热点03 一次函数与反比例函数（9大题型+高分技法+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（浙江专用）

热点03 一次函数与反比例函数 中考数学中一次函数与反比例函数部分主要考向分为四类： 一、一次函数与反比例函数的性质（每年1~2道，3~6分） 二、一次函数的应用（每年1道，3~8分） 三、反比例函数的应用（每年1题，3~8分） 四、一次函数与反比例函数的结合问题（每年1~2题，3~13分） 随着浙江中考的改革，一次函数与反比例函数在中考数学中的考察难度有所下降，题目数量占比也有降低，所以具体考点也有所改变。其中，一次函数、反比例函数的图象与性质部分还是多以选择题、填空题的形式出现；而一次函数与反比例函数的应用部分出题则是可大可小，简答题通常重在审题和题意理解，计算难度不大，并且此时通常会考察一次函数与反比例函数的结合问题。基于以上特点，对一次函数与反比例函数的复习，必须完全掌握两个函数的图象性质、应用等基础考点。 考向一：一次函数与反比例函数的图象与性质 【题型1 一次函数的性质】 1、一次函数的图象是经过点和点的一条直线； 2、一次函数的k决定直线的增减性，b决定直线与y轴的交点纵坐标； 3、解决图象上点的坐标特征问题时，牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与之结合的几何图形的性质； 1．（2024•鹿城区校级三模）若直线y＝（2﹣5m）x+b经过（1，y1）和（3，y2），若y1＞y2，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】由x1＜x2时，y1＞y2，可得y随x的增大而减小，进而可得一次项系数2﹣5m＜0，解不等式即可． 【解答】解：∵当x1＜x2时，y1＞y2， ∴2﹣5m＜0， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解题的关键． 2．（2025•浙江一模）若点A（﹣2，y1），B（3，y2），C（1，y3）在一次函数y＝﹣3x+m（m是常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1 【分析】由k＝﹣3＜0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合﹣2＜1＜3，即可得出y1＞y3＞y2． 【解答】解：∵k＝﹣3＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵点A（﹣2，y1），B（3，y2），C（1，y3）在一次函数y＝﹣3x+m（m是常数）的图象上，且﹣2＜1＜3， ∴y1＞y3＞y2． 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键． 3．（2024•泗洪县三模）已知关于x的一次函数为y＝mx+4m+3，那么这个函数的图象一定经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】当x＝﹣4时，可求出y＝3，由此即可得出答案． 【解答】解：当x＝﹣4时，y＝﹣4m+4m+3＝3， 即此一次函数的图象经过定点（﹣4，3）， 因为点（﹣4，3）位于第二象限，所以这个函数的图象一定经过第二象限． 故选：B． 【点评】本查了一次函数的图象，求出一次函数的图象经过定点是解题的关键． 4．（2024•鹿城区一模）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（2，3），（3，m），则下列结论正确的是（　　） A．若k＞0，则m＞0 B．若k＞0，则m＜0 C．若k＜0，则m＞0 D．若k＜0，则m＜0 【分析】根据一次函数的性质，可得答案． 【解答】解：当k＞0时，y随x的增大而增大， .∴m＞3＞0， 当k＜0时，y随x的增大而减小， ∴m＜3，无法确定与0的大小关系． 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数的性质，利用一次函数的性质是解题关键． 5．（2024•拱墅区二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b（a≠0）与y2＝mx+n（m≠0）的图象如图所示，则（　　） A．当x＞2时，y1＜y2 B．当x＜0时，y1＞3，y2＜3 C．b﹣n＝2（m﹣a） D．关于x，y的方程组的解为 【分析】根据一次函数与方程、不等式的关系求解． 【解答】解：A、由图象得：当x＞2时，y1＞y2，故A不符合题意； B、由图象得：当x＜0时，y1＜3，y2＞3，故B不符合题意； C、由图象得：当x﹣2时，y1＝y2，即2a+b＝2m+n， ∴b﹣n＝2（m﹣a），故C是符合题意； D、由图象得：关于x，y的方程组的解为，故D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数与方程、不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键． 【题型2 反比例函数的性质】 在说反比例函数的增减性之前，必须带上自变量的取值范围，不然就是错的；所以在应用反比例函数的性质比较坐标轴的大小时，也要注意所比较的点是否在双曲线的同一支上； 1．（2024•浙江）反比例函数的图象上有P（t，y1），Q（t+4，y2）两点．下列正确的选项是（　　） A．