专题18 三角形的概念与性质 【八大题型】- 2025年中考数学一轮复习（全国通用版）

专题18 三角形的概念与性质 1 三角形 1.1 概念 由不在同一条直线上的三条线段顺次首尾相接所组成的图形叫做三角形. 1.2 分类 ① 按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形； ② 按边分：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形. 1.3 三角形三边的关系 三角形两边的和大于第三边；三角形两边的差小于第三边； 2 与三角形有关的线段 （1）高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高。 （2）中线：连接一个顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线。 （3）角平分线，三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 3 三角形的内角和 3.1 三角形的内角和 三角形的内角和等于。 3.2 三角形的外角 三角形的一个外角等于与不相邻的两个内角的和. 【题型1】 三角形三边的关系 【典题1】 （2024·湖南长沙·模拟预测）已知两个等腰三角形可按如图所示方式拼接在一起，则边的长可能为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1.（2024·湖南长沙·三模）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 2.（2024·湖北武汉·模拟预测）“长度分别为、、的三根木条首尾顺次相接，组成一个三角形”这个事件是（   ） A．确定事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．随机事件 3.（2024·广东惠州·模拟预测）若a，b，c是三角形的三边长，则式子的值（   ） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定 4.（2024·广东中山·模拟预测）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的两个根，则该三角形的周长是（     ） A．9 B．15 C．12或15 D．不能确 【题型2】 三角形的中线 【典题1】 在，，，是边上的中线，若的周长为45，的周长是（   ） A．47 B．43 C．38 D．25 【典题2】（2022·湖北荆门·中考真题）如图，点G为△ABC的重心，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，具有性质：AG：GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知△AFG的面积为3，则△ABC的面积为 ． 【巩固练习】 1.（2021·陕西咸阳·一模）如图，是的中线，的周长比的周长大，，则的长为（　　）   A． B． C． D． 2.如图，已知和分别是和的中线，若的面积是8，则的面积是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3.（2024·山西太原·三模）如图示，是的中线，点D是边靠近顶点B的一个三等分点，连接，交于点F，则等于（    ） A． B． C． D． 【题型3】 三角形的角平分线 【典题1】 如图，在中，，，是的角平分线，已知，求． 【巩固练习】 1.如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　） A． B． C． D． 2.如图，为内一点，平分，，，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 3.如图，中，，，，平分，，垂足为点． (1)判断与的位置关系，并证明．(2)求的周长． 【题型4】 与平行线有关的三角形内角和问题 【典题1】 （2024·广东中山·模拟预测）将一副三角板（）按如图方式摆放，使，则（     ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1.（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2.（2022·安徽宿州·模拟预测）如图，直线，含角的三角板的直角顶点F在直线上，顶点E在直线上，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 3.（2024·陕西西安·三模）如图，在中，是的角平分线，点在上，，若，，则（    ）    A． B． C． D． 4.（2021·山东·一模）如图，在中，．若，，则的度数是（      ） A． B． C． D． 5.（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6.（2023·河南商丘·一模）如图，菱形中，点E，F，G分别为，，的中点，，，则菱形的周长为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 【题型5】 与角平分线有关的三角形内角和问题 【典题1】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，平分，交于点，是边上的中线，与交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1.（2024·西藏日喀则·一模）如图 ， 为的角平分线，，则的度数是（     ）． A． B． C． D． 2.（2024·陕西西安·三模）如图，在中，平分交于点D，，则的度数是（    ） A．50° B．60° C．70° D．80° 3.如图，是的角平分线，，垂足为D，°，，则（     ） A． B． C． D． 4.（2024·甘肃武威·二模）如图，在中，于D，平分交于点E，交于点F，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【题型6】 三角形的外角的定义及性质 【典题1】 （2024·安徽·模拟预测）如图，将绕点C顺时针旋转得到，且点A，D，E在同一条直线上，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【巩固练习】 1.