【小问1详解】 解：由条形统计图可知：班得分的人数为(人)， 班共抽查了名学生，中位数为：， ， 由扇形统计图可知：班得分有(人)， 得分的有(人)， 得分的有(人)， 得分的有(人)， 得分的有(人)， 班的平均分为(分)， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：班得分的人数为(人)， 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：班的中位数是，班的中位数是， 小颖的得分是分，其分数高于她所在班级半数同学的个人得分， 小颖在班， 故答案为：； 【小问4详解】 解：2班学生的表现更优异 班的平均数，中位数均大于班，方差小于班， 班学生的表现更优异． 【点睛】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、平均数、中位数、方差，解决本题的关键是根据条形统计图、扇形统计图中已知的数据求出未知的数，根据数据判断两个班的学生的表现情况． 17. 如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知三个顶点分别为，，． （1）将点A、B、C的纵坐标保持不变，横坐标分别乘，得到点，请在图中作出，则与关于 轴对称； （2）在y轴的负半轴上找一点P使得的面积与面积相等，则点P的坐标为 ． 【答案】（1）见解析，y （2） 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据题意描出点，，，再连线即可；由题意得，与关于y轴对称． （2）设点P的坐标为，，根据题意可列方程为，求出m的值，即可得出答案． 小问1详解】 解：如图，即为所求． 结合图形得，与关于y轴对称． 【小问2详解】 解：设与y轴交于点D， 则， 设点P坐标为，， 的面积与的面积相等， ， 即， 解得， 点P的坐标为 故答案为： 18. 绿动未来—追踪碳排放 【素材呈现】 素材一：在对A城市交通工具的二氧化碳排放量所进行的一项调研中，我们发现：10辆燃油车与10辆电动汽车每公里共同排放的二氧化碳总量约为2600克，而5辆燃油车与6辆电动汽车每公里的总排放量则为1374克． 素材二：为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关换算标准，每棵成年的阔叶树种（例如杨树）每年大约吸收172千克二氧化碳，而每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收111千克的二氧化碳． 【问题解决】 问题一：一辆燃油车和一辆电动汽车每公里分别产生的二氧化碳排放量是多少克？ 问题二：某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买杨树a棵，这100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为w千克． （1）求w与a的函数关系式； （2）杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树不超过30棵，请设计一个最优的采购方案，使得这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 【答案】问题一：一辆燃油车每公里产生的二氧化碳排放量是186克，一辆电动汽车每公里产生的二氧化碳排放量是74克 问题二：（1）；（2）购买30棵杨树、70棵冷杉在一年内吸收的二氧化碳总量最大 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，掌握一次函数的增减性和二元一次方程组的解法是解题的关键． 问题一：分别设一辆燃油车和一辆电动汽车每公里分别产生的二氧化碳排放量为未知数，列二元一次方程组并求解即可； 问题二：（1）根据“一年内吸收的二氧化碳总量棵杨树一年内吸收的二氧化碳总量棵冷杉一年内吸收的二氧化碳总量”写出w与a的函数关系式即可； （2）根据一次函数的增减性和a的取值范围解答即可． 【详解】解：问题一：设一辆燃油车每公里产生的二氧化碳排放量是x克，一辆电动汽车每公里产生的二氧化碳排放量是y克． 根据题意，得， 解得， 答：一辆燃油车每公里产生的二氧化碳排放量是186克，一辆电动汽车每公里产生的二氧化碳排放量是74克． 问题二：（1）根据题意，得， 与a的函数关系式为 （2）， 随a的增大而增大， ， 当时，w的值最大， 棵 答：购买30棵杨树、70棵冷杉在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 19. 在平面直角坐标系中，给出如下新定义：对于任意一点和给定的正整数n，如果满足，则把点称作“精致点”． （1）是“精致点”，当，时， ； （2）在第一象限内，当时， ①设“精致点”的横坐标为x，那么纵坐标可以用含x的代数式表示为 ； ②如图直线l经过和，求出直线l所对应的函数表达式，并判断该直线在第一象限内是否存在“精致点”．如果有，请求出其“精致点”的坐标，如果没有，请说明理由； （3）若直线上存在“4−精致点”，请直接写出实数b的取值范围． 【答案】（1） （2）①；②，该直线在第一象限内不存在“精致点”，见解析 （3） 【解析】 【分析】根据“精致点”的定义，将n和x代入即可得y值； ①根据“精致点”的定义，将n代入，再根据点在第一象限，去绝对值求解即可； ②求出直线l的表达式，再联立求出交点坐标，看其是否在第一象限即可判断； 利用解析式设P坐标为，根据“精致点”定义可知，去绝对值分类讨论，用b表示出m，进而建立不等式求解即可． 【小问1详解】 ， ， 当时，， 故答案为：； 【小问2详解】 ①当时， ， 点P在第一象限， ， ， 即， 故答案为：； ②设直线l的表达式为， 直线l经过和， ， 解得， 直线l的表达式为； 结论：该直线在第一象限内不存在“精致点”， 由①知：在第一象限内有“精致点”， 可化为， 联立， 解得， 此时交点不在第一象限，即该直线在第一象限内不存在“精致点”； 【小问3详解】 在上， 设， 点P是“精致点”， ， ①当时， ， ， ， 解得：； ②当时， ， ， ， 解得； 综上， 【点睛】本题主要考查了新定义内容、一次函数的图象和性质、二元一次方程组、解一元一次不等式等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 20. 如图1是第七届国际数学教育大会会徽，它可以近似地看成由一组具有公共顶点的“螺旋式直角三角形”演化而来．数学兴趣小组对图形的生成过程很感兴趣，尝试研究其蕴藏的秘密．如图2所示，他们选取四个直角三角形做进一步的探究，其中，． （1）若，则 ， ； （2）数学小组准备绘制具有公共顶点的两个“螺旋式直角三角形”，如图3所示，中，， ，射线于点N，请在射线上作点K，连接，使得．(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) （3）数学小组在（2）的条件下继续进行探究，将绕点N按逆时针方向旋转得到(如图4)，连接，若的面积为2，求的度数． 【答案】（1）， （2）见解析 （3）α的度数是，或 【解析】 【分析】（1）由勾股定理可得出答案； （2）方法一：作的中垂线，作，则可得出答案； 方法二，作的中垂线，作，则可得出答案； （3）过点作于点H，求出；分三种情况：①如图1，当时，，②如图2，当时，，当时，，则可得出答案． 【小问1详解】 解：，， ， 同理，， ． 故答案为：；； 【小问2详解】 解：如图所示，为所作方法一： 方法二： 【小问3详解】 解：过点作于点H， 根据题意可知：，，， ，， 的面积为2，于点H， ， ， ， ； ①如图1，当时，  ， ； ②如图2，当时，， ； ③如图3， 当时，， ， 综上所述，的度数是，或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了尺规作图，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$