5.3.2 第2课时 等比数列的前n项和的性质及应用 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第三册（人教B版2019）

第2课时　 等比数列的前n项和的性质及应用 第五章　5.3.2　等比数列的前n项和 1.熟练应用等比数列前n项和公式的性质解题. 2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题. 学习目标 导语 同学们，前面我们就用等差数列中的性质，类比出了等比数列的性质，由此还得出了“类比能使人智慧”这一重要结论，今天我们再进一步扩大同学们的智慧，继续通过类比，看我们能得出等比数列前n项和的哪些性质. 一、等比数列前n项和公式的灵活应用 二、等比数列中的片段和问题 课时对点练 三、等比数列前n项和公式的实际应用 随堂演练 内容索引 等比数列前n项和公式的灵活应用 一 问题1　类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题，等比数列是否也有相似的性质？ 提示　若等比数列{an}的项数有2n项，则 其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n， 其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，容易发现两列式子中对应项之间存在联系，即 若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1，从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项，于是我们有S奇－a1＝a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1＝a2q＋a4q＋…＋a2nq＝qS偶，即S奇＝a1＋qS偶. 若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： 知识梳理 8 例1　(1)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，则公比q＝____. 由题意知S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80， ∴S奇＝－80，S偶＝－160， 2 9 (2)若等比数列{an}共有2n项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列{an}的所有项之和为________. 300 10 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 (1)若等比数列{an}共有2n项，要抓住 ＝q和S偶＋S奇＝S2n这一隐含特点；若等比数列{an}共有2n＋1项，要抓住S奇＝a1＋qS偶和S偶＋S奇＝S2n＋1这一隐含特点.要注意公比q＝1和q≠1两种情形. (2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质. 反思感悟 11 跟踪训练1　(1)若等比数列{an}共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为____，项数为____. 2 9 由性质S奇＝a1＋qS偶可知341＝1＋170q，所以q＝2， 12 (2)一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则数列的通项公式an＝__________. 13 设数列{an}的首项为a1，公比为q， 所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶，由题意可知， S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶. 因为数列{an}的项数为偶数， 又因为a1·a1q·a1q2＝64， 即a1＝12， 14 等比数列中的片段和问题 二 问题2　你能否用等比数列{an}中的Sm，Sn来表示Sm＋n? 提示　思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm＝Sm＋qmSn. 思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn＝Sn＋qnSm. 问题3　类似于等差数列中的片段和的性质，在等比数列中，你能发现Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…(n为偶数且q＝－1除外)的关系吗？ 提示　Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，证明如下： 思路一：当q＝1时，结论显然成立； 所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列. 思路二：由问题2中Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，故有S2n－Sn＝qnSn， S3n＝S2n＋q2nSn，故有S3n－S2n＝q2nSn，故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)， 所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列. 1.若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋____(n，m∈N＋). 2.数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，_________，…仍构成等比数列. 注意点： 等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn≠0. qnSm S3n－S2n 知识梳理 19 例2　在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n. 20 方法一　∵S2n≠2Sn，∴q≠1， 由已知得 21 方法二　∵{an}为等比数列，显然公比不等于－1， ∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列， ∴(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)， 22 23 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 (1)充分利用Sm＋n＝Sm＋qmSn和Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…(n为偶数且q＝ －1除外)仍成等比数列这一重要性质，能有效减少运算. (2)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元. 反思感悟 24 S4，S8－S4，S12－S8成等比数列. 即1,2，a9＋a10＋a11＋a12成等比数列. ∴a9＋a10＋a11＋a12＝4. 跟踪训练2　已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝1，S8＝3，则a9＋a10＋a11＋a12等于 A.8 B.6 C.4 D.2 √ 25 等比数列前n项和公式的实际应用 三 例3　《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.那么该人第1天所走路程里数为 A.96 B.126 C.192 D.252 √ 27 解得a1＝192， 所以该人第1天所走路程里数为192. 28 (1)解应用问题的核心是建立数学模型. (2)一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型. (3)注意问题是求什么(n，an，Sn). 反思感悟 29 跟踪训练3　我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为___. 3 设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}是公比为2的等比数列， 30 1.知识清单： (1)等比数列奇数项和、偶数项和的性质. (2)等比数列中的片段和性质. (3)等比数列前n项和的实际应用. 2.方法归纳：公式法、分类讨论. 3.常见误区：应用等比数列的片段和性质时易忽略其成立的条件. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于 A.3∶4 B.2∶3 C.1∶2 D.1∶3 √ 在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列，所以(S10－S5)2＝S5(S15－S10)，因为S10∶S5＝1∶2，所以 ，得S15∶S5＝3∶4，故选A. 1 2 3 4 2.在等比数列{an}中，a1a2a3＝1，a4＝4，则a2＋a4＋a6＋…＋a2n等于 √ 1 2 3 4 3.有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有1个这种细菌和200个这种病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要 A.6秒钟 B.7秒钟 C.8秒钟 D.9秒钟 √ 1 2 3 4 根据题意，每秒钟细菌杀死的病毒数成等比数列， 设需要n秒细菌可将病毒全部杀死， 则1＋2＋22＋23＋…＋2n－1≥200， ∴2n≥201，结合n∈N＋，解得n≥8， 即细菌将病毒全部杀死至少需8秒. 1 2 3 4 4.若等比数列{an}的公比为 ，且a1＋a3＋…＋a99＝60，则{an}的前100项和为____. 令X＝a1＋a3＋…＋a99＝60， Y＝a2＋a4＋…＋a100， 则S100＝X＋Y， 80 所以Y＝20，即S100＝X＋Y＝80. 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1 011，偶数项之和为2 022，则这个数列的公比为 A.8 B.－2 C.4 D.2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为 A.4 B.8 C.10 D.12 √ 设等比数列的项数为2n项，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶， 中间两项的和为an＋an＋1＝2n－1＋2n＝24，解得n＝4，所以项数为8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 易知q≠－1， 因为a7＋a8＋a9＝S9－S6， 且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列， 即8，－1，S9－S6成等比数列， 所以8(S9－S6)＝1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.某工厂去年产值为a，计划今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为 A.1.14a B.11×(1.15－1)a C.1.15a D.10×(1.16－1)a √ 从今年起到第5年，这个厂的总产值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5斗＝50升，设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a1，a2，a3， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)下列结论不正确的是 A.若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是同一个常数，则 这个数列是等差数列 B.等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数 C.等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列 D.如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N＋，都有an＋1＝Sn＋1－Sn √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A选项，根据等差数列的定义可知A选项正确； 对于B选项，对任意n∈N＋，an＝1，则数列{an}为等差数列，且该数列的前n项和Sn＝n，B选项错误； 所以Sn＝S2n－Sn＝S3n－S2n＝0，此时Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不成等比数列，C选项错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于D选项，对任意的n∈N＋， Sn＋1＝(a1＋a2＋…＋an)＋an＋1＝Sn＋an＋1，可得an＋1＝Sn＋1－Sn，D选项正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知{an}是各项都为正数的等比数列，Sn是它的前n项和，若S4＝7，S8＝21，则S16＝____. 由等比数列前n项和的性质得S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等比数列， ∴7,14，S12－21，S16－S12成等比数列， ∴S12－21＝28，S12＝49，S16－49＝56，∴S16＝105. 105 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n＝_____.(n∈N＋) 每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列， 6 由2n＋1－2≥100，得2n＋1≥102. 由于26＝64,27＝128， 则n＋1≥7，即n≥6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　设原等比数列的公比为q，项数为2n(n∈N＋). 由已知a1＝1，q≠1，有 由②÷①，得q＝2， 故公比为2，项数为8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　∵S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)q＝S奇·q， ∴2n＝256，∴n＝8.即公比q＝2，项数n＝8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知S6≠2S3，q≠1， 由等比数列的前n项和的性质知， 10.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足S3＝7，S6＝63. (1)求数列{an}的通项公式； ∴an＝2n－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)知bn＝2n－1＋n－1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12等于 A.40 B.60 C.32 D.50 √ 由等比数列前n项和的性质可知，数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，即数列4,8，S9－S6，S12－S9是等比数列，因此S12＝4＋8＋16＋32＝60. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设数列{an}共有(2m＋1)项，由题意得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以Tn＝a1·a2·…·an 故当n＝1或2时，Tn取最大值2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若S6－3S3＝4，则S9－S6的最小值为____. 由等比数列的性质，知S3，S6－S3，S9－S6成等比数列.又S6－3S3＝4， 32 当且仅当S3＝2时，等号成立， ∴S9－S6的最小值为32. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.如图，画一个边长为4 cm的正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，以此类推，这样一共画了5个正方形，则这5个正方形的面积的和是____ cm2. 31 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意的实数x，y，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y).若a1＝ ，an＝f(n)(n∈N＋)，则数列{an}的前n项和Sn＝ ______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令x＝n，y＝1，则f(n)·f(1)＝f(n＋1)， 16.某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少 ，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业有促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 . (1)设n年内(本年度为第1年)的总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an与bn的表达式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 旅游业的总收入超过总投入，即bn－an>0， 故至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入. (2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？ S偶＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝qS奇，所以有＝q. (1)在其前2n项中，＝q； (2)在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)； S奇＝a1＋qS偶. ∴q＝＝2. 由＝2，S偶－S奇＝100可知S偶＝200，S奇＝100，故S2n＝300. S2n＋1＝＝341＋170＝511，解得n＝4，即这个等比数列的项数为9. 12×n－1 所以有q＝＝. 故所求通项公式为an＝12×n－1. 所以a·q3＝64， 当q≠1时，Sn＝，S2n＝， S3n＝. S2n－Sn＝－＝， S3n－S2n＝－＝， 而2＝2，Sn(S3n－S2n)＝×， 故有2＝Sn(S3n－S2n)， ②÷①得1＋qn＝， 即qn＝， ③ ③代入①得＝64， ∴S3n＝＝64＝63. ∴S3n＝＋S2n＝＋60＝63. 方法三　由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，即60＝48＋48qn，得qn＝， ∴S3n＝S2n＋q2nSn＝60＋48×2＝63. 由题意得，该人每天走的路程里数形成以a1为首项，以为公比的等比数列， 因为该人6天后到达目的地，则有 S6＝＝378， ∴S7＝＝381，解得a1＝3. S10＝S5，S15＝S5 由a1a2a3＝1得a2＝1，又a4＝4，故q2＝4，所以a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝. A.2n－1 B. C. D. 即≥200， 由等比数列前n项和性质知＝q＝， 由＝q，可知q＝2. 则q＝＝2，又它的首项为1，所以通项为an＝2n－1， A. B.－ C. D. 即S9－S6＝， 所以a7＋a8＋a9＝. a×1.1＋a×1.12＋a×1.13＋a×1.14＋a×1.15＝a×＝11a(1.15－1). A. B. C. D. 由题意可知a1，a2，a3构成公比为2的等比数列，且S3＝50，则＝50， 解得a1＝，所以牛主人应偿还粟的量为a3＝22a1＝. 对于C选项，若等比数列{an}的公比q＝－1，且当n为正偶数时，则Sn＝＝0， 其前n项和Sn＝＝2n＋1－2. ∴＝85,4n＝256，∴n＝4. ∴q＝＝＝2. 又Sn＝85＋170＝255，由Sn＝，得＝255， q3＝＝＝8，故q＝2， ∴S3＝＝7，代入q＝2可得a1＝1， ∴Tn＝＋[1＋2＋…＋(n－1)] (2)若bn＝an＋log2an，求数列的前n项和Tn. ＝2n＋－1. 12.等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，这个等比数列前n项的积为Tn(n≥1)，则Tn的最大值为 A. B. C.1 D.2 S奇＝a1＋a3＋…＋a2m＋1＝， S偶＝a2＋a4＋…＋a2m＝， 因为项数为奇数时，＝q， 即2＋q＝， 所以q＝. ＝aq1＋2＋…＋n－1＝ ， ∴S9－S6＝＝ ＝4S3＋＋16≥2＋16＝32， 记这些正方形的边长为an cm，则a1＝4，a2＝2， …，故这些正方形的面积是以16为首项，以为公 比的等比数列，所以这5个正方形面积的和为S5＝ ＝32＝31(cm2). 1－ 又an＝f(n)，∴＝＝f(1)＝a1＝， ∴数列{an}是以为首项，为公比的等比数列， ∴Sn＝＝1－. 第1年投入为800万元，第2年投入为800万元，…，第n年投入为800n－1万元， ∴n年内的总投入an＝800＋800＋…＋800n－1 ＝4 000. 第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400万元，…，第n年旅游业收入为400n－1万元， ∴n年内的旅游业总收入bn＝400＋400＋…＋400n－1 ＝1 600. 即1 600－4 000>0， 化简得5×n＋2×n－7>0. 设x＝n，代入上式并整理得5x2－7x＋2>0，解得x<或x>1(舍去)， ∴n<.又n∈N＋，由此可得n≥5. $$