江苏省盐城中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷

盐城中学高二年级春学期第一次阶段性质量检测(2025.03) 数学试题 命题人:许卫娟 审题人:刘进 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的焦距为( ) A. B. C. D. 2.用1，2，3，4四个数字组成没有重复数字的三位偶数，共有( ) A.6个 B.18个 C.24个 D.12个 3、在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若，，，则（       ） A. B. C. D. 4.已知正项等比数列的前n项为，且，则( ) . A.2024 B.2025 C. D. 5、已知点，过点引直线l与曲线相交于A，B两点，当的面积取得最大值时，直线l的斜率等于（     ） A. B. C. D. 6、若过点可以作曲线的两条切线，则（       ） A. B. C. D. 7、已知， ， ，则的大小关系为（        ） A. B.. C. D. 8、设函数，若，且的最小值为，则的值为（       ） A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9.已知等差数列的前n项和为，若，则下列结论正确的是( ) A. B.当取得最大值时，n=14 C. 数列是递减数量 D. 10、在棱长为的正方体中，点满足，，则以下说法正确的是（   ）． A. 当时， B. 当时，线段长度的范围是 C. 当时，直线与平面所成角的最大值为 D. 当时，存在唯一点使得直线与直线所成的角为 11、已知函数，其中，则（       ）． A. 不等式对恒成立 B. 若直线与函数的图象有且只有两个不同的公共点，则 k的取值范围是 C. 方程恰有3个实根 D. 若关于 x的不等式恰有1个负整数解，则 a的取值范围为 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.当某种针剂药注入人体后,血液中该药的浓度与时间的关系式近似满足，其中 ，则血液中该药的浓度，在时的瞬时变化率约是时的瞬时变化率的 倍。 13、已知正四棱台的高为3，其顶点都在同一球面上．若该球的半径为5，球心在正四棱台的一个底面上，则该正四棱台的体积为            ． 14．.已知函数，，当时，恒成立，则实数a的取值范围是 . 四、解答题:本题共5小题，共77分，解应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、已知数列的前n项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和. 16、设为实数，函数，． (1)求的极值； (2)对于，，都有，试求实数的取值范围． 17、已知三棱锥(如图1)的平面展开图（如图2）中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中： (1) 证明：平面平面； (2) 若点在棱上运动，当直线与平面所成的角最大时，求二面角的正切值． 18、已知抛物线，过焦点F的直线交抛物线于两点，且. (1) 求抛物线的方程； (2) 若线段交轴于两点，判断是否是定值，若是，求出该值，否则说明理由. (3) 若直线交抛物线于两点，，是否存在整数，使得的重心恰在抛物线上．若存在，求出满足条件的所有的值，否则说明理由. 19、已知函数． (1)若在区间上单调，求实数的取值范围； (2)若函数有两个不同的零点． （i）求实数的取值范围； （ii）若恒成立，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 盐城中学高二年级春学期第一次阶段性质量检测(2025.03) 数学试题 命题人:许卫娟 审题人:刘进 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的焦距为（     ） A. B. C. D. 【答案】 D; 【解析】【解析】双曲线的渐近线方程为，所以，解得a=4，因此，双曲线的焦距为 故选：D 2.用1，2，3，4四个数字组成没有重复数字的三位偶数，共有（     ） A.6个 B.18个 C.24个 D.12个 【答案】 C; 【解析】根据特殊位置优先安排的原则，结合乘法计数原理即可求解． 先排个位数，有2种选择，再排十位和百位，有种选择，根据分步乘法计数原理可得共有个不重复的三位偶数， 故选D． 