精品解析： 2025年广东省深圳市初中学业水平考试模拟数学试题3卷

2025年广东省深圳市初中学业水平考试模拟数学试题3卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共8小题，共24分） 1. “斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视图的是（　　） A. B. C. D. 2. 若方程的一个根是-3，则k的值是（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. -2 3. 用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个如图1所示的菱形教具，此时测得，对角线长为8，改变教具的形状成为如图2所示的正方形，则正方形的边长为（ ） A 4 B. C. 8 D. 4. 如图是小明在“综合与实践”课中“制作视力表”的相关内容：当测试距离为3m时，视力表中最大的“E”字高度为45mm，则当测试距离为5m时，视力表中最大的“E”字高度为（　　） A. 120mm B. 30mm C. 75mm D. 27mm 5. 在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同球，这a个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在，那么可以推算出a大约是（ ） A. 12 B. 9 C. 4 D. 3 6. 潜水运动是一种集水下观光、水下摄影、水下探索为一体的新兴运动形式，为保护潜水时的安全，会携带如图所示的水压表和深度表，图是一款深度表的简化电路图，定值电阻；压敏电阻的阻值随水的深度变化的图象如图所示，允许通过的最大电流．总电流随变化的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A. 电源电压，恒定不变 B. 随着下潜深度的增大，压敏电阻的阻值逐渐减小 C. 当救援队员下滑到水下深处，此时电路中的电流 D. 在电路安全的情况下，深度表能测量的最大深度为 7. 某校从本学期开始实施劳动教育，在学校靠墙（墙长22米）的一块空地上，开辟出一块矩形菜地，如图所示，矩形菜地的另外三边用一根长49米的绳子围成，并留1米宽的门，若想开辟成面积为300平方米的菜地，则菜地垂直于墙的一边的长为（ ） A. 10米 B. 12米 C. 15米 D. 不存在 8. 小华参加植树活动，当太阳光线与地面成夹角时，直立的树苗在地面的影长为，由于培土不足，树苗栽种后即刻沿太阳光线方向倒下，此过程中树苗的影长的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，共15分） 9. 若，则k＝_____． 10. 已知二次函数的图象如图所示，若方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______． 11. 如图所示，在中，，，，则的长为________． 12. 如图，已知直角三角形，，小明想做一个以、为边的矩形，于是进行了以下操作： （1）测量得出的中点E； （2）连接并延长到，使得； （3）连接和．则四边形即为所求的矩形．理由是________． 13. 如图，在矩形中，，点E，F分别在边，上．将矩形沿折叠，使点B的对应点落在边上，得到四边形．若，，则的长为_______． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14 计算：． 15. 为了提高学生的阅读能力，我市某校开展了“读好书，助成长”的活动，购书前，对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，如图所示，请根据统计图回答下列问题： 调查问卷（单项选择） 你最喜欢阅读的图书类型是（    ） A．文学名著    B．名人传记    C．科学技术    D．其他 （1）本次调查共抽取了_____名学生，两幅统计图中_____，____． （2）已知该校共有3600名学生，请你估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有多少人？ （3）学校将举办读书知识竞赛，九年级1班要在本班3名优胜者（2男1女）中随机选送2人参赛，求被选送的两名参赛者为一男一女的概率． 16. 在复习菱形的判定方法时，某同学进行了画图探究，其作法和图形如下： ①画线段AB； ②分别以点A，B为圆心，大于AB长的一半为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN交AB于点O； ③在直线MN上取一点C（不与点O重合），连接AC、BC； ④过点A作平行于BC的直线AD，交直线MN于点D，连接BD． （1）根据以上作法，证明四边形ADBC是菱形； （2）该同学在图形上继续探究，他以点O为圆心作四边形ADBC的内切圆，构成如图所示的阴影部分，若AB＝2，∠BAD＝30°，求图中阴影部分的面积． 