第2课时 勾股定理的实际应用-【鸿鹄志·名师测控】2024-2025学年八年级下册数学（湘教版 湖南专版）

第2课时 勾股定理的实际应用 名师导学 基础过关 例题引路 知识点 勾股定理的应用 【例1】小华和小明合 1.如图，从电线杆离地面6m处，向地面拉一条10m长的 作，用一块含30°角的 钢缆，则地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离AB是 直角三角尺测量学校 ( ) 旗杆的高度.如图，已 知CD平行于地面AE, A.6 m B.7m C.8 m D.9m 测得AD=0.5m,CD= 6m,则学校旗杆的高度AB为( A.6.5m B.(63+0.5)m 2m C.12.5m D.(65+0.5)m 8m 1作 (第1题图)（第2题图） (第4题图) 【名师点拨】根据含30°角的直角三角形 (第3题图) 的性质得出BC=2CD,利用勾股定理 2.道德教育情境如图，公园中有一块长方形草坪，有极 即可求解， 少数人为了避开拐角∠ABC走“捷径”，在草坪内走出了 【学生解答】 一条“路”AC.已知AB=6m,BC=8m,他们踩伤草坪， 【例2】如图，地面上放若一个小凳子 仅仅少走了m. (AB与地面平行)，点A到墙面（墙面 与地面垂直)的水平距离为40cm,木 3.如图，有两棵树，一棵高8m,另一棵高2m,两树相距 杆的一端与墙角O重合，另一端靠在 8m.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则 点A处，OA=50cm. 它至少要飞行 m. (1)小凳子的高度为 cm: 4.日常生活情境生活中，可以用身体上的尺子：肘、拃、 (2)现有另一根木杆的一端与点B重 步长等来估计距离.某校教室新安装了一批屏幕为长方 合，另一端靠在墙上的点C处，若 OC=90cm,木杆BC比凳宽AB长 形的多媒体设备，某同学想知道屏幕有多大，他用手掌测 60cm,求小凳子的宽AB和木杆的 量得多媒体屏幕的长是12柞，宽是5拃（如图，1并≈ 长BC, 20cm),则多媒体屏幕的对角线的长约是 cm 【学生解答】 5.某班同学学习了勾股定理之后，为了测量如图所示的风 筝的高度CE,测得数据如下：①BD的长为8m(注： BD⊥CE);②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线BC 的长为17m;③牵线放风筝的手离地面的距离为1.6m. 求风筝的高度CE. 9数学八年级下册配灯版5.D6.B7.D8.D9.110.12 A伊-B厅-12一.在△D中，由匀股定理，得AD=C- 参考答案 1山，证绸：在R△ABC中，乙AH=0∠A=测，5C=专AkM =13-14-x),1一x=1型一14一r,解餐x=,A0 第1章直角三角形 为A君的中点M安A-比义D为M的中点，心L,每 vT--2.s2w-·AD-×1tx2-t 11直角三角形的性质和判定(1) CD⊥AB. 12.解：(1)w十1 受（g当8-5时万-第得用-0，这是第0 第1革时直角三角利的性情和料定 12.屏：1由题意，得AB=5×g=0(mmie).:∠NB风-40，∠NAC 名师异学 30.∠ACB=∠NHC-∠NAC=.∠ACB=∠NAC∴BC=AB 个三角形.a原式=()+（受）+()++（平=+号+ 0生余一半8互余 -0nmie:从阁岛B到灯事C的是离为0n=6《2)过点C作CP⊥ 【例1】f明，∠A-0,∠B-40,∠ACB-180-∠A=∠B-90. ++106 AB于点P,果∠BP℃0，此时小船与灯塔C的距离最规，”∠NBC :M为边AB的中点.BM=C=号AB&∠M#=∠#=0 60.÷∠PH-w-∠NB心-3o.hP--BC-1Bnmk.:15+15- 大单元整合锈利用②般定理在数艳上表示实数【狱材延伸·忍宾慢标】 ·∠EC-∠MCB+∠B-8的.