专题19 全等三角形 【八大题型】- 2025年中考数学一轮复习（全国通用版）

专题19 全等三角形 1 全等三角形 1.1 全等三角形的概念 （1）概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形；能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形; （2）把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角. 1.2 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 1.3 全等三角形的判定 ① 三边对应相等的两个三角形确全等（简称“边边边”或“”）； ② 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形确全等（简称“边角边”或“”）； ③ 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形确全等（简称“边角边”或“”）； ④ 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形确全等（简称“角角边”或“”）； ⑤ 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称“斜边直角边”或“”）. 【题型1】 全等形 【典题1】 下列图案中，属于全等形的是（ ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1.下列各组给出的两个图形中，全等的是（    ） A． B． C． D． 2.如图，平面上有两个全等的正八边形，为（    ） A． B． C． D． 【题型2】 利用全等三角形的性质求解 【典题1】 （2024·江苏徐州·模拟预测）如图，在中，，，．点D在上，且．连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，分别连接，．则的面积为（    ）． A．3 B． C． D． 【巩固练习】 1.（2024·河北秦皇岛·二模）如图，，有以下结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的个数是（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.（2024·浙江·中考真题）如图，正方形由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成，连接．若，则（    ） A．5 B． C． D．4 3.三个全等三角形按下图的形式摆放，则的度数等于 ． 【题型3】 添加一个条件使两个三角形 【典题1】（2014·贵州黔西·中考真题）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1.（2023·四川凉山·中考真题）如图，点在上，，，添加一个条件，不能证明的是（　　）    A． B． C． D． 2.（2023·四川成都·二模）如图，是内的一条射线，D、E、F分别是射线、射线、射线上的点，D、E、F都不与O点重合，连接，添加下列条件，能判定的是（   ） A．， B．，， C．， D．， 【题型4】 灵活选择判定方法证明全等 【典题1】 如图，中，为上一点，为延长线上一点，且，过点作于点，过点作交的延长线于点，且，连交边于．求证：    (1)； (2)． 【巩固练习】 1.如图，在的方格中，每个小方格的边长均为，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2.（2022·河北保定·二模）如图，以正方形ABCD的边AB为半径，点B为圆心作弧AC，以AD为直径作半圆弧AD，两弧交于点E．若的面积为5，则正方形ABCD的面积为（    ） A．15 B． C．25 D． 3.如图：在中，、分别是、两边上的高，在上截取，在的延长线上截取，连接、．试猜想线段与的关系，并证明你的猜想． 【题型5】 全等三角形模型之倍长中线模型 【典题1】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： (1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程． (2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．请判AC与BF的数量关系，并说明理由． 【巩固练习】 1.（2023·贵州黔东南·一模）如图，在中，，，为的中点，，则的面积是（    ） A．16 B． C．8 D． 2.（2024·内蒙古鄂尔多斯·三模）生命中总有些节点，如同一条线段的中点，它既是过去与未来的交汇，也是静默与喧嚣的界碑．如图，点D是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ）．    A． B． C． D． 【题型6】 全等全等三角形模型之手拉手模型 【典题1】 如图，O是正内一点，，，．将线段以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段，下列结论错误的是（    ） A．点O与的距离为4 B． C．S四边形AOBO′ D． 【典题2】（2023·山东泰安·二模）如图，正方形中，，点E是对角线上的一点，连接．过点E作，交于点F，以、为邻边作矩形，连接，．    (1)求证：①； ②矩形是正方形； (2)求的值． 【巩固练习】 1.（2021·辽宁大连·二模）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到，点C的对应点为点，的延长线交BC于点D，连接AD．则下列说法错误的是（ ） A． B． C． D．AD平分 2.（2023·广东中山·三模）如图，在菱形中，，．点E、F同时从A、C两点出发，分别沿，方向向点匀速移动（到点即停止）．点的速度为，点的速度为，经过后恰为等边三角形，则此时的值为 ．    