黄金卷07（陕西专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷·答案 一、选择题：（每题3分，共24分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D C A C A D C 二、填空题：（每小题3分，共15分.） 9． 10．18 11． 12． 13． 三、解答题：（本大题共13个小题，共81分.） 14．解： （3分） ．（2分） 15.解： （3分） ；（1分） 当时，原式．（1分） 16.解：， 去分母得，，（2分） 去括号得，，（1分） 合并同类项得，， 系数化为1得，，（1分） 把代入，（1分） ∴是原分式方程的根． 17．解：如图所示， （5分） 根据作图可得 18．证明：∵，， ∴，（1分） 在和中， ∵， ∴，（3分） ∴．（1分） 19．解：设这次收购了小米，则大米收购了， 根据题意有：，（3分） 解得： 答：这次收购了2000千克小米．（2分） 20．（1）解：将这四张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是5的概率是；（2分） （2）解：方法一：列表如下： 3 4 5 5 3 - 12 15 15 4 12 - 20 ( （ 3 分 ） )20 5 15 20 - 25 5 15 20 25 - 由表可知，共有12种等可能的结果，其中抽取的这两张牌的牌面数字之积为奇数的情况有6种， 则抽取的这两张牌的牌面数字之积为奇数的概率．（1分） 方法二：画树状图如下： （3分） 由图可知，共有12种等可能的结果，其中抽取的这两张牌的牌面数字之积为奇数的情况有6种， 则抽取的这两张牌的牌面数字之积为奇数的概率为．（1分） 21．【详解】（1）解：由题意得，售价每下降1元销售量就增加5千克， 当售价从每千克30元下降了元时，每天销售量为， 即与之间的关系式为；（3分） （2）解：当时，， 解得：，（2分） ，（1分） 答：如果周六的销售量是千克，那么这天的售价是每千克23元． 22．解：在中，， 设，则，（1分） 又∵， ∴，（1分） 在中，，       则，（1分） ∴，    解得，（1分） 在中，， ∴，（1分） ∴， 答：桥塔的高度约为64米．（1分） 23.（1）解：∵抽样的总户数为：（户）， C组的占比为：， ∴， ∵抽样的总户数为20户， ∴中位数为：第10户，第11户， ∴中位数落在C组． 故答案为：8，（2分） C；（1分） （2）解抽取家庭去年下半年家庭收入的平均数为：（万元）．（2分） （3）解：估计去年家庭收入不低于8.5万元的户数为：（户）（2分） 24.（1）证明：∵是的直径， ∴，即，（1分） ∵， ∴；（2分） （2）解：∵是的切线， ∴，（1分） ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴，（1分） ∵， ∴，（1分） ∵， ∴， ∴，即， 解得．（2分） 【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定，勾股定理等．证明是解题的关键． 25.（1）解：根据题意得：，顶点， 设抛物线的解析式为，（2分） 把代入得， 解得，（1分） ∴该抛物线的函数关系式为，（1分） 令，， ∴点距地面的高度为；（1分） （2）解：灯离地面的高度不超过， 令，则， 解得，，（2分） ，（1分） 如果灯离地面的高度不超过，那么两排灯的水平距离最小是米． 26.解：（1）如图1，为的一条弦，点在弦所对的优弧上，根据圆周角性质，我们知道的度数不变；若，度，则度； ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∴的长度是； 故答案为：不变；；．（3分） （2）解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴（1分） 又∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴是定值，则也是定值， 根据“定弦定角”模型可知，当为圆的直径时，取得最大值，（2分） 如图所示，过点作交的延长于点，延长至，使得， 设，则， ∴ 在中， 在中， ∴ ∴当为过点的圆的直径时，取得最大值，（2分） 此时，如图所示 ∵为直径， ∴ ∴ ∴（2分） 答：的最大值为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质与判定，勾股定理，求弧长，等边三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（每题3分，共24分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．的相反数是（   ） A． B． C． D． 2．生活中常见的路障锥通常是圆锥的形状，它的侧面展开图是（    ） A． B． C． D． 3．计算：（   ） A． B． C． D． 4．如图，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．实数m对应的点在数轴上的位置如图所示，则不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 6．已知点和点关于x轴对称，一个正比例函数的图象经过点A，则这个正比例函数的表达式为（） A． B． C． D． 7．如图，在中，点在上，，，下列四个判断中不正确的是（ ） A．