第5章 数列 章末检测试卷 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第三册（人教B版2019）

(时间：120分钟　满分：150分) 章末检测试卷一(第五章) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知数列{an}的前4项为2,0,2,0，则不能作为该数列通项公式的是 17 18 19 20 21 22 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.设a，m是实数，则“m＝5”是“m为a和10－a的等差中项”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a6＝a8＋6，则S7等于 A.49 B.42 C.35 D.24 √ 由2a6＝a8＋6，得2a1＋10d＝a1＋7d＋6， 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a4＋a8＝8(a1＋a5)，a2＋a6＋a10＝10，则S12等于 A.45 B.75 C.80 D.90 √ 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设等比数列{an}的公比为q，由a4＋a8＝8(a1＋a5)可知a1q3＋a5q3＝8(a1＋a5)， 解得q＝2，所以S12＝(a1＋a5＋a9)＋(a2＋a6＋a10)＋(a3＋a7＋a11)＋(a4＋a8＋a12) 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn＋n}是公比为2的等比数列，且a1＝1，则a8等于 A.255 B.257 C.127 D.129 √ ∵数列{Sn＋n}是公比为2的等比数列，且a1＝1，∴Sn＋n＝(a1＋1)2n－1＝2n，即Sn＝2n－n，∴a8＝S8－S7＝28－8－(27－7)＝28－27－1＝127. 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.在等比数列{an}中，a6，a4，a5成公差不为0的等差数列，a1＝2，则数列{an＋n}的前9项和S9等于 A.－329 B.387 C.－297 D.297 17 18 19 20 21 22 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设等比数列{an}的公比为q， ∵a6，a4，a5成公差不为0的等差数列， ∴a6＋a5＝2a4，且q≠1， ∴a4q2＋a4q＝2a4， ∵a4≠0，∴q2＋q＝2， 即q2＋q－2＝0，解得q＝－2或q＝1(舍去)， ∵a1＝2， 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴数列{an＋n}的前9项和S9＝(a1＋1)＋(a2＋2)＋…＋(a9＋9)＝(a1＋a2＋…＋a9)＋(1＋2＋…＋9) 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.(－1,3) B.[－1,3] C.(－∞，－1)∪(3，＋∞) D.(－∞，－1]∪[3，＋∞) 17 18 19 20 21 22 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得，数列{an}的前n项和为Sn， 17 18 19 20 21 22 当n＝1时，a1＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1， a1＝1也满足an＝2n－1，所以an＝2n－1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得m≤－1或m≥3. 即实数m的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞). 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的 四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9.已知等差数列{an}中，a1＝3，公差为d(d∈N＋)，若2 023是该数列的一项，则公差d可以是 A.2 B.3 C.4 D.5 17 18 19 20 21 22 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S3＝0，a4＝8，则 A.Sn＝2n2－6n B.Sn＝n2－3n C.an＝4n－8 D.an＝2n 17 18 19 20 21 22 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知Sn是数列{an}的前n项和，an－3Sn＋2＝0，则 A.{an}是等比数列 B.a9＋a10>0 C.a9a10a11>0 D.Sn<0 √ 17 18 19 20 21 22 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.“提丢斯数列”是18世纪由德国物理学家提丢斯给出的，具体为：取0,3,6,12,24,48,96，…这样一组数，容易发现，这组数从第3项开始，每一项是前一项的2倍，将这组数的每一项加上4，再除以10，就得到“提丢斯数列”：0.4,0.7,1.0,1.6,2.8,5.2,10.0，…，则下列说法中正确的是 A.“提丢斯数列”是等比数列 17 18 19 20 21 22 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n＝2时，a2＝0.7符合该式， 当n＝1时，a1＝0.4不符合该式， 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13.在数列{an}中，若a1＝2，an＋1＝1－ ，则a2 024＝___. 