精品解析：2025届湖南省长沙市芙蓉区长沙铁路第一中学高三一模数学试题

2025届高三一模 数学 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 2.请将答案正确填写在答题卡上. 一、单选题（共40分） 1. 设是锐角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角和与差的余弦公式，结合齐次式弦化切可得，进而可得答案. 【详解】因为且， 所以， 故，结合， 解得. 故选：C. 2. 已知圆截直线所得弦的长度小于6，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准方程，再利用直线与圆相交的性质与圆的弦长公式得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为圆，可化为， 则其圆心为，半径为，且，即， 圆心到直线的距离为， 因为直线与圆相交，且所得弦的长度小于6， 所以，解得， 综上，，即 故选：D. 3. 已知平面向量均为单位向量，且夹角为，若向量与共面，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，然后由解方程组求出，再利用模长的定义求出即可. 【详解】设， 因为， 又，即， 解得， 所以，所以， 故选：B. 4. 某城市随机选取个人参加活动，假设该城市人口年龄分布均匀，要使得参加该活动有人生肖相同的概率大于，则至少需要选取（ ）个人. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分步计数原理及排列，先求得选取个人中生肖均不相同概率，再求出，即可求解. 【详解】已知个生肖，按先后顺序选择个人，每次选中的人有种等概率可能，由分步乘法原理共有种情况， 若选取个人中生肖均不相同，有种可能，故选取个人中生肖均不相同概率， 要使得参加该活动有人生肖相同的概率大于，即， 由于，即随n随n的增大而减小， ，，故至少要选个人， 故选：C 5. 郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（ ） A. 168种 B. 156种 C. 172种 D. 180种 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，用间接法分析，先分4步进行不受限制的排法数目，再排除计算其中小李和小王在一起的排法数目，从而可得答案 【详解】根据题意，设剩下的2个展区为丙展区和丁展区，用间接法分析： 先计算小李和小王不受限制的排法数学：先在6位志愿者中任选1个，安排在甲展区，有种情况， 再在剩下5个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有种情况， 最后将剩下的4个志愿者平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个展区，有种情况， 所以小李和小王不受限制的排法有种， 若小李和小王在一起，则两人去丙展区或丁展区，有2种情况： 在剩下的4位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有种情况， 再在剩下的3个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有种情况， 最后安排2个安排到剩下的展区，有1种情况， 则小李和小王在一起的排法有种， 所以小李和小不在一起的排法有种， 故选：B 6. 已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于两点，是的中点，点是上一点，若点的纵坐标为1，直线，则到的准线的距离与到的距离之和的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先联立与抛物线方程，结合已知、韦达定理求得，进一步通过抛物线定义、三角形三边关系即可求解，注意检验等号成立的条件. 【详解】由题得的焦点为，设倾斜角为的直线的方程为， 与的方程联立得， 设，则，故的方程为. 由抛物线定义可知点到准线的距离等于点到焦点的距离， 联立抛物线与直线，化简得， 由得与相离. 分别是过点向准线、直线以及过点向直线引垂线的垂足，连接， 所以点到的准线的距离与点到直线的距离之和,等号成立当且仅当点为线段与抛物线的交点， 所以到的准线的距离与到的距离之和的最小值为点到直线0的距离，即. 故选：D. 7. 已知函数满足，求在的导数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导，令，求得，在中，令求得答案. 【详解】因为， 所以，解得， . 故选：D. 8. 图1是蜂房正对着蜜蜂巢穴开口的截面图，它是由许多个正六边形互相紧挨在一起构成．可以看出蜂房的底部是由三个大小相同的菱形组成，且这三个菱形不在一个平面上．研究表明蜂房底部的菱形相似于菱形十二面体的表面菱形，图2是一个菱形十二面体，它是由十二个相同的菱形围成的几何体，也可以看作正方体的各个正方形面上扣上一个正四棱锥（如图3），且平面ABCD与平面ATBS的夹角为45°，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二面角平面角可得为，再在中利用余弦定理可求得结果. 【详解】 连接AC、BD相交于点O，连接SO，因四棱锥为正棱锥， 所以平面ABCD，取AB的中点E，连接SE、OE， 因为，所以， 所以即为平面ABCD与平面ATBS的夹角，即, 设，则， 所以，， 在中，由余弦定理， 故选：A． 二、多选题（共18分） 9. 已知函数满足对任意，都有，则（ ） A. B. 可能是增函数 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】取计算可判断AB；用代换可得，进而可得可判断D；取，可求得可判断D. 【详解】令，得，解得， 代入，得，所以A正确，B错误； 用替换中的，得， 用替换中的，得， 所以，故D正确； 中，取得，取得， 所以，故C正确. 故选：ACD. 10. 已知函数的最大值为，其部分图象如图所示，则（ ） A. B. 函数为偶函数 C. 在上恰有4个零点，则 D. 