二 认识三角形和四边形-【拔尖特训】2024-2025学年四年级下册数学（北师大版 广东专用）

二 认识三角形和四边形 第1课时 图形分类 1. ★将下面的图形按自己喜欢的方式分 一分,把序号填在圈里。 2. 选一选。 (1) (操作探究)用3根同样长的小棒 可以围成( )三角形,用4根同样 长的小棒可以围成( )不同的四 边形。 A. 1个 B. 2个 C. 无数个 (2) (深圳龙华区)三角形的稳定性经 常被应用于生活。下面四个例子中, 没有用到三角形稳定性的是( )。 A. B. C. D. (3) 活动门的设计运用了平行四边形 具有( )这一特性。 A. 四条边 B. 稳定性 C. 不稳定性 3. (清远连州)学校门口的指示牌歪了 (如图①),请设计一种加固方案,画在 图②中,并说明这样设计的理由。 4. 按要求在下面各图中画一条线段。 5. 张阿姨买了一张正方形桌子,她找到 两块同样大的正方形桌布(如图),但 都比桌面小了一些。张阿姨在两块桌 布上各剪了一刀,然后拼成了一块稍 大于桌面的正方形桌布(桌布全部用 完)。你知道张阿姨是怎样剪拼的吗? 请画出示意图。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 51 第2课时 三角形分类 1. (几何直观)给下面的三角形分类,把 序号分别写在相应的圈里。 2. 如图,被信封遮住的三角形是( )。 A. 锐角三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 3. 按要求分别在下面的直角三角形中画 一条线段。 4. (实践操作)在下面的点子图上画一画。 (1) 画一个三角形ABC,使它既是直 角三角形又是等腰三角形。 (2) 画一个三角形DEF,使它既是锐 角三角形又是等腰三角形。 5. (思维过程)如左下图所示为一个由 3个大小不同的等边三角形组成的花 园。小芳从点A 经过点C 到达点B; 小红从点A 经过点D,E,F 到达点 B。两人走的路程相比,( )。 A. 小芳走的长 B. 小红走的长 C. 一样长 6. 如右上图,一共有( )个三角形,锐 角三角形有( )个,直角三角形有 ( )个,钝角三角形有( )个。 7. 为了参加阳江风筝节,李叔叔制作了 一个形状为等腰三角形的风筝。这个 风筝的边框总长是22分米,它的腰比 底边长2分米。这个等腰三角形风筝 的底边长是( )分米。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 61 数学(北师版·广东专用)四年级下 第3课时 探索与发现:三角形内角和(1) 1. 辨一辨。 (1) ★三角形越大,它的内角和越大。 ( ) (2) 钝角三角形两个锐角的度数和一 定比锐角三角形两个锐角的度数和小。 ( ) (3) 在一个直角三角形中,两个锐角的 度数和一定等于90°。 ( ) (4) 等腰三角形的底角一定小于90°。 ( ) (5) 如果一个三角形的三个内角都不 小于60°,那么这个三角形一定是等边 三角形。 ( ) 2. 选一选。 (1) 乐乐用三个小三角形拼成一个大 三角形,大三角形的内角和是( )。 A. 180° B. 360° C. 540° (2) (韶关乐昌)妈妈不小心把家里的 一块三角形玻璃打碎成了三块(如图), 她带第( )块到玻璃店,店里的师傅 就能重新配一块与原来相同的玻璃。 A. ① B. ② C. ③ D. 无法确定 (3) 三角形最多有( )个钝角,最少 有( )个锐角。 A. 1 B. 2 C. 3 3. (深圳南山区)认真观察下图,猜一猜, 另外两个角分别是多少度? 如果是直角三角形,那么另外的两个 角分别是( ),( )。 如果是等边三角形,那么另外的两个 角分别是( ),( )。 4. (数形结合)下面的线段表示0°到 180°,∠1和∠2是一个三角形的两个 内角,请你根据∠1和∠2的度数判断 按角分这个三角形是什么三角形。 5. (说理表达)如图,准备一张长方形纸, 将其剪成两个一样的三角形。 这个方法能证明三角形的内角和是 180°吗? 为什么? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 71 二　认识三角形和四边形 第4课时 探索与发现:三角形内角和(2) 1. 