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知正项等比数列{an}中，a3＝ ，Sn表示数列{anan＋1}的前n项 和，则Sn的取值范围是________. 17 18 19 20 21 22 Sn是单调递增的，当n＝1时，S1＝2； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.把等腰直角三角形ABC对折一次后再展开得到的图形如图所示，则图中等腰直角三角形(折痕所在线段也可作为三角形的边)有3个，分别为△ABC，△ABD，△ACD.若把△ABC连续对折n次后再全部展开，得到的图形中等腰直角三角形(折痕所在线段也可作为三角形的边)的个数记为an，数列{an}的前n项和为___________. 17 18 19 20 21 22 2n＋2－n－4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a1＝3＝22－1，a2＝2a1＋1＝7＝23－1，a3＝2a2＋1＝15＝24－1，a4＝2a3＋1＝31＝25－1，…，依此类推，可知an＝2n＋1－1.数列{an}的前n项和为(22＋23＋…＋ 2n＋1)－n＝ －n＝2n＋2－n－4. 17 18 19 20 21 22 16.已知数列{an}是公比为2的等比数列，若a3－a1＝6，则a1＝________， ＝_________. 由题意知a3－a1＝6，即a1q2－a1＝6， 因为q＝2，所以a1＝2，所以an＝2n， 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 四、解答题(本题共6小题，共70分) 17.(10分)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an. (1)求数列{an}的通项公式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a1＝1，an＋1＝3an， 所以数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，所以an＝3n－1. 17 18 19 20 21 22 (2)数列{bn}是公差为d的等差数列，Sn为{bn}的前n项和，若b1＝a1＋a2＋a3，b3＝a3，求Sn. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)得，b1＝a1＋a2＋a3＝1＋3＋9＝13，b3＝a3＝9，则b3－b1＝2d＝－4，即公差d＝－2， 17 18 19 20 21 22 18.(12分)已知在数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝2an＋1. (1)求证：{an＋1}是等比数列； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意， 由an＋1＝2an＋1可得 an＋1＋1＝2an＋1＋1＝2(an＋1)， 又a1＋1＝1＋1＝2， ∴数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列. 17 18 19 20 21 22 (2)设bn＝2nan，求数列{bn}的前n项和. 由(1)可知，an＋1＝2·2n－1＝2n， 故an＝2n－1， ∴bn＝2nan＝2n·(2n－1)＝4n－2n， 设数列{bn}的前n项和为Sn， 则Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝(41－21)＋(42－22)＋…＋(4n－2n) ＝(41＋42＋…＋4n)－(21＋22＋…＋2n) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19.(12分)在①a4是a3与a5－8的等差中项；②S2，S3＋4，S4成等差数列中任选一个，补充在下列横线上，并解答. 在公比为2的等比数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，若________. (1)求数列{an}的通项公式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选①.因为a4是a3与a5－8的等差中项，所以2a4＝a3＋a5－8， 所以16a1＝4a1＋16a1－8，解得a1＝2， 所以an＝2n. 选②.因为S2，S3＋4，S4成等差数列， 所以2(S3＋4)＝S2＋S4， 17 18 19 20 21 22 所以14a1＋8＝18a1，解得a1＝2，所以an＝2n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为an＝2n， 所以bn＝(n＋1)log2an＝(n＋1)log22n＝n(n＋1)， 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 依题意得，an＋2＋4Sn＋4an＝4Sn＋1， 故an＋2－4an＋1＋4an＝0， 则an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an). ∵a2＝2a1＝6，∴a2－2a1＝0. ∴an＋1－2an＝0，a1＝3， 即数列{an}是首项为3，公比为2的等比数列. 故an＝3·2n－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故Tn＝9·41＋13·42＋17·43＋…＋(4n＋5)·4n， 4Tn＝9·42＋13·43＋17·44＋…＋(4n＋5)·4n＋1， 两式相减可得－3Tn＝9·41＋4·42＋4·43＋…＋4·4n－(4n＋5)·4n＋1 ＝4·41＋4·42＋4·43＋…＋4·4n－(4n＋5)·4n＋1＋20 17 18 19 20 21 22 21.