黄金卷08（全国通用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．下列各数中，最大的数是（　　） A． B．2 C． D． 2．下列美丽的图案中是轴对称图形的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3． 是中国深度求索公司研发的高性能语言模型，专注于自然语言处理、代码生成和数学推理．截止2025年2月22日，人工智能助手的累计下载量已达到1.1亿次，注册用户达73300000个．用科学记数法表示73300000正确的是（   ） A． B． C． D． 4．已知点和点关于原点对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，点O是边上一点，连接并延长，交的延长线于点E．若，，则的长为（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 6．下列计算正确的是（   ） A． B．C． D． 7．我国古代数学专著《九章算术》中有一道关于“分钱”的问题：甲、乙二人有钱若干，若甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍；若乙给甲5钱，则乙的钱是甲的．若设甲原有钱，乙原有钱，则可列方程（　　） A．B．C． D． 8．二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A．B．C．D． 9．如图，在正方形ABCD中，E为BC延长线上一点，连接DE，F为BC上一点，且EF＝DE，连接DF．G为CD上一点，且DG＝CF，连接AG并延长交DE于点M，连接CM，若∠DAM＝α，则∠DCM＝（　　） A．2α B．45°+α C． D． 10．在平面直角坐标系中，⊙O的圆心为坐标原点，半径为3，若直线与⊙O始终有交点，则b的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 二、填空题：（本大题共6题，每小题3分，共18分.） 11．如图，数轴上的点表示实数、且与的积为有理数，则整数的值为 ． 12．如图，在中，，，．将折叠，使点B的对应点落在边上，折痕分别与交于点D，E．若与相似，则的长为 13．小刚将二维码打印在面积为10的正方形纸片上，如图所示．为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，多次试验后获得如下数据： 重复试验次数 30 50 100 300 800 点落在阴影部分次数 19 32 59 183 483 “点落在阴影部分”的频率（结果保留两位小数） 0.67 0.64 0.59 0.61 0.60 由此可以估计此二维码中黑色阴影部分的面积为 ．（结果保留整数） 14．如图，在边长为2的正六边形中，点在上，一束光线从点出发，照射到镜面上的点处，经反射后射到上的点处，且，则 ． 15．如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2026个白色纸片，则n的值为 . 16．如图是二次函数图象的一部分,其对称轴为,且过点．下列说法:①；②；③；④若是抛物线上两点,则．其中说法正确的是 三、解答题：（本大题共8题，其中第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分.） 17．（8分）（1）计算：； （2）解不等式组：． 18．（8分）（1）解方程：； （2）先化简，再求值：，其中． 19．（8分）艺术千秋，人生朝露，人类心中的美好，善良，纯洁，祈愿绽放出鲜艳的花朵，收藏在历史，人类的书页中，数千年后只要从书中取出，也会回荡起芬芳的乐章．一家音乐公司正准备购入两首歌曲的版权，以下是列入候选名单的四首歌：《爱在西元前》，请你根据上述信息回答下列问题： (1)公司选到《爱在西元前》的概率是 ． (2)公司选到和的概率为多少？（用列表或画树状图的方法表示） 20．（8分）中国人民解放军在台海地区开展的演习活动是维护国家主权安全和发展利益的正当  之举，是外 部势力干涉和“台独”势力挑衅的警慑反制，也是维护台海地区和平稳定的必要行动．某次演习中，中国人民解放军在A城市周围B、C、D三个区域演习，B在A正南方向，C在A正东方向，D在A 东北方向，点B在点C南偏西，点D在点C北偏西方向100海里处．（参考数据：） (1)求的长． (2)由于演习过程中的特殊任务，从点C到点A需要经过点D或点B，那么C到A的两条路径和哪一条最短？ 21（8分）如图，在中，，，，为边上的中点，为上的动点，连接，将绕点按逆时针方向旋转，得到线段（点在内部），连接．设，的面积为． (1)求与的函数表达式； (2)求面积的最大值． 22．（10分）如图，在平行四边形中，点E是边上的点，且，连接，点G在上，连接，作交于点F，于点H，． (1)求证：； (2)若，求的值； 23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴，y轴分别交于C、D两点，点，点C为线段的中点，连接、．   (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)点M为线段上一动点(不与点A、O重合)，过点M作直线，使得，交于点．若与的面积比为，则点M的坐标为 ． 24．