“∠ACE-10,÷ZMEC-∠A.+ 任务1：解：知图，作R△O8,0冰-8.AB-3,0A-OB+AB一 1(,上午11时小相与灯塔C的第离最短 ∠ACE-s∠MEC-∠EMC.E-GM. 压，以点O为圆《，A的长为争轻面第，交数轴千点E,F,瑞点B.下即 【例21C 13,0或16【第析J:∠C=0,∠A=30AB=0m.B-号A月 为所求， LC2.55志4o4.直角 29m,∠=0-∠A=0.山题意，得BQ=rm,AP=2,∴，BP 支.证明：：ED⊥AB,∠ADE-0,∠A+∠1-0：∠1-∠2， AB-AP-440-2r)m分两种情配甘论，D当∠EQP-0时，∠BPQ ∠A十∠2=：.△ABC是直角三角形 90-∠H=的.BP=2BQ,罪40一2-22，解每1=10.④当∠BPQ=0 4.37.D8.D100°10.g 时，∠QP==∠U=30,,.BQ=2BP,即t=2(4u-2),解得=14.第 11.证用，：AD⊥BC,-∠BED+∠EBD=0.:BF平分∠AC, 上质述，当点P岳动0爱16时，△PBQ为直角三角形 任务2：解：1》娃图.点P即为新架.25一1 ,∠A8E=∠EBD.∠1-∠BBD,∠1-∠2..∠BD=∠2.∴.∠2 堂题一巧用辆殊尾构造名3尾的直角三角形载村旺种·通性透法】 ∠ABE一0，△AC是直角三角形. 1.C2.8 12.解：《1D2)∠BDC-58,·∠DAP-∠BDC-∠APD-831,解：连接AC?A形=C,∠H=时，△A以是等边三角形.AC台 AP平分∠B4C,.∠BAP=∠DAP=11 AB=i,∠BAC=∠B=0,六∠ACD=∠CD-∠ACB0, 13《1证明：：CD,BE分联是边AB,AC上的高，，∠BD-∠BC ∠CAD=∠HAD-∠=0.∠D=0-∠CAD=0,AD 90.:M是BC的中点，DM-号BC,E-号CDM-EM义“N 2AC=12. 4,解，延长AD,C交于点E.∠A-30,∠H一g0,AE-BE,∠E- 任务3，解，1应一正(2①如图®所示.②如图D,点A表示一0,5 是DE的中点.MN主E(2)解：∠DE一1附-∠A理由如下：由 0-∠1=60，：∠1D0=129.∠EDC=180°-∠A0=0, 点B表乐-3+而∴-05>-a+v5 ,得DM-EM-IM-CM-是，-∠AC-∠DM,∠ACB- ∠D-180一∠E-∠EID-60,÷△EDC是等边三角B,六CD- ∠CEM,'∠AC+∠ACB=180°-∠A,∠D+∠NE=(18O (E-DE设CD=F.期AE一上+4，E=上士+1.r+1=(上+)，解得士 2∠A)+(183-2∠ACB)=360-2(∠AHC+∠AI)=50 =2CD=2. 用 2180-∠A)g∠A.∠DNE=180°-（∠HMD+∠GE)m10°- 5.C6.47.128.4 2∠4. 【,2直角三角形的性两和判定(】) 4 3寸32012方3 【触会宽通】0 第1深时均段定理 图④ 第？课时念和角的直角三角形的提情反异总用 名年号学 革2来时与盘定厘竹实际总用 名师导肇 平方和 【例1】日 0一半80 【鳞1】解：Cp是边AB上的高，六.∠A风=∠B=时，：AD= 【例2】解，1》0[2》延长BA,交抽面P点N,刚∠HN℃一0”.易得ON 【例1证用：？A胜-AC,ZAC-13.·∠B-∠-(180-∠BAC) A-C示-17-8-1.D-8一CF-8-8-15 30H描，AN-组m,CN=(一ON-0n设AB一zcm,期C-(E AB=AD叶BD-15+4v5 +G0m,BN-(+40)在R△BCN中，N+CN-C,x -30.”AD⊥C,∠D,4C-0.CD-2AD,∠BAD-∠BAC 【例1】引a复，11而 40)十60=(r十0了，解得r=40,A=40rm:C=100em, ∠DAC=0=∠H..AD=BB.,=BD+CD=AD+2AD=AD 1.目2.5.B4.05.18 1.C-2.43.104.260 【例2】33发150 6.