精品解析：2025年河南省驻马店市驿城区中考第一次模拟数学试卷

2025河南省中考模拟卷（一） 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 早在两千多年前，中国人就开始使用负数，如果收入元记作元，那么支出元可以记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 如图，下列关于点P位于点O的方向，表述正确的是（ ） A. 西北方向 B. 西偏北 C. 北偏西 D. 北偏西 3. 2024年国庆档电影总票房21.04亿元，排名第一的电影《志愿军：存亡之战》票房为8.05亿元．其中数据21.04亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 在一次定点投篮比赛（每人投10次）中，甲组6位同学投中的次数分别为4，5，6，6，7，8，记录员在誊抄时，误把其中的4抄成了9，那么该同学所誊抄的数据和原数据相比，不变的统计量是（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 众数 5. 将不等式组的解集表示在数轴上，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个面积为14的小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形较长直角边的长为a，较短直角边的长为b，若，则大正方形的边长为（ ） A B. 6 C. 5 D. 4 7. 为改善办学条件，提升教学质量，某校计划投资80万元对教室进行升级改造．为了保证质量，实际每间教室的改造费用比原计划增加了，并比原计划多改造了5间教室，总投资追加了40万元．根据题意，实际每间教室的改造费用是（ ） A. 3万元 B. 4万元 C. 万元 D. 6万元 8. 如图，在中，平分交于点D，过点D作交于点E，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 4 9. 某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，并在门洞外侧沿圆弧形边缘装一条灯带．如图，已知矩形的宽为，高为，圆弧所在的圆外接于矩形，则需要的灯带的长度至少是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，某数学兴趣社团设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻．（单位：），当人站上踏板时，通过电压表显示的读数（单位：V）换算为人的质量（单位：）．已知随着变化的关系图象如图2所示，与踏板上人的质量的关系见图3．则下列说法正确的是（ ） A. 在一定范围内，越大，越小 B. 当时，踏板上人质量为 C. 当踏板上人质量为时， D. 若电压表量程为，为保护电压表，则该电子体重秤可称的最大质量是 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 单项式次数是______． 12. 若抛物线（c是常数）与x轴有且仅有一个公共点，则c的值是________． 13. 老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将4种生活现象制成如图所示的4张无差别的卡片A，B，C，D．将卡片背面朝上，小明同学从中随机抽取2张卡片，则所抽取的2张卡片刚好都是物理变化的概率是____________________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的顶点A，B在x轴上，顶点F在y轴上．把正六边形绕点O逆时针旋转，每次旋转，当连续旋转2025次后，顶点D的对应点的坐标是________． 15. 如图，在中，，D是平面内一点，，连接、E为的中点，连接，则的最小值为________，最大值为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 为贯彻新时代党的教育方针政策、落实立德树人根本任务，某中学开展了人文、科技、艺术、体育和劳动五类特色社团课程、每人限选一类、学校为了解七年级学生对五类特色社团课程的选择情况，随机抽取m名七年级学生进行了问卷调查，并将调查统计结果制成如图所示的两幅不完整统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）________，扇形统计图中科技类对应的圆心角的度数为________； （2）请补全条形统计图； （3）若该校七年级有1200名学生，请你估计该校七年级选择科技和劳动两类特色社团课程的人数之和， 18. 根据图中情景，解答下列问题： （1）购买m斤A糖果需多少元？（请用含m的式子表示） （2）欣欣比亮亮多买2斤，付款时欣欣反而比亮亮少7元，你认为这种情况有可能吗？请利用方程知识说明理由． 19. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，点B在第一象限内，顶点C在y轴上，经过点A的反比例函数的图象交于点D． （1）求k的值； （2）连接，求的面积． 20. 