1.3 直角三角形全等的判定-【鸿鹄志·名师测控】2024-2025学年八年级下册数学（湘教版 湖南专版）

1.3直角三角形全等的判定 名师导学 基础过关 夏新知梳理 知识点1直角三角形全等的判定 斜边，直角边定理： 1.如图，PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D,E,且PD= 对应相等的两个直角 三角形全等，（可以简写为“斜边、直角 PE,则直接判定△APD≌△APE的理由是 边”或“ ”) A.SAS B.AAS C.SSS D.HL Q例题引路 【例1】如图，∠A=∠B=90°，E是AB 上的一点，且AE=BC,∠1=∠2. (1)Rt△ADE与R1△BECA B F 全等吗？请说明理由. (第1题图) (第2题图) (第3题图) (2)△CDE是不是直角三 2.(2024·武冈期末)如图，CD⊥AB于点D,EF⊥AB于点 角形？请说明理由. 【名师点拨】(1)根据∠1= F,AC=BE.下列条件中，不是利用“HL”判定Rt△ACD≌ ∠2，得DE=CE,利用“HL”可证明 Rt△BEF的是 Rt△ADE2Rt△BEC:(2)由Rt△ADE2 A.AD=BF B.AC∥BE R△BEC,得∠ADE=∠BEC,从而得 C.CD=EF D.AF-BD 出∠BEC+∠AED=90°，则△CDE是 直角三角形. 3.如图，在△ABC与△DEF中，∠B=∠E=90°，AC 【学生解答】 DF,AB=DE.若∠A=50°，则∠DFE的度数为 4.(教材P29复可题T6变式)(2024·沅江期未)如图，点 C,E,B,F在同一条直线上，AB⊥CF于点B,DE⊥CF 于点E,AC=DF,AB=DE.求证：CE=BF. ④易错典例 知识点2作直角三角形 【例2】在两个直角三角形中，有下列条 件：①一锐角和斜边对应相等：②斜边 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，请利用直角三角形全等 和一直角边对应相等：③有两条边相 的判定方法“HL”,求作Rt△DEF,使Rt△DEF≌ 等：④两个悦角对应相等，其中能使这 Rt△ABC.(不写作法，保留作图痕迹) 两个直角三角形全等的是 A.①② B.②③ C.③④ D.①②③④ 【易错剖析】未掌握直角三角形的判定 方法致错. 【学生解答】 17数学八年级下册配X灯版 ☑能力提升 10.如图，在△ABC中，AB=CB,∠ABC= 90°，F为AB的延长线上一点，点E在BC 6.如图，BE⊥AC,CF⊥AB,垂足分别是E,F 上，且AE=CF 若BE=CF,则图中的全等三角形有( ) (1)求证：BE=BF: A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 (2)若∠CAE=30°，求∠ACF度数. (第6题图) (第7题图) 7.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AB 上，AD=AC,DE⊥AB,交BC于点E,连接 AE.若∠B=28°，则∠AEC的度数为( A.28°B.59° C.60° D.62 【变式题】(2024·娄底月考)如图，D是 Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB, 过D作BC的垂线，交AC于点E.若AE 5cm,CD=12cm,则CE的长为cm 思维拓展 L (变式题图) (第8题图) 11.如图，AD是△ABC的中线，BE⊥AD,垂 8.渗透分类讨论思想如图，∠C=90°，AC= 足为E,CF⊥AD,交AD的延长线于点F, 10,BC=5,AX⊥AC,点P和点Q从点A出 G是DA的延长线上一点，连接BG. 