四边形是平行四边形 B．若，则四边形是矩形 C．若且，则四边形是菱形 D．若平分，则四边形是矩形 8．已知二次函数的最大值为25，则将此函数平移后可能得到的函数表达式为：（   ） A． B． C． D． 二、填空题：（每小题3分，共15分.） 9．分解因式： ． 10．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种甲烷如图①有4个氢原子，第2种乙烷如图②有6个氢原子，第3种丙烷如图③有8个氢原子，…按照这一规律，第8种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是 ． 11．如图，四边形内接于，，连接和．若，则的度数是 ． 12．已知在平面直角坐标系中，点（m、n为常数）在反比例函数为常数，且的图象上，若点、也在该反比例函数的图象上，则与的大小关系是 ． 13．如图，在中，，，是等边三角形，当最大时，的面积为 ．    三、解答题：（本大题13个小题，共81分.） 14．（5分）计算：． 15．（5分）先化简，再求值：，其中． 16．（5分）解方程：． 17．（5分）如图，已知，利用尺规作图法在边上求作一点，连接，使得的周长为．（保留作图痕迹，不写作法） 18．（5分）如图，四点在同一直线上，为直线上方两点，连接，，，，．求证：． 19．（5分）近年来，农村电商为扶贫插上了“互联网+”的翅膀，让农产品通过互联网走出山村，走进千家万户．在丰收的季节，某电商团队用20000元从农户处收购大米、小米共，通过互联网进行销售，其中大米收购价为每千克4元，小米收购价为每千克5元，求这次收购了多少千克小米． 20．（6分）从一副扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别是3，4，5，5． (1)将这四张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是5的概率是_____； (2)将这四张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取第二张，请用列表或画树状图的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字之积为奇数的概率． 21．（6分）骊山脚下育奇果，临潼石榴甲天下．色泽艳丽，汁多味甜，核软鲜美，每一口都是自然的馈赠！石榴丰收上市期间，某农家根据往年的销售经验，当售价从每千克30元下降了x元时，每天销售量为y千克，每天的售价与销售量之间有如下关系： 每千克售价（元） 30 29 28 27 26 …… 20 每天销售量（千克） 50 55 60 65 70 …… 100 (1)求y与x之间的关系式； (2)如果周六的销售量是85千克，那么这天的售价是每千克多少元？ 22．（6分）如图1所示，西安灞河元朔大桥是世界最宽整体桥面空间索面自锚式悬索桥，其设计理念以“千古一舟”为主题，寓意“舟行古今、跨越时代”．数学实践小组想用所学知识测量元朔大桥中一座桥塔的高度．组员走走设计了如下方案：如图2，点C 是桥面与桥塔的交点，走走在桥面上点D处测得桥塔顶部B的仰角（）为，桥塔底部A 的俯角（）为，走走沿方向退至点E，测得桥塔顶部B的仰角（）为．经测量得米 ，．请帮走走求桥塔的高度．（结果精确到1米，参考数据：，，，，，） 23．（7分）2024年国家提出推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴后，甲村经济发展进入了快车道．为了解甲村去年下半年经济发展状况，雷莹从该村400户家庭中随机抽取了部分家庭调查其去年下半年的收入情况，整理得到如下不完整的统计表和扇形统计图． 部分家庭收入统计表 部分家庭收入扇形统计图 组别 分组x（万元） 频数（户） 每组平均收入（万元） A 4 7 B 5 8.3 C m 9 D 3 9.5 请根据图表中提供的信息，解答下列问题： (1)表格中 ，雷莹所抽取家庭去年下半年家庭收入的中位数落在 组； (2)求雷莹所抽取家庭去年下半年家庭收入的平均数； (3)试估计去年下半年甲村400户家庭中收入不低于8.5万元的户数． 24．（7分）如图，是的直径，点是上一点，过点作的切线交的延长线于点，过点作于点，交于点，连接并延长，交于点，连接． (1)求证：； (2)若的半径为5，，求的长． 25．（8分）西安市白鹿原影视城旁的将军岭隧道连接了美丽的蓝田县城和“温泉之乡”汤峪，其外形顶部可近似地看成是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，隧道的最高点（抛物线的顶点）离地面的距离为，，，隧道左右两侧底部水平距离为，． (1)求点距地面的高度； (2)在抛物线型隧道内上方需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过，那么两排灯的水平距离最小是多少米？（结果保留根号） 26．（10分）综合实践 问题提出：（1）如图1，为的一条弦，点在弦所对的优弧上，根据圆周角性质，我们知道的度数___________（填“变”或“不变”）；若，度，则___________度；的长度是___________（保留）；即：若线段的长度已知，的大小确定，则点一定在某一个确定的圆上，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型； 问题解决：（2）如图2，某市想要在奥体中心附近新建一个形状为四边形的儿童乐园．