6.2.3～6.2.4 第2课时 排列、组合的综合应用 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第三册（人教A版2019）

第2课时 排列、组合的综合应用 第六章　6.2.3　组　合　6.2.4　组合数 学习目标 1.掌握具有限制条件的排列、组合问题的解决方法. 2.理解排列、组合中的多面手问题、分组分配等问题. 内容索引 一、有限制条件的排列、组合问题 二、多面手问题 课时对点练 三、分组、分配问题 随堂演练 有限制条件的排列、组合问题 一 例1　课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)至少有一名队长当选； 5 (2)至多有两名女生当选； 至多有2名女生当选含有三类： 有2名女生当选；只有1名女生当选；没有女生当选， 6 (3)既要有队长，又要有女生当选. 分两类： 所以共有495＋295＝790(种)选法. 7 有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类 (1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数. (2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏. 反思感悟 8 跟踪训练1　(1)某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：①任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；②任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭.则每天午餐不同的搭配方法共有 A.210种 B.420种 C.56种 D.22种 √ 9 (2)甲、乙两名同学从生物、地理、政治、化学中各选两门进行学习，若甲、乙不能同时选生物，则甲、乙总的选法有 A.27种 B.18种 C.36种 D.48种 √ 则甲、乙总的选法共有9＋18＝27(种). 10 二 多面手问题 例2　某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有多少种不同的选法？ 12 由题意知，有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语. 方法一　分两类. 第一类：从只会英语的6人中选1人教英语，有6种选法，则教日语的有2＋1＝3(种)选法. 此时共有6×3＝18(种)选法. 第二类：从不只会英语的1人中选1人教英语，有1种选法，则选会日语的有2种选法，此时有1×2＝2(种)选法. 所以由分类加法计数原理知，共有18＋2＝20(种)不同的选法. 方法二　设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形，入选后又要分两种：(1)教英语；(2)教日语. 第一类：甲入选. (1)甲教英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步乘法计数原理知，有1×2＝2(种)选法； (2)甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理知，有1×6＝6(种)选法. 故甲入选的不同选法共有2＋6＝8(种). 第二类：甲不入选，可分两步： 第一步，从只会英语的6人中选1人，有6种选法；第二步，从只会日语的2人中选1人，有2种选法. 由分步乘法计数原理知，有6×2＝12(种)不同的选法. 综上，共有8＋12＝20(种)不同的选法. 解决多面手问题时，依据多面手参加的人数和从事的工作进行分类，将问题细化为较小的问题后再处理. 反思感悟 16 跟踪训练2　某车间有11名工人，其中5名钳工，4名车工，另外2名既能当车工又能当钳工，现在要从这11名工人中选4名钳工，4名车工修理一台机床，则共有多少种不同的选法？ 17 由分类加法计数原理得，共有75＋100＋10＝185(种)不同的选法. 18 三 分组、分配问题 角度1　不同元素分组、分配问题 例3　6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配 方法？ (1)每组2本(平均分组)； (2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)； (3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组). “分组”与“分配”问题的解法 (1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种： ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n！； ②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象. (2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配. 反思感悟 23 角度2　相同元素分配问题 例4　将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，求下列方法的 种数. (1)每个盒子都不空； (2)恰有一个空盒子. 相同元素分配问题的处理策略 (1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此方法称之为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题. (2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有 种方法.可描述为(n－1)个空中插入(m－1)块隔板. 反思感悟 26 跟踪训练3　(1)某社区服务站将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分别去三个不同的社区宣传肾脏日的主题：“尽快行动，尽快预防”，则不同的分配方案有______种.(用数字作答) 90 (2)将12枝相同颜色的鲜花放入编号为1,2,3,4的花瓶中，要求每个花瓶中的鲜花的数量不小于其编号数，则不同的放法种数为_____. 10 先给每个花瓶放入数量与其编号数相同的鲜花，则还剩2枝鲜花. 这2枝鲜花可以放在1个或2个花瓶中， 28 1.知识清单： (1)有限制条件的排列、组合问题. (2)多面手问题. (3)分组、分配问题. 2.方法归纳：分类讨论、插空法、隔板法、均分法. 3.常见误区：分类不当；平均分组理解不到位. 课堂小结 随堂演练 四 1.登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的有4人，每组都需要2人，那么不同的分配方法种数是 A.30 B.60 C.120 D.240 1 2 3 4 √ 31 2.空间中有10个点，无三点共线，其中有5个点在同一个平面内，其余点无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为 A.205 B.110 C.204 D.200 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 3.某大厦一层有A，B，C，D四部电梯，现有3人在一层乘坐电梯上楼，其中恰有2人乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有________种.