发，分别在线段AC和射线AX上运动，且 (1)求证：BE=CF: AB=PQ.当AP的长为 时，△ABC (2)若BG=CA,求证：AG=2DE. 与△APQ全等. 9.(教材P21习题T4变式)用尺规作一个直角 三角形，使其中一条边长为a(如图)，且这 条边所对的角为30 第1章直角三角形1815m,在R△ACD中，CD=I7-1×7=10(m,AD=CD-AC= 14.解，《1)m一12x+1(2)以4，，e为边长的三角形是直角三角 形.证期如下：a'十6(m一1十(2w)=n'十2十1，-(m2十1)■ 7g815头3 m,六D=A日一AD=9m,答：船向岸边移动了9m, IB.解，过点P作PC LAB于点C,∠PAC0'-45=45.∠A℃= n+22+1,六，a+=2.,以4，b,e为边长的三角思是直角三角形 I0,解：门)CH是从村庄C到河边的最短路线.在△CHB中，C却十 90°一∠PAC=45.六PC=AC.C+A=AP,AP=10 n mile, 专顺二勾般定球与面积间题 BH=2.+1,8=9,C=3=9,CH十BH=,△CHB是直 角三角形，且∠CHB一0，，CH上⊥AB.CH是从村庄C到润边的量版 2PC■100，.AC=P℃=5v2 n mile,∠PBC=0-60'=30,PB L,解：连接AC”AB=段C=1,∠B=0,AC■VABF+C=夏义 路线.(2)设AC=AB=xkm,则AH=(r一1,8》km.在R1△CHA中，由 -2PC=0√2nmie,.C√PB一PC55 n mile,AB-AC+ AD-l,CD-S,AD+AC-CD,△ACD是直角三角形，且 勾股定灌，得A心=AH伊+CH,∴2=（工一1,8P+2.4,解得=2,5 BC=(52+56)n mile.客：A港口与B装口相距(5V2十5v6)nm6 ∠DAC0,m5me+5m-A,+号AD·C1中 ,AC-2.ikm.,原秦约路线AC的长为2.5km. 1,解：(1)1.531(2)设秋千AD的长为xm,则AB-AD=xm,AC 1L,解：如图，作点A关于小河1的对称点D,堆接BD,交直线1于点下，连 =(x-1)m.WBC⊥AC,∠ACB=o.在R1△ABC中，AC十BC= 【度式题]州，1)5mee=7×行-专×2×4-是×1×2-专×3X4-8 接AF,则最履路径为AF十BF=DF十BF=BD.由题意，得AC口了km: AF,,(=1)”十=了，解得x=5.我千AD的长为5m.(8)当BF= 吉×1X7一警(2连候D.由何服定理，每CD一P+g-6,C一+ BC-8 km.AD-4X28(km).C90CD-AD+AC-15 km. 2.5mN,CE-之5mDE=.5m,∴.CD=CE-DE-2m.由(2)可知， Rt△CD中，BD一√CD+C一17km,他行走约量短路程为17km 4=,D-1+=25,,CD+=BW.,∠CD=0 AD=AB=5m,.AC=AD-CD=3m在R:△ABC中，BC t 2,解：1)延长AD,BC,交于点E,:∠B=90°，∠A=80',∠E=90° √BC心一4m,,需要将秋千AD往前准送4m ∠A=30°，∠ADC=90°，∠CDE=90°，在R:△CDE中，CD=4: 第3保时自脱定理的生史理 CE=2CD=&.E=C+CE=14,在R1△AHE中，：∠Em0°， 名师异学 .AE一2AB设AB=E,期AE一2x.