（2024·湖南·模拟预测）如图，已知，点在上，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2.如图，，，，则的度数为（    ） A．44° B．48° C．54° D．58° 3. （2024·山西大同·模拟预测）已知，将直角三角尺按如图放置得到，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【题型7】三角形折叠中的角度问题 【典题1】 （2024·安徽蚌埠·一模）如图，把矩形纸片的一角沿折叠，使得点D的对应点落在内部．若，则的度数为（　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1.如图，把沿线段折叠，使点落在点处；若，，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 2.如图，把纸片沿折叠，当点落在四边形的外部时，则与和之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（   ） A． B． C． D． 3.如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点C落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（    ）    A． B． C． D． 4.（2024·河北衡水·一模）如图，在中，，将沿折叠得，若与的边平行，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【题型8】与三角形角度有关的综合性问题 【典题1】（2024·吉林长春·模拟预测）如图，的角平分线、相交于，，，且于，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论是 ． 【典题2】【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明； 【简单应用】（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2．分别平分，， 若，求的度数； 【问题探究】（3）如图3， 直线平分的外角，平分的外角， 若，请猜想的度数，并说明理由． 【拓展延伸】（4）在图4中，若设 ， ，直接写出与之间的数量关系为：_________________（用、表示）． 【巩固练习】 1.如图，，，，E为AC上一点，且，在直线AC上取一点P，使，则：的值为 ． 2.（2023·河北邢台·一模）在中，点是的平分线上一点（不包括与的交点及点），过点作交射线于点，的平分线所在直线与射线交于点． （1）如图1，点在外部，若，，则 ； （2）如图2，点在内部，直线交于点，若，则 （用含的代数式表示）． 3.（2024·广东江门·一模）【综合与实践】某数学学习小组在学习了多边形后对几何学习产生了浓厚的兴趣，他们在同一几何图形中进行了不同探究活动．如图1，直线，垂足为O，三角板的直角顶点C落在的内部，三角板的另两直角边分别与交于点D和点 (1)活动1：如图1，不添加辅助线，由四边形内角和知识容易结论：______． (2)活动2：如图2，连结，若平分，那么平分吗？请直接写出你的结论，不需写理由． (3)活动3：如图3，若平分，平分，他们发现与具有特殊位置关系．请判断DE与BF有怎样的位置关系并证明你的结论． 4.如图，，，的平分线交于点，的平分线交的延长线于点． (1)若，，则的度数为______度； (2)若，试探索，，的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，试探究的值是否为定值，若不是定值，请说明理由；若是定值，请求出值． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18 三角形的概念与性质 1 三角形 1.1 概念 由不在同一条直线上的三条线段顺次首尾相接所组成的图形叫做三角形. 1.2 分类 ① 按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形； ② 按边分：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形. 1.3 三角形三边的关系 三角形两边的和大于第三边；三角形两边的差小于第三边； 2 与三角形有关的线段 （1）高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高。 （2）中线：连接一个顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线。 （3）角平分线，三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 3 三角形的内角和 3.1 三角形的内角和 三角形的内角和等于。 3.2 三角形的外角 三角形的一个外角等于与不相邻的两个内角的和. 【题型1】 三角形三边的关系 【典题1】 （2024·湖南长沙·模拟预测）已知两个等腰三角形可按如图所示方式拼接在一起，则边的长可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解题的关键是掌握相关知识．根据等腰三角形的性质和三角形的三边关系求解即可． 【详解】解： 为等腰三角形， 为或， ， ， 故选：B． 【巩固练习】 1.（2024·湖南长沙·三模）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查是否构成三角形，涉及三角形三边关系：三角形的任何一边大于其他两边之差，小于两边之和，满足此关系的可组成三角形，其实只要最小两边的和大于最大边就可判断前面的三边关系成立．熟记三角形三边关系判断所给线段是否能构成三角形方法是解决问题的关键． 【详解】解：A、，不满足三边关系，故本选项错误； B、，不满足三边关系，故本选项错误； C、，不满足三边关系，故本选项错误； D、，满足三边关系，故本选项正确； 故选：D． 2.（2024·湖北武汉·模拟预测）“长度分别为、、的三根木条首尾顺次相接，组成一个三角形”这个事件是（   ） A．确定事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．