当t＜﹣4时，y2＜y1＜0 B．当﹣4＜t＜0时，y2＜y1＜0 C．当﹣4＜t＜0时，0＜y1＜y2 D．当t＞0时，0＜y1＜y2 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再对各选项进行逐一判断即可． 【解答】解：∵反比例函数中，k＝4＞0， ∴此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小， A、当t＜﹣4时，t+4＜0， ∵t＜t+4， ∴y2＜y1＜0，正确，符合题意； B、当﹣4＜t＜0时，点P（t，y1）在第三象限，点Q（t+4，y2）在第一象限， ∴y1＜0，y2＞0， ∴y1＜0＜y2，原结论错误，不符合题意； C、由B知，当﹣4＜t＜0时，y1＜0＜y2，原结论错误，不符合题意； D、当t＞0时，t+4＞0， ∴P（t，y1），Q（t+4，y2）在第一象限， ∵t＜t+4， ∴y1＞y2＞0，原结论错误，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 2．（2024•浙江模拟）已知反比例函数，对于一个正数m，当自变量x满足m≤x≤2m时，函数y的最大值为a，则当﹣2m≤x≤﹣m时，函数y有（　　） A．最大值﹣2a B．最小值﹣2a C．最大值﹣a D．最小值 【分析】根据反比例函数的性质，可知图象在第二、四象限，每个象限内，y随x的增大而增大，再根据对于一个正数m，当自变量x满足m≤x≤2m时，函数y的最大值为a，求出解析式为y，再根据反比例函数的性质即可得出答案． 【解答】解：∵反比例函数， ∴图象在第二、四象限，每个象限内，y随x的增大而增大， ∵对于一个正数m，当自变量x满足m≤x≤2m时，函数y的最大值为a， ∴a， ∴k＝2ma， ∴y， ∴当﹣2m≤x≤﹣m时， 当x＝﹣2m时，函数y有最小值a， 当x＝﹣m时，函数y有最大值2a． 故选：A． 【点评】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是关键． 3．（2025•鹿城区校级一模）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数的图象上，下列说法正确的是（　　） A．若x1+x2＜0，则y1•y2＜0 B．若x1+x2＞0，则y1•y2＞0 C．若y1•y2＜0，则x1•x2＜0 D．若y1•y2＞0，则x1•x2＜0 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【解答】解：∵反比例函数的常量k＜0， ∴反比例函数的图象分布在第二、四象限， ∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数图象上， ∴x1y1＜0，x2y2＜0， A、若x1+x2＜0，则y1•y2＞0或y1•y2＜0，选项错误，不符合题意； B、若x1+x2＞0，则y1•y2＞0或y1•y2＜0，选项错误，不符合题意； C、若y1•y2＜0，则x1•x2＜0，选项正确，符合题意； D、若y1•y2＞0，则x1•x2＞0，选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的增减性是关键． 4．（2025•洞头区模拟）已知A（x1，t），B（x2，t+1）两点在反比例函数的图象上，下列判断正确的是（　　） A．当t＞0时，0＜x2＜x1 B．当﹣1＜t＜0时，x1＜x2＜0 C．当﹣1＜t＜0时，0＜x2＜x1 D．当t＜﹣1时，x1＜x2＜0 【分析】由反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质判断即可． 【解答】解：∵k＝2＞0， ∴反比例函数的图象在第一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小， 当t＞0时，A（x1，t），B（x2，t+1）在第一象限，则0＜x2＜x1，故A正确； 当﹣1＜t＜0时，A（x1，t）在第三象限，B（x2，t+1）在第一象限，则x1＜0＜x2，故B、C错误； 当t＜﹣1时，A（x1，t），B（x2，t+1）在第三象限，则x2＜x1＜0，故D错误． 故选：A． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 5．（2024•江北区一模）已知点P（4t，m），Q（t2+5，n）都在反比例函数的图象上，则下列结论中一定正确的是（　　） A．m+n＞0 B．m+n＜0 C．|m|＞n D．|m|＜n 【分析】比较出点P和点Q横坐标的大小，得出m和n的大小；再根据反比例函数，判断出m和n之间的大小关系． 【解答】解：t2+5﹣4t＝t2﹣4t+4﹣4+5＝（t﹣2）2+1， ∵（t﹣2）2+1≥0， ∴t2+5＞4t． 又∵反比例函数k＞0，函数值y随x的值增大而减小， ∴m＞n． 当点P和点Q在第一象限时， m＞0，n＞0，m＞n， 即|m|＞n， 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据函数的增减性和绝对值运算来解答． 【题型3 两函数的新定义问题】 函数的新定义问题，重点在于对“新定义”的理解，而给出的“新定义”就是函数的性质，另外，结合的是哪个函数，也要同步联系对应函数的性质。 1．