根据勾段定理，得A十B=A, 0直角0正整数 +B末) 1.3直角三角形全等的判足 【例1】1)狂期，由匀段奖理，得AB-V+了-√1，BC-√- +1=2,解得年-14（负值已贪去3，AB-1“,(2)易得 名师导学 21百，AC=+T■6E.AB+BC=55,AC心■65，AB+C■ DEe E-可=4，am56w-56am-是AB·BE 斜边一条直角边HL, A,△ABC为直角三角形.(2)解：设点B到AC的是离为A,”品 【例1】解：1)R△AD☑R:△BEC理由如下：'∠1=∠2，DE=E -子A8,BC-号ACh-AB:C_2点B到AC的距离为 cD.pE4▣ ￥∠A=∠H=90,AE=BC,R:△ADERR1△BEC(Hl).{2)△CDE AC 5 是直角三角形.理由如下，RAADERE△BEC,·∠ADE=∠BEC 3D4B5.2而a '∠ADE+∠AED=90',点∠BFC+∠AED=0,∠DC=180°- 专蓝三勾设定理中的方程思旅【园归教制，通性通法】 (∠EC+∠AED)=90,△CDE是直角三角形. I例C 1后283.华4号510667，是【交式题2 【例2】A 1.B1B3.CA是 1.D2.B3.40 5解：这个零件符合警求.理由如下：”BD-1日一225，AD十A用=12 8,解：投BE=xm,第CE=BC一BE=《1后一x)km”AB⊥，DC⊥1， 4.旺明：AB⊥CF,DE皇CF,∠ABC=∠DEF=0°，在R△ABC和 +9=225,÷,AD时+AB=BD.△ABD是直角三角形，且∠A-90°同 ,∴.∠ABE=∠DCE=0.,A=A+B,D四=CD+C.AE (AC-DF. 要，得D+C=CD,,△BCD是直角三角形，且∠DBC=90°.，这个 DE,A十E■C+CE,8十x■12十《16一x',解海x■10,5， RIADEF中.AB-DE.六RI△AICRADEF(HL.÷BC-ER 零件符合要求. ,.E=10.5km.,此时调运结E到村庄B的矩离为10.5km, BC一BE■EF一BE,即CEBF 6.D7.B8.C9.12010.北编末50 专楚四利用勾最定暖求最短路径问【通件通法】 5.解，如周，1△DEF即为所求 1145【点我】蓝餐AD到点T,连接BT,可得△ABT是直角三角形， 1.02D3.B4l35.10 ∠T一0，由BT一DT,可得∠BDT一45°，根暴外角的性度厘可求解. 6,解：由磁意，得BE一受C'一号C一？画分三种情配讨论：心如答图 12.解，(1D,BCP=13=169,BD+CD=+12=169,.B=BY+ ①，蒋长为体格K展开，则AEB十BE√3+5+2-27(m, C.÷+△BDC是直角三角形，且∠BDC-9U.(2)h13,得∠BDC-0', (第5题图》 《蒸9道图) :∠ADC-S0.设AB-AC=x,期AD=AB-BD=士=5.在Rt△ADC ®如答图®，将长方体沿A展开，侧AE一√B干E一 中，由匀段定理，得AC一AD+CU,,z2=(红-5P+1,解得r-1成9. 3千(5千2-58(m),如容图，将长方体沿BF晚开，则AE- 6,C1,B【交式题13米5或10 LA+AE=w+(+2=5w2(m).,5w互<丽<2√7，，小业 9.解，已知，战厦m求作，R△ABC,使BC-∠C■0°，∠A=a0°，作法： ,AC=169. 爬行的最短路醒为52m (作∠CW-90:(2)在CN上截重CB,使CB-a:(3)以点B为割C, 13.《1)证明，连接CE.,D是BC的中点，DE⊥C,,CE=BE.BE一 2a为*径氧，交CM于点A,连擅AB,则△AC甲为所求. A■AC心，C一AE=AC,即AE+A心=C上.△ACE是直角 10.(1)E明：∠AC=90°，∠CBF=180-∠AC=90°，在Rt△ABE 角形，且∠A一0(2)解：“D是C的中点，÷C一2D=10.