为营造浓厚的阅读氛围，建设馨香书坊，提升民众生活幸福感，某书坊要在门外安装遮阳篷，便于读者休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为4米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米．参考数据：，，） 21. 如图，热爱生活的兰兰想对自家阳台上的栏杆进行装饰，把每根柱子下段涂色．测量发现长为，栏杆被12根柱子等分成13份，使每根柱子上涂有颜色部分的顶端及点A，B所在曲线呈抛物线形（柱子宽度忽略不计），且左起第4根柱子涂色部分的高度．请完成下列任务： （1）求左起第一根柱子涂色部分的高度； （2）爸爸想了想说，有两根相邻的柱子涂色部分的高度相差，请你帮兰兰求出这两根柱子分别是左起第几根． 22. 如图，已知及外一点P． （1）用无刻度的直尺和圆规，按下列作图步骤完成作图并准确标注字母． ①作出线段垂直平分线交于点A； ②以点A为圆心，为半径作，与交于点B（点B位于直线上侧），作直线． （2）在（1）条件下，设（1）中所作垂直平分线交于点C． ①求证：是的切线； ②若，求的长． 23. 综合与实践课上，老师带领学生利用两张完全一样的平行四边形纸片开展操作实验，他们从中发现了许多有趣的数学问题，请你和他们一起进行探究．已知与中，． （1）黑洞小组将与按图1所示的方式摆放，其中，点B与点重合，点落在边上，点落在边的延长线上，，交于点E，连接，，则的度数是________，的长度是________． （2）志高小组在图1的基础上进行了如下操作：保持不动，将绕点B沿顺时针方向旋转，连接． ①如图2，当线段与交于点P时，连接，求证：点P在的垂直平分线上； ②在旋转的过程中，当点恰好落在线段的延长线上时，请在图3中补全图形，并直接写出此时点D，之间的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025河南省中考模拟卷（一） 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 早在两千多年前，中国人就开始使用负数，如果收入元记作元，那么支出元可以记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】D 【解析】 【分析】根据正数与负数的意义解答即可． 【详解】解：如果收入元记作元，那么支出元应记作元． 故选：D． 【点睛】本题考查正数与负数．理解正数与负数的意义是解题的关键． 2. 如图，下列关于点P位于点O的方向，表述正确的是（ ） A. 西北方向 B. 西偏北 C. 北偏西 D. 北偏西 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是方向角的含义，先求解，再结合方向角的含义可得答案． 【详解】解：∵， ∴点P位于点O的北偏西， 故选：D 3. 2024年国庆档电影总票房21.04亿元，排名第一的电影《志愿军：存亡之战》票房为8.05亿元．其中数据21.04亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：21.04亿． 故选B． 4. 在一次定点投篮比赛（每人投10次）中，甲组6位同学投中的次数分别为4，5，6，6，7，8，记录员在誊抄时，误把其中的4抄成了9，那么该同学所誊抄的数据和原数据相比，不变的统计量是（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 众数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义，根据平均数、中位数、众数、方差的意义解答即可． 【详解】解：∵误把其中的4抄成了9，6的个数不变， ∴不变的统计量是众数． 故选D． 5. 将不等式组的解集表示在数轴上，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解不等式组时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了．首先解出不等式组，然后根据不等式组的解集进行判断． 【详解】解：由，得， 由，得， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示不等式组的解集为：． 故选：A． 6. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个面积为14的小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形较长直角边的长为a，较短直角边的长为b，若，则大正方形的边长为（ ） A. B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的应用，解题的关键是熟练运用各个图形之间的面积关系列出等式，本题属于基础题型．根据大正方形的面积等于小正方形的面积和4个直角三角形的面积和，求得大正方形的面积，即可求出大正方形的边长． 【详解】解：，小正方形的面积为14， 大正方形的面积， 大正方形的边长为， 故选：B． 7. 为改善办学条件，提升教学质量，某校计划投资80万元对教室进行升级改造．为了保证质量，实际每间教室的改造费用比原计划增加了，并比原计划多改造了5间教室，总投资追加了40万元．