黄金卷07（全国通用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 一、选择题：（每题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C B C D A B B A 二、填空题：（每小题3分，共18分.） 11． 12． 13．/ 14． / 15． 16. 三、解答题：（本大题共8个小题，共72分.） 17.【详解】解：（1） ；(4分) （2） ．(4分) 18. 【详解】解：（1）， ，，， ∴， ∴， ∴，；(4分) （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：．(8分) 19. 【详解】（1）解：抽取总人数为（名）， ∵， ∴； C级人数为（名）， ∴级对应的扇形的圆心角为， 故答案为：50，24，72；(3分) （2）解：在这组数据中，从小到大排列，第24位和第25位都在B级，故这组数据的中位数所在的等级是B级， 故答案为：B级；(5分) （3）解：（名）， 答：该校综合评定成绩为D级的学生有240名．(8分) 20.【详解】（1）解：延长交于， 由题意得：是的切线，(1分) ， ；(3分) （2）解：如图，过点作于点，延长交于点，连接， 是的切线， ， ， ，(5分) ， ， 在中， ， ， ，(6分) 如图，当粒子运动到点时，离的距离最远， ，即粒子到的最远距离是 (8分) 21. 【详解】（1）解：将代入得， ， 将，代入得， 解得， ∴反比例函数表达式为；(2分) （2）解：根据函数图象可知：当时，反比例函数图象在正比例函数图象的上面， ∴不等式的解集为；(4分) （3）解：如图，过点B作轴，过点E作于点H，过点A作于点F， 则， ， ∵点A绕点B顺时针旋转， ，， ， ， 设点，，， ∴点，(6分) ∵点E在反比例函数图象上， ． 解得，（舍去）， ∴点E的坐标为．(8分) 22.【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴，(2分) ∵是的半径， ∴是的切线；(3分) （2）解：如图，过作于， ∵，， ∴，，(4分) ∵于， ∴， ∴，(6分) ∴，，(8分) ∴．(10分) 23. 【详解】（1）解：当时，随着时间的变化，人数的增加较多， ∴设与之间的函数关系式为， 当时，，当时，，当时，， ∴， 解得，， ∴当时，与之间的函数关系式为；(2分) （2）解：①设排队人数为，则： 当时，， ， 当时，有最大值320（人）；(3分) 当时，， 当时，有最大值300（人）；(4分) ， 排队人数最多时有320人．(6分) （3）解：若开始取餐分钟后增设个窗口，在11点40分时正好完成前300位同学的取餐， 则：，(8分) ∴， ，都是自然数， ，．(10分) 【详解】（1）解：， ， 故答案为：(2分) （2）解：四边形的周长为，， ， ， 的周长为，， ， ， ， 故答案为：；(3分) （3）解：；理由如下， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，(5分) ， ， ；(7分) （4）解：在上找一点使，延长交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为． 在矩形中，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ，， 为等腰三角形， ， 设，则， ， ，，，， ， ， ， ， ，，(7分) ， ， ， ， ∴，，(9分) 设，， ， ， ， 即， ，对称轴为直线， 当时，， 即当时，．(12分) 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．下列四个数中，最大的数是（   ） A． B． C． D． 2．环保全称环境保护，是指人类为解决现实的或潜在的环境问题，协调人类与环境的关系，保障经济、社会的持续发展而采取的各种行动的总称．下列环保标志中，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．据报道，《国家节水行动方案》确定的2022年节点主要目标全面完成，2022年全国用水总量控制在6100亿立方米以内．其中6100亿用科学记数法表示为  （    ） A． B． C． D． 4．白釉绿彩长颈瓶现藏于河南博物院，是国宝级文物，开创了中国陶瓷釉彩装饰的先河．如图，关于它的三视图，下列说法正确的是（   ） A．主视图和俯视图相同 B．主视图和左视图相同 C．左视图和俯视图相同 D．三种视图均不相同 5．下面计算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．同几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发x日，甲乙相逢，则可列方程（   ） A． B． C． D． 7．已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如表，则下列结论正确的是（   ）． x … 0 3 y … 3 3 A．当时，y随x的减小而减小 B．图象的开口向上 C．图象只经过第二，三，四象限 D．图象的顶点坐标是 8．