黄金卷04（江苏无锡专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（每题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．的倒数是　　 A． B． C．0 D．1.5 2．纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是　　 A．如意纹 B．冰裂纹 C．盘长纹 D．风车纹 3．下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 4．为调查某班学生每天使用零花钱的情况，小明随机调查了30名同学，结果如表： 每天使用零花钱（单位：元） 5 10 15 20 25 人数 2 5 8 9 6 则这30名同学每天使用的零花钱的众数和中位数分别是　　 A．9，6 B．20，25 C．20，17.5 D．9，25 5．编织草帽是云南各族尤擅的工艺，其中“云南十八怪”中就有“摘下草帽当锅盖”的顺口溜．某校九年级学生参加社会实践，学习编织草帽（该草帽为圆锥形，如图所示）．若这种圆锥形草帽的母线长为35厘米，底面圆的半径为20厘米，则该圆锥形草帽的侧面积为　　 A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 6．下列命题中：①菱形的对角线相等；②矩形的对角线互相垂直；③平行四边形的对角线互相平分；④正方形的对角线相等且互相垂直平分．真命题的个数为　　 A．0 B．1 C．2 D．3 7．如图，是正六边形的外接圆，若的半径为6，则四边形的周长是　　 A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，，分别是边，上的点，，连接，，与对角线交于点，且，，，则的长为　　 A．6 B．8 C． D． 9．如图，点，在反比例函数的图象上，连接，，以，为边作，若点恰好落在反比例函数的图象上，此时的面积是　　 A．3 B． C． D．6 10．如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，顶点为，以为直径在轴上方画半圆交轴于点，圆心为，是半圆上一动点，连接，点为的中点．下列四种说法： ①点在上； ②； ③当点沿半圆从点运动至点时，点运动的路径长为； ④线段的长可以是3.2． 其中正确说法的个数为　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：（每小题3分，共24分.） 11．要使式子有意义，则的取值范围是　　． 12．第五代移动通信技术，网络理论下载速度可以达到每秒以上．用科学记数法表示1300000是　　． 13．为了丰富全县学生的业余生活，县文体中心图书馆计划三个季度购进新书21000册，已知第一个季度购进5000册，求文体中心图书馆后两个季度购书的平均增长率，若后面两个季度购书的平均增长率为，则根据题意可列方程为　　． 14．因式分解：　 　． 15．如图是一个平行四边形，已知，是中点，的面积是，那么的面积为　　． 16．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，例如：与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是　　． 17．如图，在矩形中，点、是对角线上的两点，，，点是边的中点．当取最小值时，的值为　　． 18．如图，点为矩形的边上一点，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，交于点，在上取点，使．若，，则　　． 三、解答题：（本大题共10个小题，共96分.） 19．（8分）（1）计算：； （2）化简：． 20．（8分）（1）解方程：； （2）解不等式组：． 21．（10分）如图，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 22．（10分）某次化学实验课上，姚老师带来了（铁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属．这四种金属分别用四个相同的不透明的容器装着，让同学们随机选择一种金属与稀盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：、、可以置换出氢气，而不能置换出氢气） （1）小远从四种金属中随机选一种，则选到的概率是　　． （2）小松从四种金属中随机选一种金属，小惠也从四种金属中随机选一种金属，分别进行实验，求二人所选金属均能置换出氢气的概率． 23．（10分）为讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，继承革命先烈的优良传统，某中学开展了建党知识测试，该校七、八年级各有300名学生参加，从中各随机抽取了50名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息： ．八年级的频数分布直方图如下（数据分为5组：，，，，； ．