(用数字作答) 1 2 3 4 36 1 2 3 4 4.某校从8名教师中选派4名去某个偏远地区支教，其中甲和乙不能都去，则不同的选派方案共有______种.(用数字作答) 55 由于“甲和乙不能都去”，故要分三类完成： 课时对点练 五 1.甲、乙两人计划从A，B，C三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选法共有 A.3种 B.6种 C.9种 D.12种 √ 但两人所选景点不能完全相同，所以排除3种完全相同的选择， 故共有6种选法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 2.假如某大学给我市某三所重点中学7个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名额的方法数为 A.30 B.21 C.10 D.15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.若将9名会员分成三组讨论问题，每组3人，则不同的分组方法种数有 √ 4.已知直线a，直线b，且a∥b，a上有5个点，b上有4个点，则以这九个点为顶点的三角形的个数为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为 A.300 B.216 C.180 D.162 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意知，可以分两类： 由分类加法计数原理，得组成没有重复数字的四位数共有72＋108 ＝180(个). 6.如图是由6个正方形拼成的矩形图案，从图中的12个顶点中任取3个顶点作为一组.其中可以构成三角形的组数为 A.208 B.204 C.200 D.196 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方法共有_____种.(用数字作答) 96 8.某地区安排A，B，C，D，E五名同志到三个地区开展消防安全宣传活动，每个地区至少安排一人，且A，B两人安排在同一个地区，C，D两人不安排在同一个地区，则不同的分配方法共有_____种. 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由分步乘法计数原理，则有5×6＝30(种)不同的分配方法. 9.现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任).现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 可以分三类： 10.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学，求： (1)5名同学站成一排，有多少种不同的方法？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，有多少种不同的方法？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)将5名同学分配到三个班，每班至少1人，共有多少种不同的分配方法？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 按人数分配方式分类： 故共有60＋90＝150(种)分配方法. 11.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各 安排1人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内 做实验，则不同的安排方案共有 A.8种 B.14种 C.20种 D.116种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 按照甲是否在天和核心舱划分， 根据分类加法计数原理，共有6＋8＝14(种)安排方案. 12.甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学参加A，B，C三个企业的调研工作，每个企业去2人，且甲去B企业，乙不去C企业，则不同的派遣方案共有 A.42种 B.30种 C.24种 D.18种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以不同的派遣方案共有6＋12＝18(种). 13.用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 14.已知不定方程x1＋x2＋x3＋x4＝12，则不定方程正整数解的组数为________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 165 问题相当于将12个完全相同的小球放入4个不同的盒子，且每个盒子中至少放入1个小球，使用“隔板法”得不定方程正整数解的组数为 ＝165. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.(多选)某校安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是 A.若每人都安排一项工作，则不同的方法数为54 B.若每项工作至少有1人参加，则不同的安排方法种数为 C.每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、 丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方法的种数是 D.如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安 排的不同方法数为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据题意，依次分析选项： 对于A，安排5人参加4项工作，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有45种安排方法，故A错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.设有99本不同的书(用排列数、组合数作答). (1)分给甲、乙、丙3人，甲得96本，乙得2本，丙得1本，共有多少种不同的分法？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)分给甲、乙、丙3人，甲得93本，乙、丙各得3本，共有多少种不同的分法？ (3)平均分给甲、乙、丙3人，共有多少种不同的分法？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (4)分给甲、乙、丙3人，一人得96本，一人得2本，一人得1本，共有多少种不同的分法？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (5)分给甲、乙、丙3人，一人得93本，另两人各得3本，共有多少种不同的分法？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (6)分成3份，一份96本，一份2本，一份1本，共有多少种不同的分法？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (7)平均分成3份，共有多少种不同的分法？