3.如图，在正方形ABCD中，，点M在CD的边上，且，与关于AM所在的直线对称，将按顺时针方向绕点A旋转90°得到，连接EF，则线段EF的长为 ． 4.（2021·江苏连云港·三模）如图，正方形ABCD中，AB=，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=4，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF，则线段OF长的最小值为 5.（2023·河南安阳·二模）在平面直角坐标系中，过第一象限内点A作轴与x轴交于点B，作轴于点C，，反比例函数(，)的图象经过点A，四边形的面积为16． (1)如图，则点A的坐标为 ，k= ； (2)反比例函数的图象上有点，y轴正半轴上有点，且，求的长． 6.（2024·贵州遵义·模拟预测）如图①，在中，，，点在边上，连接，点在射线上，连接． (1)如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，．求证：； (2)若点是的中点，连接，求的最小值； (3)如图②，若于点，求的值． 【题型7】 全等三角形模型之一线三垂直模型 【典题1】如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，已知点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【典题2】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，根据图象直接写出x的取值范围； (3)设点E为第一象限内反比例函数图象上的点，当时，求直线BE的函数表达式． 【巩固练习】 1.如图，在和中，，，点B、C、E在同一条直线上．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 2.如图，直线l1与x轴、y轴分别交于，，直线l2经过点B且与x轴负半轴交于点C，，若线段上存在一点P，使是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则P点坐标为 ．    3.（2024·黑龙江佳木斯·一模）是等腰三角形， ，M是的中点，D 为射线上一点（不与点 B，C重合）、连接 并延长到点 E，使得，连接．过点 B作的垂线交直线于点 F． (1)如图①，点D在线段上，线段，， 之间的有怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明： (2)当点D在线段上时，如图②；当点D在的延长线上时，如图③，直接写出线段，， 之间的数量关系，不需证明． 【题型8】 全等三角形的综合性问题 【典题1】（2024·山东·模拟预测）如图，在中，，，是等边三角形，点D在边上． (1)如图1，当点E在边上时，求证； (2)如图2，当点E在内部时，猜想和数量关系，并加以证明； (3)如图1，当点E在外部时，于点H，过点E作，交线段的延长线于点G， ，．求的长． 【巩固练习】 1.（2022·辽宁沈阳·二模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝4，若点M是AB的中点，点D在直线CB上，将MD绕点M顺时针旋转90°得到MN，连接AN，则AN+MN的最小值为 ． 2.【问题提出】如图1，在中，，直线l经过点，分别从点向直线l作垂线，垂足分别为．求证：； 【变式探究】如图2，在中，，直线1经过点，点分别在直线l上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，是边上的高．延长交于点． （1）求证：点到直线的距离相等； （2）经测量，，求的长． 3.已知为等边三角形，D是边上的一点，连接，E为上的一点，连接． (1)如图1，延长交于点G．若，，求的长； (2)如图2，将绕点B逆时针旋转至，延长至点M，使得，连接交于点N，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）问的条件下，过点A作于点H，过点B作且，连接，，，．若，当的值最小时，请直接写出的值． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19 全等三角形 1 全等三角形 1.1 全等三角形的概念 （1）概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形；能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形; （2）把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角. 1.2 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 1.3 全等三角形的判定 ① 三边对应相等的两个三角形确全等（简称“边边边”或“”）； ② 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形确全等（简称“边角边”或“”）； ③ 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形确全等（简称“边角边”或“”）； ④ 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形确全等（简称“角角边”或“”）； ⑤ 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称“斜边直角边”或“”）. 【题型1】 全等形 【典题1】 下列图案中，属于全等形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等图形，熟知概念是关键． 能够完全重合的图形叫做全等图形，根据定义解答即可． 【详解】解：观察各选项：只有选项中的两个图案能够完全重合，选项、、中的两个图案不能够完全重合； 故选：A． 【巩固练习】 1.