解在△AC中，∠C=0,u2+行=2,10a=,春=15，e 5.期，由题道，得∠DB=0,HD=8m,BC=17m,DE=A出=1,6，在 1.B1.83.12 4.解，在△A0中，∠ACB=0,∠A=30,“,∠B=90-∠A=G0, ,a+6=17,c5a7,h=2一g■24(3)设g=3r.则 Rt△D中，DBC一D一后m.CE=D+DE=1M4m答： AB==8.CD是△AC的高，，∠C=0.,∠)=0 .(8r)十4r尸=40，解程1=（负值已含去》..。=21,0-32. 风筝的高度CE为1,6m 7,D8B9,B10.5 4.D7.C8.5a ∠B=30.D=以=2，&AD=AB-BD=6 11.解：设D-x,则CD-1H一上在表△AD中，由匀股奖用.得AD一 生.解：在Rt△AC中，：C=17m,AC=gm,.A=V一= -1 2 3 15m,在R:△ACD中，CD=17-1×了=I0(m.,AD=,CD-C= 14.解，1》n一12w+1〔2)以a,,e为边长的三角形是直角三角 思.证明如下：g十6={x一1)十知)计-w+22十1，山4w+1■ 7智米13 年，六HDmA一AD=9m,答：船向岸边移动了9m, I.解：过点P作P⊥AB于点C.?∠PAC-0-45”=.六∠AC- m+2+1,,+=.,以￥，动，：为边长的三角形是直角三角感： a,幅：(1)CH是从时庄C到河边的量复路线，在△CH出中，CH+ BH=24十1.8=9，以3=5，CH+4H=5,六△CHB是直 90°-∠PAC=4.÷C=AC.:→AmAP护.AP=10 n mile, 专题二勾般定理与面积罚篮 2PC=100..AC=PC=5 n mile,PC:90-6n30PB 1,解：连接ACA#=BC=1,∠B=时，AC■√沿+C■Z义 角三角彩，且∠CH日一0H⊥A从.，CH是从村庄C到河边的最短 路线，(g)设AC一AB-xkm-则AH一(x一I,8)km,在Rt△HA中，由 =2PC=02nmie,∴C=√PB一PC=iw月nmie,ABAC :AD=.CD=.A形十AC=,△ACD是直角三角形，且 勾股定理，得A=AH十H,=一1,8》+2,4'，解得=虫5 C=(3v2+5nmia客：A港口与B港口相距(5,3十58)n6 ∠Dac可，in+5m=7A:度+A0:e里 ,AC-之.5k监∴，夏来的将线AC的长为25k肚. 2 1,解：1)，551(2)登做于AD的长为xm.则AB=AD=xm,AC 1,解：如图，作点A关于小润「的对称点D,连接BD,交直没于点F,端 -(一1)mC⊥A,:∠ACB-0.在R1△AC中，A十BC- 【变式题】期，15m=5x-吉×2×4-是×1X2-×3X4-4 接AF.南最规路径为AF十BF=D+BF=BD,由题意，得AC=7km: A伊，.一1)中-了，解得一6，按千AD的长为3m.9)当F一 吉×1X7-要2连接BD.山每教定理，得-1+2一i,批一g十 BC-8km,AD=4×2=8(km》:∠C=0°，CD=AD+A=1nhm.雀 2.5m时，CE-2.5mDE-0.5m,.CD=CE-DE-2m.由2)可组， R△BCD中，D一√DFC-13km.∴，他行走的最短路程为1子km. 45=20,B厅=P+=25,,CD+-BD厅..∠D=0月 AD=AB=5m-.A=AD一CTD=言L在R1△AC中，C- 2,解：(1延长AD,BC.交于点E∠B=0,∠A-0”.∠E-90一 √一心一m,需要将秋千AD往用雅送4m ∠A=0,∠ACm0,∠DE0,在R△DE中，D4. 第器保时身脱定厘的丝光理 E=2D=&IE=C+CE=14,在R△ABE.:∠E=0, 名师异绿 AE-AB设AB-,则AE-2.