（12分）如图1，已知抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点，连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点P是直线上方抛物线上一点，过点P作轴交于点D，过点P作于点E，当的周长最大时，求出的周长最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，当的周长最大时，将点B沿射线的方向平移个单位至点，再将线段沿射线方向平移，点B、的对应点分别记为点M、N．在平移过程中，点P、M、N是否能构成以为腰的等腰三角形，若能，直接写出点N的横坐标；若不能，请说明理由． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 一、选择题：（每题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C B D D A B B C 二、填空题：（每小题3分，共18分.） 11． 8 12．或 13．6 14． 6 15． 675 16. ①②④ 三、解答题：（本大题共8个小题，共72分.） 17.【详解】解：（1）原式 ；（4分） （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为．（8分） 18. 【详解】解：（1）去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得．（2分） 经检验，是原方程的解．（4分） （2）原式．（6分） 当时，原式．（8分） 19. 【详解】（1）解：四首歌：、《爱在西元前》、，分别用S、C、爱、O表示，依题意列表得： S C 爱 O S — 爱S C — 爱C 爱 S爱 C爱 — O爱 O 爱O — 由表格可知：购入两首歌曲的版权共有12种可能结果，其中公司选到《爱在西元前》有6种， 公司选到《爱在西元前》的概率是， 故答案为：；（2分） （2）由表格可知：（5分） S C 爱 O S — 爱S C — 爱C 爱 S爱 C爱 — O爱 O 爱O — 购入两首歌曲的版权共有12种可能结果，其中公司选到公司选到和有2种， 公司选到《SAKURA》和《One last kiss》的概率是．（8分） 20. 【详解】（1）解：如图，过D点作的垂线交于E点， 根据题意有：，海里，， 在中，（海里）；（2分） 在等腰直角中，， ∴（海里）；（3分） （2）解：由（1）知，海里，海里，海里，海里， ∴走路线时，（海里）；（4分） ∴走路线时，（海里）, 则（海里）, （海里）； ∴（海里），（5分） 则（6分） 即选择最短．（8分） 21.【详解】（1）解：如图，过点D作于点M，过点F作，交的延长线于点N，过点F作于点P， ∴，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为边上的中点， ∴， ∴， ∴，，（2分） 设，则， ∵连接，将绕点按逆时针方向旋转，得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，（3分） ∴， ∴， ∴，（4分） ∴的面积；（5分） （2）解：，（6分） ∵， ∴当时，的面积有最大值，最大值．（8分） 22. 【详解】（1）证明：∵， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，（2分） ∵， ∴， ∴， ∴．（4分） （2）解：设， 则， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴，，（6分） ∵四边形是平行四边形，， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴， 由（1）得， ∴点G为斜边的中点，，（8分） ∵四边形是平行四边形， ∴， 如图，作于点P， ∴，， ∴．（10分） 23. 【详解】（1）解：将点B坐标代入得，， ∴反比例函数的解析式为；（1分） ∵点C为线段的中点，且点C在x轴上，点D在y轴上， ∴，则， ∴点D的坐标为， 将点D和点B坐标代入一次函数解析式得， ， 解得， ∴一次函数的表达式为；（3分） （2）解：由得， ∴，， ∴点A的坐标为， 将代入得，， ∴点C的坐标为， ∴，（5分） ∴，， ∴．（8分） （3）解：∵，    ∴， ∵与的面积比为， ∴， ∴点M为的中点， ∴点M的坐标为， 故答案为：（12分） 24【详解】（1）解：点、、在抛物线的图象上， 将它们代入，得： ， 解得：， 抛物线的解析式为；（2分） （2）解：、， ，， 在中，根据勾股定理可得： ， 轴， ， ， ， ， ， 的周长，（3分） 设直线的解析式为， 将、代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设， 轴交于点， ， ，（4分） ，（5分） ， 抛物线开口向下， 当时，的周长取得最大值，最大值为，此时点的坐标为；（6分） （3）解：在平移过程中，点、、能构成以为腰的等腰三角形，点的横坐标为或或，理由如下： 设直线的解析式为， 将、代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为， ，即点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点， 点、的对应点、也同样有、的位置关系，且点在直线上， 设，则， 由（2）得：， ，，，（7分） 若点、、能构成以为腰的等腰三角形，则分两种情况讨论： ①以为顶点，， 则， 解得：， 此时，点的横坐标；（9分） ②以为顶点，， 则， 解得：， 此时，点的横坐标；（11分） 综上所述，符合题意的点的横坐标为或或．