专题11 乘法公式（竞赛培优讲义）-【竞赛】2024-2025学年初中数学竞赛能力培优教程（全国通用）

全国初中数学竞赛培优教程 专题11 乘法公式 真题重现 （2024九年级·全国·竞赛）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算、代数式求值，根据已知式子的特点，先求得、，进而利用完全平方公式求得，然后化简所求式子即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ， ， ∴，则， ∴ ， 故答案为：． 考点突破 一、完全平方公式 【学霸笔记】 1. 完全平方公式的常见变形： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）. 2. 三项或三项以上的和（差）的平方可以转化为两项的和（差）的平方，如： （1）； （2）. 【典例】（2024八年级·全国·竞赛）已知实数满足：，则以为边长的三角形（   ） A．是等边三角形 B．是等腰三角形 C．不存在 D．以上皆有可能 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式，三角形三边关系的应用，先将变成两个完全平方的和的形式，进而得出，，再根据三角形三边关系即可求解． 【详解】解： ， ， 即， ，， ， 以为边长的三角形不存在． 故选C． 【巩固】（四川眉山·竞赛）（1）若，求的值； （2）若：，求的值． 【答案】（1）2；（2）2000 【分析】本题考查已知式子的值求代数式的值，分式的加法运算，完全平方公式的应用： （1）将变形得出，，，通过等量代换进行降次，可得答案； （2）等式左边利用完全平方公式变形为，即可求解． 【详解】（1）解：由，可得，，． 原式 ． （2）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴． 二、平方差公式 【学霸笔记】 平方差公式的变化： （1）位置变化：； （2）符号变化：； （3）指数变化：； （4）系数变化：； （5）增项变化：； （3）连用公式：. 【典例】（2024八年级·全国·竞赛）若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的化简求值，利用与的差，结合平方差公式进行因式分解，得出，将变形为含的式子，再将代入式子，即可解题． 【详解】解：由题知，， 则， 又． 故答案为：． 【巩固】（2024八年级·全国·竞赛）若一个整数不能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“奇异数”（如，不是奇异数，而2，4是奇异数），把所有奇异数按从小到大的顺序排成一列，第2015个奇异数是（    ）． A．8042 B．8046 C．8050 D．8052 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式，有一定的难度，主要是对题中新定义的理解与把握．由题意可知1，2，4和形如的数为“奇异数”，从而即可解答． 【详解】解：∵1不能表示为两个正整数的平方差， ∴1是“奇异数”． 对于大于1的奇正整数，有， ∴大于1的奇正整数都不是“奇异数”； ∵2，4是奇异数， 又∵对于大于4且被4整除的偶数，有， ∴大于4且被4整除的偶数不是“奇异数”； 对于被4除余2的数，设，其中为正整数， 当奇偶性相同时，被4整除，而不被4整除； 当奇偶性相异时，为奇数，而为偶数，不成立， ∴存在自然数使得，即形如的数都为“奇异数”． 又∵1，2，4都为“奇异数”， ∴第2015个奇异数是． 故选C． 三、运用公式进行运算 【典例】（2024八年级·全国·竞赛）化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟练运用平方差公式是解题关键．把，分别看作一个整体，运用平方差公式求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【巩固】（2024九年级下·江苏无锡·竞赛）代数式的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是配方法的应用，掌握配方法的一般步骤，完全平方公式是解题的关键．根据配方法把原式变成平方和的形式，根据非负数的性质解答． 【详解】 = = 因为任何数的平方都大于等于0， 所以 ，那么， 当，时，代数式取得最小值． 此时． 综上，该代数式的最小值是． 故答案为： 四、公式在几何中的应用 【典例】（2024七年级·全国·竞赛）如图，用四个长为，宽为的长方形大理石板不重叠地拼成一个大正方形拼花图案，正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形，当拼成的这个大正方形的边长比中间小正方形的边长多时，大正方形的面积就比小正方形的面积多，那么中间小正方形的边长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查用图象法验证完全平方公式，准确识图列出是解题关键． 分别表示出每个长方形石板的面积和图中大、小正方形的面积，然后列出等量关系计算求解． 【详解】解：每个长方形石板的面积为，中间小正方形的边长为，面积为； 大正方形的边长为，面积为， 所以； 当时，解得， ∴， 故答案为：2． 【巩固】阅读“若满足，求的值”． 设，， 则，， ． （1）理解 ①若满足，则的值为______； ②若满足，试求的值； （2）应用 如图，长方形中，，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形．延长至，使，延长至，使，过点、作、的垂线，两垂线相交于点，求四边形的面积．（结果必须是一个具体的数值） 【答案】（1）①25；②23；（2）． 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）①②可根据完全平方公式即可计算； （2）由条件表示出正方形的边长，由完全平方公式即可求解． 【详解】解：（1）①令，， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：25． ②， ， 令，， ，， ， ， ； （2），， ，， ， 长方形的面积是200， ， ， 令，， ，， ， ， 四边形的面积． 