下面是2块三角形玻璃被打碎后分别 留下的碎片,先算出第三个角的度数, 想一想按角分分别是什么三角形,再 将碎片补全看一看。 ( )° ( )角三角形 ( )° ( )角三角形 2. (惠州惠阳区)求下图中∠1,∠2和 ∠3的度数。 3. 某个建筑的墙面装饰着精美的雕花。 在一个直角三角形的雕花区域中,较 大的锐角的度数是较小的锐角的2倍。 这个直角三角形的两个锐角各是多 少度? 4. (探究创新)研究“四边形内角和”时,如 图所示为四名同学的学习探究过程。 四边 形 的 内 角 和= 1个周角=360° 180°×2=360° 180°×3-180°=360° 180°×4-360°=360° (1) 上面四种方法中,你最喜欢谁的方 法? 说说他(她)的解题思路。 (2) 请用你喜欢的方法探究下面五边 形的内角和,先在图中画一画,再列式 计算出五边形的内角和。 5. (思维过程)如图,三角形ABE、三角 形ACD 都是等腰三角形。已知∠5= 70°,∠4=50°,则∠1,∠2,∠3各是多 少度? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 81 数学(北师版·广东专用)四年级下 第5课时 探索与发现:三角形边的关系 1. (生活应用)如图所示为玲玲家的太阳 能热水器。热水器的一段支架损坏 了,需要更换的支架长度可能是( )。 A. 2.9m B. 0.5m C. 1.3m 2. (推理意识)用长度分别为1厘米、2厘 米、3厘米、4厘米、5厘米的5根小棒,任 选3根能摆出( )种不同的三角形。 3. 如图,建房子用的“人”字梁主要是由 外围的三根木料组成的。现在已经有 了两根长都是5米的木料,还有以下 四根木料:12米、9米、7米、10.5米。 (1) 哪几根木料能与这两根木料组成 “人”字梁的外围? (2) 选哪根木料组成“人”字梁的外围 时建造的房子要“宽”一些? 选哪根木 料组成“人”字梁的外围时建造的房子 要“高”一些? 4. 填一填。 (1) ★已知一个等腰三角形相邻两条 边的长分别为6厘米、14厘米,这个等 腰三角形的周长是( )厘米。 (2) 从5,9,11,20中选择适当的数填 入括号内。 5. (深圳南山区)有一支长25厘米的胶 棒,胶棒上每隔1厘米有一个小缺口 方便折断。如果将这支胶棒在某两个 缺口上折成三段,并将三段首尾相连 做成三角形,那么可以做出多少种不 同形状的三角形? 请分别写出来。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 91 二　认识三角形和四边形 第6课时 四边形分类 1. (几何直观)分一分。(填序号) 上面的图形中,( )是梯形; ( )是平行四边形,( )是 长方形,( )是正方形。 2. (模型意识)在下图中表示出所给图形 之间的关系。(填序号) ① 四边形 ② 长方形 ③ 正方形 ④ 梯形 ⑤ 平行四边形 3. (深圳光明区)数一数,左下图中平行四 边形有( )个,梯形有( )个。 4. (深圳福田区)如右上图,有3组直线, 其中直线a,b互相平行,直线c,d 也 互相平行,但直线m 和n 不平行。在 图形①、②、③中,不是梯形的为( )。 A. ① B. ② C. ③ D. 三个图形都不是 5. (操作探究)选两个图形拼一拼。 (1) 能拼成长方形的是( )。 (2) 能拼成梯形的是( )。 6. 你能分别用4个完全相同的等腰直角 三角形拼成一个长方形、一个梯形或 一个平行四边形吗? 在下面的方格纸 上画一画。 7. (推理意识)有一个梯形(如图),在互 相平行的一组对边中,较长边的长度 是较短边的3倍,如果较短的边延长 6厘米,就成了一个长方形。这个梯形 互相平行的一组对边的长度分别是 多少? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 02 数学(北师版·广东专用)四年级下 第7课时 练 习 二 1. 在三角形中,已知∠1,∠2的度数,判 断它们各是什么三角形。连一连。 ∠1=40°,∠2=50°· · 等边三角形 ∠1=30°,∠2=40°· · 锐角三角形 ∠1=70°,∠2=50°· · 直角三角形 ∠1=60°,∠2=60°· · 钝角三角形 2. (深圳南山区)画一画,分一分。 (1) 在下面的方格图中画一个梯形。 (2) 画一条线段,把这个梯形分成一个 三角形和一个平行四边形。 3. 选一选。 (1) 在三角形中,有一个角是60°,这个 三角形不可能是( )三角形。 A. 等边 B. 钝角 C. 等腰直角 (2) 下面的小棒(单位:厘米)有一部分 被挡住了,其中一定不能拼成三角形 的是( )。 A. B. C. 4. (探究创新)用小棒照样子摆一摆。 如图,摆1个梯形要5根小棒,摆2个 梯形要9根小棒,摆3个梯形要13根 小棒,摆10个梯形要( )根小棒, 2025根小棒可以摆( )个梯形。 5. (地域特色)佛山地砖以质量优良著 称,是高品质地砖的代表。现有一种 等腰三角形的佛山地砖,其周长为 33分米,每条边长都为整分米。该地 砖的腰长可能是多少分米? 6. (几何直观)下面的正方形中,最大的 三角形是等边三角形,∠1,∠2,∠3各 是多少度? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 12 二　认识三角形和四边形 提分真题集训 1. 填一填。 (1) (嘉兴南湖区)将下面图形的字母 编号填在相应的( )里。 ① 锐角三角形有( ),直角三角形 有( ),钝角三角形有( )。 ② 等腰三角形有( ),等边三角形 有( )。 (2) (深圳宝安区)将平行四边形与三 角形按左下图所示的方式放置,重叠 (涂色)部分是( )形。 (3) (朝阳北票)把一张长方形纸折起 一个角后(如右上图),得到一个三角 形。已知∠1=52°,则∠2=( ), ∠3=( )。 (4) (泉州台商投资区)一个等腰三角 形顶角的度数是底角度数的3倍,这 个三角形的顶角是( )。按角分 类,这是一个( )三角形。 2. (深圳南山区)妈妈身高1.68米,体重 55千克,腿长约0.98米。妈妈说她一 步能迈2米,妈妈说的话对吗? 请你 从数学的角度进行判断,并用你喜欢 的方式说明理由。 3. (深圳福田区)在自制风筝活动中,同 学们需将一根长12dm的竹条剪成三 段(每段的长度为整分米),并首尾相 连围成一个三角形风筝框架。 (1) 如图所示为鹏鹏的剪法,他剪出的 三段竹条能否围成三角形? 请说明理由。 (2) 如图,田田先剪下5dm长的一段 作为三角形的一条边,接下来在哪里 剪开,得到的三段竹条能围成三角形? 请在图中画“”表示剪的位置。 (3) 悦悦剪下的三段恰好围成了内角 都是60°的三角形。她是在哪两个位置 剪的? 请在图中画“”表示剪的位置。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 22 数学(北师版·广东专用)四年级下 第二单元整合提升 类型一 判断三角形的形状问题 按角的大小判断一个三角形是什么三角形 时,可以直接找最大的角,最大的角是什么 角,这个三角形就是什么三角形。也可以通 过分析三角形中三个内角的度数的取值范 围,判断三角形的形状。 1. 已知∠1,∠2,∠3是一个三角形的 三个内角,且∠1+∠2=∠3,则这个 三角形一定是什么三角形? 为什么? 2. (推理意识)一个三角形中最小的角大 于45°,这个三角形一定是什么三角 形? 为什么? 类型二 运用分类讨论法求等腰三角形 内角的度数 已知等腰三角形的一个角的度数,求另外两 个角的度数时,若这个角小于90°,则这个角 可能是底角,也可能是顶角;若这个角大于或 等于90°,则这个角只能是顶角。 3. (地域特色)潮州剪纸精美绝伦,阿福 和阿宝参观剪纸展览。 (1) 阿福看到一个等腰三角形剪纸装 饰图案,已知其中一个角的度数是 70°,则这个等腰三角形图案的底角是 多少度? (2) 阿宝也看到一个等腰三角形剪纸 装饰图案,其中一个内角是另一个内 角的4倍。这个等腰三角形图案的顶 角是多少度? 类型三 根据三角形的三边关系解决三 角形的可能性问题 根据“三角形任意两边之和大于第三边”,结 合已知条件,确定三角形的可能性。 4. (思维过程)李叔叔用整分米长的木条 制作三角形绣架,其中一条边的长度为 5分米,另一条边的长度不能大于5分 米,还有一条边的长度不能小于5分 米。