下列各组给出的两个图形中，全等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等形的定义：能够完全重合的两个平面图形叫做全等形．根据全等形的形状相同、大小相等逐项分析即可． 【详解】解：选项A、B、D中的两个图形的形状不一样，不是全等形，故不符合题意； 选项C中的两个图形能够完全重合，是全等形，故符合题意； 故选：C． 2.如图，平面上有两个全等的正八边形，为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是多边形内角和公式、全等性质、菱形的判定与性质，解题关键是熟练掌握多边形内角和公式． 现根据多边形内角和公式求出，再根据全等性质、菱形的判定与性质即可求出． 【详解】解：如图， 正八边形的一个内角度数为， ， ∵平面中这两个正八边形全等， ， 四边形是菱形， ． 故选：． 【题型2】 利用全等三角形的性质求解 【典题1】 （2024·江苏徐州·模拟预测）如图，在中，，，．点D在上，且．连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，分别连接，．则的面积为（    ）． A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质．根据旋转得到 ，然后得到，，利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：由，，，， 可得，，， 由旋转可知 ， 所以，， 所以， 所以． 【巩固练习】 1.（2024·河北秦皇岛·二模）如图，，有以下结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的个数是（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是全等三角形的性质；掌握三角形全等的性质是解题的关键． 根据已知找准对应关系，运用三角形全等的性质“全等三角形的对应角相等，对应边相等”求解即可． 【详解】解：， ，，故③正确； ， 即，故④正确； 与不是对应边，不能求出二者相等，也不能求出， 故①、②错误； ∴正确的有③④共2个． 故选：B． 2.（2024·浙江·中考真题）如图，正方形由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成，连接．若，则（    ） A．5 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的信纸，求得的长度，利用勾股定理即可解答，利用全等三角形的性质得到是解题的关键． 【详解】解：是四个全等的直角三角形， ，， ， 四边形为正方形， ， ， 故选：C． 3.三个全等三角形按下图的形式摆放，则的度数等于 ． 【答案】/180度 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，正确掌握全等三角形的对应角相等是解题关键． 直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出，，进而得出答案． 【详解】如图所示： 由图形可得：， 三个三角形全等， ， 又， ， 的度数是． 故答案为：． 【题型3】 添加一个条件使两个三角形 【典题1】（2014·贵州黔西·中考真题）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的判定定理．根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：已知，且， 当添加，根据能判断，选项A不符合题意； 当添加，根据能判断，选项B不符合题意； 当添加，根据能判断，选项D不符合题意； 如果添加，不能根据判断，选项C符合题意； 故选：C． 【巩固练习】 1.（2023·四川凉山·中考真题）如图，点在上，，，添加一个条件，不能证明的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有，两直角三角形全等还有等．根据求出，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ， ∴当时，利用可得； 当时，利用可得； 当时，利用可得； 当时，无法证明； 故选：D． 2.（2023·四川成都·二模）如图，是内的一条射线，D、E、F分别是射线、射线、射线上的点，D、E、F都不与O点重合，连接，添加下列条件，能判定的是（   ） A．， B．，， C．， D．， 【答案】B 【分析】运用全等三角形的判定方法逐项判定即可． 【详解】解：A. ，不符合对应边、对应角相等，故不能证明，故不符合题意；     B. ，，，运用HL可证，故符合题意； C. ，不符合对应边、对应角相等，故不能证明，故不符合题意； D. ，再加上隐含条件,运用SSA不能证得，故不符合题意．     故选B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，知道SSA不能判定三角形全等是解答本题的关键． 【题型4】 灵活选择判定方法证明全等 【典题1】 如图，中，为上一点，为延长线上一点，且，过点作于点，过点作交的延长线于点，且，连交边于．求证：    (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质．熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题的关键． （1）由“”可证； （2）先由（1）可知，证，从而由三角形全等的性质可得，然后由线段的和差即可得证． 【详解】（1）证明：∵，， ∴在与中， ， ； （2）证明：由（1）知， ， ∵，， ， 在与中， ， ， ， ， ． 【巩固练习】 1.如图，在的方格中，每个小方格的边长均为，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键； 根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； 【详解】解：如图， 在与中， ， ， ， ， ， 故选：C 2.