17. 某专卖店为了清理商品库存，对原来平均每天可销售40件，每件盈利60元的商品，进行降价处理，现每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件． （1）每件商品降价多少元时，该商店日盈利可达到3150元？ （2）试问，商店日盈利能否达到3300元？若能请求出此时商品售价，若不能，请说明理由． 18. 在某初中的综合实践课上，老师给每一位同学发了一张直角三角形的纸片，，分别为．要求学生们利用它裁出一个面积尽可能大的正方形卡片． （1）甲同学很快完成了自己的设计（如图1），请你求出他裁出的正方形的边长． （2）乙同学看了甲同学的设计后提出了不同的设计方案，请利用图2大致画出草图，并求出乙同学裁出的正方形的边长．并比较哪位同学裁出的正方形卡片更大． 19. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，且满足．连接． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点Q是线段上一点，过点Q作轴，交抛物线于点P，E，F是抛物线对称轴上的两个点（点F在点E的上方），并且始终满足，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； （3）如图2，在（2）线段长度取得最大的前提下，将该抛物线沿射线的方向移动个单位长度，得到新的抛物线，求出新抛物线的解析式．抛物线交延长线于点K，新抛物线上是否存在动点N，使得若存在直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 20. 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．D、E分别是AB、AC边的中点，连接DE．现将△ADE绕A点逆时针旋转，连接BD，CE并延长交于点F． （1）如图2，点E正好落AB边上，CF与AD交于点P． ①求证：AE•AB＝AD•AC； ②求BF的长； （2）如图3，若AF恰好平分∠DAE，直接写出CE的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年广东省深圳市初中学业水平考试模拟数学试题3卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共8小题，共24分） 1. “斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视图的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查立体几何的三视图，理解并掌握三视图的特点是解题的关键． 根据立体几何的特点，确定三视图，注意：立体几何中能看到的线用实线，存在但看不到的线用虚线表示，由此即可求解． 【详解】解：从上面看，看到的图形为一个正方形，在这个正方形里面还有一个小正方形， 即看到的图形为， 故选：C． 2. 若方程的一个根是-3，则k的值是（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. -2 【答案】B 【解析】 【分析】把代入，即可得出的值. 【详解】 方程的一个根是-3， ， ， . 故选：B. 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，掌握“使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值是方程的解”是解题的关键. 3. 用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个如图1所示的菱形教具，此时测得，对角线长为8，改变教具的形状成为如图2所示的正方形，则正方形的边长为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解题关键．先根据菱形的性质和等边三角形的判定可得是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 则正方形边长为8， 故选：C． 4. 如图是小明在“综合与实践”课中“制作视力表”的相关内容：当测试距离为3m时，视力表中最大的“E”字高度为45mm，则当测试距离为5m时，视力表中最大的“E”字高度为（　　） A. 120mm B. 30mm C. 75mm D. 27mm 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用相似三角形的性质列比例式，代入可得结论． 【详解】解：由题意得：CB∥DF， ∴△ADF∽△ABC， ∴， ∵AD=3m，AB=5m，DE=45mm， ∴， ∴BC=75（mm）， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形应用，比较简单；根据生活常识，墙与地面垂直，则两张视力表平行，根据平行相似或平行线分线段成比例定理列比例式，可以计算出结果． 