3、在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若，，，则（       ） A. B. C. D. 【答案】 C; 【解析】 ．故选C． 4.已知正项等比数列的前n项为，且，则（     ） . A.2024 B.2025 C. D. 【答案】 D; 【解析】由题意得，， 则， ， ， ， . 故选：D 5、已知点，过点引直线l与曲线相交于A，B两点，当的面积取得最大值时，直线l的斜率等于（     ） A. B. C. D. 【答案】 D; 【解析】曲线，得，则， 所以曲线表示圆心为，半径为的半圆（x轴及以上部分）． 由于， 故当时的面积取得最大值， 此时圆心到直线l：的距离为， 即，如图，只有才可能满足题意，得． 故选：D. 6、若过点可以作曲线的两条切线，则（       ） A. B. C. D. 【答案】 C; 【解析】设切点坐标为，，切线斜率， 在点处的切线方程为：； 切线过点，， 过点可以作曲线的两条切线，令，则与有两个不同交点，， 当时，，在上单调递增，不合题意； 当时，若，则； 若，则； 在上单调递减，在上单调递增， ， ，即，又，. 故选：C. 7、已知， ， ，则的大小关系为（        ） A. B.. C. D. 【答案】 D; 【解析】根据式子结构，构造函数，则，令，则，令，得， 因此在单调递增，在单调递减， 而，，； 因为，所以，故选：D 8、设函数，若，且的最小值为，则的值为（       ） A. B. C. D. 【答案】 B; 【解析】因为，作出的大致图象，如图，    令，由图象可得，因为，所以，即，则， 令，则，令，解得，当， 即时，，则，单调递减，则，解得，符合； 当，即时，当时，； 当时，；故在单调递减，在单调递增，则，解得，不符合； 综上，.故选：B. 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9.已知等差数列的前n项和为，若，则下列结论正确的是( ) A. B.当取得最大值时，n=14 C. 数列是递减数量 D. 【答案】 A;C; 【解析】，故，故正确； ，即，故且，选项D错误； 因为是等差数列，故数列是递减数列，选项C正确； 当取得最大值时，n=13，故B错误。 故选AC. 10、在棱长为的正方体中，点满足，，则以下说法正确的是（   ）． A. 当时， B. 当时，线段长度的范围是 C. 当时，直线与平面所成角的最大值为 D. 当时，存在唯一点使得直线与直线所成的角为 【答案】 A;B;D; 【解析】 A选项 : 如图，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，， 由得，即， 选项，时，，，，，故正确； B选项 : ，，，所以，，故B正确； C选项 : 平面的一个法向量是，， 设直线与平面所成角为，则，由选项得，，，，故错误； D选项 : ，，，， ，， 又，∴，即点唯一，故正确； 11、已知函数，其中，则（       ）． A. 不等式对恒成立 B. 若直线与函数的图象有且只有两个不同的公共点，则 k的取值范围是 C. 方程恰有3个实根 D. 若关于 x的不等式恰有1个负整数解，则 a的取值范围为 【答案】 A;D; 【解析】 对于选项A，， 当或时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以在出取得极小值，，在处取得极大值，， 而时，恒有成立，所以的最小值是，即，对恒成立，故A正确； 对于B选项，若函数与直线有且只有两个交点，由A选项分析，函数的大致图象如下，  由图知，当或时，函数与直线有且只有两个交点，故B错误； 对于C选项，由，得，解得，令，和，而，由图象知，和分别有两解：综上，方程共有4个根，C错误；   对于D选项，直线过原点，且，，记，，易判断，，不等式恰有1个负整数解，即曲线在的图象下方对应的x值恰有1个负整数，由图可得，即，故D正确．故选：AD 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.当某种针剂药注入人体后,血液中该药的浓度与时间的关系式近似满足，其中 ，则血液中该药的浓度，在时的瞬时变化率约是时的瞬时变化率的 倍。 【答案】 ; 【解析】函数求导得， 将代入得，将代入得，则， 13、已知正四棱台的高为3，其顶点都在同一球面上．若该球的半径为5，球心在正四棱台的一个底面上，则该正四棱台的体积为            ． 