按照设计要求，，，与交于点，把乐园分为四个不同的游玩区域，，，现要沿边和设立座椅用作休息区，为使休息区能容纳更多的家长休息，要求与之和尽可能的大，问是否存在最大值，若存在，请求出的最大值，若不存在，请说明理由． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（每题3分，共24分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，相反数的定义， 先根据绝对值的意义求出，再根据符号相反，绝对值相等的数互为相反数求解即可． 【详解】解：，的相反数为：， 故选：B． 2．生活中常见的路障锥通常是圆锥的形状，它的侧面展开图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题考查了立体图形的侧面展开图．熟记常见立体图形的侧面展开图的特征是解决此类问题的关键． 由圆锥的侧面展开图的特征知它的侧面展开图为扇形． 【详解】解：圆锥的侧面展开图是扇形． 故选：D． 3．计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题考查了积的乘方和幂的乘方运算，掌握运算法则是解题的关键． 直接根据积的乘方和幂的乘方运算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 4．如图，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角，根据平行线的性质求出的度数，邻补角求出的度数，三角形的外角求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选：A． 5．实数m对应的点在数轴上的位置如图所示，则不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】实数与数轴、求不等式组的解集 【分析】本题考查了数轴、解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先根据数轴的性质可得，再分别求出两个不等式的解集，然后找出它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：由数轴可得， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 故选：C． 6．已知点和点关于x轴对称，一个正比例函数的图象经过点A，则这个正比例函数的表达式为（） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正比例函数的定义、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查的是待定系数法求正比例函数的解析式，熟知正比例函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．先求得的坐标，然后设该正比例函数的解析式为，再把点的坐标代入求出的值即可． 【详解】解：点和点关于x轴对称， ， 设该正比例函数的解析式为， 正比例函数的图象经过点， ，解得， 这个正比例函数的表达式是． 故选：A． 7．如图，在中，点在上，，，下列四个判断中不正确的是（ ） A．四边形是平行四边形 B．若，则四边形是矩形 C．若且，则四边形是菱形 D．若平分，则四边形是矩形 【答案】D 【知识点】根据三线合一证明、证明四边形是平行四边形、证明四边形是矩形、证明四边形是菱形 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，和正方形的判定定理等知识点．根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一个角是的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四个角都是直角，且四个边都相等的是正方形，逐项分析即可． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形，故A选项正确，不符合题意； B、∵四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形，故B选项正确，不符合题意； C、∵，， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵边形是平行四边形， ∴四边形为菱形，故C正确，不符合题意； D、若平分，则四边形是菱形，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 8．已知二次函数的最大值为25，则将此函数平移后可能得到的函数表达式为：（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、二次函数图象的平移 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，根据函数的最大值求出的值，根据平移后抛物线的开口方向和大小均不变，进行判断即可． 【详解】解：∵有最大值为25， ∴，， 解得：， ∵平移后抛物线的开口方向和大小均不变，即的值不变， ∴将此函数平移后可能得到的函数表达式为：； 故选C． 二、填空题：（每小题3分，共15分.） 9．