∠A= AE-CF, 0',AC=6,六AB=VC-AC=品，授LE=r:第CE=BE=8-+在 和R1△CBF中，AB-CB.六R1△ABE2R△CBF(H).÷BE-BR R△ACE中，：AE十AC-CE,广+形-《得-x,都得不-子A迟 (2)解：AH=CB,∠ABC=90,∠BAC■∠BCA■5，∠BAE ∠BAC-∠CAE-1S,由I》知R△ABEYORL△CBF,,∠CF-∠HAE 养图① 等图② -15.÷∠ACF-∠BE+∠BCA=0° —6 II.1E明，(ID:AD是△AC的中线，，BD■CD.:BE⊥AD,CF⊥AD OE=OF,(AB+BC+AO=i,”△MHC的周长为0，iAB+B+ ,AD+D=A,∴F+D=2DE).∴，DE=2 ∠HED-∠F, △.BOP等腰 ,∠ED-∠F-9在△BED和△CFD中，∠DE=∠CDF,,△BEDa AC-30.5-20F.30.0F-3 3.2 BD-CD. 1.C2.D3.125 4,旺明：过点C作CF⊥AB于点F,AC平分∠BAD,AD⊥DE,CF⊥ △CFDCAAS.∴BE-F.在R1△BGE和R△CAF中，BE-CF, (BG-CA. 4,证明：：BD是∠ABC的半分线.一∠ABD-∠CBD在△ABD和 AB,∠ADC-∠AFC-90.CD=CF.AC-AC,R△ADCa AB=CB. RL△AFC(HL入.，AD=AE.同理可得BF=BE,,AB-AF十BF=AD Rt△BG≌R△CAFCHL).GE-AF.GE-AE-AF-AE,pAG △CBD中， ∠ABD=∠CBD,,△ABDa△CBD(SAS),,∠ADB= 十BE -EE.由(I)知△BED☑△CFD,DE-DF-是EE.AG-EF-2DE BD-BD. 【变式题·一题多解】证法一：任明：在△BE和△P℃E中： BC-FC. 1.4角平分线的柱质 ∠CDB.∠ADP-∠CDP,即DP平分∠ADC.'PM⊥AD,PNLCD, ∠BCE=∠FCE,“,△BCE@△FCE(SAS).,∠B-=∠CFE.,ADA 第1采时角中拿直的性嘴与判之 .PM=PN. CE-CE. 名师导学 5D6,D7 BC,∠A十∠B=1O,∠CFE十∠DFE=10,∠A=∠DFE,在 0等0平分线 8.正明：OP是∠AO那的半分线，PD LOA,PE⊥OB,∠DOF= ∠A-∠DFE, 【例1C joP=OP.R△OPD ∠EOF,PD-PE.在R△0PD框△OPE中，PD-PE, AADE和△FDE中，∠ADE-∠FDE,.△ADE②AFDE(AAS). 【酬2】证图：在R1△PFD和RtAPGE中， F-C△PFDa DE-DE. @R1△OPE《HL)..OD=OE.在△ODF和△OEF中， .AD=FD.CD=FD+FCAD++BC R△PGE(HI).PD=PE:P是OC上一点，PD⊥OA,PE⊥OB. ODOF. MD-CD. OC是∠AOB的平分线 ∠DUF=∠EF.△ODF2△(EF(SAS).DF=EF 正法二，正明，在△DEM和△DEC中，∠MDE=∠CDE.,△DEMa 1.C2,B3.C【变式1434,35,35 OF-OF. DE-DE. 6证明，BF⊥AC,CE⊥AB,∠HED=∠CFD=0.在△DE和 9.解：如图，点P,P原为所求 △DEC(SAS),ME=CE,∠N=∠DCE,”∠DE=∠BCE,∠M= ∠BED=∠CFD ∠E,:AD∥BC,÷∠MAE=∠B.在△ME和△CE中， △CDF中，∠BDE=∠CDP,,△BDEa△CDF(AAs1.,DE=DF ∠M-∠BCE, BE-CF, ∠MAE-∠B,.△AME☑△BCE(AAS)..AM=BC∴CD=MD= ,AD平分∠BAC ME-CE. 7.A8.D.2.5 10,证界：(1)过点D作DN⊥BB于点N.