（2022·河北保定·二模）如图，以正方形ABCD的边AB为半径，点B为圆心作弧AC，以AD为直径作半圆弧AD，两弧交于点E．若的面积为5，则正方形ABCD的面积为（    ） A．15 B． C．25 D． 【答案】C 【分析】连接，则．取中点F，连接，则垂直平分，易得，所以．又因为的面积为5，可知 ，所以．故而求得正方形的面积． 【详解】如图，连接，．取中点F，连接， ∴，，， ∵是直径， ∴， ∵，   ∴． ∵，， ∴ ∴， ∴． ∵， ∴ ． 在中，， ∴， 即． ∴正方形的面积为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理的推论、全等三角形的性质及判定、勾股定理等知识．正确的作出辅助线，利用全等三角形的性质和判定求出线段间的数量关系，是解决本题的关键． 3.如图：在中，、分别是、两边上的高，在上截取，在的延长线上截取，连接、．试猜想线段与的关系，并证明你的猜想． 【答案】猜想：，，证明见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．①利用可得出，由全等三角形的对应边相等可得出，②利用全等得出，再利用三角形的外角和定理得到，又，利用等量代换可得出，即与垂直． 【详解】解：猜想：，，证明如下： 证明：①， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴(全等三角形的对应边相等)； ②， ∴， 又∵， ∴， ∴． 综上所述：，． 【题型5】 全等三角形模型之倍长中线模型 【典题1】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： (1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程． (2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．请判AC与BF的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)AC=BF，理由见解析 【详解】（1）解：如图，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE， 在△ADC和△EDB中 ∵， ∴△ADC≌△EDB（SAS）． ∴BE=AC=3． ∵AB-BE<AE<AB+BE ∵2<AE<8． ∵AE=2AD ∴1<AD<4． （2）AC=BF，理由如下： 延长AD至点G，使GD=AD，连接BG， 在△ADC和△GDB中， ， ∴△ADC≌△GDB（SAS）． ∴BG=AC，∠G=∠DAC．． ∵AE=EF ∴∠AFE=∠FAE． ∴∠DAC=∠AFE=∠BFG ∴∠G=∠BFG ∴BG=BF ∴AC=BF． 【点睛】本题考查全等三角形判定与性质，三角形三边的关系，作辅助线：延长AD到点E，使DE=AD，构造全等三角形是解题的关键． 【巩固练习】 1.（2023·贵州黔东南·一模）如图，在中，，，为的中点，，则的面积是（    ） A．16 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形的面积的计算．根据垂直的定义得到，得到长到使，由线段中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，于是得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 延长到使， ∵为的中点， ∴， 在与中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的面积， 故选：D． 2.（2024·内蒙古鄂尔多斯·三模）生命中总有些节点，如同一条线段的中点，它既是过去与未来的交汇，也是静默与喧嚣的界碑．如图，点D是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查对全等三角形的性质和判定以及三角形的三边关系．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 延长到，使，连接，证，推出，根据三角形的三边关系定理求出即可． 【详解】解：延长到，使，连接，   点D是的边上的中线， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【题型6】 全等全等三角形模型之手拉手模型 【典题1】 如图，O是正内一点，，，．将线段以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段，下列结论错误的是（    ） A．点O与的距离为4 B． C．S四边形AOBO′ D． 【答案】D 【分析】证明，得是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，进而可判断． 【详解】解：如图1，连接OO′， 由题意可知，∠1+∠2＝∠3+∠2＝60°， ∴∠1＝∠3， 又∵OB＝O′B，AB＝BC， ∴， 又∵∠OBO′＝60°， ∴△OBO′是等边三角形， ∴OO′＝OB＝4． 故A正确； ∵△BO′A≌△BOC， ∴O′A＝5． 在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数， ∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′＝90°， ∴∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°， 故B正确； S四边形AOBO′＝S△AOO′+S△OBO′═×3×4+×42＝6+4， 故C正确； 如图2 将绕点顺时针旋转60°到位置， 同理可得， 故D错误； 故选D． 【点睛】此题考查了旋转的性质，等边三角形、直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键． 