随机事件 【答案】C 【分析】本题主要考查事件的分类，解题的关键是掌握三角形的三边关系和事件分类．根据三角形的三边关系和必然事件的概念即可得． 【详解】解：∵， ∴长度分别为、、的三根木条首尾顺次相接，可以组成一个三角形， ∴是必然事件， 故选：C． 3.（2024·广东惠州·模拟预测）若a，b，c是三角形的三边长，则式子的值（   ） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，三角形三边关系的应用，根据三角形中任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边得到，再利用平方差公式把所求式子因式分解得到，据此可得答案． 【详解】解：∵a，b，c是三角形的三边长， ∴，， ∴ ∴， 故选：A． 4.（2024·广东中山·模拟预测）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的两个根，则该三角形的周长是（     ） A．9 B．15 C．12或15 D．不能确 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了三角形三边的关系和等腰三角形的定义． 先利用因式分解法解得到，，然后分类讨论：当三角形的腰为6，底为3时，得三角形的周长；当三角形的腰为3，底为6时不符合三角形三边的关系，舍去． 【详解】解：， ， 或， 解得：，， 当三角形的腰为6，底为3时，三角形的周长为， 当三角形的腰为3，底为6时，，故不符合三角形三边的关系，舍去， 所以三角形的周长为15． 故选：B． 【题型2】 三角形的中线 【典题1】 在，，，是边上的中线，若的周长为45，的周长是（   ） A．47 B．43 C．38 D．25 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的中线以及三角形的周长，掌握三角形的中线的定义是解题的关键．根据的周长为45，可得，再结合三角形中线的定义，即可求解． 【详解】解： 的周长为45， ， 是边上的中线， ， ， ， ， 的周长是． 故选：B． 【典题2】（2022·湖北荆门·中考真题）如图，点G为△ABC的重心，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，具有性质：AG：GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知△AFG的面积为3，则△ABC的面积为 ． 【答案】18 【分析】根据线段比及三角形中线的性质求解即可． 【详解】解：∵CG：GF＝2：1，△AFG的面积为3， ∴△ACG的面积为6， ∴△ACF的面积为3+6＝9， ∵点F为AB的中点， ∴△ACF的面积＝△BCF的面积， ∴△ABC的面积为9+9＝18， 故答案为：18． 【点睛】题目主要考查线段比及线段中点的性质，熟练掌握线段中点的性质是解题关键． 【巩固练习】 1.（2021·陕西咸阳·一模）如图，是的中线，的周长比的周长大，，则的长为（　　）   A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的中线，根据三角形的中线得到，进而推出两个三角形的周长的差为，即可得出结果． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴的周长 的周长， ∵， ∴； 故选C． 2.如图，已知和分别是和的中线，若的面积是8，则的面积是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积，根据三角形的中线把三角形分成的两个三角形面积相等，即可求出的面积，利用三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线，， ∴， ∵是的中线， ∴， 故选：A． 3.（2024·山西太原·三模）如图示，是的中线，点D是边靠近顶点B的一个三等分点，连接，交于点F，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，三角形中线的性质，作，交于点，证明，结合三角形中线的性质，得到，，根据题意得到，进而得到，证明，利用相似三角形性质得到，，即可解题． 【详解】解：作，交于点， ， 是的中线， ，即，， 点D是边靠近顶点B的一个三等分点， ， ， ， ， ， 即，， ， 故选：B． 【题型3】 三角形的角平分线 【典题1】 如图，在中，，，是的角平分线，已知，求． 【答案】 【分析】本题考查了三角形角平分线的定义，三角形内角和定理，直角三角形的性质，由角平分线的定义可得，进而得，即可得，最后利用角的和差关系即可求解，掌握三角形角平分线的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，是的用平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【巩固练习】 1.如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，依此即可求解，熟悉它们的定义和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，分别是的高、角平分线、中线， ∴，，，无法确定， 故选：． 2.如图，为内一点，平分，，，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长与交于点，由题意可推出，依据垂线的定义，角平分线的定义和三角形的内角和定理，可证得为等腰三角形，于是可得，，根据，即可推出的长度． 【详解】解：如图，延长与交于点， ， ， ， ， ， 平分， ， 又， ， 为等腰三角形， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，垂线的定义，角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识点，正确作出辅助线，构建等腰三角形是解题的关键． 3.如图，中，，，，平分，，垂足为点． (1)判断与的位置关系，并证明． (2)求的周长． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）利用角平分线的定义可得，再根据垂直定义可得，从而利用“”证明，然后利用全等三角形的性质可得，从而利用等腰三角形的三线合一性质即可解答； （2）在中，利用勾股定理求出，再利用（1）的结论可得，，从而求出，然后利用三角形的周长公式进行计算即可解答． 