可以制作出( )种这样的三角 形绣架。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 32 二　认识三角形和四边形 5. (地域特色)铁丝编织是广东传统手工 艺。张师傅有一根16cm长的铁丝, 将其剪成整厘米长的三段,其中一段 已经确定为6cm。每两段首尾相接制 作成三角形装饰品,可制作出多少种不 同形状的三角形装饰品? 写出所有可 能的情况。 类型四 数图形的个数 先数单个的小图形,再数由2个、3个……单 个的小图形组成的大图形,最后将数出的所 有图形的个数相加,得出最终结果。 6. (模型意识)下图中一共有多少个三 角形? 7. 下图中一共有多少个平行四边形? 8. 下图中一共有多少个梯形? 素养点 巧解多边形拼与分的问题 9. 珠海三灶竹草编织技艺是广东省省级 非物质文化遗产之一。 (1) 刘师傅用两个完全相同的三角形 框架(如图),拼成一个平行四边形框 架,拼成的平行四边形框架的周长是 多少厘米? 思路提示:将两个完全相同的三角形拼成 一个平行四边形,有几种拼法? (2) 李师傅用直角三角形框架和直角 梯形框架(如图),拼成一个平行四边 形框架,拼成的平行四边形框架的周 长是多少厘米? 思路提示:哪两条边拼在一起可以拼成平 行四边形? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 42 数学(北师版·广东专用)四年级下 二　认识三角形和四边形 第1课时 图形分类 1. 分法不唯一,如 知识归纳 平面图形与立体图形的区别 平面图形中构成图形的所有点都在 同一平面内;立体图形占有一定的空间, 且构成图形的所有点不都在同一平面内。 2. (1) A C (2) C (3) C 3. 答案不唯一,如 理由:三角形具有稳定性。 4. 解析:长方形四个角都是直角,对边相等,据 此画线,同时保证另一个图形是三角形即 可;正方形有四条完全相等的边,四个角都 是直角,据此画线。 5. 解析:先把两块正方形桌布沿相对角顶点的 连线剪开,然后把四块小三角形桌布的直角 边对齐,即可拼成一块稍大于桌面的正方形 桌布。 第2课时 三角形分类 1. 2. C 3. 画法不唯一,如 4. 画法不唯一,如 5. C 解析:观察题图,可知AB 的长度是 24+36=60(m)。小芳走的路程是AC+ BC,是等边三角形ABC 两条边的长度和, 即60×2=120(m)。小红走的路程是 AD+DE+EF+BF,是等边三角形ADE 两条边的长度和加上等边三角形BEF 两条 边的长度和,即36×2+24×2=120(m)。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 9 所以两人走的路程一样长。 6. 10 3 4 3 解析:数三角形时,要根据三角形按角分类 的方法逐个数,做到不遗漏、不重复。 7. 6 解析:由于等腰三角形有两条相等的 腰,故用周长减去两个2分米就是3条底边 长的和,除以3就可以得到底边长。 第3课时 探索与发现: 三角形内角和(1) 1. (1) ✕ 易错分析 对三角形的内角和认识不清 所有的三角形的内角和都是180°, 与三角形的形状、边的长短等都无关。 (2) 􀳫 (3) 􀳫 (4) 􀳫 (5) 􀳫 2. (1) A (2) C (3) A B 3. 90° 30° 60° 60° 4. ∠1大约是31°,∠2大约是61° ∠3大约是180°-31°-61°=88° 按角分这个三角形是锐角三角形 解析:观察题图,可知每一小段线段代表 30°,∠1大约是31°,∠2大约是61°,根据三 角形的内角和等于180°,求出∠3的度数, 再判断即可。 5. 能 长方形的每个角都是直角,四个角 的和是360°,将其剪成两个一样的三角形, 两个三角形的六个内角的度数和就是原来 长方形的四个角的度数和,所以每个三角形 的内角和是180° 解析:通过寻找两个三角 形六个内角的度数和与长方形四个角的度 数和之间的关系来证明结论。 第4课时 探索与发现: 三角形内角和(2) 1. 