八年级学生成绩在的这一组是： 80、81、82、83、84、84、84、84、84、85、85、86、86.5、87、88、89.5 ．七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 87.2 85 91 八年级 85.3 90 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中的值为　　； （2）在随机抽样的学生中，建党知识成绩为84分的学生，在　　年级排名更靠前，理由是　　； （3）若各年级建党知识测试成绩前90名将参加线上建党知识竞赛，预估八年级分数至少达到　　分的学生才能入选； （4）若成绩85分及以上为“优秀”，请估计八年级达到“优秀”的人数． 24．（10分）如图1是一款多功能可调节的桌面手机、平板支架．点、、处均可旋转，处可摆放平板或者手机．其中，，．研究表明，当手机与桌面的夹角为时，更符合人体工学设计，也是多数人操作手机最舒适的角度． （1）如图2，当和桌面垂直且时，可将绕点旋转一定的角度，就能达到最舒适的观影状态，求此时的度数； （2）在（1）的条件下求点到的距离（结果保留整数）．（参考数据：，，． 25．（10分）在矩形中，． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图．先在上确定点，使．再在上确定点，使以为圆心的圆经过点和点． （2）在（1）的条件下，若，且，则的长为　　（如需要画草图请使用图2）． 26．（10分）如图，是的直径，为上一点，为外一点，连接，，，，满足，． （1）证明：直线为的切线； （2）射线与射线交于点，若，求的长． 27．（10分）在中，，是边上一点，将沿着翻折到， （1）如图1，若、、三点共线， ①求证：； ②若，，求的长． （2）如图2，若，点是中点，，求的面积． 28．（10分）如图，已知二次函数的图象与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，是抛物线在直线上方图象上一动点． （1）求二次函数的表达式； （2）求△面积的最大值，并求此时点的坐标； （3）在（2）的条件下，抛物线在点、之间的部分（含点、）沿轴向下翻折，得到图象．现将图象沿直线平移，得到新的图象与线段只有一个公共点，请直接写出图象的顶点横坐标的取值范围． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 一、选择题：（每题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A C A C C A A A 二、填空题：（每小题3分，共24分.） 11．且 12． 13． 14． 15．9 16．2025 17．2 18． 三、解答题：（本大题共10个小题，共96分.） 19．解：（1） ；（4分） （2） ．（4分） 20．解：（1）， ， 则， ，即， ， ，；（4分） （2）由得：， 由得：， 则不等式组的解集为．（4分） 21．（1）证明：， ， ，（2分） 在△和△中， ， △△，（4分） ；（5分） （2）解：由（1）可知：△△， ，（7分） ， ， 的度数是．（10分） 22．解：（1）由题意可知：共有4种等可能的结果，其中选到的结果有1种，（2分） 选到的概率为， 故答案为：；（4分） （2）列表如下： （6分） 共有16种等可能的结果，其中二人所选金属均能置换出氢气的结果有：，，，，，，，，，共9种，（8分） 二人所选金属均能置换出氢气的概率为．（10分） 23．解：（1）八年级共有50名学生，第25，26名学生的成绩为83分，84分， （分）； 故答案为：83.5；（2分） （2）在八年级排名更靠前，理由如下：（4分） 八年级的中位数是83.5分，七年级的中位数是85分， 该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数， 在八年级排名更靠前；（6分） 故答案为：八，该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数； （3）由题意可得：（人）， 在抽取的50名学生中，必须有15人参加建党知识竞赛， 至少达到88分， 故答案为：88；（8分） （4）成绩85分及以上有20人， （人）， 八年级达到优秀的人数为120人．（10分） 24．解：（1）如图，过点作于， 由题意可得：，，（1分） ， ，（2分） ， 此时的度数为；（3分） （2）如图，过点作于，过点作于， ，（4分） 由题意可得：，（5分） ， ，（6分） ， ， ，（7分） 在△中，， ，（8分） 在△中，， ，（9分） ， 答：点到的距离约为．（10分） 25．解：（1）如图， 此图即为所求；（3分） （2）四边形是矩形， ，，，（4分） ， 设，， ，（5分） ， ， ，（7分） ，，，（8分） 设， 在△中，，解得：， ， 故答案为：10．（10分） 26．（10分）如图，是的直径，为上一点，为外一点，连接，，，，满足，． （1）证明：直线为的切线； （2）射线与射线交于点，若，求的长． 26．