根据题意，实际每间教室的改造费用是（ ） A. 3万元 B. 4万元 C. 万元 D. 6万元 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系．设原计划每间教室的建设费用是x万元，则实际每间建设费用为万元，根据“实际每间建设费用增加了，并比原计划多建设了5间教室，总投资追加了40万元”列出方程求解即可． 【详解】解：设原计划每间教室的建设费用是x万元，则实际每间建设费用为万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， （万元） 答：原计划每间教室的建设费用是万元， 故选：C． 8. 如图，在中，平分交于点D，过点D作交于点E，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．先根据等腰三角形的判定可得，从而可得，再证出，根据相似三角形的性质即可得． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， 故选：A． 9. 某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，并在门洞外侧沿圆弧形边缘装一条灯带．如图，已知矩形的宽为，高为，圆弧所在的圆外接于矩形，则需要的灯带的长度至少是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，矩形的性质以及勾股定理的应用，从实际问题转化为数学模型是解题的关键．利用勾股定理先求得圆弧形的门洞的直径，再利用矩形的性质证得是等边三角形，得到，进而求得门洞的圆弧所对的圆心角为，利用弧长公式即可求解． 【详解】解：如图，连接，，交于点， ∵ ， ∴是直径， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴等边三角形， ∴， ∴门洞的圆弧所对的圆心角为 ， ∴改建后门洞的圆弧长是， 故选：C． 10. 如图1，某数学兴趣社团设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻．（单位：），当人站上踏板时，通过电压表显示的读数（单位：V）换算为人的质量（单位：）．已知随着变化的关系图象如图2所示，与踏板上人的质量的关系见图3．则下列说法正确的是（ ） A. 在一定范围内，越大，越小 B. 当时，踏板上人的质量为 C. 当踏板上人的质量为时， D. 若电压表量程为，为保护电压表，则该电子体重秤可称的最大质量是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数与图象，解题的关键是理解题意，能够根据函数图象获取信息．根据所给函数图象，可判断A、B选项；根据函数关系式和函数图象，分别求出质量为和时的阻值，可判断C选项；根据函数图象和一次函数的增减性，可判断D选项． 【详解】解：A、由图2可知，在一定范围内，越大，越小， 由可得，越小，越大，原说法错误，不符合题意； B、由图2可知，当时，的阻值为， ∴，解得：， 原说法正确，符合题意； C、由图3关系式可知，当踏板上人的质量为时，，由图2可知，时，，原说法错误，不符合题意； D、当电压表量程为时，由图2可知，当，阻值最小为， 由可知，随着的增大而减小，则当时，有最大值， ，解得：，即该电子体重秤可称的最大质量是，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 单项式次数是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了单项式的次数，熟记“一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数”是解题关键． 【详解】解：单项式次数是3， 故答案为：3． 12. 若抛物线（c是常数）与x轴有且仅有一个公共点，则c的值是________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据抛物线与x轴有且仅有一个公共点，可知，从而可以求得的值，本题得以解决． 【详解】解：抛物线与x轴有且仅有一个公共点， ， 解得，， 故答案为：1． 13. 老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将4种生活现象制成如图所示的4张无差别的卡片A，B，C，D．将卡片背面朝上，小明同学从中随机抽取2张卡片，则所抽取的2张卡片刚好都是物理变化的概率是____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 画树状图得出所有等可能的结果数以及所抽取的2张卡片刚好都是物理变化的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中所抽取的2张卡片刚好都是物理变化的结果有：，，共2种， ∴所抽取的2张卡片刚好都是物理变化的概率为 ． 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的顶点A，B在x轴上，顶点F在y轴上．