【典题2】（2023·山东泰安·二模）如图，正方形中，，点E是对角线上的一点，连接．过点E作，交于点F，以、为邻边作矩形，连接，．    (1)求证：①； ②矩形是正方形； (2)求的值． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】（1）①过E作于M，于N利用正方形的性质和角平分线的性质得到，进而得到，再证明四边形是矩形，又四边形是矩形和全等三角形的判定证明，得到，利用等腰三角形的性质可证得结论；②根据正方形的判定可得结论； （2）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明得到，进而得到即可求解． 【详解】（1）证明：过E作于M，于N，则，    ∵四边形是正方形， ∴，，又， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形，又四边形是矩形， ∴， ∴，又，， ∴，则， ∴，则； ②∵四边形是矩形，， ∴四边形是正方形； （2）解 ：∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解答的关键． 【巩固练习】 1.（2021·辽宁大连·二模）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到，点C的对应点为点，的延长线交BC于点D，连接AD．则下列说法错误的是（ ） A． B． C． D．AD平分 【答案】B 【分析】A、根据旋转的性质即可判断；B、由旋转角的任意性可以判断；C、由三角形内角和为且两个角相等即可判断；D、利用角平分线的判定定理即可证明． 【详解】解： A、由旋转的性质可知：，故A正确，不符合题意； B、由绕旋转任意角度得到， 只是特殊情况，故B错误，符合题意； C、，， ，， ，故C正确，不符合题意； D、过分别作的垂线，垂直分别是， ，，； ，， ， 平分，故D正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了，旋转的性质、平行线的判定定理、三角形内角和、角平分线，解题的关键是：掌握相关定理依次进行判断． 2.（2023·广东中山·三模）如图，在菱形中，，．点E、F同时从A、C两点出发，分别沿，方向向点匀速移动（到点即停止）．点的速度为，点的速度为，经过后恰为等边三角形，则此时的值为 ．    【答案】/ 【分析】利用等边三角形边长相等得到三角形全等，得到点运动路程线段关系，再列式计算即可． 【详解】为等边三角形， ， 又，， ，连接，    由菱形中，， 得、为等边三角形， 易证， ， ， ， 故答案为． 【点睛】本题考查动点中全等的构造，题干图形主体为含有一个角的菱形，通常看成两个等边三角形进行使用．动点问题计算中通常找到路程线段之间的关系进行计算求出时间． 3.如图，在正方形ABCD中，，点M在CD的边上，且，与关于AM所在的直线对称，将按顺时针方向绕点A旋转90°得到，连接EF，则线段EF的长为 ． 【答案】 【分析】由对称可知△AEM △ADM，继而得到，连接，由△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，可证明，再根据全等三角形对应边相等得到，最后根据正方形的性质，解得，在中，由勾股定理，解得，据此解题． 【详解】解：△AEM与△ADM关于AM所在直线对称， △AEM △ADM 连接，如图， △ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF， △ABF△ADM 在正方形ABCD中， 在中， ， 故答案为： 【点睛】本题考查正方形的性质、旋转、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 4.（2021·江苏连云港·三模）如图，正方形ABCD中，AB=，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=4，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF，则线段OF长的最小值为 【答案】． 【分析】连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，证明△EDO≌△FDM，可得FM＝OE＝4，由条件可得OM＝，根据OF+MF≥OM，即可得出OF的最小值． 【详解】解：如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM， ∵∠EDF＝∠ODM＝90°， ∴∠EDO＝∠FDM， ∵DE＝DF，DO＝DM， ∴△EDO≌△FDM（SAS）， ∴FM＝OE＝4， ∵正方形ABCD中，AB＝，O是BC边的中点， ∴OC＝， ∴OD＝＝10， ∴OM＝＝， ∵OF+MF≥OM， ∴OF≥， ∴线段OF长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形旋转，全等三角形的判定和性质、正方形的性质和两点之间距离，熟练掌握并准确应用是解题的关键． 5.（2023·河南安阳·二模）在平面直角坐标系中，过第一象限内点A作轴与x轴交于点B，作轴于点C，，反比例函数(，)的图象经过点A，四边形的面积为16． (1)如图，则点A的坐标为 ，k= ； (2)反比例函数的图象上有点，y轴正半轴上有点，且，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，求得点的坐标为，于是得到结论； （2）把代入反比例函数的解析式，得到，延长交轴于，可证，得到点，，设直线的解析式为，解方程组得到直线的解析式为，于是得到结论． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， 四边形的面积为， ， 点的坐标为， 反比例函数(，)的图象经过点， ； 故答案为：，； （2）解：反比例函数的图象上有点， ， 延长交轴于， ，，， ， ， ， ， 点，， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， 当时，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查反比例函数的比例系数的几何意义，理解其几何意义是解题的关键． 