∠BAO-∠WDC,∠AOB= AD+AM-AD-+BC. 1m,(I)解：90”(2)证谢：过点C作CP LAM于点P,PC的延长线交BN ∠C,i∠ABO=∠DCO.DM⊥AC,DN⊥AB,∠DNB■∠DC 5.证明，过点E作EF⊥BC于点E,则∠BFE=∠CFE-90”.:BD平分 于点H,过点C作CK⊥AB于点K,:AM∥BN,CH⊥BN.∠CPE =0°.D站=C.△DNB2△DMC(AAS).,DN-DM,AD平分 ∠ABC,EA⊥AB,EA-EF,∠BAE-∠BEE-90在R△ABE和 =∠CHF=90.AC,C分别半分∠BAM.∠ABN,.CP=CK.CK= △ABC的外角∠CAE.《2)悬正Rt△DNA@R1△DMA,·AN-AM由 BE-BE, ∠CPE=∠CHF, R1△FBE中， R:△ABE☑R△FBE(HL.,AB=FB.EH (I).得△DNB☑△DMC,BN-CM.AC-AB-AN十CM-(BN EA-EF. CH,CP CH,在△CPE和△CHF中，CP■CH, △CPE≌ AN)AM. -EC.EFLBC.PB-FC.RC-2FB-ZAB ∠PCE=∠HCF. 大单元整合练利用龟平分线构造等保三角形， 第1章章末术复习 △CHPCASA).,CE=CP 全琴三角形解【包归敏材，通性通法】 思维导图 11.(1)解.DC-DB(2证明，过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC,交 等 互余一半直角互念H比.相等相等 AC的延长线于点F,则∠F一∠DEB=.￥AD平分∠BAC,DE⊥AB, 1.4 核心考点 DF LAC,.DE-DF.∠B+∠ACD-18',∠ACD+∠FCD=180', 【变式题】解，过点D作DH⊥AB干点H,则∠DHE-90:AD平分 1.D2.C3B4.14 I∠F-∠DEB, ∠BAC,∠CAD-∠BAD.'DEA∥AC.∠CAD-∠ADE,∠DEH- ∠B=∠下D.在△DFC和△DEB中，∠FCD-∠B,∴.△DFC☑ 5.解，(145°(2)∠ACB-90,∠A-30,BC-2AB-8,∠ABC- ∠HAC=30°，∠BAD=∠ADE.AE=DE.AD米分∠BAC,∠C DF-DE. 90,DH⊥AB,DH-CD=3.在R△DEH申，∠DEH=30,AE= 90°-∠A-50,BE平分∠ABC,∠CBE-号∠ABC-0,CHL △DEB(AA,DC=DB DE-2D月=6. 第2课时角平分线的社质寿判瓷的路用 2.(I)证明：'AE是∠BAD的平分线，∠DAF=∠BAF,DFAB, BE,CH-}BC4y∠CH-∠DMB-45,∴∠HCM-9g- 名师厚学 ∠F=∠BAF,∠DAF=∠F,AD=DF,△ADF是等限三角形， ∠CMH=45=∠CMH,.AH=CH-4 0三边0平分线 6.D7,D8.6 【例1】C C2解：AB=AC,AD是△ABC的中授∠BAD=号∠BAC=0,∠B 9.解：(1)不座(2)如图，设本程下滑后的位置为 【例21(1)E明，，0平分∠ABC,0D⊥AB,F⊥BC,,0D-OF.同圆 -∠C-30,AD1BC,5AD-AB-6,∠ADE-0."AE是∠BAD CD,雨D=0,9m限据题查，得CD=AH=2.5m: 可得OE-OF,.D-0E.A0平分∠BAC(2)解：由1)知OD-OE G地=1.5m,∠N-可，六CD-O+D=24鱼在 OE,Sa-SEw+SAx+SaAr-7AB·OD+2C·OF+AC: 的平分线，∠DLE=亏∠BAD-D.六AE一DE.在△ADE中， R△AOB中，OA-VB-OB-2m.在RtACOD 8 9