为增强学校之间的友谊，某市举办联合篮球比赛，下表是A校篮球队员的身高： 身高 176 178 180 181 182 185 人数 1 2 3 2 1 1 下列说法正确的是（   ） A．篮球队员身高的众数是 B．篮球队员的平均身高是 C．篮球队员身高的中位数是 D．篮球队员身高的方差是9．如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，，则的长为（   ） A． B． C．5 D．6 10．如图，在中，，，，为的中点，是边上一个动点，连接，过点作，交边于点．设的长为，的面积为，，则与的函数图象大致为（   ） A．B．C． D． 二、填空题：（本大题共6题，每小题3分，共18分.） 11．分解因式： ． 12．不等式组的整数解的和为 ． 13．关于x的方程有实数根，则k的取值范围是 ． 14．如图，在中，点P是边上一点，将沿直线折叠，点D的对应点为E．当点E恰好落在边上时，若，则的长为 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，，，，是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点，依次放在点，的位置，然后向右滚动，第1次滚动使点落在点的位置，第2次滚动使点落在点的位置…，按此规律滚动下去，则第2024次滚动后，顶点的坐标是 ． 16．如图，在矩形中，，点E在边上， ，在矩形内找一点P，使得，则线段的最小值为 ． 三、解答题：（本大题共8题，其中第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分.） 17．（8分）（1）计算： （2）化简： 18．（8分）（1）解方程：．     （2）解不等式组：． 19．（8分）设中学生体质健康综合评定成绩为分，满分为100分，规定：为A级，为B级，为C级，为D级．现随机抽取某中学部分学生的综合评定成绩，整理绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题： (1)在这次调查中，一共抽取了_____________名学生，____________，级对应的扇形的圆心角为_______________度； (2)这组数据的中位数所在的等级是________________； (3)若该校共有3000名学生，请你估计该校综合评定成绩为D级的学生有多少名？ 20．（8分）粒子加速器是当今高能物理学中研究有关宇宙的基本问题的重要工具．图1，图2是某环形粒子加速器的实景图和构造原理图，图3是粒子加速器的俯视示意图，是粒子真空室，是两个加速电极，高速飞行的粒子在点注入，在粒子真空室内做环形运动，每次经过时被加速，达到一定的速度在点引出，粒子注入和引出路径都与相切．已知：，粒子注入路径与夹角． (1)求的度数； (2)通过计算，求粒子在环形运动过程中，粒子到的最远距离（相关数据：）． 21．（8分）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点B是线段上（不与点A重合）的一点． (1)求反比例函数的表达式； (2)观察图象，当时，直接写出不等式的解集； (3)如图，将点A绕点B顺时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在的图象上时，求点E的坐标． 22．（10分）如图，是的直径，为上一点，点在的延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为，求圆中阴影部分的面积． 23．（10分）某九年一贯制学校由于学生较多，学校食堂采取错时用餐，初中部每个同学必须在30分钟用好午餐．为了给食堂管理提出合理的建议，小明同学调查了某日11:30下课后15分钟内进入食堂累计人数（人）与经过的时间分钟（为自然数）之间的变化情况，部分数据如下： 经过的时间 /分钟 0 1 2 3 4 5 … 10 累计人数 （人） 0 95 180 255 320 375 … 500 当时与之间的函数关系式，（） 已知每位同学需排队取餐，食堂开放5个窗口，每个窗口每分钟4个同学取好餐． (1)根据上述数据，请利用已学知识，求出当时，与之间的函数关系式． (2)排队人数最多时有多少人？ (3)若开始取餐分钟后增设个窗口（受场地限制，窗口总数不能超过10个），以便在11点40分时（第10分钟）正好完成前300位同学的取餐，求，的值． 24．（12分）（一）模型呈现（1）如图1，点在直线上，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到，进而得到_______，_______．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； （二）模型体验（2）如图2，在中，点为上一点，，四边形的周长为，的周长为．小诚同学发现根据模型可以推理得到，进而得到，那么，再根据题目中周长信息就可得_______； （三）模型拓展（3）如图3，在中，，直线经过点，且于点，于点．请猜想线段之间的数量关系，并写出证明过程： （四）模型应用（4）如图4，已知在矩形中，，点在边上，且．是对角线上一动点，是边上一动点，且满足，当在上运动时，请求线段的最大值，并求出此时线段的长度． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．