110 钝 90 直 2. ∠1=180°-90°-36°=54° 180°-90°-30°=60° ∠2=180°-75°-60°=45° 180°-120°=60° ∠3=180°-60°-55°=65° 3. 180°-90°=90° 较小的锐角:90°÷(2+ 1)=30° 较大的锐角:90°-30°=60° 4. (1) 答案不唯一,如我最喜欢林林的方 法,林林把四边形分成了2个三角形,每个 三角形的内角和都是180°,四边形由2个三 角形组成,可以得出四边形的内角和是 180°×2=360° (2) 画法不唯一,如 180°×3=540° 解析:五边形可以分成3个 三角形,每个三角形的内角和是180°,所以 五边形的内角和是180°×3=540°。 5. ∠2=180°-70°-70°=40° ∠BAE= 180°-50°-50°=80° ∠3=180°-70°- 50°-40°=20° ∠1=80°-40°-20°=20° 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 01 解析:因为等腰三角形的两个底角相等,所 以在三角形ACD 中,用180°减去2个70°即 可求出∠2的度数;同理,用180°减去2个 50°就是∠BAE 的度数。在三角 形ACE 中,用180°减去∠5,∠E 和∠2的度数就是 ∠3的度数,最后用∠BAE 的度数减去 ∠2和∠3的度数就是∠1的度数。 第5课时 探索与发现: 三角形边的关系 1. C 2. 3 3. (1) 9米和7米的木料能与这两根木料 组成“人”字梁的外围 (2) 选9米的木料组成“人”字梁的外围时建 造的房子要“宽”一些 选7米的木料组成 “人”字梁的外围时建造的房子要“高”一些 4. (1) 34 解析:等腰三角形第三条边的长 可能是14厘米,也可能是6厘米,即三条边 的长分别是14厘米、14厘米、6厘米或 14厘米、6厘米、6厘米,后者6+6<14,不 符合要求,所以这个等腰三角形三条边的长 只能是14厘米、14厘米、6厘米。 易错分析 忽略三角形中三边的要求 等腰三角形不仅要满足有两条边相 等,还要满足任意两边之和大于第三边。 (2) 解析:根据三角形任意两边之和大于第三 边,任意两边之差小于第三边作出选择。 5. 16种 ① 12厘米、12厘米、1厘米; ② 12厘米、11厘米、2厘米;③ 12厘米、10厘 米、3厘米;④ 12厘米、9厘米、4厘米; ⑤ 12厘米、8厘米、5厘米;⑥ 12厘米、7厘 米、6厘米;⑦ 11厘米、11厘米、3厘米; ⑧ 11厘米、10厘米、4厘米;⑨ 11厘米、 9厘米、5厘米;⑩ 11厘米、8厘米、6厘米; 􀃊􀁉􀁓 11厘米、7厘米、7厘米;􀃊􀁉􀁔 10厘米、 10厘米、5厘米;􀃊􀁉􀁕 10厘米、9厘米、6厘米; 􀃊􀁉􀁖 10厘米、8厘米、7厘米;􀃊􀁉􀁗 9厘米、9厘 米、7厘米;􀃊􀁉􀁘 9厘米、8厘米、8厘米 解析:根据三角形边的关系:三角形任意两 边之和大于第三边,可知三角形中的最长边 最长是12厘米,最短是9厘米,即最长边可 以是12厘米、11厘米、10厘米、9厘米,再根 据另外两边的长度和分别写出符合条件的 两边的长度。 第6课时 四边形分类 1. ④⑤⑦ ①③⑥⑧ ①⑥ ⑥ 2. 3. 3 6 解析:可以先给图形标上序号(如 图),再数一数。图中的平行四边形有③、 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11 ④,且③④能拼成1个平行四边形,一共有 3个平行四边形;图中的梯形有①、②,且 ①②、①③、②④、①②③④都能拼成梯形, 一共有6个梯形。 4. B 5. (1) ②和⑦、③和④、⑤和⑧ (2) ①和 ⑤、①和⑥、①和⑧、②和⑤、②和⑧、⑤和 ⑥、⑤和⑦、⑤和⑧、⑥和⑧、⑦和⑧ 解析:解答此题时要有序思考,拼图形时要 把长度相等的边拼在一起,长方形要四个角 都是直角,梯形要有一组对边平行,一组对 边不平行。 6. 画法不唯一,如 7. 6÷(3-1)=3(厘米) 3×3=9(厘米) 解析:因为长方形对边相等,所以梯形中互 相平行的一组对边中,6厘米相当于较短边 的3-1=2倍,据此先求出较短边的长度, 再求出较长边的长度。 第7课时 练 习 二 1. 2. 答案不唯一,如 3. (1) C (2) C 4. 