（12分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．下列各数中，最大的数是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的大小比较，先估算的取值范围，再比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴最大的数是． 故选C． 2．下列美丽的图案中是轴对称图形的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形的概念．关键是掌握定义：若图形沿某条直线折叠后，直线两旁部分能完全重合，则为轴对称图形．解题时需逐一观察图形，寻找是否存在这样的对称轴，从而判断是否为轴对称图形． 【详解】解：第1个图形中，存在一条直线，沿此直线折叠，直线两旁部分完全重合，是轴对称图形． 第2个图形中，找不到任何一条直线，使折叠后直线两旁部分重合，不是轴对称图形． 第3个图形中，存在一条直线，沿此直线折叠，两边完全重合，是轴对称图形． 第4个图形中，存在多条对称轴（如竖直、水平直线），沿对称轴折叠后两边重合，是轴对称图形． 综上，轴对称图形有3个， 故选：B． 3． 是中国深度求索公司研发的高性能语言模型，专注于自然语言处理、代码生成和数学推理．截止2025年2月22日，人工智能助手的累计下载量已达到1.1亿次，注册用户达73300000个．用科学记数法表示73300000正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：C． 4．已知点和点关于原点对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征、代数式求值，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，由此可得，的值，进而可得答案． 【详解】解：点和点关于原点对称， ，， ， 故选：B． 5．如图，在中，点O是边上一点，连接并延长，交的延长线于点E．若，，则的长为（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．根据平行四边形的性质推出，得到，求出的长，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 6．下列计算正确的是（   ） A． B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，完全平方公式，幂的乘方，整式的除法，根据上述计算法则，逐一计算即可，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：A、无法合并，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意， 故选：D． 7．我国古代数学专著《九章算术》中有一道关于“分钱”的问题：甲、乙二人有钱若干，若甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍；若乙给甲5钱，则乙的钱是甲的．若设甲原有钱，乙原有钱，则可列方程（　　） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，由甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍，得；由乙给甲5钱，则乙的钱是甲的，得，据此列出相应的方程组即可． 【详解】解：设甲原有钱，乙原有钱， 依题意得， 故选：A． 8．二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与反比例函数图象的性质，掌握二次函数与反比例函数的图象和性质是解题的关键． 根据二次函数中二次项系数、一次项系数的分析得到二次函数图象，从而判断反比例函数图象即可求解． 【详解】解：二次函数，对称轴直线为， 当时，二次函数图象开口向上，则反比例函数的图象经过第一、三象限； 当时，二次函数图象开口向下，则反比例函数的图象经过第二、四象限； 只有B选项符合题意， 故选：B ． 9．如图，在正方形ABCD中，E为BC延长线上一点，连接DE，F为BC上一点，且EF＝DE，连接DF．G为CD上一点，且DG＝CF，连接AG并延长交DE于点M，连接CM，若∠DAM＝α，则∠DCM＝（　　） A．2α B．45°+α C． D． 【答案】B 【分析】证明，则，得到，，证明，进一步得到． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B 【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理、等腰三角形的判定和性质，证明是解题的关键． 10．在平面直角坐标系中，⊙O的圆心为坐标原点，半径为3，若直线与⊙O始终有交点，则b的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直线与圆的关系的综合，解题的关键是根据题意找到直线与圆相切时b的值． 