下列四个数中，最大的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，根据实数大小比较的方法：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可，熟练掌握相关方法是解题的关键． 【详解】解： 根据实数大小比较的方法可知：， 即， ∴最大的数是， 故选：． 2．环保全称环境保护，是指人类为解决现实的或潜在的环境问题，协调人类与环境的关系，保障经济、社会的持续发展而采取的各种行动的总称．下列环保标志中，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 3．据报道，《国家节水行动方案》确定的2022年节点主要目标全面完成，2022年全国用水总量控制在6100亿立方米以内．其中6100亿用科学记数法表示为  （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：6100亿， 故答案为：C． 4．白釉绿彩长颈瓶现藏于河南博物院，是国宝级文物，开创了中国陶瓷釉彩装饰的先河．如图，关于它的三视图，下列说法正确的是（   ） A．主视图和俯视图相同 B．主视图和左视图相同 C．左视图和俯视图相同 D．三种视图均不相同 【答案】B 【分析】本题主要考查三视图，熟练掌握三视图是解题的关键；因此此题可根据图形得到其三视图，进而问题可求解． 【详解】解：由图可知：该文物的主视图和左视图相同，故B选项符合题意； 故选B． 5．下面计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考出了同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．根据同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项，逐项判断即可． 【详解】解：A、和不是同类项，不能进行加法运算，故不符合题意； B、和不是同类项，不能进行加法运算，故不符合题意； C、，故符合题意； D、，故不符合题意； 故选：C． 6．《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．同几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发x日，甲乙相逢，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键．设两地距离为1，先求得甲乙的速度分别为、，再根据相遇时，两人所走路程和为1列方程求解即可． 【详解】解：设乙出发x日，甲乙相逢， 根据题意，得， 故选：D． 7．已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如表，则下列结论正确的是（   ）． x … 0 3 y … 3 3 A．当时，y随x的减小而减小 B．图象的开口向上 C．图象只经过第二，三，四象限 D．图象的顶点坐标是 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先根据对称性确定二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由表格可知：和时的函数值相同， ∴对称轴为直线， 由表格可知：当时，随着的增大而增大，y随x的减小而减小，时，随着的增大而减小， ∴抛物线的开口向下， ∵函数图象过点和，且函数图象的开口向下， ∴抛物线的开口方向向下，顶点在第二象限，且与轴交于正半轴，与轴的两个交点分别在的正半轴和负半轴上， ∴函数图象过一，二，三，四象限， ∵抛物线的对称轴为直线； ∴抛物线的顶点的横坐标为，不是， 综上：只有选项A正确，符合题意； 故选A． 8．为增强学校之间的友谊，某市举办联合篮球比赛，下表是A校篮球队员的身高： 身高 176 178 180 181 182 185 人数 1 2 3 2 1 1 下列说法正确的是（   ） A．篮球队员身高的众数是 B．篮球队员的平均身高是 C．篮球队员身高的中位数是 D．篮球队员身高的方差是 【答案】B 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义，根据平均数、中位数、众数、方差的计算方法逐项分析即可． 【详解】A． ∵出现的次数最多， ∴众数是，故不正确； B． 平均数，正确； C． ∵从小到大排列后排在第5和第6位的是， ∴中位数是，故不正确； D． ，故不正确． 故选B． 9．如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，，则的长为（   ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等角对等边，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据角平分线可知，，，结合四边形是平行四边形，，，从而得到，，，最后在中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ，， 的平分线和的平分线交于上一点 ， ，， ， 故选：B． 10．如图，在中，，，，为的中点，是边上一个动点，连接，过点作，交边于点．