（1）证明详见解析；（2） 【详解】解：（1）证明：如图，连接，（1分） 是的直径，， ，， ，（2分） ， ，（3分） ，， ， ，（4分） ， ，即， 直线为的切线；（5分） （2）如图， 由（1）可知：， ， ，（6分） ，， ，（7分） ， △△， ，即，（8分） ， ， ， ，（9分） 设， 在△中，由勾股定理可得：，解得：（舍去负根）， ．（10分） 27．（1）①证明：四边形是平行四边形， ， ，（1分） 将沿着翻折到， ， ， ；（2分） ②解：将沿着翻折到， ，， ， ， ， ， ， ，（3分） ， ， ，（4分） 四边形是平行四边形，， ，，（5分） 由①可知：， ， ， ， ；（6分） （2）解：如图，过作于，过作于， 为中点，， ， 将沿着翻折到， ，， ， ，即，（7分） 设，则， ， ，解得：， ， ， ，即，（8分） 设，则， ，， ， ，解得：或（舍去）， ，（9分） ， 的面积为．（10分） 28．解：（1）将点C（0，）代入抛物线解析式得：，解得：，（1分） ∴抛物线解析式为：；（2分） （2）∵抛物线与x轴交于A、B两点， ∴令，解得：，， ∴A、B坐标分别为：，， 设直线AC的解析式为：， 将和代入得：，解得：， ∴直线AC的解析式为：，（3分） 如图，过P点作PQ⊥x轴，交AC于Q点， ∵P点在位于直线AC上方的抛物线上， ∴设，则，其中， ∴，（4分） ∵， ∴，（5分） ∵， ∴抛物线开口向下，当时，取得的最大值，最大值为， 此时，将代入抛物线解析式得：， ∴当时，取得的最大值，最大值为；（6分） （3）如图，抛物线yx2+mx+m在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，得到图象G, 由（1）可知：原抛物线顶点坐标为， ∴沿x轴向下翻折后，图象G的顶点坐标为，图象G的解析式为：； ∵图象G沿着直线AC平移， ∴作直线BS∥AC，交PC于S点，则随着平移过程，点B在直线BS上运动，（7分） 分如下情况讨论： ①当图象G沿直线AC平移至B点恰好经过S点时，如图中M1所示， 此时，平移后的图象M恰好与线段PC有一个交点，即为S点， 由（2）可知：，以及直线AC的解析式为， ∴设直线BS的解析式为：， 将代入得：， ∴直线BS的解析式为：， 设直线PC的解析式为：， 将，代入得：，解得：， ∴直线PC的解析式为：， 联立，解得：， ∴S点的坐标为， ∴此时点平移至，等同于向左平移个单位，向上平移个单位， 即当平移后的图象M与线段PC恰好仅有一个交点时，可由原图像G向左平移个单位，向上平移个单位， ∵原图像G的顶点坐标为：， ∴平移后图象M1的顶点的横坐标；（8分） ②当图象G沿直线AC平移至恰好经过C点时，如图中M2所示， 设图象G与直线AC的交点为R， 联立，解得：或， ∴点R的坐标为：， 由平移至，等同于向右平移2个单位，向下平移1个单位， ∴当平移后的图象M与线段PC恰好仅有一个交点时，可由原图像G向右平移2个单位，向下平移1各单位， ∵原图像G的顶点坐标为：， ∴平移后图象M2的顶点的横坐标， ∴当图象G在M1和M2之间平移时，均能满足与线段PC有且仅有一个交点， 此时，图象M的顶点横坐标n的取值范围为：；（9分） ③当图象G沿直线AC平移至A点恰好经过C点时，如图中M3所示， 此时，由平移至，等同于向右平移5个单位，向下平移个单位， 即原图像G向右平移5个单位，向下平移个单位，得到图象M3， ∵原图像G的顶点坐标为：， ∴平移后图象M3的顶点的横坐标； 综上，当新的图象M与线段PC只有一个交点时，图象M的顶点横坐标n的取值范围为：或．（10分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（每题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．的倒数是　　 A． B． C．0 D．1.5 1．A 【详解】解：， ∵的倒数是， ∴的倒数是． 故选：A． 2．纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是　　 A．如意纹 B．冰裂纹 C．盘长纹 D．风车纹 2．D 【详解】解：是轴对称图形，但不是中心对称图形，； 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形； 是轴对称图形，也是中心对称图形； 不是轴对称图形，但它是中心对称图形． 故选：D． 3．下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 3．A 【详解】解：、，故正确； 、，故错误； 、，故错误； 、与不能合并，故错误． 故选：A． 4．为调查某班学生每天使用零花钱的情况，小明随机调查了30名同学，结果如表： 每天使用零花钱（单位：元） 5 10 15 20 25 人数 2 5 8 9 6 则这30名同学每天使用的零花钱的众数和中位数分别是　　 A．9，6 B．20，25 C．20，17.5 D．9，25 4．C 【详解】解：∵20出现了9次，出现的次数最多， ∴这30名同学每天使用的零花钱的众数为20元； ∵30个数据中，第15个和第16个数分别为15、20，它们的平均数为17.5， ∴这30名同学每天使用的零花钱的中位数为17.5元． 故选：C． 5．编织草帽是云南各族尤擅的工艺，其中“云南十八怪”中就有“摘下草帽当锅盖”的顺口溜．