41 506 解析:根据小棒的摆放规律可 知,摆1个梯形要5根小棒;摆2个梯形要 5+4×1=9(根)小棒;摆3个梯形要5+4× 2=13(根)小棒;多摆1个梯形要增加4根 小棒,所以摆10个梯形,要5+4×9= 41(根)小棒;当小棒根数为2025时,(2025- 5)÷4=505(个),即可以摆506个梯形。 5. 9分米、10分米、11分米、12分米、13分 米、14分米、15分米、16分米 解析:从三条边相等开始,腰长依次加1分 米或减1分米进行尝试,列出下表(单位: 分米): 腰 长 11 12 13 14 15 16 10 9 腰 长 11 12 13 14 15 16 10 9 底边长 11 9 7 5 3 1 13 15 由表可知,该地砖的腰长可能是9分米、 10分米、11分米、12分米、13分米、14分 米、15分米、16分米。 6. ∠1=60° 90°-60°=30° ∠2=∠4= (180°-30°)÷2=75° ∠3=360°-60°- 75°×2=150° 解析:根据正方形中最大的 三角形是等边三角形,可知∠1是60°。同 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 21 时可知∠2和∠4所在的三角形都是等腰三 角形,且这两个等腰三角形的顶角都是 90°-60°=30°,所以∠2=∠4=(180°- 30°)÷2=75°。再结合周角是360°,求出 ∠3=360°-60°-75°×2=150°。 提分真题集训 1. (1) ① A,E B,C D ② C,E E (2) 梯 (3) 38° 104° (4) 108° 钝角 2. 不对 理由:妈妈两条腿的长度之和是 0.98+0.98=1.96(米),1.96<2,小于妈妈 所说的一步的距离。(合理即可) 3. (1) 鹏鹏剪出的三段竹条不能围成三角 形 理由:因为三段竹条的长度分别为 6dm、5dm、1dm,5+1=6,不满足三角形的 三边关系。 (2) 答案不唯一,如 解析:田田先剪下5dm长的一段作为三角 形的一条边,则剩下的长度为12-5= 7(dm)。如果把7dm分成1dm和6dm, 1+5=6,不能围成;如果把7dm分成2dm 和5dm,2+5>5,可以围成;如果把7dm分 成3dm和4dm,3+4>5,可以围成。据此 作图。 (3) 解析:悦悦剪下的三段恰好围成了内角都是 60°的三角形,说明该三角形是等边三角形, 所以 它 的 三 条 边 的 长 度 都 为12÷3= 4(dm),据此作图。 第二单元整合提升 1. 直角三角形 因为三角形的内角和是 180°,∠1+∠2=∠3,说明∠1+∠2和 ∠3各占三角形内角和的一半,∠3=180°÷ 2=90°,所以这个三角形一定是直角三角形 2. 锐角三角形 最小的角大于45°,那么 两个较小角的度数和一定大于90°,最大的 角就会小于90°,所以一定是锐角三角形 3. (1) 第一种情况:底角是70° 第二种情况:顶角是70° (180°-70°)÷2=55° 底角是70°或55° 解析:在一个等腰三角形中,其中一个角的 度数是70°,底角的度数会有两种情况,一种 情况是这个70°的角是底角,则底角是70°; 另一种情况是这个70°的角是顶角,则底角 是(180°-70°)÷2=55°。 (2) 第一种情况:180°÷(4+1+1)=30° 30°×4=120° 第二种情况:180°÷(4+4+ 1)=20° 20°×1=20° 顶角是120°或20° 解析:在一个等腰三角形中,其中一个内角 是另一个内角的4倍,会有两种情况,一种 情况是顶角是底角的4倍,则顶角是180°÷ (4+1+1)=30°,30°×4=120°,即顶角是 120°;另一种情况是底角是顶角的4倍,则顶 角是180°÷(4+4+1)=20°,20°×1=20°, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 31 即顶角是20°。 4. 15 解析:如图,如果三角形绣架的三条 边分别用AB,BC,AC来表示,规定AB不能 小于BC,AC不能大于BC,且BC为5分米。 由于这三条边的长度都是整分米,故AC 可 以是1分米、2分米、3分米、4分米、5分米, AB 有很多种可能。