当时，函数的值域为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A：根据函数周期分析判断；对于B：根据函数最值分析判断；对于C：令，可得，以为整体，结合正弦函数性质分析判断；对于D：整理可得，结合正切函数分析求解. 【详解】对于选项A：因为， 由图象可知：函数的最小正周期， 且，则，解得，可得，故A正确； 对于选项B：由图可知：当时，函数取到最大值， 则， 整理可得，解得， 则， 所有为偶函数，故B正确； 对于选项C：令，可得， 因为，则， 若在上有4个零点， 则，解得，故C正确； 对于选项D：因为， 又因为，则，可得， 所以函数的值域为，故D错误； 故选：ABC. 11. 已知点，圆，则（ ） A. 圆与圆公共弦所在直线的方程为 B. 直线与圆总有两个交点 C. 圆上任意一点都有 D. 是的等差中项，直线与圆交于两点，当最小时，的方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A通过圆的方程相减即可判断，B通过直线过定点，点在圆内即可判断；C：求得的轨迹方程即可判断；D通过等差中项得到，确定直线过定点，由最小，得到圆心和弦中点的连线与直线，即可求解. 【详解】对于A:两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程：；错误 对于B：过定点，而在圆的内部，所以直线与圆总有两个交点，正确； 对于C:设，由可得：化简可得： ，所以满足条件的轨迹就是圆，正确； 对于D：因为是的等差中项，所以（不同时为0） 所以可化为，即 可令， 解得，则直线过定点， 设的圆心为， 当与直线垂直时，最小，此时， 即，得，结合 所以，解得 直线的方程为.正确 故选：BCD 三、填空题（共15分） 12. 在等差数列中，数列的前n项和为，，，若，则的最小值为________. 【答案】17 【解析】 【分析】根据给定条件，求出数列的通项公式，再由求出的各组值，计算比较得解. 【详解】在等差数列中，，解得，而，则， 数列的公差，则，由，得， 而，则或或或， 所以当时，的最小值为. 故答案为：17 13. 若一个正三棱台的各顶点之间的距离构成的集合为，且该三棱台的所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设正三棱台，先考察正三棱台的一个侧面，设，求得，设三棱台的上底面中心为，下底面中心为，利用三角形重心的性质求得，设球的半径为，，利用勾股定理即可求解． 【详解】设正三棱台.如图，先考察正三梭台的一个侧面. 设，在中，由于是钝角，故中最大的边是. 若，则和的长只能取1或.此时若两边长均为1和1，则不满足两边之和大于第三边； 若一边长1，一边长，则变为直角三角形； 若两边长均为，则的长只能为1，与矛盾. 因而只能是. 设三棱台的上底面中心为，下底面中心为. 如图，在直角梯形中求球的半径， 在直角梯形中求球的半径， 利用重心的性质容易求得， 设球的半径为，，由图1 得， 解得（舍）， 由图2得，解得， 故球的表面积为. 故答案为：． 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 14. 已知，且在单增，上单减，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据，求出，在单增，上单减求出. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以，因为在单增，上单减， 所以是的最大值点，所以， 所以，因为在单增，上单减， 所以单调区间长度大于等于，所以， 且，所以，所以. 故答案为：. 四、解答题（共77分） 15. 已知的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若，面积为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理，可得，得，则，即可求得； （2）由面积为，利用三角形面积公式可得，由余弦定理得，即，则可求得的值. 【小问1详解】 由正弦定理得，， 又， ， ，， ， ， ，. 【小问2详解】 面积为， ， ， ，， 由得， 即， . 16. 已知等比数列满足． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，求出，即可求出结果； （2）利用（1）中结果，得到，再利用等差数列的前项公式，即可求解. 【小问1详解】 设公比为，因为， 所以，解得，所以的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知， 所以. 17. 已知函数. （1）求函数的最大值； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）确定函数定义域，求出导函数，利用导数正负，可得函数的单调区间，从而求出函数的最大值；（1）分离参数，将问题转化为在上恒成立，令，利用导数研究在上的最大值即可得到答案. 【小问1详解】 函数的定义域为，且， 令，解得：， 令，解得： 所以的单调增区间为，单调减区间为， 则 【小问2详解】 不等式在上恒成立，即在上恒成立， 令， 则， 令，解得：， 令，解得： 所以的单调增区间为，单调减区间为， 则， 所以， 所以不等式在上恒成立，则实数取值范围为 18. 如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，为等边三角形，且平面平面． （1）作出点在平面的射影，并证明； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）作图见解析，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）要证明平面，应用余弦定理得出，再结合面面垂直性质定理得出平面，，最后根据线面垂直判定定理证明； （2）由平面底面时，建立空间直角坐标系，求解二面角的余弦公式即可. 【小问1详解】 在中，作，垂足为，点即为点在平面的射影．下面证明平面： 因为四边形为等腰梯形，所以， 在，中， ， ， 解得，． 又，，∴， ∴． 又平面平面，平面平面，平面， ∴平面， 又平面，∴． 又，，平面，∴平面． 【小问2详解】 连接点与的中点，则． 又平面平面，平面平面，平面，∴平面． 