某校九年级学生参加社会实践，学习编织草帽（该草帽为圆锥形，如图所示）．若这种圆锥形草帽的母线长为35厘米，底面圆的半径为20厘米，则该圆锥形草帽的侧面积为　　 A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 5．A 【详解】解：圆锥形草帽的母线长为35厘米，底面圆的半径为20厘米， 侧面面积（平方厘米）． 故选：A． 6．下列命题中：①菱形的对角线相等；②矩形的对角线互相垂直；③平行四边形的对角线互相平分；④正方形的对角线相等且互相垂直平分．真命题的个数为　　 A．0 B．1 C．2 D．3 6．C 【详解】解：菱形的对角线互相垂直，故①是假命题； 矩形的对角线相等，故②是假命题； 平行四边形的对角线互相平分，故③是真命题； 正方形的对角线相等且互相垂直平分，故④是真命题； 真命题有③④，共2个． 故选：C． 7．如图，是正六边形的外接圆，若的半径为6，则四边形的周长是　　 A． B． C． D． 7．C 【详解】解：如图，连接，，，过点作于点，则， 点是正六边形的中心， ， ， 是正三角形， ， 在中，，， ， ， 四边形的周长是． 故选：C． 8．如图，在矩形中，，分别是边，上的点，，连接，，与对角线交于点，且，，，则的长为　　 A．6 B．8 C． D． 8．A 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， 在和中， ， (AAS)， ，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， (HL)， ， 在中，， ， 是等边三角形， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 故选：A． 9．如图，点，在反比例函数的图象上，连接，，以，为边作，若点恰好落在反比例函数的图象上，此时的面积是　　 A．3 B． C． D．6 9．A 【详解】解：如图，连接，交于点，作轴，轴， 设点，点，，， 四边形是平行四边形， 与互相平分， 点， 点坐标， 点，， 点在反比例函数的图象上， ， ，（不合题意,舍去）， 点， ， 的面积． 故选：A． 10．如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，顶点为，以为直径在轴上方画半圆交轴于点，圆心为，是半圆上一动点，连接，点为的中点．下列四种说法： ①点在上； ②； ③当点沿半圆从点运动至点时，点运动的路径长为； ④线段的长可以是3.2． 其中正确说法的个数为　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．A 【详解】解：抛物线的图象与坐标轴交于点，，， ，，， 点，的半径为2， ， 顶点的坐标为：， ， 点在上， ①，故点不在上，故①不正确； ②圆心为，是半圆上一动点，点在上，点为的中点， ， 当为直径时，不成立，故②不正确； ③图中实点、、、是点运动中所处的位置， 是等腰直角三角形的中位线，，交于点， 四边形为正方形， 当点在半圆任意位置时，中点为，连接，则，连接， ， 点的运动轨迹为以为圆心的半圆， 运动的路径长，故③正确； ④由③可得：当点运动到点的位置时，的长最大，最大值为， 线段的长不可以是3.2，故④不正确； 综上，正确说法有：③． 故选：A． 二、填空题：（每小题3分，共15分.） 11．要使式子有意义，则的取值范围是　　． 11．且 【详解】解：要使式子有意义， 则，且，解得：且． 故答案为：且． 12．第五代移动通信技术，网络理论下载速度可以达到每秒以上．用科学记数法表示1300000是　　． 12． 【详解】解：． 故答案为：． 13．为了丰富全县学生的业余生活，县文体中心图书馆计划三个季度购进新书21000册，已知第一个季度购进5000册，求文体中心图书馆后两个季度购书的平均增长率，若后面两个季度购书的平均增长率为，则根据题意可列方程为　　． 13． 【详解】解：第一个季度购进新书5000册，且后面两个季度购书的平均增长率为， 第二个季度购进新书册，第三个季度购进新书册． 根据题意得：． 故答案为：． 14．因式分解：　　． 14． 【详解】解；． 故答案为：． 15．如图是一个平行四边形，已知，是中点，的面积是，那么的面积为　　． 15．9 【详解】解：如图， 四边形是平行四边形， ，， 设与之间的距离为，则， ， ， ， ， 是中点， ． 故答案为：9． 16．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，例如：与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是　　． 16．2025 【详解】解：关于的一元二次方程与是“同族二次方程”， ， ， ，解得：， ， ， ， 代数式的最小值是2025． 故答案为：2025． 17．如图，在矩形中，点、是对角线上的两点，，，点是边的中点．当取最小值时，的值为　　． 17．2 【详解】解：如图，取的中点，连接， 点是边上的中点， ，， ，， ， ，， ， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ， ， 当、、三点在同一直线上时，最小，即， ，， ，， ， ， ． 