分解因式： ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解，平方差公式，先提取公因式，然后利用平方差公式即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 10．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种甲烷如图①有4个氢原子，第2种乙烷如图②有6个氢原子，第3种丙烷如图③有8个氢原子，…按照这一规律，第8种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是 ． 【答案】18 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查图形变化的规律，发现规律是关键．根据所给图形，依次求出模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； 第4种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； 第5种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； …， 所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为个， 当时，（个）， 即第8种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为18个． 故答案为：18． 11．如图，四边形内接于，，连接和．若，则的度数是 ． 【答案】 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、圆周角定理 【分析】本题考查了圆周角的性质和同圆中弦和弧的关系，先根据，得出，再得出，求出圆心角的度数，再利用三角形内角和求解即可． 【详解】解：连接, ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12．已知在平面直角坐标系中，点（m、n为常数）在反比例函数为常数，且的图象上，若点、也在该反比例函数的图象上，则与的大小关系是 ． 【答案】 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质．先判断点在第一象限，再根据反比例函数的图象和性质，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴点在第一象限， ∵反比例函数的图象经过点， ∴此函数的图象分别在第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵，且这两点都在第三象限， ∴， 故答案为：． 13．如图，在中，，，是等边三角形，当最大时，的面积为 ．    【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】先作等边，连接，再证明，可得，然后根据三角形三边关系可得，当时，最大，可作出图形，接下来求出等边三角形的边长，即可求出面积． 【详解】解：如图所示，根据题意可知点D在以为直径的半圆上运动，    在的另一侧作等边，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，， 当时，即点F，O，D三点共线时，最大． 如图所示，作，交于点G， ∵， ∴． 在中，，， 即， 解得． 在等边中，，， ∴． 根据勾股定理，得， ∴． 故答案为：． 三、解答题：（本大题13个小题，共81分.） 14．（5分）计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据算术平方根、零指数幂、绝对值的性质计算，再合并即可． 【详解】解： ． 15．（5分）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【知识点】计算单项式乘多项式及求值、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了整式的混合运算与化简求值，先根据完全平方公式与单项式乘以多项式进行计算，然后将代入化简结果进行计算即可求解． 【详解】解： ； 当时，原式． 16．（5分）解方程：． 【答案】 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 根据解分式方程的方法，先方程的两边同时乘，把原方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可． 【详解】解：， 去分母得，， 去括号得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 把代入， ∴是原分式方程的根． 17．（5分）如图，已知，利用尺规作图法在边上求作一点，连接，使得的周长为．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了作垂直平分线以及垂直平分线的性质，根据题意作的垂直平分线交于点，连接，即可求解． 【详解】解：如图所示， 根据作图可得 ∴的周长为 18．（5分）如图，四点在同一直线上，为直线上方两点，连接，，，，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握边角边的方法判定三角形全等是解题的关键． 根据垂直的定义可得，再运用边角边的方法证明，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】证明：∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． 