5. 在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在，那么可以推算出a大约是（ ） A. 12 B. 9 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是利用红球的个数除以总数等于频率． 【详解】解：∵a个球中红球有3个，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在， ∴， ∴． 故选：A． 6. 潜水运动是一种集水下观光、水下摄影、水下探索为一体的新兴运动形式，为保护潜水时的安全，会携带如图所示的水压表和深度表，图是一款深度表的简化电路图，定值电阻；压敏电阻的阻值随水的深度变化的图象如图所示，允许通过的最大电流．总电流随变化的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A. 电源电压，恒定不变 B. 随着下潜深度的增大，压敏电阻的阻值逐渐减小 C. 当救援队员下滑到水下深处，此时电路中的电流 D. 在电路安全的情况下，深度表能测量的最大深度为 【答案】D 【解析】 【分析】由可得，判断A正确；由图可判断B正确；救援队员下滑到水下深处，，电路中的电流，判断C正确；根据允许通过的最大电流，可得，即知深度表能测量的最大深度为，判断D错误． 【详解】解：根据图，由可知，，恒定不变，故A正确，不符合题意； 由图可知，随着下潜深度的增大，压敏电阻的阻值逐渐减小，故B正确，不符合题意； 救援队员下滑到水下深处，由图知，， ，由图知，电路中的电流，故C正确，不符合题意； 允许通过的最大电流， ， ， 由图可知，当时，深度表能测量的最大深度为，故D错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息． 7. 某校从本学期开始实施劳动教育，在学校靠墙（墙长22米）的一块空地上，开辟出一块矩形菜地，如图所示，矩形菜地的另外三边用一根长49米的绳子围成，并留1米宽的门，若想开辟成面积为300平方米的菜地，则菜地垂直于墙的一边的长为（ ） A. 10米 B. 12米 C. 15米 D. 不存在 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，根据题意设菜地垂直于墙的一边的长为为x米，则根据图并利用长宽面积，建立方程并求解即可． 【详解】解：设菜地垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边的长为米， 由题意列方程可得：，解得 当菜地垂直于墙的一边的长为10米时，平行于墙的一边的长为30米，大于墙长的22米， 所以菜地垂直于墙的一边的长为15米． 故选：B． 8. 小华参加植树活动，当太阳光线与地面成夹角时，直立树苗在地面的影长为，由于培土不足，树苗栽种后即刻沿太阳光线方向倒下，此过程中树苗的影长的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，再确定当大树与光线垂直时，影长最大，然后根据直角三角形的性质得出答案． 【详解】由题意，得（米）． 当树与光线垂直，即时，影长最长，最大影长为， 在中，， ∴（米）． 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，共15分） 9. 若，则k＝_____． 【答案】或﹣1． 【解析】 【分析】根据a+b+c的值是否为0分类讨论：a+b+c＝0时，根据等式的基本性质可得a＝﹣（b+c）,代入即可求出k；当a+b+c≠0时，根据等比性质即可求出k． 【详解】解：当a+b+c＝0时，a＝﹣（b+c），则k＝＝＝﹣1； 当a+b+c≠0时，根据等比性质可以得到：k＝＝＝． 则k＝或﹣1． 【点睛】此题考查的是比例的基本性质，掌握等比性质和分类讨论的数学思想是解决此题的关键. 10. 已知二次函数的图象如图所示，若方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，以及数形结合法；根据顶点坐标为，求出．根据题意可得求值即可． 【详解】解：由图象可知：二次函数的顶点坐标为， ∴，即， ∵有两个不相等的实数根， ∴ ∵抛物线开口向上 ∴ ∴ ∴． 故答案为． 11. 如图所示，在中，，，，则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理．过点C作，根据，得出和，根据，得，从而得出即可． 详解】解：过点C作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 如图，已知直角三角形，，小明想做一个以、为边的矩形，于是进行了以下操作： （1）测量得出的中点E； （2）连接并延长到，使得； （3）连接和．则四边形即为所求的矩形．理由是________． 【答案】有一个角是直角的平行四边形为矩形． 【解析】 【分析】先证四边形是平行四边形，再由，即可得出结论． 