设的长为，的面积为，，则与的函数图象大致为（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】先求出，则，，，过点作于，过点作于，延长到，使，连接，，则，，设，则，，，证和全等得，再利用勾股定理得，，再证，进而求得，，根据列出函数关系式，进而根据函数的解析式及题目中的选项即可得出答案． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 为的中点， ， 又，， 过点作于，过点作于，延长到，使，连接，，如图： 在中，，， ， ， 设，则， 在中，， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ，， 为线段的垂直平分线， ， ， ， ， ，， ， 而， ， 即， 整理得：， ， ， 当时，，当时，，顶点坐标为， 该函数图象是抛物线，与轴交于点，顶点为，且过点， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了动点问题的函数图象，垂直平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的图象与性质，勾股定理，解直角三角形，掌握以上知识点是解答本题的关键． 二、填空题：（本大题共6题，每小题3分，共18分.） 11．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，平方差公式，根据因式分解的方法和平方差公式即可得到答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 12．不等式组的整数解的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键． 先求出每一个不等式的解集，再确定不等式组的解集，得到整数解，计算即可得到答案． 【详解】解： 解得， 解得， 不等式组的解集为， 不等式组的整数解为， 整数解的和为， 故答案为：． 13．关于x的方程有实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．分类讨论当时和时两种情况，即可求解． 【详解】解：当时，原方程为，解得，满足题意； 当时，原方程可化为 由题意得：，解得：； 综上所述：， 故答案为： 14．如图，在中，点P是边上一点，将沿直线折叠，点D的对应点为E．当点E恰好落在边上时，若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】如图，延长与的延长线交于点，证明，，再利用相似三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图，延长与的延长线交于点， ∵， ∴，， ∴， 由折叠可得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，而，， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，轴对称的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 15．如图，在平面直角坐标系中，，，，是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点，依次放在点，的位置，然后向右滚动，第1次滚动使点落在点的位置，第2次滚动使点落在点的位置…，按此规律滚动下去，则第2024次滚动后，顶点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，解题关键是找到点随滚动次数的变化规律． 列举几次滚动后的点坐标，找到滚动次数与点坐标之间的规律，进而求出第2024次滚动后顶点的坐标． 【详解】解：第1次滚动点的坐标为， 第2次滚动点的坐标为， 第3次滚动点的坐标为， 第4次滚动点的坐标为， 滚动5次后，； 滚动6次后，； 滚动7次后，； 滚动8次后，； ∴每滚动4次一个循环， ， ， ， 即， 故答案为：． 16．如图，在矩形中，，点E在边上， ，在矩形内找一点P，使得，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，圆周角定理，解直角三角形，矩形的性质，关键是判定点P在所对圆周角的圆O上运动． 点P在所对圆周角的圆O上运动，当的延长线过圆心O时，有最小值，连接，，过O作于H，过O作于M，求出，，由等腰三角形的性质推出，，由圆周角定理得到，由，求出，由含30度角的直角三角形的性质得到，判定四边形是矩形，得到，，由勾股定理求出的长，即可得到答案． 【详解】解：点P在所对圆周角的圆O上运动， 当的延长线过圆心O时，有最小值，连接，，过O作于H，过O作于M， ，， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共8题，其中第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分.） 17．（8分）（1）计算： （2）化简： 【答案】（1）3；（2） 【分析】本题考查实数的混合运算和整式的混合运算，熟练掌握实数的混合运算和整式的混合运算法则是解题关键． （1）先计算二次根式化简、负整数指数幂，再进行四则运算即可； （2）利用整式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 18．