19．（5分）近年来，农村电商为扶贫插上了“互联网+”的翅膀，让农产品通过互联网走出山村，走进千家万户．在丰收的季节，某电商团队用20000元从农户处收购大米、小米共，通过互联网进行销售，其中大米收购价为每千克4元，小米收购价为每千克5元，求这次收购了多少千克小米． 【答案】这次收购了2000千克小米． 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设这次收购了小米，则大米收购了，根据总收购费用为20000元为等量关系列出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：设这次收购了小米，则大米收购了， 根据题意有：， 解得： 答：这次收购了2000千克小米． 20．（6分）从一副扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别是3，4，5，5． (1)将这四张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是5的概率是_____； (2)将这四张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取第二张，请用列表或画树状图的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字之积为奇数的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式求解即可； （2）列表或画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：将这四张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是5的概率是； （2）解：方法一：列表如下： 3 4 5 5 3 - 12 15 15 4 12 - 20 20 5 15 20 - 25 5 15 20 25 - 由表可知，共有12种等可能的结果，其中抽取的这两张牌的牌面数字之积为奇数的情况有6种， 则抽取的这两张牌的牌面数字之积为奇数的概率． 方法二：画树状图如下： 由图可知，共有12种等可能的结果，其中抽取的这两张牌的牌面数字之积为奇数的情况有6种， 则抽取的这两张牌的牌面数字之积为奇数的概率为． 21．（6分）骊山脚下育奇果，临潼石榴甲天下．色泽艳丽，汁多味甜，核软鲜美，每一口都是自然的馈赠！石榴丰收上市期间，某农家根据往年的销售经验，当售价从每千克30元下降了x元时，每天销售量为y千克，每天的售价与销售量之间有如下关系： 每千克售价（元） 30 29 28 27 26 …… 20 每天销售量（千克） 50 55 60 65 70 …… 100 (1)求y与x之间的关系式； (2)如果周六的销售量是85千克，那么这天的售价是每千克多少元？ 【答案】(1) (2)这天的售价是每千克23元 【知识点】求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用（其他问题），求一次函数解析式，求一次函数的自变量，解一元一次方程等知识点，根据表中数据正确得出一次函数解析式是解题的关键． （1）由题意得，售价每下降1元销售量就增加5千克，据此即可得出一次函数解析式； （2）把代入一次函数解析式求得，据此即可求出这天的售价． 【详解】（1）解：由题意得，售价每下降1元销售量就增加5千克， 当售价从每千克30元下降了元时，每天销售量为， 即与之间的关系式为； （2）解：当时，， 解得：， ， 答：如果周六的销售量是千克，那么这天的售价是每千克23元． 22．（6分）如图1所示，西安灞河元朔大桥是世界最宽整体桥面空间索面自锚式悬索桥，其设计理念以“千古一舟”为主题，寓意“舟行古今、跨越时代”．数学实践小组想用所学知识测量元朔大桥中一座桥塔的高度．组员走走设计了如下方案：如图2，点C 是桥面与桥塔的交点，走走在桥面上点D处测得桥塔顶部B的仰角（）为，桥塔底部A 的俯角（）为，走走沿方向退至点E，测得桥塔顶部B的仰角（）为．经测量得米 ，．请帮走走求桥塔的高度． （结果精确到1米，参考数据：，，，，，） 【答案】64米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，在中，，设，则，求出，再得出，得出，进而求出，再根据求出答案． 【详解】解：在中，， 设，则， 又∵， ∴， 在中，，       则， ∴，    解得， 在中，， ∴， ∴， 答：桥塔的高度约为64米． 23．（7分）2024年国家提出推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴后，甲村经济发展进入了快车道．为了解甲村去年下半年经济发展状况，雷莹从该村400户家庭中随机抽取了部分家庭调查其去年下半年的收入情况，整理得到如下不完整的统计表和扇形统计图． 部分家庭收入统计表 部分家庭收入扇形统计图 组别 分组x（万元） 频数（户） 每组平均收入（万元） A 4 7 B 5 8.3 C m 9 D 3 9.5 请根据图表中提供的信息，解答下列问题： (1)表格中 ，雷莹所抽取家庭去年下半年家庭收入的中位数落在 组； (2)求雷莹所抽取家庭去年下半年家庭收入的平均数； (3)试估计去年下半年甲村400户家庭中收入不低于8.5万元的户数． 