【详解】（1）， 证明：平分， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：在中，，， ， ， ，， ， 的周长为：， 的周长为12． 【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【题型4】 与平行线有关的三角形内角和问题 【典题1】 （2024·广东中山·模拟预测）将一副三角板（）按如图方式摆放，使，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据三角形内角和定理得到，然后由平行线的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：C． 【巩固练习】 1.（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查与平行线有关的三角形内角和问题，先根据平行线得到，再根据是三角形内角和求出的度数． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 2.（2022·安徽宿州·模拟预测）如图，直线，含角的三角板的直角顶点F在直线上，顶点E在直线上，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平行线的性质求得的度数，再利用三角形外角和内角的关系即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：A．    【点睛】本题考查平行线的性质、三角形外角的性质和内角和定理，熟练掌握平行线的性质和三角形外角的性质是解题的关键． 3.（2024·陕西西安·三模）如图，在中，是的角平分线，点在上，，若，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义，根据三角形内角和定理得出，进而根据角平分线的定义，以及平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴ ∵， ∴， 故选：C． 4.（2021·山东·一模）如图，在中，．若，，则的度数是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理求出∠CAB+∠CBA=90°，根据平行线的性质得出∠DBC+∠CBA+∠CAB+∠CAE=180°，即可求出答案． 【详解】解：∵在△ACB中，∠C=90°， ∴∠CAB+∠CBA=90°， ∵BD∥AE， ∴∠DBC+∠CBA+∠CAB+∠CAE=180°， ∴∠DBC=180°-90°-70°=20°． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的应用，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补． 5.（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，平行线的性质和对顶角的性质，由对顶角的性质可得，由外角的性质可得再利用平行线的性质可求出的度数． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， 故选：C 6.（2023·河南商丘·一模）如图，菱形中，点E，F，G分别为，，的中点，，，则菱形的周长为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】D 【分析】连接，根据菱形的性质可得，从而可证，，再由三角形的内角和和等量代换即可得出，从而可得，再利用勾股定理求出，证明四边形是平行四边形，可得，最后进行计算即可． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵点E，F，G分别为，，的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ， ∵，， 在中，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查菱形的性质、三角形的内角和定理、 三角形的性质、平行线的性质及平行四边形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 【题型5】 与角平分线有关的三角形内角和问题 【典题1】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，平分，交于点，是边上的中线，与交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质，与角平分线有关的三角形内角和问题．根据三角形的内角和定理和角平分线平分角，求出的度数，根据斜边上的中线等于斜边的一半，结合等边对等角，求出的度数，再利用三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵，，是边上的中线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 故选B． 【巩固练习】 1.（2024·西藏日喀则·一模）如图 ， 为的角平分线，，则的度数是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，掌握三角形外角的性质成为解题的关键． 由三角形的外角的性质可得，进而得到，最后根据三角形内角和即可解答． 【详解】解：∵是的外角， ∴，即， ∵ 为的角平分线， ∴， ∴． 故选A． 2.（2024·陕西西安·三模）如图，在中，平分交于点D，，则的度数是（    ） A．50° B．60° C．70° D．80° 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质：三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和． 由，利用外角的性质求出，再利用平分求出，然后利用三角形的内角和定理解题即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， 故选A． 3.