模拟演练 1．已知，，则的值为（   ） A．4 B．0 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，非负数的性质以及代数式求值的方法．先将字母b表示字母a，代入，转化为非负数和的形式，根据非负数的性质求出a、b、c的值，从而得到的值． 【详解】解：∵， ∴， 代入，可得， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选：B． 2．如图，、分别是的高，M为的中点，，，则面积的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质、勾股定理、完全平方公式、不等式的性质，熟练掌握以上知识点，找出图中含角的直角三角形，并设出未知数表示线段长度是解题的关键．结合、分别是的高，可得，设，，用a、b表示出、和的面积，再在中利用勾股定理，整理得到，再结合得到，即可解答． 【详解】解：、分别是的高， ， ， ， ，， 设，，则，， ，， ， ， ， 在中，， ， 整理得：， ， ， ， ， 解得：， ， 面积的最大值为． 故选：B． 3．如图，边长分别为和的两个正方形并排摆放在一起，其中有一条边重合，则图中阴影部分的面积用整式表示为 ． 【答案】// 【分析】本题考查整式的混合运算，利用数形结合的思想是解题关键．利用阴影部分的面积=梯形的面积-小正方形的面积-三角形的面积求解即可． 【详解】解：，，， ∴． 故答案为：． 4．已知，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查整式的混合运算．根据规律求得，据此求解即可． 【详解】 解：∵， ， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：1． 5．已知，则 ． 【答案】3 【分析】根据a，b，c两两的差是个常数，构造完全平方公式求值．本题考查求代数式的值，找到a，b，c的关系，利用完全平方差公式计算是求解本题的关键． 【详解】解：由题意得：． ∴ ． 故答案为：3． 6．实数，满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，通过对完全平方公式变形求值，计算多项式乘多项式等知识点，将已知等式变形后利用完全平方式的非负性得出，是解题的关键． 先把已知等式的两边去括号，移项变形，化成，利用完全平方式的非负性得出，，然后代入分式求值即可． 【详解】解：∵， ， ， ，， ，， ， 故答案为：． 7．若对任意的x，a、b、c都满足如下关系式： ，， ，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式应用，代数式求值．根据题意先将a、b、c化简，再分别求出，，，再将所求式子整理即可得到本题答案． 【详解】解：根据题意得，，， ∴，，， ∴ ． 8．已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方公式和代数式求值； 由，可得，结合，即可求解 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ =， ∴， 故答案为： 9．有理数a、b、c，满足，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、非负数的性质等知识点，运用完全平方公式将原等式变成非负数和的形式成为解题的关键． 先运用完全平方公式将原等式变成非负数和、再根据非负数的性质求得a、b、c的值，然后再代入计算即可． 【详解】解：， ， ∴，解得：， ∴． 故答案为． 10．若关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是 ． 【答案】或 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，掌握完全平方公式及二元一次方程组解法是解题的关键． 利用完全平方公式将方程组整理成类似方程组的形式，根据方程组的解计算即可． 【详解】解：的方程组可化为， ， ∴关于的方程组的解是或． 故答案为：或． 11．对于任意的实数，运算都成立，其中等式的右边是通常的四则运算． (1)求与的值； (2)对于任意的实数是否恒成立？请证明你的结论． 【答案】(1)， (2)成立，证明见解析 【分析】本题考查新定义下实数运算，整式的混合运算，读懂题意，掌握新定义的运算法则是解题关键． （1）根据新定义的运算法则计算即可； （2）根据新定义的运算法则分别计算和即得出答案． 【详解】（1）解：； ； （2）解：成立，证明如下， 证明： ； ； ∴． 12．整数满足条件：，，，⋯，，求的最小值． 【答案】5 【分析】本题考查了规律性数字的变化，绝对值和完全平方公式，由已知得，，⋯，，各式相加整理后得：，即可求出的值，即可得出答案． 【详解】解：由已知得，，⋯，， 各式相加整理后得：， 又∵， ∴， ∵为整数，为4的倍数， ∴为偶数， 又∵，且， ∴， ∴的最小值为5． 13．乘法公式的探究及应用．    (1)如图，可以求出阴影部分的面积是______（写成两数平方差的形式）； (2)如图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是______，长是______，面积是______（写成多项式乘法的形式）； (3)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式______． A．    B． C．    D． 【答案】(1) (2)，， (3)B 【分析】本题考查了平方差公式的应用； （1）根据大正方形的面积减去小正方形的面积即可求解； （2）根据图形列出代数式，即可求解； （3）根据（1）（2）的结论，根据等面积法即可求解． 【详解】（1）利用大正方形面积减去小正方形面积即可求出：， 故答案为：； （2）它的宽是，长是，面积是； 故答案为：，，． （3）根据题意得出：； 14．（1）已知，求的值． （2）已知，先化简再求值：． 【答案】；． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、运用乘法公式进行化简．乘法公式包括完全平方公式和平方差公式，完全平方公式是，平方差公式是． 首先把整理，可得：和，把多项式整理可得：原式，再整体代入进行求值即可； 整理可得，把整理可得：原式，再整体代入求值即可． 【详解】解：， 移项得：， 把两边同时除以可得：， ， ； 解：， 两边同时乘以可得：， 整理得：， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 全国初中数学竞赛培优教程 专题11 乘法公式 真题重现 （2024九年级·全国·竞赛）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算、代数式求值，根据已知式子的特点，先求得、，进而利用完全平方公式求得，然后化简所求式子即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ， ， ∴，则， ∴ ， 故答案为：． 考点突破 一、完全平方公式 【学霸笔记】 1. 完全平方公式的常见变形： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）. 2. 三项或三项以上的和（差）的平方可以转化为两项的和（差）的平方，如： （1）； （2）. 【典例】（2024八年级·全国·竞赛）已知实数满足：，则以为边长的三角形（   ） A．是等边三角形 B．是等腰三角形 C．不存在 D．以上皆有可能 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式，三角形三边关系的应用，先将变成两个完全平方的和的形式，进而得出，，再根据三角形三边关系即可求解． 【详解】解： ， ， 即， ，， ， 以为边长的三角形不存在． 故选C． 【巩固】（四川眉山·竞赛）（1）若，求的值； （2）若：，求的值． 二、平方差公式 【学霸笔记】 平方差公式的变化： （1）位置变化：； （2）符号变化：； （3）指数变化：； （4）系数变化：； （5）增项变化：； （3）连用公式：. 【典例】（2024八年级·全国·竞赛）若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的化简求值，利用与的差，结合平方差公式进行因式分解，得出，将变形为含的式子，再将代入式子，即可解题． 【详解】解：由题知，， 则， 又． 故答案为：． 【巩固】（2024八年级·全国·竞赛）若一个整数不能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“奇异数”（如，不是奇异数，而2，4是奇异数），把所有奇异数按从小到大的顺序排成一列，第2015个奇异数是（    ）． A．8042 B．8046 C．8050 D．8052 三、运用公式进行运算 【典例】（2024八年级·全国·竞赛）化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟练运用平方差公式是解题关键．把，分别看作一个整体，运用平方差公式求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【巩固】（2024九年级下·江苏无锡·竞赛）代数式的最小值是 ． 四、公式在几何中的应用 【典例】（2024七年级·全国·竞赛）如图，用四个长为，宽为的长方形大理石板不重叠地拼成一个大正方形拼花图案，正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形，当拼成的这个大正方形的边长比中间小正方形的边长多时，大正方形的面积就比小正方形的面积多，那么中间小正方形的边长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查用图象法验证完全平方公式，准确识图列出是解题关键． 分别表示出每个长方形石板的面积和图中大、小正方形的面积，然后列出等量关系计算求解． 【详解】解：每个长方形石板的面积为，中间小正方形的边长为，面积为； 大正方形的边长为，面积为， 所以； 当时，解得， ∴， 故答案为：2． 【巩固】阅读“若满足，求的值”． 设，， 则，， ． （1）理解 ①若满足，则的值为______； ②若满足，试求的值； （2）应用 如图，长方形中，，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形．延长至，使，延长至，使，过点、作、的垂线，两垂线相交于点，求四边形的面积．（结果必须是一个具体的数值） 模拟演练 1．已知，，则的值为（   ） A．4 B．0 C．2 D． 2．如图，、分别是的高，M为的中点，，，则面积的最大值是（   ） A． B． C． D． 3．如图，边长分别为和的两个正方形并排摆放在一起，其中有一条边重合，则图中阴影部分的面积用整式表示为 ． 4．已知，则 ． 5．已知，则 ． 6．实数，满足，则的值为 ． 7．若对任意的x，a、b、c都满足如下关系式： ，， ，且，则 ． 8．已知，则代数式的值为 ． 9．有理数a、b、c，满足，则 ． 10．若关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是 ． 11．对于任意的实数，运算都成立，其中等式的右边是通常的四则运算． (1)求与的值； (2)对于任意的实数是否恒成立？请证明你的结论． 12．整数满足条件：，，，⋯，，求的最小值． 13．乘法公式的探究及应用．    (1)如图，可以求出阴影部分的面积是______（写成两数平方差的形式）； (2)如图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是______，长是______，面积是______（写成多项式乘法的形式）； (3)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式______． A．    B． C．    D． 14．（1）已知，求的值． （2）已知，先化简再求值：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$