故答案为：2． 18．如图，点为矩形的边上一点，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，交于点，在上取点，使．若，，则　　． 18． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ， 由翻折可知：，， ， 在和中， ， ， ， 是的中点， ， ， ， 由翻折可知：垂直平分， ， ， ， ， ． ． 故答案为：． 三、解答题：（本大题共10个小题，共96分.） 19．（8分）（1）计算：； （2）化简：． 19．（1）； 【详解】解：（1） ； （2） ． 20．（8分）（1）解方程：； （2）解不等式组：． 20．（1），；（2） 【详解】解：（1）， ， 则， ，即， ， ，； （2）由得：， 由得：， 则不等式组的解集为． 21．（10分）如图，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 21．（1）证明过程详见解析；（2） 【详解】（1）证明：， ， ， 在△和△中， ， △△， ； （2）解：由（1）可知：△△， ， ， ， 的度数是． 22．（10分）某次化学实验课上，姚老师带来了（铁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属．这四种金属分别用四个相同的不透明的容器装着，让同学们随机选择一种金属与稀盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：、、可以置换出氢气，而不能置换出氢气） （1）小远从四种金属中随机选一种，则选到的概率是　　． （2）小松从四种金属中随机选一种金属，小惠也从四种金属中随机选一种金属，分别进行实验，求二人所选金属均能置换出氢气的概率． 22．（1）；（2） 【详解】解：（1）由题意可知：共有4种等可能的结果，其中选到的结果有1种， 选到的概率为， 故答案为：； （2）列表如下： 共有16种等可能的结果，其中二人所选金属均能置换出氢气的结果有：，，，，，，，，，共9种， 二人所选金属均能置换出氢气的概率为． 23．（10分）为讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，继承革命先烈的优良传统，某中学开展了建党知识测试，该校七、八年级各有300名学生参加，从中各随机抽取了50名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息： ．八年级的频数分布直方图如下（数据分为5组：，，，，； ．八年级学生成绩在的这一组是： 80、81、82、83、84、84、84、84、84、85、85、86、86.5、87、88、89.5 ．七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 87.2 85 91 八年级 85.3 90 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中的值为　　； （2）在随机抽样的学生中，建党知识成绩为84分的学生，在　　年级排名更靠前，理由是　　； （3）若各年级建党知识测试成绩前90名将参加线上建党知识竞赛，预估八年级分数至少达到　　分的学生才能入选； （4）若成绩85分及以上为“优秀”，请估计八年级达到“优秀”的人数． 23．（1）83.5；（2）八，该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数；（3）88；（4）120人 【详解】解：（1）八年级共有50名学生，第25，26名学生的成绩为83分，84分， （分）； 故答案为：83.5； （2）在八年级排名更靠前，理由如下： 八年级的中位数是83.5分，七年级的中位数是85分， 该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数， 在八年级排名更靠前； 故答案为：八，该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数； （3）由题意可得：（人）， 在抽取的50名学生中，必须有15人参加建党知识竞赛， 至少达到88分， 故答案为：88； （4）成绩85分及以上有20人， （人）， 八年级达到优秀的人数为120人． 24．（10分）如图1是一款多功能可调节的桌面手机、平板支架．点、、处均可旋转，处可摆放平板或者手机．其中，，．研究表明，当手机与桌面的夹角为时，更符合人体工学设计，也是多数人操作手机最舒适的角度． （1）如图2，当和桌面垂直且时，可将绕点旋转一定的角度，就能达到最舒适的观影状态，求此时的度数； （2）在（1）的条件下求点到的距离（结果保留整数）．（参考数据：，，．） 24．（1）；（2） 【详解】解：（1）如图，过点作于， 由题意可得：，， ， ， ， 此时的度数为； （2）如图，过点作于，过点作于， ， 由题意可得：， ， ， ， ， ， 在△中，， ， 在△中，， ， ， 答：点到的距离约为． 