如图，是的角平分线，，垂足为D，°，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和为以及角平分线的定义．因为是的角平分线，所以，由，得 ，则，在中，，即可作答； 【详解】因为是的角平分线， ， 由，得， 在中，， 因为在中， ， 把代入， 得， 那么， 所以， 故选：B． 4.（2024·甘肃武威·二模）如图，在中，于D，平分交于点E，交于点F，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求三角形的内角和定理，角平分线的定义，以及直角三角形的性质．在中，由三角形的内角和定理得到的度数，又根据平分，得到的度数，再根据余角的定义即可求解； 【详解】解：在中，， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴为直角三角形， ∴． 故选：C． 【题型6】 三角形的外角的定义及性质 【典题1】 （2024·安徽·模拟预测）如图，将绕点C顺时针旋转得到，且点A，D，E在同一条直线上，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形的外角定理，解题的关键是掌握旋转前后对应边相等，对应边的夹角等于旋转角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 根据旋转得出，则，根据三角形的外交定理，即可解答． 【详解】解：∵绕点C顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【巩固练习】 1.（2024·湖南·模拟预测）如图，已知，点在上，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求角度，涉及平行线性质、三角形外角性质等知识，由，根据两直线平行内错角相等得到，在中，是的一个外角，代值求解即可得到答案，熟记平行线性质及三角形外角性质，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解： ， ， 在中，是的一个外角，则， ， 故选：D． 2.如图，，，，则的度数为（    ） A．44° B．48° C．54° D．58° 【答案】C 【分析】将BE与CD交点记为点F，由两直线平行同位角相等得出∠EFC度数，再利用三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：如图所示，将BE与CD交点记为点F， ∵AB∥CD，∠B=78°， ∴∠EFC=∠B=78°， 又∵∠EFC=∠D+∠E，且∠E=24°， ∴∠D=∠EFC-∠E=78°-24°=54°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角性质，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等的性质和三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和的性质． 3. （2024·山西大同·模拟预测）已知，将直角三角尺按如图放置得到，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，恰当作辅助线是解题的关键． 延长，交直线于点，根据平行线的性质求出的度数，再根据三角形外角性质计算即可． 【详解】延长，交直线于点，如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【题型7】三角形折叠中的角度问题 【典题1】 （2024·安徽蚌埠·一模）如图，把矩形纸片的一角沿折叠，使得点D的对应点落在内部．若，则的度数为（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查角度的计算，折叠问题，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．设，根据折叠的性质得到，且，即可得到答案． 【详解】解：设， 根据折叠的性质得到， 矩形纸片， ， ， 解得． 故选C． 【巩固练习】 1.如图，把沿线段折叠，使点落在点处；若，，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，折叠的性质和平行线的性质，先由等边对等角和三角形内角和定理求出，再由平行线的性质得到，则可由折叠的性质得，再根据平角的定义即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故选：C． 2.如图，把纸片沿折叠，当点落在四边形的外部时，则与和之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内角、外角以及折叠的性质，根据折叠的性质可得，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得到，，然后列式整理即可得解． 【详解】根据折叠的性质，得. 在中，， 在中，， ∴，即. 故选：A． 3.如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点C落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据折叠的性质得，，，则，即，根据三角形内角和定理得，在中，利用三角形内角和定理得，则，可计算出，即可得出结果． 【详解】解如图，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处， ，，， ， ， 在中，， ， 在中， ， ， 即， ， ， 故选：D．    【点睛】此题主要考查了图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用等知识；熟练掌握折叠的性质，得出和的倍数关系是解决问题的关键． 4.（2024·河北衡水·一模）如图，在中，，将沿折叠得，若与的边平行，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了翻折的性质，三角形内角和定理，平行线的性质；分类讨论：①当时， ②当时；能根据与的不同的边平行进行分类讨论是解题的关键. 【详解】解：①当时，如图1中， ， ， 由折叠得， ； ②当时，如图2， ， ， ， 由折叠得，， 的度数为或； 故选：C． 