【答案】(1)8，C (2)8.5万元 (3)220户 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求扇形统计图的某项数目、求加权平均数、求中位数 【分析】本题考查数据的整理与分析，解题的关键是掌握中位数，平均数，部分估计总体等知识，即可． （1）根据扇形统计图，求出C组的占比，根据统计图求出抽样总人数，求出m的值即可；根据中位数的定义，即可； （2）根据加权平均数求解即可； （3）用400乘以家庭收入不低于8.5万元所占百分比求解即可． 【详解】（1）解：∵抽样的总户数为：（户）， C组的占比为：， ∴， ∵抽样的总户数为20户， ∴中位数为：第10户，第11户， ∴中位数落在C组． 故答案为：8，C； （2）解抽取家庭去年下半年家庭收入的平均数为：（万元）． （3）解：估计去年家庭收入不低于8.5万元的户数为：（户） 24．（7分）如图，是的直径，点是上一点，过点作的切线交的延长线于点，过点作于点，交于点，连接并延长，交于点，连接． (1)求证：； (2)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）利用圆周角定理求得，即，再由，即可证明结论成立； （2）由勾股定理求得，再证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴； （2）解：∵是的切线， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定，勾股定理等．证明是解题的关键． 25．（8分）西安市白鹿原影视城旁的将军岭隧道连接了美丽的蓝田县城和“温泉之乡”汤峪，其外形顶部可近似地看成是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，隧道的最高点（抛物线的顶点）离地面的距离为，，，隧道左右两侧底部水平距离为，． (1)求点距地面的高度； (2)在抛物线型隧道内上方需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过，那么两排灯的水平距离最小是多少米？（结果保留根号） 【答案】(1)点距地面的高度为； (2)两排灯的水平距离最小是米． 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出二次函数解析式，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）先确定B点和顶点C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，再令，求得的值，从而得到点距地面的高度； （2）抛物线开口向下，函数值越大，对称点之间的距离越小，于是计算函数值为6所对应的自变量的值即可得到两排灯的水平距离最小值． 【详解】（1）解：根据题意得：，顶点， 设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴该抛物线的函数关系式为， 令，， ∴点距地面的高度为； （2）解：灯离地面的高度不超过， 令，则， 解得，， ， 如果灯离地面的高度不超过，那么两排灯的水平距离最小是米． 26．综合实践 问题提出：（1）如图1，为的一条弦，点在弦所对的优弧上，根据圆周角性质，我们知道的度数___________（填“变”或“不变”）；若，度，则___________度；的长度是___________（保留）；即：若线段的长度已知，的大小确定，则点一定在某一个确定的圆上，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型； 问题解决：（2）如图2，某市想要在奥体中心附近新建一个形状为四边形的儿童乐园．按照设计要求，，，与交于点，把乐园分为四个不同的游玩区域，，，现要沿边和设立座椅用作休息区，为使休息区能容纳更多的家长休息，要求与之和尽可能的大，问是否存在最大值，若存在，请求出的最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）不变；；（2） 【知识点】圆周角定理、求弧长、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据圆周角定理可得的度数不变，度；进而可得是等边三角形，则半径为，根据弧长公式，即可求解； （2）证明，得出，，根据是定值，是定长，进而求得的最大值，过点作交的延长于点，延长至，使得，求得，根据当为过点的圆的直径时，取得最大值，得出，解，即可求解． 【详解】解：（1）如图1，为的一条弦，点在弦所对的优弧上，根据圆周角性质，我们知道的度数不变；若，度，则度； ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∴的长度是； 故答案为：不变；；． （2）解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴是定值，则也是定值， 根据“定弦定角”模型可知，当为圆的直径时，取得最大值， 如图所示，过点作交的延长于点，延长至，使得， 设，则， ∴ 在中， 在中， ∴ ∴当为过点的圆的直径时，取得最大值， 此时，如图所示 ∵为直径， ∴ ∴ ∴ 答：的最大值为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质与判定，勾股定理，求弧长，等边三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$