【详解】解：是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形为矩形， 故答案为：有一个角是直角的平行四边形为矩形． 【点睛】先证四边形是平行四边形，再由，即可得出结论． 13. 如图，在矩形中，，点E，F分别在边，上．将矩形沿折叠，使点B的对应点落在边上，得到四边形．若，，则的长为_______． 【答案】12 【解析】 【分析】如图所示，过点A作交于G，连接交于H，设交于M，可证明四边形是平行四边形，得到，由折叠的性质可得，证明，推出；再证明，得到，设，则，则，在中，由勾股定理得，解方程求出，，则，即可得到． 【详解】解：如图所示，过点A作交于G，连接交于H，设交于M， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，， ，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴，（舍去）， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，平行四边形的性质与判定等等，通过证明是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握相关运算的法则．根据特殊角三角函数值，零指数幂，绝对值的代数意义，二次根式的化简分别计算即可得到答案． 【详解】解： ． 15. 为了提高学生的阅读能力，我市某校开展了“读好书，助成长”的活动，购书前，对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，如图所示，请根据统计图回答下列问题： 调查问卷（单项选择） 你最喜欢阅读的图书类型是（    ） A．文学名著    B．名人传记    C．科学技术    D．其他 （1）本次调查共抽取了_____名学生，两幅统计图中的_____，____． （2）已知该校共有3600名学生，请你估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有多少人？ （3）学校将举办读书知识竞赛，九年级1班要在本班3名优胜者（2男1女）中随机选送2人参赛，求被选送的两名参赛者为一男一女的概率． 【答案】（1） （2）该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有1224人 （3） 【解析】 【分析】此题考查了列表法与树状图法；利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件A或B的结果数目，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．同时也考查了统计图． （1）用喜欢阅读“A”类图书的学生数除以它所占的百分比得到调查的总人数；用喜欢阅读“B”类图书的学生数所占的百分比乘以调查的总人数得到的值，然后用30除以调查的总人数可以得到的值； （2）用3600乘以样本中喜欢阅读“A”类图书的学生数所占的百分比即可； （3）画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出被选送的两名参赛者为一男一女的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：（人）， 所以本次调查共抽取了200名学生， ， ，即， 故此题答案为：； 【小问2详解】 解： （人）， 所以估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有1224人； 【小问3详解】 解：画树状图为： 共有6种等可能的结果数，其中被选送的两名参赛者为一男一女的结果数为4， 所以被选送的两名参赛者为一男一女的概率． 16. 在复习菱形的判定方法时，某同学进行了画图探究，其作法和图形如下： ①画线段AB； ②分别以点A，B为圆心，大于AB长的一半为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN交AB于点O； ③在直线MN上取一点C（不与点O重合），连接AC、BC； ④过点A作平行于BC的直线AD，交直线MN于点D，连接BD． （1）根据以上作法，证明四边形ADBC是菱形； （2）该同学在图形上继续探究，他以点O为圆心作四边形ADBC的内切圆，构成如图所示的阴影部分，若AB＝2，∠BAD＝30°，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）根据作法可得AC=BC，证明△ADO≌△BCO，根据对角线垂直平分的四边形ADBC是菱形即可证明结论； （2）结合（1）四边形ADBC是菱形，根据AB=2，∠BAD=30°，先求出圆O的半径，进而可以求图中阴影部分的面积． 【详解】解：（1）证明：根据作法可知：直线MN是AB垂直平分线， ∴AC=BC，OA=OB，MN⊥AB， ∵AD∥BC， ∴∠ADO=∠BCO， 在△ADO和△BCO中， ， ∴△ADO≌△BCO（AAS）， ∴OD=OC， ∵OA=OB，MN⊥AB， ∴四边形ADBC是菱形； （2）∵四边形ADBC是菱形， ∴， ∵∠BAD=30°， 设圆O切AD于点H，连接OH， 则OH⊥AD， ∴， ∴S圆O=， 在Rt△AOD中，∠DOA=30°，OA=， ∴， ∴CD=2OD=2， ∴S菱形ADBC=， ∴图中阴影部分的面积=S菱形ADBC-S圆O=． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，菱形的判定与性质，三角形内切圆与内心，切线的性质，圆的面积计算，解决本题的关键是证明四边形ADBC是菱形． 17. 某专卖店为了清理商品库存，对原来平均每天可销售40件，每件盈利60元的商品，进行降价处理，现每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件． （1）每件商品降价多少元时，该商店日盈利可达到3150元？ （2）试问，商店日盈利能否达到3300元？若能请求出此时商品售价，若不能，请说明理由． 【答案】（1）每件商品降价25元时，商场日盈利可达到3150元；（2）商场日盈利不能达到3300元，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）设每件商品降价x元时，商场日盈利可达到3150元，则商场每天多销售2x件，根据“某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件”，列出关于x的一元二次方程，解之即可； （2）设每件商品降价y元时，商场日盈利可达到3300元，则商场每天多销售2y件，根据“某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件”，列出关于y的一元二次方程，结合判别式公式，判断该方程根的情况，即可得到答案． 【详解】解：（1）设每件商品降价x元时，商场日盈利可达到3150元， 则商场每天多销售2x件， 根据题意得： （60﹣x）（40+2x）＝3150， 整理得：x2﹣40x+375＝0， 解得：x1＝15，x2＝25， ∵清理商品库存， ∴x＝25， 答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到3150元； （2）设每件商品降价y元时，商场日盈利可达到3300元， 则商场每天多销售2y件， 根据题意得： （60﹣y）（40+2y）＝3300， 整理得：y2﹣40y+450＝0， ∵△＝1600﹣1800 ＝﹣200＜0， ∴该方程无实数根， 即商场日盈利不能达到3300元， 答：商场日盈利不能达到3300元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的运用，正确假设未知数，找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键． 18. 在某初中的综合实践课上，老师给每一位同学发了一张直角三角形的纸片，，分别为．要求学生们利用它裁出一个面积尽可能大的正方形卡片． （1）甲同学很快完成了自己的设计（如图1），请你求出他裁出的正方形的边长． （2）乙同学看了甲同学的设计后提出了不同的设计方案，请利用图2大致画出草图，并求出乙同学裁出的正方形的边长．并比较哪位同学裁出的正方形卡片更大． 【答案】（1）甲同学裁出的正方形的边长是 （2）乙同学裁出的正方形的边长是，甲同学裁出的正方形卡片更大 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质及勾股定理． （1）正方形的边长为，利用，可证明，则，即有，进而即可求出正方形的边长； （2）乙同学裁出的正方形如图所示，过点C作于点H，交于点I， 利用的面积的两种表示方法可求出高的长度，设正方形的边长为，则，证明，从而得到，因而即可求出y的值，再比较甲、乙两位同学裁出的正方形卡片的边长的大小，即可得出结论． 【小问1详解】 解：，分别为， ， 由题意可知，四边形是正方形， 设正方形的边长为， ， ， ， ， ， 解得， 故甲同学裁出的正方形的边长为； 【小问2详解】 解：乙同学裁出的正方形如图所示， 过点C作于点H，交于点I， ， ， 由题意可知，四边形是正方形， 设正方形的边长为，则， ， ， ， ， 解得， 故乙同学裁出的正方形的边长为； ， 甲同学裁出的正方形卡片更大． 19. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，且满足．连接． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点Q是线段上一点，过点Q作轴，交抛物线于点P，E，F是抛物线对称轴上的两个点（点F在点E的上方），并且始终满足，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； （3）如图2，在（2）线段长度取得最大的前提下，将该抛物线沿射线的方向移动个单位长度，得到新的抛物线，求出新抛物线的解析式．