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (8)分成3份，一份93本，另两份各3本，共有多少种不同的分法？ C－C＝825(种). 所以共有CC＋CC＋C＝966(种)选法. 第一类：女队长当选，有C＝495(种)选法； 第二类：女队长没当选，有CC＋CC＋CC＋C＝295(种)选法， 由分类加法计数原理知，两类午餐的搭配方法之和即为所求，所以每天午餐的不同搭配方法共有CC＋CC＝210(种). 当甲选生物，乙不选生物时，甲、乙的选法有CC＝9(种)； 当甲不选生物，乙随便选时，甲、乙的选法有CC＝18(种)， 分三类：第一类，选出的4名钳工中无“多面手”，此时选法有CC＝75(种)； 第二类，选出的4名钳工中有1名“多面手”，此时选法为CCC ＝100(种)； 第三类，选出的4名钳工中有2名“多面手”，此时选法为CCC ＝10(种). 每组2本，均分为3组的分组种数为＝＝15. 一组1本，一组2本，一组3本的分组种数为CCC＝20×3＝60. 一组4本，另外两组各1本的分组种数为＝＝15. 先把6个相同的小球排成一行，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，故共有C＝10(种)放法. 恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有C种选法，第二步在小球之间5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，由分步乘法计数原理得，共有C·C＝40(种)放法. C ·A＝90(种). 所以不同的放法共有C＋C＝10(种). 先将4个熟悉道路的人平均分成两组，有种， 再将余下的6人平均分成两组，有种， 然后这四个组自由搭配还有A种， 故最终分配方法有＝60(种). 方法一　可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类，则可构成四面体的个数为CC＋CC＋CC＋CC＝205. 方法二　从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的个数为C－C＝205. 由题意得，不同的乘坐方式有CCA＝36(种). 第二类，乙去甲不去，有C种选派方案； 第三类，甲、乙都不去，有C种选派方案. 故共有C＋C＋C＝55(种)不同的选派方案. 第一类，甲去乙不去，有C种选派方案； 本题用排除法，甲、乙两人从A，B，C三个景点中各选两个游玩，共有C·C＝9(种)， 用“隔板法”.在7个名额中间的6个空位上选2个位置加2个隔板，有C＝15(种)分配方法. A.CC B.AA C. D.AAA 此题为平均分组问题，有种分法. A.CC＋CC B.(C＋C)(C＋C) C.C－9 D.C－C 可以分为两类：a上取两点，b上取一点，则可构成三角形的个数为 CC； a上取一点，b上取两点，则可构成三角形的个数为CC，利用分类加法计数原理可得以这九个点为顶点的三角形的个数为CC＋CC. 第一类，不取0，从1,2,3,4,5中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为CA＝72； 第二类，取数字0，取2和4中的一个数字，再取2个奇数，组成无重复数字的四位数有CCCA＝108(个). 任取的3个顶点不能构成三角形的情形有3种：一是3条横线上的4个点，其组数为3C； 二是4条竖线上的3个点，其组数为4C； 三是4条对角线上的3个点，其组数为4C， 所以可以构成三角形的组数为C－3C－8C＝200. 甲传第一棒，乙传最后一棒，共有A种方法. 乙传第一棒，甲传最后一棒，共有A种方法. 丙传第一棒，共有C·A种方法. 由分类加法计数原理得，共有A＋A＋C·A＝96(种)方法. ①将5人分为3组，要求A，B两人在同一组而C，D不在同一组，有C＋(C－1)＝5(种)分组方法； ②将分好的3组全排列，安排到三个地区，有A＝6(种)安排方法； 第一类，两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有CC种选法； 第二类，两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有CC种选法； 第三类，两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有CC种选法. 根据分类加法计数原理，共有CC＋CC＋CC＝42(种)不同的选法. 有A＝120(种)不同的方法. 5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，则先将甲、乙捆绑，看成一个整体，有A种方法； 再将甲、乙看成整体(不考虑甲乙内部排列)，与戊排列，有A种方法； 最后利用插空法，将丙、丁插入3个空隙中，有A种方法. 故有AAA＝24(种)不同的方法. ①3,1,1，有A＝60(种)方法； ②2,2,1，有A＝90(种)方法. ①若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从 除了甲、乙之外的三人中选取两人，剩下 两人去剩下两个舱位，则有C·A＝6(种)安排方案； ②若甲不在天和核心舱，需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，剩下四人中选取三人进入天和核心舱即可，则有C·C＝8(种)安排方案； 若甲、乙去同一企业，则甲、乙只能去B企业，剩下的4人平均分去两个企业，共有×A＝6(种)派遣方案； 若甲、乙不去同一企业，分两步，第一步：先给甲、乙两人选同伴，有CC种， 第二步：将这三组分去三个企业，因为甲去B企业，乙不去C企业，所以共有1种分法，由分步乘法计数原理可得共有CC×1＝12(种)派遣方案， 首先排两个奇数1,3，有A种排法， 再在2,4中取一个数放在1,3之间，有C种排法， 然后把这3个数作为一个整体与剩下的另一个偶数全排列，有A种排法，即满足条件的四位数的个数为ACA＝8. C AC CCA＋CA (CC＋CC)A 对于B，根据题意，分2步进行分析：先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有CA种安排方法，故B错误； 对于C，根据题意，分2种情况讨论：①从丙、丁、戊中选出1人开车，②从丙、丁、戊中选出2人开车，则有CCA＋CA种安排方法，C正确； 对于D，分2步分析：需要先将5人分为3组，有种分组方法，将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有A种情况，则有A种安排方法，D错误. 甲得96本，有方法C种；乙得2本，有方法C种；丙得1本，有方法C种.不同的分法共有CCC种. 与(1)类似，不同的分法共有CCC种. 不同的分法共有CCC种. 先把99本不同的书分成3份，一份96本，一份2本，一份1本； 再将甲、乙、丙3人全排列，这是因为3人中谁都有得到96本、2本、1本的可能. 不同的分法共有(CCC)A种. 99本不同的书，分给甲、乙、丙3人，一人得93本，另两人各得3本，3人中，谁都有得到93本的可能.不同的分法共有A种. 99本不同的书，分成3份，一份96本，一份2本，一份1本，3份的数量互不相同.不同的分法共有CCC种. 99本不同的书，平均分成3份，每份33本.本问题是典型的平均分组问题，要排除重复.不同的分法共有种. 99本不同的书，分成3份，一份93本，另两份各3本，两份3本的有重复，不同的分法共有种. $$