如图，以为原点，过点且平行于的方向为轴，直线，分别为轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，． 设平面的法向量为，易知，， 则取，则，，则． 设平面的法向量为，，， 则取，则，，则． ∴， 故平面与平面的夹角的余弦值为． 19. 某超市每天以4元/千克购进某种有机蔬菜，然后以7元/千克出售．若每天下午6点以前所购进的有机蔬菜没有全部销售完，则对未售出的有机蔬菜降价处理，以2元/千克出售，并且降价后能够把剩余所有的有机蔬菜全部处理完毕，且当天不再进货．该超市整理了过去两个月（按60天计算）每天下午6点前这种有机蔬菜的日销售量（单位：千克），得到如下统计数据．（注：视频率为概率，） 每天下午6点前的销售量/千克 250 300 350 400 450 天数 10 10 5 （1）求1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率； （2）在接下来的2天中，设为下午6点前的销售量不少于350千克的天数，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）由表格中的数据，结合对立事件的概率公式，即可求解； （2）根据题意，得到随机变量的可能值为，结合独立重复试验的概率计算公式，求得相应的概率，列出分布列，利用期望公式，即可求解． 【小问1详解】 解：由表格中的数据，可得1天下午6点前的销售量不小于350千克的概率为． 【小问2详解】 解：依题意，1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率， 随机变量的可能值为， 可得：， ， ， 所以随机变量的分布为： 0 1 2 所以的数学期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三一模 数学 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 2.请将答案正确填写在答题卡上. 一、单选题（共40分） 1. 设是锐角，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆截直线所得弦的长度小于6，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量均为单位向量，且夹角为，若向量与共面，且满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 某城市随机选取个人参加活动，假设该城市人口年龄分布均匀，要使得参加该活动有人生肖相同的概率大于，则至少需要选取（ ）个人. A. B. C. D. 5. 郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（ ） A. 168种 B. 156种 C. 172种 D. 180种 6. 已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于两点，是的中点，点是上一点，若点的纵坐标为1，直线，则到的准线的距离与到的距离之和的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数满足，求在的导数（ ） A. B. C. D. 8. 图1是蜂房正对着蜜蜂巢穴开口的截面图，它是由许多个正六边形互相紧挨在一起构成．可以看出蜂房的底部是由三个大小相同的菱形组成，且这三个菱形不在一个平面上．研究表明蜂房底部的菱形相似于菱形十二面体的表面菱形，图2是一个菱形十二面体，它是由十二个相同的菱形围成的几何体，也可以看作正方体的各个正方形面上扣上一个正四棱锥（如图3），且平面ABCD与平面ATBS的夹角为45°，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共18分） 9. 已知函数满足对任意，都有，则（ ） A. B. 可能是增函数 C. D. 10. 已知函数的最大值为，其部分图象如图所示，则（ ） A B. 函数为偶函数 C. 在上恰有4个零点，则 D. 当时，函数的值域为 11 已知点，圆，则（ ） A. 圆与圆公共弦所在直线的方程为 B. 直线与圆总有两个交点 C 圆上任意一点都有 D. 是的等差中项，直线与圆交于两点，当最小时，的方程为 三、填空题（共15分） 12. 在等差数列中，数列的前n项和为，，，若，则的最小值为________. 13. 若一个正三棱台的各顶点之间的距离构成的集合为，且该三棱台的所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为__________. 14. 已知，且在单增，上单减，则_________ 四、解答题（共77分） 15. 已知的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若，面积为，求的值. 16 已知等比数列满足． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 17. 已知函数. （1）求函数的最大值； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，为等边三角形，且平面平面． （1）作出点在平面的射影，并证明； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 19. 某超市每天以4元/千克购进某种有机蔬菜，然后以7元/千克出售．若每天下午6点以前所购进的有机蔬菜没有全部销售完，则对未售出的有机蔬菜降价处理，以2元/千克出售，并且降价后能够把剩余所有的有机蔬菜全部处理完毕，且当天不再进货．该超市整理了过去两个月（按60天计算）每天下午6点前这种有机蔬菜的日销售量（单位：千克），得到如下统计数据．（注：视频率为概率，） 每天下午6点前的销售量/千克 250 300 350 400 450 天数 10 10 5 （1）求1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率； （2）在接下来的2天中，设为下午6点前的销售量不少于350千克的天数，求的分布列和数学期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$