6.（2024·贵州遵义·模拟预测）如图①，在中，，，点在边上，连接，点在射线上，连接． (1)如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，．求证：； (2)若点是的中点，连接，求的最小值； (3)如图②，若于点，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)． 【分析】（1）利用旋转的性质得到，，利用等式的性质得到，再利用全等三角形的判定定理解答即可； （2）利用勾股定理求得，利用旋转的性质得到是等腰直角三角形，则当最小时，最小；利用垂线段最短可知：当时，最小，利用三角形的面积公式求得，则结论可求； （3）过点A作交于点，利用全等三角形的判定与性质得到，设，则，利用勾股定理列出关于的方程，解方程即可得出结论． 【详解】（1）证明：绕点A逆时针旋转得到， ，. ， ， . . 在和中， ； （2）解：在中，，点是的中点， ， ， 连接，则是等腰直角三角形，如图， 则当最小时，最小， 垂线段最短， 当时，最小， 当时，， ， ． 的最小值为． （3）解：过点A作交于点，如图， . ， ， . ， ， ， ， . 在和中， ， ， ，． 为等腰直角三角形， . 设，则， 在中， ， ， 解得：， ， 负数不合题意，舍去， ． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，线段中点的意义，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短的性质，熟练掌握性质的性质是解题的关键． 【题型7】 全等三角形模型之一线三垂直模型 【典题1】如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，已知点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作轴，轴，证即可． 【详解】解：作轴，轴，如图：    ∵ 故点的坐标为 故选：A 【点睛】本题考查了正方形的性质及全等三角形的垂直模型．熟记相关数学模型是解题关键． 【典题2】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，根据图象直接写出x的取值范围； (3)设点E为第一象限内反比例函数图象上的点，当时，求直线BE的函数表达式． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了反比例函数综合运用，涉及到三角形全等、解不等式等，证明三角形全等是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）证明，则且，得到，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得，， 反比例函数的表达式为； （2）把代入得，， ， 当时，的取值范围为或； （3）过点作交于点，过点作轴的平行线交故点和轴的平行线于点，交故点和轴的平行线于点， ，则为等腰直角三角形，则，， ，， ， ， ， 设点，则且， 解得：，， 即点， 设直线的表达式为：， 把由点、的坐标代入得， ．解得：， 直线的表达式为． 【巩固练习】 1.如图，在和中，，，点B、C、E在同一条直线上．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型-垂直模型、等腰三角形的三线合一、勾股定理等知识点，作，证得是解题关键． 【详解】解：作，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 2.如图，直线l1与x轴、y轴分别交于，，直线l2经过点B且与x轴负半轴交于点C，，若线段上存在一点P，使是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则P点坐标为 ．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型—垂直模型．熟记模型构成的条件、结论是解题关键．过点作交l2于点，过点作轴，证即可求解． 【详解】解：过点作交l2于点，过点作轴，如图所示：    由题意得：，， ∵是以A为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴P点坐标为， 故答案为： 3.（2024·黑龙江佳木斯·一模）是等腰三角形， ，M是的中点，D 为射线上一点（不与点 B，C重合）、连接 并延长到点 E，使得，连接．过点 B作的垂线交直线于点 F． (1)如图①，点D在线段上，线段，， 之间的有怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明： (2)当点D在线段上时，如图②；当点D在的延长线上时，如图③，直接写出线段，， 之间的数量关系，不需证明． 【答案】(1)图①的猜想：，证明见解析 (2)图②：，图③： 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键； （1）作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证； （2）如图，作交于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证；如图，作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证； 【详解】（1）， 证明：如图，作交的延长线于， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）如图，作交于， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，即； 如图，作交的延长线于， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 【题型8】 全等三角形的综合性问题 【典题1】（2024·山东·模拟预测）如图，在中，，，是等边三角形，点D在边上． (1)如图1，当点E在边上时，求证； (2)如图2，当点E在内部时，猜想和数量关系，并加以证明； (3)如图1，当点E在外部时，于点H，过点E作，交线段的延长线于点G， ，．