【答案】 122; 【解析】因为球心在正四棱台的一底面上，设球心所在底面为下底面，正四棱台的高为3，球半径为5，连接球心与正四棱台上底面一顶点，以及球心与上底面中心，构成直角三角形， 设上底面边长为，则上底面中心到顶点距离为 根据勾股定理，即，解得，因为球心在下底面，下底面中心到顶点距离就是球半径5， 设下底面边长为，则，解得， 根据正四棱台体积公式（其中是高，是下底面积，是上底面积），下底面积，上底面积， 已知高，则体积 14．.已知函数，，当时，恒成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 ; 【解析】由函数，，所以不等式恒成立，等价于恒成立； 因为，所以； 设函数， ，则，计算，且；所以， 当，时，令，解得， 所以时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 所以； 设 则, 所以在上单调递增，且； 要使恒成立， 需使恒成立，即 所以a的取值范围是. 四、解答题:本题共5小题，共77分，解应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、已知数列的前n项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和. 【答案】 (1)；(2) . 【解析】（1）当时，. 当时，，当时，也符合.综上，. （2）由 则 ， 故的前项和 . 16、设为实数，函数，． (1)求的极值； (2)对于，，都有，试求实数的取值范围． 【答案】 (1)极小值为，无极大值.(2) 【解析】（1），当时，；当时，； 即函数在上单调递减，在上单调递增；函数的极小值为，无极大值. （2）由（1）可知，函数在上单调递增，则. ，，当时，；当时，；即函数在上单调递减，在上单调递增； 因为，所以，.即. 因为，，都有，所以的值域是的值域的子集.即，解得.即实数的取值范围为. 17、已知三棱锥(如图1)的平面展开图（如图2）中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中： (1) 证明：平面平面； 【答案】 证明见解析 【解析】 三棱锥(如图1)的平面展开图（如图2）中 四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形， ， 取中点，连接，则，且， ，又，平面,平面, 平面平面 (2) 若点在棱上运动，当直线与平面所成的角最大时，求二面角的正切值． 【答案】 【解析】 由（1）知，,平面 是直线与平面所成角，且，当最短时，即是中点时，最大，由平面，得，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图： 则，，设平面的法向量,则，取，得， 设平面的法向量，则，取，得，设二面角的平面角为，则， 所以，二面角的正切值为. 18、已知抛物线，过焦点F的直线交抛物线于两点，且. (1) 求抛物线的方程； 【答案】 【解析】 易知焦点， 设过焦点的直线的方程为； 由，得， 则， 可得， 解得， 所以抛物线的方程为； (2) 若线段交轴于两点，判断是否是定值，若是，求出该值，否则说明理由. 【答案】 为定值，且定值为2 【解析】 由（1）可得，所以直线的方程为， 如下图所示： 由，得， 此时； 易知，直线的方程为，可得； 同理可得； 所以 ； 所以为定值，且定值为； (3) 若直线交抛物线于两点，，是否存在整数，使得的重心恰在抛物线上．若存在，求出满足条件的所有的值，否则说明理由. 【答案】 存在， 【解析】 设，， 由，得， 则， 则， 由可得， 设的重心为， 而，即， 由重心恰在抛物线上可得， 整理可得，即， 由， 得， 又，则， 又，则； 当时，，不合题意；当时，可得或， 经检验不合题意，所以； 又易知时，且， 因此存在，使得的重心在抛物线上. 19、已知函数． (1)若在区间上单调，求实数的取值范围； (2)若函数有两个不同的零点． （i）求实数的取值范围； （ii）若恒成立，求证：． 【答案】 (1)； (2)（ⅰ）；（ii）证明见解析. 【解析】 （1）由题设，当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 而在区间上单调，所以； （2）（ⅰ），且， 令且，则， 若，，即在定义域上递增，所以函数至多有1个零点，不符； 当时，时，时， 在上单调递增，在上单调递减， 则，得 又，， 另且，则， 所以在上单调递增，则，所以， 即在和各存在一个零点，满足题设， 所以； （ⅱ）记两个零点为，结合 恒成立， 则为的两个零点，则，， 且，要证， 即证，即证 令，即证， 令，则， 所以，得证； 要证，即证 令，则，则， 所以，得证． 综上，. 学科网（北京）股份有限公司 $$