（8分）（1）解方程：．     （2）解不等式组：． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解不等式组，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）用公式法解一元二次方程即可； （2）先求出不等式的解集，然后再求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1）， ，，， ∴， ∴， ∴，； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 19．（8分）设中学生体质健康综合评定成绩为分，满分为100分，规定：为A级，为B级，为C级，为D级．现随机抽取某中学部分学生的综合评定成绩，整理绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题： (1)在这次调查中，一共抽取了_____________名学生，____________，级对应的扇形的圆心角为_______________度； (2)这组数据的中位数所在的等级是________________； (3)若该校共有3000名学生，请你估计该校综合评定成绩为D级的学生有多少名？ 【答案】(1)50，24，72； (2)B级； (3)240名． 【分析】此题考查了是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）根据B级的人数除以所占的百分比求出抽取的总人数，再用A级的人数除以总人数即可求出a；求出C级的人数，再用360度乘以C级所占的百分比即可求出扇形统计图中C级对应的圆心角的度数； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）用D级所占的比例乘以该校的总人数，即可得出该校D级的学生数． 【详解】（1）解：抽取总人数为（名）， ∵， ∴； C级人数为（名）， ∴级对应的扇形的圆心角为， 故答案为：50，24，72； （2）解：在这组数据中，从小到大排列，第24位和第25位都在B级，故这组数据的中位数所在的等级是B级， 故答案为：B级； （3）解：（名）， 答：该校综合评定成绩为D级的学生有240名． 20．（8分）粒子加速器是当今高能物理学中研究有关宇宙的基本问题的重要工具．图1，图2是某环形粒子加速器的实景图和构造原理图，图3是粒子加速器的俯视示意图，是粒子真空室，是两个加速电极，高速飞行的粒子在点注入，在粒子真空室内做环形运动，每次经过时被加速，达到一定的速度在点引出，粒子注入和引出路径都与相切．已知：，粒子注入路径与夹角． (1)求的度数； (2)通过计算，求粒子在环形运动过程中，粒子到的最远距离（相关数据：）． 【答案】(1)53° (2)粒子到的最远距离是 【分析】本题考查的是切线长定理的应用，垂径定理的应用，解直角三角形的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键； （1）延长交于，根据切线长定理可得答案； （2）如图，过点作于点，延长交于点，连接，则此时当粒子运动到点时，离的距离最远，再结合垂径定理与解直角三角形可得答案． 【详解】（1）解：延长交于， 由题意得：是的切线， ， ； （2）解：如图，过点作于点，延长交于点，连接， 是的切线， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ， 如图，当粒子运动到点时，离的距离最远， ，即粒子到的最远距离是 21．（8分）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点B是线段上（不与点A重合）的一点． (1)求反比例函数的表达式； (2)观察图象，当时，直接写出不等式的解集； (3)如图，将点A绕点B顺时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在的图象上时，求点E的坐标． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式是解题的关键． （1）先将代入求出a的值，然后用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）根据函数图象，结合点得出不等式的解集即可； （3）过点B作轴，过点E作于点H，过点A作于点F，，可得，则设点，得到点，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出n值，继而得到点E坐标． 【详解】（1）解：将代入得， ， 将，代入得， 解得， ∴反比例函数表达式为； （2）解：根据函数图象可知：当时，反比例函数图象在正比例函数图象的上面， ∴不等式的解集为； （3）解：如图，过点B作轴，过点E作于点H，过点A作于点F， 则， ， ∵点A绕点B顺时针旋转， ，， ， ， 设点，，， ∴点， ∵点E在反比例函数图象上， ． 解得，（舍去）， ∴点E的坐标为． 22．