把正六边形绕点O逆时针旋转，每次旋转，当连续旋转2025次后，顶点D的对应点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，规律型问题，坐标与图形变化—旋转，学会探究规律方法是解题的关键．连接、，首先确定点的坐标，再根据6次一个循环，由，推出经过第2025次旋转后，顶点的坐标与第三次旋转得到的的坐标相同即可解答． 【详解】解：如图，连接，． 在正六边形中，，，， ， 在中，，， ， ， ， ， 将正六边形绕坐标原点顺时针旋转，每次旋转，6次一个循环， ， 经过第2025次旋转后，顶点的坐标与第3次旋转得到的的坐标相同， 与关于原点对称， ， 经过第2025次旋转后，顶点D的对应点的坐标是， 故答案为：． 15. 如图，在中，，D是平面内一点，，连接、E为的中点，连接，则的最小值为________，最大值为________． 【答案】 ①. 2 ②. 3 【解析】 【分析】如图，取的中点，连接，求解，在以为圆心，为半径的上运动，连接交于，则为最小，为最长，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵为的中点，， ∴， ∴在以为圆心，为半径的上运动， 连接交于，则为最小，为最长， ∵， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴，， ∴的最小值为2，最大值为3； 故答案为：2，3 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，圆的确定，圆外一点与圆上各点的距离的最值问题，确定E的轨迹是解本题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是整式的混合运算，负整数指数幂的含义，二次根式的加减运算； （1）先化简绝对值，化简二次根式，计算负整数指数幂，再合并即可； （2）利用完全平方公式，平方差公式计算整式的乘法运算，再合并即可． 【详解】解：（1） ； （2） 17. 为贯彻新时代党的教育方针政策、落实立德树人根本任务，某中学开展了人文、科技、艺术、体育和劳动五类特色社团课程、每人限选一类、学校为了解七年级学生对五类特色社团课程的选择情况，随机抽取m名七年级学生进行了问卷调查，并将调查统计结果制成如图所示的两幅不完整统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）________，扇形统计图中科技类对应的圆心角的度数为________； （2）请补全条形统计图； （3）若该校七年级有1200名学生，请你估计该校七年级选择科技和劳动两类特色社团课程的人数之和， 【答案】（1）60， （2）见解析 （3）大约有540人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、用样本估计总体及扇形统计图，应充分理解部分与整体之间关系，注意运用数形结合的思想方法，从条形统计图和扇形统计图中给出的信息寻找突破口． （1）由统计图可得，人文的频数为12，占调查人数的，根据频率频数总数可求出m；根据频率频数总数可求出科技所占的百分比，确定m的值； （2）求出艺术的频数即可补全条形统计图； （3）样本估计整体，求出样本中“科技”和“劳动”所占的百分比，进而估计整体中“科技”和“劳动”所占的百分比，进而求出答案． 【小问1详解】 解：本次随机抽取的学生人数（名）， 扇形统计图中科技类对应的圆心角的度数为； 【小问2详解】 解：艺术频数为（人）， 补全条形统计图如图所示： 【小问3详解】 解：（人）． 答：估计该校七年级选择科技和劳动两类特色社团课程的人数之和大约有540人． 18. 根据图中情景，解答下列问题： （1）购买m斤A糖果需多少元？（请用含m的式子表示） （2）欣欣比亮亮多买2斤，付款时欣欣反而比亮亮少7元，你认为这种情况有可能吗？请利用方程知识说明理由． 【答案】（1）当时，购买m斤A糖果需元，当时，购买m斤A糖果需元； （2）有可能，欣欣购买了斤，亮亮买了斤． 【解析】 【分析】本题考查的是列代数式，一元一次方程的应用； （1）根据分段收费的方式列代数式即可； （2）设亮亮买了斤，则欣欣买了斤，付款时欣欣反而比亮亮少7元，则，而，再建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：当时， 购买m斤A糖果需元， 当时，（元）； 【小问2详解】 解：这种情况有可能，理由如下： 设亮亮买了斤，则欣欣买了斤，付款时欣欣反而比亮亮少7元，则，而，则 ， 解得：， ∴欣欣购买了斤，亮亮买了斤． 19. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，点B在第一象限内，顶点C在y轴上，经过点A的反比例函数的图象交于点D． （1）求k的值； （2）连接，求的面积． 【答案】（1）12 （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何问题，菱形的性质，进行数形结合的思想做题是解题的关键． （1）把代入反比例函数解析式即可解答； （2）求得菱形的边长，说明的面积为菱形面积的一半，再计算，即可解答． 【小问1详解】 解：把代入反比例函数解析式， 可得，解得； 【小问2详解】 解：根据勾股定理可得， 四边形是菱形， ， 设菱形在边上的高为， ， ． 20. 