限据匀意建用，得ABF十BE一AE, 0直角0正楚数 一（羊 r+1=2,解得F=山正（负值已含数）.AB区(2易得 1,3直角三角形全辱的判定 【例1】1)任明：由匀量是理，得AH=2+下=√1丽，C一√+矿- 名师异学 2行，AC=+Tm√品.FAF+C=6i,A=63,A+9 DE=v国-而=4v.5nm=5w-5m-专AB·E- 氧边一条直角边HL AC,·△AC为直角三角形.(2)解：设点B到A:的距离为，”5山 CD.DE-I8 【例1】解：(1)R△ADE2R:△BC理h如下：：∠1=∠2，.DE=CE -号A·C-ACh-B,度_画点B我AC的距离为 ∠A-∠B-0',AE-C,R△ADER△4ECHL.x.(2△CDE AC 3D4,B52而 是直角三角形.厘由I下：：R△ADER1△BC..∠ADE=∠BC '∠ADE+∠AED■0，∠BC+∠AD=0,:∠DEC15- 专题三幻股定提中的方程思燃【回归校材·通性通法】 (∠BC+∠AED)=0,六△CDE是直角三角形. I例C 1E183华+号506年7号【变武胆 【例21A L.B2.B3.C+是 1.D2.B3.40 5.解：这个琴件符合要求，用由如下：：BDP一1子-25+A厅十A于=1安 8,解：设BE=rkm.期CE=BC-BE=后一r)mAB⊥，Dx⊥， 4.E明：AB⊥下，DE⊥CF.∠ABC=∠EF=0,在民：△A料 +9-225,,AD+AB-.,△A8D是直角三角形，月∠A=0同 ∠ABE=∠DE=0.A=A+B,DE=LF+C.AE AC-DF. 厘，得D+C=DY,,么D是直角三角形，且∠DC-U,这个 DE.士A十E■7D)十CE,”8十x=12十16一x).解算x=10 R△DEF中.AB-DE,六RLAANCRL△DEFL.÷BC-EF ,E=0.5km.“,此时满话清E到村庄非的距离为1Q5k肚 零件符合要求. 4D7.B发.C9.12010.北编东50° 专题四利用勾限定理求最阳路径问聪【通性通法】 六C一BE=EF-BE,即CE=F 5.解，如图.R1△DEF即为所求， I【点我】蓝长AD到点T,连接T,可得△A了是直角三角形，日 1.C2D美B+.1月8.1o ∠T一，由BT一DT,可得∠BDT一15，根据外角的料使甲可求解. 6,解：由避意，得BE-立C=寸风一m分三种情况计论：中如答诺 12.解，(1)C=1=169,B)+F=+12=1,C=r+ ①，将长方体惜装开.果A5一AB+FG++7-27(m: C伊.，△BC是直角三角形，且∠BC一U(2)山I),得∠DC=0', ,∠ADC-90.段AB-AC=,期AD=ABBD-r=B.在Rt△ADx 如答用②，将长方体沿XB腰开，制AE一√AP+E一 (第5题9) (第B整国) 6C7.B【变式题】I3.5减10 中，山匀股定理，得A(=AD+U,,=(x一》+，解得r=6身. 、干干于-8m,励如答图③.将长方体册B服开，谢AE- 失解：已：线段a,求作，R1△AC,整C-4:∠C一时∠A=0,作法 ,AC=169. +AET-w++2T=百，2《m).:5E<√5217，.小h 1)作∠CN-0:2)在CN上藏取CB,使CB=a:(a)以点B为图心， 3.1证明，连接CE.,D是C的中点，DE⊥C,CE-EB一 尼行的量灯路程为5v经m a为半径黄弧，交M于点A,连接AB,离△AC即W所象 A=A.六CE一A上mA,即A+A时C上，△ACE是直角园 1B.11证明：∠ABC=0°，∠BF=150°∠A队=0，在R:△ABE 角形，且∠A=D0,(2)解，D是以的中点，，2D=1Q∠A AF-CF. 0,AC=6,AB=-A可=8，段AE=4期CE=BE=B一王在 和R△CEF中.AB-CB.K△ABER:△CBF(IL.BE-BF R△CE中，：A5十AC-CE,心广+-8-x解得r-子4AE ()解：ABm(图，∠AC=0°，∠BAC=∠BCA=4,∠且ME■ ∠BAC-∠CA-15,h(1)知R1△A4EaRt△CBF,.∠BCF=∠A且 图 -I5.∠ACF-∠BCF+∠CA-0