求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)，证明见解析； (3) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据等边三角形的性质得出，从而得出，从而得出； （2）取的中点，连接、，根据和为等边三角形，从而得出和全等，然后得出和全等，从而得出答案； （3）取的中点，连接、、，根据题意得出和全等，然后得出和全等，设，则，，根据题意列出一元一次方程求出的值得出答案． 【详解】（1）∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，   ∴； （2），理由如下： 取的中点，连接、， ∵，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图：取的中点，连接、、， 由（2）得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴， 解得：，即． 【巩固练习】 1.（2022·辽宁沈阳·二模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝4，若点M是AB的中点，点D在直线CB上，将MD绕点M顺时针旋转90°得到MN，连接AN，则AN+MN的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，过点M作ME⊥BC于点E，MF⊥AC于点F，过点N作NG⊥MF的延长线于点G，证明△NMG≌△DME，可得ME=MG，DE=NG，作M关于NG对称点，连接、，当且仅当N在上时等号成立，求出即为所求答案． 【详解】如图，过点M作ME⊥BC于点E，MF⊥AC于点F，过点N作NG⊥MF的延长线于点G， ∵∠ACB=∠CFM=∠DEM=90°， ∴四边形MECF是矩形， ∴∠FME=∠NMD=90°， ∴∠FME-∠FMD=∠NMD-∠FMD, ∴∠NMG=∠DME， 在△NMG和△DME中， ,   ∴△NMG≌△DME（AAS）， ∴ME=MG，DE=NG， ∵ME∥AC，MF∥BC，M为AB中点， ∴E、F为BC、AC中点， ∴ME=CF==4，MF=CE==2，   ∴GF=GM-MF=ME-MF=2，AF=AC-FC=4， 作M关于NG对称点，连接、， 在△中，，当且仅当N在上时等号成立， , 则AN+MN的最小值为 , 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会转化的思想，求线段和的最小值记住两点之间线段最短． 2.【问题提出】如图1，在中，，直线l经过点，分别从点向直线l作垂线，垂足分别为．求证：； 【变式探究】如图2，在中，，直线1经过点，点分别在直线l上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，是边上的高．延长交于点． （1）求证：点到直线的距离相等； （2）经测量，，求的长． 【答案】问题提出：见解析；变式探究：，证明见解析；拓展应用：（1）见解析；（2） 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定 理、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形内角和定理，证明三角形全等是解题的关键． 【问题提出】根据题意得出，利用全等三角形的判定即可证明三角形全等； 【变式探究】根据等量代换及三角形内角和定理得出由全等三角形的判定和性质即可证明； 【拓展应用】（1）过E作于M，的延长线于N．利用全等三角形的判定和性质得出，即可求出结果． （2）证明，即可得到结论 【详解】解：【问题提出】证明：在中， ． 又 在和中， ， ∴ 【变式探究】证明： 在和中， ∴， ∴， ； 【拓展应用】（1）如图，过点作于点，作，交的延长线于点， ． 与【问题提出】同理可得 ． 即点到直线的距离相等； （2）在和中， ∴， ∴ 3.已知为等边三角形，D是边上的一点，连接，E为上的一点，连接． (1)如图1，延长交于点G．若，，求的长； (2)如图2，将绕点B逆时针旋转至，延长至点M，使得，连接交于点N，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）问的条件下，过点A作于点H，过点B作且，连接，，，．若，当的值最小时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)．理由见解析 (3) 【分析】（1）作，解直角三角形求得和，进而解直角三角形求得，从而得出结果； （2）延长至，使，连接，作，交于，证明，进而证明，，，进一步得出结论； （3）可得出当、、共线且与垂直时，最小，此时，即，进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图1， 作于， ， 是等边三角形， ， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ； （2）证明：如图2， 延长至，使，连接，作，交于， ，， 绕点逆时针旋转至， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵旋转， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ； （3）解：如图3， 由（2）知：， ， 当、、共线且与垂直时，最小， 此时，即， 如图4，连接， ， ，，， ， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$