（10分）如图，是的直径，为上一点，点在的延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为，求圆中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）连接，由圆周角定理得，进而根据等腰三角形的性质可得，即得，即可求证； （）如图，过作于，可得，，即得，最后根据解答即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，过作于， ∵，， ∴，， ∵于， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，解直角三角形，不规则图形的面积，掌握以上知识点是解题的关键． 23．（10分）某九年一贯制学校由于学生较多，学校食堂采取错时用餐，初中部每个同学必须在30分钟用好午餐．为了给食堂管理提出合理的建议，小明同学调查了某日11:30下课后15分钟内进入食堂累计人数（人）与经过的时间分钟（为自然数）之间的变化情况，部分数据如下： 经过的时间 /分钟 0 1 2 3 4 5 … 10 累计人数 （人） 0 95 180 255 320 375 … 500 当时与之间的函数关系式，（） 已知每位同学需排队取餐，食堂开放5个窗口，每个窗口每分钟4个同学取好餐． (1)根据上述数据，请利用已学知识，求出当时，与之间的函数关系式． (2)排队人数最多时有多少人？ (3)若开始取餐分钟后增设个窗口（受场地限制，窗口总数不能超过10个），以便在11点40分时（第10分钟）正好完成前300位同学的取餐，求，的值． 【答案】(1) (2)排队人数最多时有320人 (3)， 【分析】本题主要考查二次函数，一次函数的运用，理解数量关系，掌握待定系数法求解析式，二次函数，一次函数求最值的方法是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）设排队人数为，则当时，，则当时，有最大值320（人）；当时，，则当时，有最大值300（人）；由此即可求解； （3）若开始取餐分钟后增设个窗口，在11点40分时正好完成前300位同学的取餐， 则：，由，都是自然数，得到，，由此即可求解． 【详解】（1）解：当时，随着时间的变化，人数的增加较多， ∴设与之间的函数关系式为， 当时，，当时，，当时，， ∴， 解得，， ∴当时，与之间的函数关系式为； （2）解：①设排队人数为，则： 当时，， ， 当时，有最大值320（人）； 当时，， 当时，有最大值300（人）； ， 排队人数最多时有320人． （3）解：若开始取餐分钟后增设个窗口，在11点40分时正好完成前300位同学的取餐， 则：， ∴， ，都是自然数， ，． 24．（12分）（一）模型呈现 （1）如图1，点在直线上，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到，进而得到_______，_______．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； （二）模型体验 （2）如图2，在中，点为上一点，，四边形的周长为，的周长为．小诚同学发现根据模型可以推理得到，进而得到，那么，再根据题目中周长信息就可得_______； （三）模型拓展 （3）如图3，在中，，直线经过点，且于点，于点．请猜想线段之间的数量关系，并写出证明过程： （四）模型应用 （4）如图4，已知在矩形中，，点在边上，且．是对角线上一动点，是边上一动点，且满足，当在上运动时，请求线段的最大值，并求出此时线段的长度． 【答案】（1）；（2）；（3），见解析；（4）当时 【分析】（1）由全等三角形的性质可得结论； （2）由全等三角形的性质得对应相等的线段，经过等量代换即可求出； （3）证明，得，由，得，进而可得结论： （4）在上找一点使，延长交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为．由矩形性质及勾股定理证明，求出，证明，进而证明，为等腰三角形， 设，则，解直角三角形求出，，设，，证明，得，由二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：， ， 故答案为： （2）解：四边形的周长为，， ， ， 的周长为，， ， ， ， 故答案为：； （3）解：；理由如下， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （4）解：在上找一点使，延长交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为． 在矩形中，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ，， 为等腰三角形， ， 设，则， ， ，，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴，， 设，， ， ， ， 即， ，对称轴为直线， 当时，， 即当时，． 【点睛】本题主要涉及全等三角形的判定与性质、“一线三等角”模型等数学概念，利用“一线三等角”模型及全等三角形的判定定理证明三角形全等，进而得出对应边相等；构造“一线三等角”模型，结合三角函数和相似三角形的性质及二次函数的性质，求解线段的最值及相应长度是正确解题的关键． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$