【题型8】与三角形角度有关的综合性问题 【典题1】（2024·吉林长春·模拟预测）如图，的角平分线、相交于，，，且于，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论是 ． 【答案】①②④ 【分析】根据平行线的性质，结合角平分线的定义计算可判定①；根据三角形的内角和定理结合角平分线的定义可判定②；根据已知条件无法推知③；由角平分线的定义结合周角的定义可判定④．本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的角平分线，灵活运用角平分线的定义及三角形的内角和定理是解题的关键． 【详解】解：， ， 平分， ， ，故①正确； ， ， ，且于， ， ， 平分， ， ，故②正确； 无法证明平分，故③错误； ，， ， ， ，故④正确； 所以其中正确的结论为①②④， 故答案为：①②④． 【典题2】【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明； 【简单应用】（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2．分别平分，， 若，求的度数； 【问题探究】（3）如图3， 直线平分的外角，平分的外角， 若，请猜想的度数，并说明理由． 【拓展延伸】（4）在图4中，若设 ， ，直接写出与之间的数量关系为：_________________（用、表示）． 【答案】（1）见详解；（2）；（3），理由见详解；（4） 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明． （2）（3）由平分的外角，平分的外角，推出，，推出，，由，，推出，即可解决问题． （4）由前面小题的结论易求，，再将已知条件代入化简可求，进而可求解． 本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学会用方程组的思想思考问题，属于中考常考题型． 【详解】 解：（1）在中，， 在中，， ， ； （2）、分别平分． ， 由（1）的结论得：， ①②，得 ． （3）如图3， 平分的外角，平分的外角， ，， ，， ，， ， ； （4）由（1）可知：，，， ，， ， ，，，， ，， ， ． 故答案为：． 【巩固练习】 1.如图，，，，E为AC上一点，且，在直线AC上取一点P，使，则：的值为 ． 【答案】2或4 【分析】分点P在线段AC上、在CA的延长线上两种情况，分别画出图形，结合图形，利用三角形内角和、平行线的性质，等量代换，得出各个角之间的倍数关系． 【详解】如图，①当时，即时， ， ， ，，， ， ， ， ：的值为2， ②当时，由①则有：的值为4， 故答案为：2或4． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质，以及分类讨论思想的应用等知识，画出相应图形，利用等量代换得出各个角之间的关系是解决问题的关键． 2.（2023·河北邢台·一模）在中，点是的平分线上一点（不包括与的交点及点），过点作交射线于点，的平分线所在直线与射线交于点． （1）如图1，点在外部，若，，则 ； （2）如图2，点在内部，直线交于点，若，则 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】（1）根据角平分线的定义、平行线的性质以及三角形内角和定理即可得出答案； （2）根据平行线的性质，三角形内角和定理以及角平分线的定义进行计算即可． 【详解】（1）平分， ， ∵， ，， 又平分， ， ； 故答案为：； （2）平分， ， 又平分， ， ∵， ， ， 又， 故答案为： 【点睛】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，以及平行线的性质，掌握三角形的内角和定理，角平分线的定义，以及平行线的性质是正确解答的关键． 3.（2024·广东江门·一模）【综合与实践】某数学学习小组在学习了多边形后对几何学习产生了浓厚的兴趣，他们在同一几何图形中进行了不同探究活动．如图1，直线，垂足为O，三角板的直角顶点C落在的内部，三角板的另两直角边分别与交于点D和点 (1)活动1：如图1，不添加辅助线，由四边形内角和知识容易结论：______． (2)活动2：如图2，连结，若平分，那么平分吗？请直接写出你的结论，不需写理由． (3)活动3：如图3，若平分，平分，他们发现与具有特殊位置关系．请判断DE与BF有怎样的位置关系并证明你的结论． 【答案】(1) (2)平分 (3)，证明见解析 【分析】本题主要考查四边形内角和360度、三角形内角和180度、角平分线的性质、垂线的性质等知识点，掌握相关知识是解题关键． （1）根据四边形内角和360度即可解答； （2）根据角平分线性质可得，再根据、，然后根据同角的余角相等可得结论； （3）由（1）（2）结论，结合三角形内角和180度求解即可． 【详解】（1）解：，为直角， ， 根据四边形内角和等于得：， ， 故答案为： （2）解：平分，理由如下： 平分， ， ，为直角， ，， ， 平分； （3）解：与的位置关系是：，证明如下： 由（1）可知：， 又， ， 平分，平分， ∴，， ， 为直角， ， ， 又， ， ，即 4.如图，，，的平分线交于点，的平分线交的延长线于点． (1)若，，则的度数为______度； (2)若，试探索，，的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，试探究的值是否为定值，若不是定值，请说明理由；若是定值，请求出值． 【答案】(1)60 (2)，理由见解析 (3)是定值，定值为2 【分析】本题考查平行线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形的外角，与角平分线有关的计算： （1），得到，，，得到，，角的和差关系，得到，角平分线得到，再利用三角形的内角和定理，求解即可； （2）先证明，得到，得到，得到，平分，得到，即可得出结论； （3）根据（2）的结论以及已知条件，分别求出，进而求出的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：60； （2），理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）是定值： ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$