25．（10分）在矩形中，． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图．先在上确定点，使．再在上确定点，使以为圆心的圆经过点和点． （2）在（1）的条件下，若，且，则的长为　　（如需要画草图请使用图2）． 25．（1）作图详见解析；（2）10 【详解】解：（1）如图， 此图即为所求； （2）四边形是矩形， ，，， ， 设，， ， ， ， ， ，，， 设， 在△中，，解得：， ， 故答案为：10． 26．（10分）如图，是的直径，为上一点，为外一点，连接，，，，满足，． （1）证明：直线为的切线； （2）射线与射线交于点，若，求的长． 26．（1）证明详见解析；（2） 【详解】解：（1）证明：如图，连接， 是的直径，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ，即， 直线为的切线； （2）如图， 由（1）可知：， ， ， ，， ， ， △△， ，即， ， ， ， ， 设， 在△中，由勾股定理可得：，解得：（舍去负根）， ． 27．（10分）在中，，是边上一点，将沿着翻折到， （1）如图1，若、、三点共线， ①求证：； ②若，，求的长． （2）如图2，若，点是中点，，求的面积． 27．（1）①证明详见解析，②；（2） 【详解】（1）①证明：四边形是平行四边形， ， ， 将沿着翻折到， ， ， ； ②解：将沿着翻折到， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形，， ，， 由①可知：， ， ， ， ； （2）解：如图，过作于，过作于， 为中点，， ， 将沿着翻折到， ，， ， ，即， 设，则， ， ，解得：， ， ， ，即， 设，则， ，， ， ，解得：或（舍去）， ， ， 的面积为． 28．（10分）如图，已知二次函数的图象与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，是抛物线在直线上方图象上一动点． （1）求二次函数的表达式； （2）求△面积的最大值，并求此时点的坐标； （3）在（2）的条件下，抛物线在点、之间的部分（含点、）沿轴向下翻折，得到图象．现将图象沿直线平移，得到新的图象与线段只有一个公共点，请直接写出图象的顶点横坐标的取值范围． 28．（1）；（2）当时，取得的最大值，最大值为；（3）或 【详解】解：（1）将点C（0，）代入抛物线解析式得：，解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）∵抛物线与x轴交于A、B两点， ∴令，解得：，， ∴A、B坐标分别为：，， 设直线AC的解析式为：， 将和代入得：，解得：， ∴直线AC的解析式为：， 如图，过P点作PQ⊥x轴，交AC于Q点， ∵P点在位于直线AC上方的抛物线上， ∴设，则，其中， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，当时，取得的最大值，最大值为， 此时，将代入抛物线解析式得：， ∴当时，取得的最大值，最大值为； （3）如图，抛物线yx2+mx+m在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，得到图象G, 由（1）可知：原抛物线顶点坐标为， ∴沿x轴向下翻折后，图象G的顶点坐标为，图象G的解析式为：； ∵图象G沿着直线AC平移， ∴作直线BS∥AC，交PC于S点，则随着平移过程，点B在直线BS上运动， 分如下情况讨论： ①当图象G沿直线AC平移至B点恰好经过S点时，如图中M1所示， 此时，平移后的图象M恰好与线段PC有一个交点，即为S点， 由（2）可知：，以及直线AC的解析式为， ∴设直线BS的解析式为：， 将代入得：， ∴直线BS的解析式为：， 设直线PC的解析式为：， 将，代入得：，解得：， ∴直线PC的解析式为：， 联立，解得：， ∴S点的坐标为， ∴此时点平移至，等同于向左平移个单位，向上平移个单位， 即当平移后的图象M与线段PC恰好仅有一个交点时，可由原图像G向左平移个单位，向上平移个单位， ∵原图像G的顶点坐标为：， ∴平移后图象M1的顶点的横坐标； ②当图象G沿直线AC平移至恰好经过C点时，如图中M2所示， 设图象G与直线AC的交点为R， 联立，解得：或， ∴点R的坐标为：， 由平移至，等同于向右平移2个单位，向下平移1个单位， ∴当平移后的图象M与线段PC恰好仅有一个交点时，可由原图像G向右平移2个单位，向下平移1各单位， ∵原图像G的顶点坐标为：， ∴平移后图象M2的顶点的横坐标， ∴当图象G在M1和M2之间平移时，均能满足与线段PC有且仅有一个交点， 此时，图象M的顶点横坐标n的取值范围为：； ③当图象G沿直线AC平移至A点恰好经过C点时，如图中M3所示， 此时，由平移至，等同于向右平移5个单位，向下平移个单位， 即原图像G向右平移5个单位，向下平移个单位，得到图象M3， ∵原图像G的顶点坐标为：， ∴平移后图象M3的顶点的横坐标； 综上，当新的图象M与线段PC只有一个交点时，图象M的顶点横坐标n的取值范围为：或． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$