(12分)新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向.工业部表示，到2025年中国的汽车总销量将达到3 500万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一.某新能源公司年初购入一批新能源汽车充电桩，每台12 800元，第一年每台设备的维修保养费用为1 000元，以后每年增加400元，每台充电桩每年可给公司收益6 400元. (1)每台充电桩第几年开始获利？(参考数据： ≈5.7) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴n2－28n＋64<0， 17 18 19 20 21 22 ∴2.6<n<25.4. ∵n∈N＋，∴3≤n≤25， ∴每台充电桩第3年开始获利. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴每台充电桩前8年的年平均利润最大. 17 18 19 20 21 22 22.(12分)已知在递减等比数列{an}中，a1＝ ，其前n项和是Sn，且a3，a1，S3成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令Tn＋1－Tn>0，可得n<4， 即T1，T2，T3，T4递增，而T4，T5，T6，…递减， 17 18 19 20 21 22 对n＝1,2,3,4进行验证，知an＝2sin 不符合题意. A.an＝(－1)n－1＋1 B.an＝ C.an＝2sin D.an＝cos(n－1)π＋1 易得m＝＝5，因此“m＝5”是“m为a和10－a的等差中项”的充要条件. 即a1＋3d＝6，即a4＝6，所以S7＝＝7a4＝42. ＝＝＝＝1. 4.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于 A.1 B.－1 C.2 D. ＝(a2＋a6＋a10)＋(a2＋a6＋a10)＋q(a2＋a6＋a10)＋q2(a2＋a6＋a10) ＝(a2＋a6＋a10) ＝10×＝75. ＝＋＝342＋45＝387. 8.若数列{an}的前n项和为Sn，bn＝，则称数列{bn}是数列{an}的“均值数列”.已知数列{bn}是数列{an}的“均值数列”且通项公式为bn＝n，设数列的前n项和为Tn，若Tn<m2－m－1对一切n∈N＋恒成立，则实数m的取值范围为 由“均值数列”的定义可得＝n，所以Sn＝n2， 所以＝＝， 所以Tn＝ 又Tn<m2－m－1对一切n∈N＋恒成立， ＝<， 所以m2－m－1≥，整理得m2－2m－3≥0， 2 023＝3＋(n－1)d，所以n＝＋1，因为d∈N＋，所以d是2 020的约数，故d可以是2,4和5. 设等差数列{an}的公差为d，则解得∴an＝a1＋(n－1)d＝－4＋4(n－1)＝4n－8，Sn＝na1＋＝－4n＋2n(n－1)＝2n2－6n. Sn＝＝>0，故D错误. ∵an－3Sn＋2＝0，∴a1－3a1＋2＝0，即a1＝1，当n≥2时，an－1－3Sn－1 ＋2＝0，∴an－an－1－3＝0，∴an－an－1－3an＝0，即an＝－an－1，∴{an}是以1为首项，以－为公比的等比数列，故A正确； ∴a9＋a10＝a9＝8×>0，故B正确； a9a10a11＝a＝3<0，故C错误； B.“提丢斯数列”的第99项为 C.“提丢斯数列”的前31项和为＋ D.“提丢斯数列”中不超过20的有8项 记“提丢斯数列”为数列{an}，则当n≥3时，an＝＝， 故an＝故A错误； a99＝，故B正确； “提丢斯数列”的前31项和为＋＋×30＝＋，故C正确； 令≤20，即2n－2≤，得n＝2,3,4,5,6,7,8，又a1<20，故不超过20的有8项，故D正确. 在数列{an}中，因为an＋1＝1－，所以an＋2＝1－＝1－＝1－＝－，an＋3＝1－＝1－＝1＋(an－1)＝an，于是得数列{an}是周期数列，周期为3，又a2＝1－＝1－＝， 所以a2 024＝a3×674＋2＝a2＝. ，a4＝ 当n→＋∞时，Sn→. 由a3＝a1q2＝，a4＝a1q3＝，解得a1＝2，q＝，故an＝2×n－1，anan＋1＝2×n－1×2×n＝8×n， 故Sn∈. 所以Sn＝＝－×n， 所以＝， 则＋＋…＋＝＋＋…＋＝＝(1－4－n). ＋＋…＋ (1－4－n) 所以Sn＝13n＋×(－2)＝－n2＋14n. ＝－＝－2n＋1. 即2＝＋， 所以＝＝－， 所以Tn＝＋＋…＋＝1－＝. (2)若bn＝(n＋1)log2an，求数列的前n项和Tn. 20.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝2a1＝6，＝Sn＋1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列的前n项和Tn. 依题意得，·a2n＝(4n＋5)·4n， ＝－(4n＋5)·4n＋1＋20 ＝－4n＋1＋. 故Tn＝4n＋1－. ∴14－2<n<14＋2， 每台充电桩第n年总利润为6 400n－－12 800. ∵6 400n－－12 800>0， (2)每台充电桩前几年的年平均利润最大(前n年的年平均利润＝ )？ 每台充电桩前n年的年平均利润为 ＝200 当且仅当n＝，即n＝8时等号成立， ≤200＝2 400， 由题可设an＝qn－1，由a3，a1，S3成等差数列，得2a1＝S3＋a3，即a1＝a2＋2a3， 即＝q＋q2，解得q＝或q＝－1(舍去)， 故数列{an}的通项公式为an＝. (2)设cn＝an－，记数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn的最大值. 则Qn＝＋＋…＋＝1－， 所以Tn＝Sn－Qn＝1－－ ＝－. cn＝an－＝－， 又Sn＝＋＋…＋＝1－， 设bn＝＝－，且数列{bn}的前n项和为Qn， 令Tn＋1－Tn＝－－＋ ＝， 所以T4最大，最大值T4＝. 故Tn的最大值为. $$