求出直线与圆相切时，函数经过一、二、四象限和当直线与圆相切时，函数经过二、三、四象限b的值，则b的值在相交时与相切时两个b之间． 【详解】解：当直线与圆相切时，函数经过一、二、四象限，如图所示： 在中，令，则，即与y轴的交点为， 令， 则，即与x轴的交点为， ∴， 连接圆心O与切点C，则，， ∵， ∴ ， ∴ 同理当直线与圆相切时且函数经过二、三、四象限， ， 综上所述： 当直线与圆相交时，b的取值范围是 ； 故选：C． 二、填空题：（本大题共6题，每小题3分，共18分.） 11．如图，数轴上的点表示实数、且与的积为有理数，则整数的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的计算，解决本题的关键是熟练掌握实数与数轴及二次根式的乘法运算，先求出，再根据与的积为有理数求解即可． 【详解】解：点M在数轴上的位置在2与3之间， ， ， 与的积为有理数，且， ， 故答案为：8 12．如图，在中，，，．将折叠，使点B的对应点落在边上，折痕分别与交于点D，E．若与相似，则的长为 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的性质，折叠的性质．设，则，由折叠的性质得，分和两种情况讨论，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：设，则，由折叠的性质得， 分两种情况讨论， 当时，，即， 解得， 当时，，即， 解得， 综上，的长为或． 故答案为：或． 13．小刚将二维码打印在面积为10的正方形纸片上，如图所示．为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，多次试验后获得如下数据： 重复试验次数 30 50 100 300 800 点落在阴影部分次数 19 32 59 183 483 “点落在阴影部分”的频率（结果保留两位小数） 0.67 0.64 0.59 0.61 0.60 由此可以估计此二维码中黑色阴影部分的面积为 ．（结果保留整数） 【答案】6 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，熟练掌握用频率估计概率是解题的关键．根据总面积乘以“点落在阴影部分”的频率的稳定值即可得到答案． 【详解】解：估计此二维码中黑色阴影部分的面积为， 故答案为：． 14．如图，在边长为2的正六边形中，点在上，一束光线从点出发，照射到镜面上的点处，经反射后射到上的点处，且，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据题意延长于点，延长交于点，证明是等边三角形，将转化为，即可得到答案． 【详解】解：延长于点，延长交于点， 正六边形， ， ， 则和是等边三角形， ，且， ， ， ， 故也是等边三角形， ， ， ， ． 故答案为：． 15．如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2026个白色纸片，则n的值为 . 【答案】675 【分析】本题考查图形的变化，解一元一次方程，根据题目中的图形，可以发现白色纸片个数的变化规律，然后根据第n个图案中有2026张白色纸片，即可求得n的值． 【详解】解：由图可得， 第1个图案中白色纸片的个数为：， 第2个图案中白色纸片的个数为：， 第3个图案中白色纸片的个数为：， …， 第n个图案中白色纸片的个数为：， 令， 解得， 故答案为：675． 16．如图是二次函数图象的一部分,其对称轴为,且过点．下列说法:①；②；③；④若是抛物线上两点,则．其中说法正确的是 【答案】①②④ 【分析】根据抛物线的开口方向可判断a的正负，根据抛物线与y轴的交点可判断c的正负，根据抛物线的对称轴并结合a可判断b的正负，进而可判断①；根据抛物线的对称轴公式可判断②；先根据抛物线的对称轴判断当x=2时y的正负，进一步即可判断③；根据抛物线的对称性可得点关于对称轴的对称点是，再根据抛物线的性质即可判断④，进而可得答案． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，∴， ∵二次函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴，∴， ∵二次函数图象的对称轴是直线，∴， ∴， ∴，故①正确； 由①知：，∴，故②正确； ∵二次函数图象的对称轴为直线，且过点， ∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是， ∴当x=2时y＞0，把代入，得，故③错误； ∵二次函数图象的对称轴为， ∴点关于对称轴的对称点是， 由题意知当时，y随x的增大而增大，∵，∴，故④正确． 综上，说法正确的是：①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，属于常考题型，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 三、解答题：（本大题共8题，其中第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分.） 17．