为营造浓厚的阅读氛围，建设馨香书坊，提升民众生活幸福感，某书坊要在门外安装遮阳篷，便于读者休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为4米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米．参考数据：，，） 【答案】阴影的长约为米． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，求出相关线段的长度．过作于，于，在中，（米），（米），可得米，（米），而，知米，故，计算即可． 【详解】解：过作于，于，如图： 在中， （米），（米）， ， 四边形是矩形， 米，（米）， 在中， ， 米， （米）， 阴影的长约为米． 21. 如图，热爱生活的兰兰想对自家阳台上的栏杆进行装饰，把每根柱子下段涂色．测量发现长为，栏杆被12根柱子等分成13份，使每根柱子上涂有颜色部分的顶端及点A，B所在曲线呈抛物线形（柱子宽度忽略不计），且左起第4根柱子涂色部分的高度．请完成下列任务： （1）求左起第一根柱子涂色部分的高度； （2）爸爸想了想说，有两根相邻的柱子涂色部分的高度相差，请你帮兰兰求出这两根柱子分别是左起第几根． 【答案】（1）左起第一根柱子涂色部分的高度为． （2）相邻的两根栏杆分别是左起第7根与第8根或第5根与第6根． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解决此类型题一般先根据题意设出适当的二次函数表达式（一般式、顶点式或交点式），再结合实际和二次函数的图象与性质进行求解． （1）建立的平面直角坐标系如解图所示，设抛物线的表达式为，利用待定系数法求函数解析式，再进一步求解即可； （2）设相邻两栏杆中左边一根栏杆为第m根，然后再代入解方程即可． 【小问1详解】 解：建立的平面直角坐标系如图所示． 设抛物线的表达式为． ∵， ∴． ∵隔离栏的长被12根栏杆等分成13份， ∴ ， 将，代入， 得，解得． ∴抛物线的表达式为． ∵， 当时，， ∴左起第一根柱子涂色部分的高度为． 小问2详解】 解：当左边栏杆涂色部分高于右边栏杆时，设相邻两栏杆中左边一根栏杆为第m根， 则， 解得． 故第7根与第8根的高度差为米． 由抛物线的对称性可知第5根与第6根的高度差也为米． 答：相邻的两根栏杆分别是左起第7根与第8根或第5根与第6根． 22. 如图，已知及外一点P． （1）用无刻度的直尺和圆规，按下列作图步骤完成作图并准确标注字母． ①作出线段垂直平分线交于点A； ②以点A为圆心，为半径作，与交于点B（点B位于直线上侧），作直线． （2）在（1）的条件下，设（1）中所作垂直平分线交于点C． ①求证：是的切线； ②若，求的长． 【答案】（1）作图见解析 （2）①证明见解析，② 【解析】 【分析】此题考查了基本作图、切线的判定、圆周角定理、勾股定理等知识，准确作图和添加辅助线是解题的关键． （1）按照要求进行作图即可； （2）①连接，由是的直径得到，即于点B，即可证明结论成立；②连接，由勾股定理求出，设，结合垂直平分线的性质可得，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 【小问2详解】 证明：①连接， ∵是的直径， ∴， 即于点B， ∴是的切线． ②连接， ∵，， ∴， ∵为的垂直平分线 ∴， 设，则， 在中， ∴ 解得：． ∴． 23. 综合与实践课上，老师带领学生利用两张完全一样的平行四边形纸片开展操作实验，他们从中发现了许多有趣的数学问题，请你和他们一起进行探究．已知与中，． （1）黑洞小组将与按图1所示的方式摆放，其中，点B与点重合，点落在边上，点落在边的延长线上，，交于点E，连接，，则的度数是________，的长度是________． （2）志高小组在图1的基础上进行了如下操作：保持不动，将绕点B沿顺时针方向旋转，连接． ①如图2，当线段与交于点P时，连接，求证：点P在的垂直平分线上； ②在旋转的过程中，当点恰好落在线段的延长线上时，请在图3中补全图形，并直接写出此时点D，之间的距离． 【答案】（1）， （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）证明四边形是菱形，结合菱形的性质可得的度数，连接，判断为等边三角形即可． （2）①连接，，，，如图，依次证明，，，利用全等三角形的性质可得结论，②画出满足条件的图形，证明是等边三角形，再利用等边三角形可求解． 【小问1详解】 解：与中，，，， 四边形是菱形． 平分， ∵， ∴； ∵四边形是菱形， ，， ， ， ， 为等边三角形， ， 故答案为：，． 【小问2详解】 证明：①连接，，，，如图， 在与中，，，， ，，，，， ∴， ， ，， ∴， ∴， ∴， 同理：，而， ∴， ∴， ∴， 在线段的垂直平分线上． ②如图，当点恰好落在线段的延长线上时，补全图形如下： 与中，，，， ，，， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，图形的旋转，全等三角形的判定与性质，等腰三角的性质定，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质．作出合适的辅助线进行解题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $