7.1.1 第2课时 条件概率的性质及应用 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第三册（人教A版2019）

第2课时 条件概率的性质及应用 第七章　7.1.1　条件概率 学习目标 1.了解事件的独立性与条件概率的关系，掌握概率的乘法公式. 2.会求互斥事件的条件概率，理解条件概率的性质. 我们知道P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，可以借助公式P(B|A)＝ 或缩小样本空间求条件概率，其中P(AB)与P(B|A)有什么区别与联系呢？ 导语 内容索引 一、概率的乘法公式 二、互斥事件的条件概率 课时对点练 随堂演练 概率的乘法公式 一 问题1　三张奖券中只有一张能中奖，现分别由甲、乙两名同学有放回地抽取，事件A为“甲没有抽到中奖奖券”，事件B为“乙抽到中奖奖券”， 事件A的发生会不会影响事件B发生的概率？P(B|A)与P(B)有什么关系？ 提示　不会，事件A与事件B是相互独立事件；有放回地抽取奖券时，乙也是从原来的三张奖券中任抽一张，因此P(B|A)＝P(B). 概率的乘法公式：对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝ . 注意点： (1)P(AB)表示A，B都发生的概率，P(B|A)表示A先发生，然后B发生. (2)在P(B|A)中，事件A成为样本空间，而在P(AB)中，样本空间为所有事件的总和. (3)当P(B|A)＝P(B)时，事件A与事件B是相互独立事件. P(A)P(B|A) 知识梳理 7 例1　(1)某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，只有两个目标都射中才能过关.某选手射中第一个目标的概率为0.8，继续射击，射中第二个目标的概率为0.5，则这个选手过关的概率为______. 0.4 由题意，记“射中第一个目标”为事件A， “射中第二个目标”为事件B， 则P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.5， ∴P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.8×0.5＝0.4. 即这个选手过关的概率为0.4. 8 (2)一个盒子中有6个白球、4个黑球，从中不放回地每次任取1个，连取2次.求： ①第一次取得白球的概率； 9 ②第一、第二次都取得白球的概率； ③第一次取得黑球而第二次取得白球的概率. 10 应用乘法公式求概率的关注点 (1)功能：是一种计算“积事件”概率的方法，即当不容易直接计算P(AB)时，可先求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及P(A|B)，再利用乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(B)P(A|B)求解. (2)推广：设A，B，C为三个事件，且P(AB)>0，则有P(ABC)＝P(C|AB)P(AB)＝P(C|AB)P(B|A)P(A). 反思感悟 11 跟踪训练1　10个考签中有4个难签，2人参加抽签(不放回)，甲先，乙后，求： (1)甲抽到难签的概率； 记事件A，B分别表示甲、乙抽到难签，则 12 (2)甲、乙都抽到难签的概率； (3)甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率. 13 二 互斥事件的条件概率 问题2　在必修第二册中，我们已经学习了概率的基本性质，基本性质包括什么？ 提示　性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0； 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)； 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)； 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1. 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B). 条件概率的性质 设P(A)>0，则 (1)P(Ω|A)＝ . (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝ . (3)设 和B互为对立事件，则P( |A)＝ . 注意点： (1)A与B互斥，即A，B不同时发生，则P(AB)＝0，故P(B|A)＝0. (2)互斥事件的条件概率公式可以将复杂事件分解为简单事件的概率和. 1 P(B|A)＋P(C|A) 1－P(B|A) 知识梳理 17 例2　(1)某人一周晚上值班2次，在已知他周日晚上一定值班的条件下，他在周六晚上或周五晚上值班的概率为_____. 18 设事件A为“周日晚上值班”，事件B为“周五晚上值班”，事件C为“周六晚上值班”， 19 (2)在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率. 20 21 22 (1)利用加法公式可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“两个事件互斥”. (2)为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率. 反思感悟 23 跟踪训练2　抛掷两颗质地均匀的骰子各一次. (1)两颗骰子向上的点数之和为7时，其中有一个的点数是2的概率是多少？ 记事件A表示“两颗骰子中，向上的点数有一个是2”，事件B表示“两颗骰子向上的点数之和为7”， 则事件AB表示“向上的点数之和为7，其中有一个的点数是2”， 24 (2)两颗骰子向上的点数不相同时，向上的点数之和为4或6的概率是多少？ 25 记事件Mi表示“两颗骰子向上的点数之和为i”，则事件“向上的点数之和为4或6”可表示为M＝M4∪M6，其中事件M4与M6互斥，记事件N表示“两颗骰子向上的点数不相同”，则事件MiN表示“两颗骰子向上的点数不相同，且向上的点数之和为i”. 所以P(M|N)＝P(M4∪M6|N)＝P(M4|N)＋P(M6|N) 1.知识清单： (1)概率的乘法公式. (2)互斥事件的条件概率. 2.方法归纳：公式法、正难则反. 3.常见误区：判断两个事件是否是互斥事件. 课堂小结 随堂演练 三 1.已知事件A，B相互独立，P(A)＝0.8，P(B)＝0.3，则P(A|B)等于 A.0.24 B.0.8 C.0.3 D.0.16 1 2 3 4 √ 30 2.某地一农业科技实验站，对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为 A.0.02 B.0.08 C.0.18 D.0.72 1 2 3 4 √ ∴P(AB)＝P(B|A)P(A)＝0.9×0.8＝0.72. 1 2 3 4 √ 因为B，C是互斥事件，所以 1 2 3 4 4.有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取得的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率 为_____. 1 2 3 4 设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”， 则D＝B∪C，且B与C互斥. 故P(D|A)＝P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A) 课时对点练 四 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.设A，B为两个事件，已知P(B)＝0.4，P(A)＝0.5，P(B|A)＝0.3，则P(A|B)等于 A.0.24 B.0.375 C.0.4 D.0.5 √ 由P(A)＝0.5，P(B|A)＝0.3， 得P(AB)＝P(B|A)P(A)＝0.15， 2.下列式子成立的是 A.P(A|B)＝P(B|A) B.0<P(B|A)<1 C.P(AB)＝P(A)P(B|A) D.P(A∩B|A)＝P(B) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 4.经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为0.6，在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率为0.8.那么她两次均击中9环的概率为 A.0.24 B.0.36 C.0.48 D.0.75 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 设某射击运动员“第一次击中9环”为事件A，“第二次击中9环”为事件B，则由题意得P(A)＝0.6，P(B|A)＝0.8，所以她两次均击中9环的概率为P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.6×0.8＝0.48. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是 A.0.665 B.0.564 C.0.245 D.0.285 √ 记事件A为“甲厂产品”，事件B为“合格产品”，则P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95， ∴P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665. 6.有歌唱道：“江西是个好地方，山清水秀好风光.”现有甲、乙两位游客慕名来到江西旅游，分别准备从庐山、三清山、龙虎山和明月山这4个著名的旅游景点中随机选择1个景点游玩，记事件A＝“甲和乙至少有一人选择庐山”，事件B＝“甲和乙选择的景点不同”，则 等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 n(AB)＝6， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件A，B相互独立时，P(A∪B)＝______，P(A|B)＝______. P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B) ＝0.3＋0.5－0.3×0.5＝0.65； 因为A，B相互独立，所以P(A|B)＝P(A)＝0.3. 0.65 0.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.在某次抽奖活动中，在甲、乙两人先后进行抽奖前，还有20张奖券，其中共有3张写有“中奖”字样.假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再抽，求： (1)甲中奖并且乙也中奖的概率； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设事件A表示甲中奖，事件B表示乙中奖， 因为抽完的奖券不放回， 所以甲中奖后乙抽奖时，还有19张奖券，其中有2张写有“中奖”字样， 所以甲中奖并且乙也中奖的概率为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)甲没中奖但是乙中奖的概率. 因为抽完的奖券不放回， 所以甲没中奖后乙抽奖时，还有19张奖券，其中有3张写有“中奖”字样， 所以甲没中奖但是乙中奖的概率为 10.微信支付密码由6位数字组成.某人在用微信付款时，忘记了密码的最后1位数字，求： (1)若任意按最后1位数字，则不超过3次就按对的概率； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设Ai(i＝1,2,3)表示第i次按对密码，A表示不超过3次就按对， (2)如果记得密码的最后1位是偶数，则不超过3次就按对的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 记事件B表示最后1位是偶数， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)一次“智力测试”活动，在备选的10道题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，测试时从备选的10道题中随机抽出3题由甲、乙分别作答，至少答对2题者评为“智答能手”.设甲评为“智答能手”为事件A，乙评为“智答能手”为事件B，若P(B|A)＝P(B)，则下列结论正确的是 A.P(A|B)＝P(A) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.(多选)将3颗骰子各掷一次，记事件A为“三个点数都不相同”，事件B为“至少出现一个1点”，则下列说法中正确的是 A.“至少出现一个1点”所包含的样本点数为6×6×6－5×5×5＝91 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据条件概率的含义，P(A|B)的含义为在B发生的条件下，A发生的概率， 即在“至少出现一个1点”的条件下，“三个点数都不相同”的概率， 因为“至少出现一个1点”的样本点数为6×6×6－5×5×5＝91，“三个点数都不相同”即只有一个1点，包含的样本点总数为 ×5 ×4＝60， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设3个小时内发生变异为事件A，4个小时内发生变异为事件B，易知A⊆B， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.近年来，我国外卖行业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道亮丽的风景线.他们根据外卖平台提供的信息到外卖店取单，某外卖小哥每天来往于r个外卖店(外卖店的编号分别为1,2，…，r，其中r≥3)，约定：每天他首先从1号外卖店取单，称为第1次取单，之后，他等可能的前往其余r－1个外卖店中的任何一个店取单，称为第2次取单，依此类推.假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的r－1个外卖店取单.设事件Ak表示“第k次取单恰好是从1号店取单(k∈N*)”，P(Ak)是事件Ak发生的概率，显然P(A1)＝1，P(A2)＝0， 则P(A3)＝______，P(Ak＋1)与P(Ak)的关系式为______________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据题意，事件A3表示“第3次取单恰好是从1号店取单”， 16.在某次考试中，要从20道题中随机抽出6道题，若考生至少能答对其中4道题即可通过，至少能答对其中5道题就获得优秀.已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 记事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，有一道题答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，有2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)， P(E|D)＝P(A|D)＋P(B|D) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设A＝“第一次取得白球”，B＝“第二次取得白球”，则＝“第一次取得黑球”，由题意，得  P(A)＝＝.  P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝.  P(B)＝P()P(B|)＝×＝.  P(A)＝＝.  P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝.  P(B)＝P()P(B|)＝×＝. 则P(A)＝，P(AB)＝，P(AC)＝， 所以P(B|A)＝＝，P(C|A)＝＝， 故他在周六晚上或周五晚上值班的概率为P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝. 方法一　设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第二个球为黑球”为事件C，则P(A)＝，P(AB) ＝＝，P(AC)＝＝. ∴P(B|A)＝＝＝， P(C|A)＝＝＝. ∴P(B∪C|A)＝＝. ∴所求概率为. ∴P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝. ∴所求概率为. 方法二　∵n(A)＝1×C＝9， n(B∪C|A)＝C＋C＝5， 则P(B)＝＝，P(AB)＝＝， 所以P(A|B)＝＝. 因为P(N)＝＝，  P(M4N)＝＝，  P(M6N)＝＝， ＝＋＝＋＝. 因为事件A，B相互独立，所以P(AB)＝P(A)P(B)，所以P(A|B)＝＝P(A)＝0.8. 记“水稻种子发芽”为事件A，“发芽的种子成长为幼苗”为事件B，  P(B|A)＝. 3.若B，C是互斥事件且P(B|A)＝，P(C|A)＝，则P(B∪C|A)等于 A. B. C. D.  P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝.  P(AC)＝＝， 又P(A)＝＝，P(AB)＝＝， 又P(A)＝＝，P(AB)＝＝， 所以P(A|B)＝＝＝0.375. 由P(B|A)＝得P(AB)＝P(A)·P(B|A). 3.设P(A|B)＝P(B|A)＝，P()＝，则P(B)等于 A. B. C. D. 由P()＝，可得P(A)＝1－P()＝， 所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝， 所以P(B)＝＝＝.  A. B. C. D.  P(|A) 由题意知，因为n(A)＝C·C＋1＝7， 所以P(|A)＝1－P(B|A)＝1－＝1－＝. 由题意知， P(A∪B|C)＝P(A|C)＋P(B|C)＝， P(B|C)＝＝＝， 则P(A|C)＝P(A∪B|C)－P(B|C)＝－＝. 8.已知事件A和B是互斥事件，P(C)＝，P(BC)＝，P(A∪B|C)＝，则P(A|C)＝______. 则P(A)＝， 所以乙中奖的概率为P(B|A)＝，  P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝.  P()＝1－P(A)＝， 所以乙中奖的概率为P(B|)＝，  P(B)＝P()P(B|)＝×＝. 则有A＝A1∪1A2∪12A3， 因为事件A1，1A2，12A3两两互斥， 所以P(A)＝P(A1∪1A2∪12A3)＝P(A1)＋P(1A2)＋P(12A3)， ＝P(A1)＋P(1)P(A2|1)＋P(12)P(A3|12) ＝P(A1)＋P(1)P(A2|1)＋P(1)P(2|1)P(A3|12) ＝＋×＋××＝. 则P(A|B)＝P[(A1∪1A2∪12A3)|B] ＝P(A1|B)＋P(1A2|B)＋P(12A3|B) ＝＋＋＝. 11.已知事件A，B，且P(A)＝，P(B|A)＝，P(B|)＝，则P(B)等于 A. B. C. D. ∵P(A)＝，P(B|A)＝， ∴P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝， ∵P(B|)＝， ∴P(B)＝P()P(B|)， ∴P(B)－P(AB)＝[1－P(A)]P(B|)， 即P(B)－＝×，解得P(B)＝. B.P(|A)＝ C.甲、乙至多有一人评为“智答能手”的概率为 D.甲、乙至少有一人评为“智答能手”的概率为 由题意，可得P(A)＝＝＝，P(B)＝＝＝，由P(B|A)＝＝P(B)，得P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A，B相互独立，所以P(A|B)＝＝＝P(A)，故A正确；  P(B|A)＝P(B)＝，由条件概率的性质得P(|A)＝1－P(B|A)＝1－＝，故B正确； 所以甲、乙至少有一人评为“智答能手”的概率为1－P( )＝1－＝，故D正确. 因为事件A，B相互独立，所以A与，与B，与也都相互独立.甲、乙都评为“智答能手”的概率P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝， 所以甲、乙至多有一人评为“智答能手”的概率为1－P(AB)＝1－＝，故C错误； 甲、乙都没有被评为“智答能手”的概率P( )＝P()P()＝×＝×＝， B.“三个点数都不相同”所包含的样本点数为A＝120 C.P(A|B)＝ D.P(B|A)＝ 所以P(A|B)＝，故A，C正确； C  P(B|A)的含义为在A发生的条件下，B发生的概率，即在“三个点数都不相同”的条件下，“至少出现一个1点”的概率，“三个点数都不相同”的样本点数为A＝120，所以P(B|A)＝＝，故B正确，D错误. 14.已知某种病毒在培养的过程中，3个小时内发生变异的概率为，4个小时内发生变异的概率为.若已经观测到该病毒在3个小时内未发生变异，则接下来的一小时内发生变异的概率为______. 则P(B|)＝＝＝.    P(Ak＋1)＝[1－P(Ak)] 因此P(A3)＝P(2A3)＝P(2)P(A3|2)＝[1－P(A2)]＝； 同理P(Ak＋1)＝P(kAk＋1)＝P(k)P(Ak＋1|k) ＝[1－P(Ak)]·P(Ak＋1|k)＝[1－P(Ak)]. 可知P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝， ＝＋＝＋＝. 故获得优秀成绩的概率为. $$