（8分）（1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的混合运算，解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题的关键。 （1）先化简二次根式、绝对值，计算负整数指数幂、零指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）先求出每一个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定不等式组的解集即可。 【详解】解：（1）原式 ； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为． 18．（8分）（1）解方程：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查解分式方程，分式的化简求值： （1）去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后进行检验即可； （2）先通分，计算括号内，再进行约分化简，再代值计算即可． 【详解】解：（1）去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 经检验，是原方程的解． （2）原式． 当时，原式． 19．（8分）艺术千秋，人生朝露，人类心中的美好，善良，纯洁，祈愿绽放出鲜艳的花朵，收藏在历史，人类的书页中，数千年后只要从书中取出，也会回荡起芬芳的乐章．一家音乐公司正准备购入两首歌曲的版权，以下是列入候选名单的四首歌：《爱在西元前》，请你根据上述信息回答下列问题： (1)公司选到《爱在西元前》的概率是 ． (2)公司选到和的概率为多少？（用列表或画树状图的方法表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查用列表或画树状图求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，解题的关键是能准确利用列表法或画树状图法找出总情况数及所求情况数． （1）列表或画树状图，，共有12种等可能的结果，公司选到《爱在西元前》的结果有6种，再由概率公式求解即可； （2）列表或画树状图，共有12种等可能的结果，其中公司选到和的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：四首歌：、《爱在西元前》、，分别用S、C、爱、O表示，依题意列表得： S C 爱 O S — 爱S C — 爱C 爱 S爱 C爱 — O爱 O 爱O — 由表格可知：购入两首歌曲的版权共有12种可能结果，其中公司选到《爱在西元前》有6种， 公司选到《爱在西元前》的概率是， 故答案为：； （2）由表格可知：购入两首歌曲的版权共有12种可能结果，其中公司选到公司选到和有2种， 公司选到《SAKURA》和《One last kiss》的概率是． 20．（8分）中国人民解放军在台海地区开展的演习活动是维护国家主权安全和发展利益的正当  之举，是外 部势力干涉和“台独”势力挑衅的警慑反制，也是维护台海地区和平稳定的必要行动．某次演习中，中国人民解放军在A城市周围B、C、D三个区域演习，B在A正南方向，C在A正东方向，D在A 东北方向，点B在点C南偏西，点D在点C北偏西方向100海里处．（参考数据：） (1)求的长． (2)由于演习过程中的特殊任务，从点C到点A需要经过点D或点B，那么C到A的两条路径和哪一条最短？ 【答案】(1)海里 (2)最短 【分析】本题考查了方位角问题(解直角三角形的应用)，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）认真研读题干，得，海里，，然后在中，（海里），则，即可作答． （2）分别算出每条路径的总长，再进行比较，即可作答． 【详解】（1）解：如图，过D点作的垂线交于E点， 根据题意有：，海里，， 在中，（海里）； 在等腰直角中，， ∴（海里）； （2）解：由（1）知，海里，海里，海里，海里， ∴走路线时，（海里）； ∴走路线时，（海里）, 则（海里）, （海里）； ∴（海里）， 则 即选择最短． 21（8分）如图，在中，，，，为边上的中点，为上的动点，连接，将绕点按逆时针方向旋转，得到线段（点在内部），连接．设，的面积为． (1)求与的函数表达式； (2)求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决最值问题． （1）过点D作于点M，过点F作，交的延长线于点N，过点F作于点P，得四边形为矩形，得，证明得，设，则，，，，再由可得答案； （2）利用配方法得，根据二次函数的性质即可得最值． 【详解】（1）解：如图，过点D作于点M，过点F作，交的延长线于点N，过点F作于点P， ∴，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为边上的中点， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∵连接，将绕点按逆时针方向旋转，得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积； （2）解：， ∵， ∴当时，的面积有最大值，最大值． 22．（10分）如图，在平行四边形中，点E是边上的点，且，连接，点G在上，连接，作交于点F，于点H，． (1)求证：； (2)若，求的值； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，相似三角形判定与性质及勾股定理的应用等知识， （1）先证四边形是平行四边形，从而证明，进而证明结论； （2）设，则，求出，，，作于点P，结合等腰三角形性质求出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：设， 则， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴，， ∵四边形是平行四边形，， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴， 由（1）得， ∴点G为斜边的中点，， ∵四边形是平行四边形， ∴， 如图，作于点P， ∴，， ∴． 23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴，y轴分别交于C、D两点，点，点C为线段的中点，连接、．    (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)点M为线段上一动点(不与点A、O重合)，过点M作直线，使得，交于点．若与的面积比为，则点M的坐标为 ． 【答案】(1)， (2)12 (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． 将点B坐标代入反比例函数解析式，再由点C为线段的中点求出点D坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可． 分别求出和的面积即可解决问题． 根据题意得出点M为的中点，据此可解决问题． 【详解】（1）解：将点B坐标代入得，， ∴反比例函数的解析式为； ∵点C为线段的中点，且点C在x轴上，点D在y轴上， ∴，则， ∴点D的坐标为， 将点D和点B坐标代入一次函数解析式得， ， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：由得， ∴，， ∴点A的坐标为， 将代入得，， ∴点C的坐标为， ∴， ∴，， ∴． （3）解：∵，    ∴， ∵与的面积比为， ∴， ∴点M为的中点， ∴点M的坐标为， 故答案为： 24．（12分）如图1，已知抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点，连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点P是直线上方抛物线上一点，过点P作轴交于点D，过点P作于点E，当的周长最大时，求出的周长最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，当的周长最大时，将点B沿射线的方向平移个单位至点，再将线段沿射线方向平移，点B、的对应点分别记为点M、N．在平移过程中，点P、M、N是否能构成以为腰的等腰三角形，若能，直接写出点N的横坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)能，或或 【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）根据轴，得出条件判定，则可得出，从而可将的周长用表示出来，设，可得，从而，然后得出的周长为关于的二次函数，求二次函数的最值可得答案； （3）由点和点的坐标可求出直线的解析式，由平移的性质可得点、的对应点、的位置关系，设，则，由两点距离公式得出，，，若点、、能构成以为腰的等腰三角形，则分两种情况讨论：①以为顶点，；②以为顶点，；分别得出关于的方程，解方程即可求出的值，进而可得点的横坐标． 【详解】（1）解：点、、在抛物线的图象上， 将它们代入，得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：、， ，， 在中，根据勾股定理可得： ， 轴， ， ， ， ， ， 的周长， 设直线的解析式为， 将、代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设， 轴交于点， ， ， ， ， 抛物线开口向下， 当时，的周长取得最大值，最大值为，此时点的坐标为； （3）解：在平移过程中，点、、能构成以为腰的等腰三角形，点的横坐标为或或，理由如下： 设直线的解析式为， 将、代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为， ，即点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点， 点、的对应点、也同样有、的位置关系，且点在直线上， 设，则， 由（2）得：， ，，， 若点、、能构成以为腰的等腰三角形，则分两种情况讨论： ①以为顶点，， 则， 解得：， 此时，点的横坐标； ②以为顶点，， 则， 解得：， 此时，点的横坐标； 综上所述，符合题意的点的横坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平移的性质，把化成顶点式，二次函数的图象与系数的关系，二次函数的最值，求一次函数解析式，已知两点坐标求两点距离，两直线平行内错角相等，公式法解一元二次方程，解三元一次方程组，解二元一次方程组，解一元一次方程等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$