无论什么样的三角形, 它的任意两边之和都大于第三边。由此可 列出下表: AC/分米 122333444455555 BC/分米 555555555555555 AB/分米 556567567856789 由表可知,可以制作出15种这样的三角形 绣架。 5. 可制作出3种不同形状的三角形装饰品, 分别是6cm、3cm、7cm;6cm、4cm、6cm和 6cm、5cm、5cm 解析:已知一条边是6cm, 另外两条边的和是16-6=10(cm),可以得 到5种组合,分别是① 6cm、1cm、9cm; ② 6cm、2cm、8cm;③ 6cm、3cm、7cm; ④ 6cm、4cm、6cm;⑤ 6cm、5cm、5cm。 根据三角形的三边关系可知,能围成三角形 的只有③④⑤三种。 6. 5+4+3+2+1=15(个) 解析:观察题图可知,单个的三角形有5个, 由2个单个的三角形组成的三角形有4个, 由3个单个的三角形组成的三角形有3个, 由4个单个的三角形组成的三角形有2个, 由5个单个的三角形组成的三角形有1个, 所以一共有5+4+3+2+1=15(个)三角形。 7. 8+8+4+2=22(个) 解析:观察题图可知,单个的平行四边形有 8个,由2个单个的平行四边形组成的平行 四边形有8个,由3个单个的平行四边形组 成的平行四边形有4个,由4个单个的平行 四边形组成的平行四边形有2个,所以一共 有8+8+4+2=22(个)平行四边形。 8. 2+4+2+1=9(个) 解析:观察题图可知,单个的梯形有2个,由 2个单个的图形组成的梯形有4个,由4个 单个的图形组成的梯形有2个,由6个单个 的图形组成的梯形有1个,所以一共有2+ 4+2+1=9(个)梯形。 9. (1) (12+18)×2=60(cm) (24+ 12)×2=72(cm) (24+18)×2=84(cm) 拼成的平行四边形框架的周长可能是60cm, 也可能是72cm,还可能是84cm 解析:如图,将两个完全相同的三角形框架 拼成一个平行四边形框架会有三种情况: ① 24cm长的边拼在一起;② 18cm长的边 拼在一起;③ 12cm长的边拼在一起。 (2) (20+26)×2=92(cm) (20+24)×2=88(cm) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 41 拼成的平行四边形框架的周长可能是92cm, 也可能是88cm 解析:如图,将直角三角形框架和直角梯形 框架拼成一个平行四边形框架会有两种情 况:① 24cm长的边拼在一起;② 26cm长 的边拼在一起。本题要注意,长方形是特殊 的平行四边形。 三　小数乘法 第1课时 买 文 具 1. 1.5 0.4 2. (1) B (2) B 方法归纳 求几个相同小数的和的方法 求几个相同小数的和可以用加法计 算,也可以用乘法计算。 3. 2.8-2.2=0.6(元) 0.6×1000=600(元) 4. (1) 2 解析:一根木料共锯了4次,锯成 了4+1=5(段),每段长0.4米,这根木料原 来长5×0.4=2(米)。 (2) 3 解析:爬一层楼梯需要0.6分,从 1楼爬到6楼要爬6-1=5(层)楼梯,需要 5×0.6=3(分)。 5. 2×2×2=8(段) 0.4×8=3.2(米) 解析:根据题意,动手操作一下,会发现这根 长绳被剪成了长度相等的8段,所以这根长 绳原来长8个0.4米。 6. 0.4×2=0.8(米) 0.8-0.1=0.7(米) 0.7×2=1.4(米) 解析:由题意可知,竹竿 的两头都被浸湿了,那么一共浸湿了2个 0.4米,它是全长的一半多0.1米,用2个 0.4米的长度减去0.1米,然后乘2就是这 根竹竿的全长。 第2课时 小数点搬家(1) 1. (1) 一 100 (2) 3.5 2. 缩小到原来的1 10 缩小到原来的 1 100 扩大到原来的100倍 扩大到原来的1000倍 3. 4. 10-1=9 36÷9=4 4=4.0 原数是4.0 解析:把一个一位小数的小数点 向右移动一位后,新得的数是原数的10倍, 比原数大10-1=9倍。已知新得的数比原 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 51