抛物线交延长线于点K，新抛物线上是否存在动点N，使得若存在直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）6 （3）， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可，根据，，得到，，代入即可求得抛物线的解析式； （2）求出直线的解析式，设，则，得，当时，取得最大值，得，取，连接，则，得四边形是平行四边形，，的最小值，的最小值； （3）的顶点为，平移得到新抛物线的顶点为，解析式为，根据，得，求出解析式，当时，的解析式，得，解得；解析式为，得，解得． 【小问1详解】 解：∵中，当时，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为；． 【小问2详解】 解：设直线的解析式为 ∵，， ∴， 解得， ∴， 设， 则， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值， ∴， 取，连接， 则， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当点E在上时，取得最小值，， ∵， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：∵， ∴顶点为， ∵将该抛物线沿射线的方向移动个单位长度，得到新抛物线，且， ∴该抛物线向右平移2个单位长度，向上平移2个单位长度得到新抛物线， ∴新抛物线的顶点为， ∴新抛物线解析式为， 由（2）知， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 当时， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 与联立， 得， 解得（舍去）， ∴； 设直线解析式为， ∴， 解得，， ∴ 与联立， 得， 解得（舍去）， ∴； 综上，，． 【点睛】本题考查二次函数的综合题，作辅助线构造三角形，待定系数法求二次函数和一次函数解析式，平行四边形判定和性质，勾股定理，二次函数的图象平移和性质，平行线性质，等腰三角形判定和性质，分类讨论，是解题的关键． 20. 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．D、E分别是AB、AC边的中点，连接DE．现将△ADE绕A点逆时针旋转，连接BD，CE并延长交于点F． （1）如图2，点E正好落在AB边上，CF与AD交于点P． ①求证：AE•AB＝AD•AC； ②求BF的长； （2）如图3，若AF恰好平分∠DAE，直接写出CE的长． 【答案】（1）①证明见解析；②4 （2） 【解析】 【分析】(1)①可证得△ADE∽△ABC，进而命题得证；②作CG⊥AB于G，作FH⊥AB于H，可得BE＝6，解Rt△BCG求得BG，CG，进而求得EG，从而得出tan∠CEG，于是设EH＝a，FH＝2a，BH＝4a，由BE＝6可求得a，进而求得BF； (2)当AF平分∠DAE时，AF⊥BD，可证得∠EAH＝∠DEF＝∠DAF，设AF与DE的交点为O，作OG⊥AD于G，作AH⊥CF于H，设OG＝OE，在Rt△DOG求得a，然后解斜三角形ACE，进而求得结果． 【小问1详解】 ①证明：∵D、E分别是AB、AC边的中点， ∴DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴＝， ∴AE•AB＝AD•AC； ②解：如图1， 作CG⊥AB于G，作FH⊥AB于H， 在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝6， ∴AC＝8， ∴AE＝4， ∴BE＝AB﹣AE＝6， ∵BG＝BC•cos∠ABC＝6•＝6×＝， CG＝BC•sin∠ABC＝6×＝， ∴EG＝BE﹣BG＝6﹣＝， ∴tan∠FEH＝tan∠CEG＝， ∴tan∠FEH＝， 设EH＝a，FH＝2a， ∵tan∠FBE＝， ∴BH＝4a， ∵BH﹣EH＝BE， ∴4a﹣a＝6， ∴a＝2， ∴FH＝4，BH＝8， ∴BF＝＝＝4； 故答案为：． 【小问2详解】 如图2， 当AF平分∠DAE时，AF⊥BD， ∴∠AFD＝∠AED＝90°， ∴点A、E、F、D共圆， ∴∠DEF＝∠DAF， 设AF与DE的交点为O，作OG⊥AD于G，作AH⊥CF于H， ∵AF平分∠DAE， ∴OG＝OE，AG＝AF＝4， ∴DG＝AD﹣AG＝1， 设OG＝OE＝x， ∴OD＝3﹣x， 在Rt△DOG中， （3﹣x）2﹣x2＝12， ∴x＝， ∴OG＝OE＝， ∴tan∠DAF＝，sin∠DAF＝，cos∠DAF＝， ∵∠AED＝90°， ∴∠AEH+∠DEF＝90°， ∵∠AEH+∠EAH＝90°， ∴∠EAH＝∠DEF＝∠DAF， ∴EH＝AE•sin∠EAH＝4×＝， AH＝AE•cos∠EAH＝4×＝， ∴CH＝＝＝， ∴CE＝EH+CH＝， 故答案为：． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，直角三角形中勾股定理和锐角三角函数的综合熟练运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$