（2024•镇海区校级四模）现定义一种新的距离：对于平面直角坐标系内的点P（a，b）、Q（c，d），将|a﹣c|+|b﹣d|称作P、Q两点间的“拐距”，记作G（P，Q），即G（P，Q）＝|a﹣c|+|b﹣d|．已知点A（0，5），动点B在直线y＝x+1上，横坐标为m．当G（A，B）取得最小值时，m应满足的条件是（　　） A．m＝0 B．0＜m＜4 C．0≤m≤4 D．m＝4 【分析】由点B的横坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点B的坐标为（m，m+1），结合点A的坐标，可得出G（A，B）＝|m|+|4﹣m|，分m＜0，0≤m≤4及m＞4三种情况，可找出G（A，B）的取值范围或G（A，B）的值，进而可得出当G（A，B）取得最小值时m的取值范围． 【解答】解：∵动点B在直线y＝x+1上，横坐标为m， ∴点B的坐标为（m，m+1）， ∵点A的坐标为（0，5）， ∴G（A，B）＝|0﹣m|+|5﹣（m+1）|＝|m|+|4﹣m|． 当m＜0时，G（A，B）＝﹣m+4﹣m＝4﹣2m＞4； 当0≤m≤4时，G（A，B）＝m+4﹣m＝4； 当m＞4时，G（A，B）＝m+m﹣4＝2m﹣4＞4， ∴当G（A，B）取得最小值时，m应满足的条件是0≤m≤4． 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及绝对值，找出G（A，B）取最小值时m的取值范围是解题的关键． 2．（2024•下城区校级模拟）小涵同学类比研究一次函数性质的方法，探索出函数y＝2|x|﹣4的四条性质，其中错误的是（　　） A．当x＝0时，y具有最小值为﹣4 B．如果y＝2|x|﹣4的图象与直线y＝k有两个交点，则k＞﹣4 C．当﹣4＜x＜0时，y＜0 D．y＝2|x|﹣4的图象与x轴围成的几何图形的面积是8 【分析】A．分x≥0及x≤0两种情况，利用一次函数的性质，可得出当x＝0时，y取得最小值，最小值为﹣4； B．代入y＝0，求出x的值，画出函数图象，观察图形，可得出k＞﹣4； C．观察函数图象，可得出当﹣2＜x＜2时，y＜0； D．利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出y＝2|x|﹣4的图象与x轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式，即可求出y＝2|x|﹣4的图象与x轴围成的几何图形的面积． 【解答】解：A．当x≥0时，原函数为y＝2x﹣4， ∵k＝2＞0， ∴y随x的增大而增大， ∴当x＝0时，y取得最小值，最小值为﹣4； 当x≤0时，原函数为y＝﹣2x﹣4， ∵k＝﹣2＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴当x＝0时，y取得最小值，最小值为﹣4，选项A不符合题意； B．当y＝0时，2|x|﹣4＝0， 解得：x＝﹣2或x＝2， 描点、连线，画出函数图象，如图所示． ∵y＝2|x|﹣4的图象与直线y＝k有两个交点， ∴k＞﹣4，选项B不符合题意； C．观察函数图象，可知：当﹣2＜x＜2时，y＜0，选项C符合题意； D．当y＝0时，2|x|﹣4＝0， 解得：x＝﹣2或x＝2， ∴y＝2|x|﹣4的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（2，0）， ∴y＝2|x|﹣4的图象与x轴围成的几何图形的面积|2﹣（﹣2）|×|﹣4|＝8，选项D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质、三角形的面积以及一次函数的图象，逐一分析四个选项的正误是解题的关键． 3．（2024•西湖区校级二模）某小组在研究了函数y1＝x与性质的基础上，进一步探究函数y＝y1﹣y2的性质，以下几个结论： ①函数y＝y1﹣y2的图象与x轴有交点； ②函数y＝y1﹣y2的图象与y轴没有交点； ③若点（a，b）在函数y＝y1﹣y2的图象上，则点（﹣a，﹣b）也在函数y＝y1﹣y2的图象上． 以上结论正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】根据x轴、y轴上点的坐标特征判断①②，根据图象上点的纵横坐标的关系判断③即可． 【解答】解：∵y1＝x，， ∴y＝y1﹣y2＝x， ①当y＝0时，x0，解得x，故图象与x轴有交点；①正确； ②当x＝0时，分式无意义，故图象与y轴没有交点；②正确； ③当点（a，b）在函数y＝y1﹣y2的图象上，则b＝a，当x＝﹣a时，﹣b＝﹣a（a），即b＝a，故③正确， 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数与正比例函数的性质，熟练掌握图象上点的坐标特征是关键． 4．（2025•镇海区校级模拟）小明在研究函数特性时，给出了这样的定义：对于函数图象上的点P（x，y），若|x|≤1且|y|≤1，则称点P为该函数的“轴近点”．已知一次函数y＝kx﹣3k（k为常数）的图象上存在“轴近点”，则k的取值范围　且k≠0　． 【分析】由题意可得平面内“轴近点”点P（x，y）所在的区域为以原点（0，0）为中心、边长为2的正方形内部（含边界），从而可确定当一次函数图象过点A或点B时，为k取值的临界点，进而可得k的取值范围． 【解答】解：由题意可得平面内“轴近点”点P（x，y）所在的区域为以原点（0，0）为中心、边长为2的正方形内部（含边界）， 如图1所示， 观察图1可知A（1，1），B（1，﹣1），一次函数y＝kx﹣3k（k为常数）过定点（3，0）， 当y＝kx﹣3k过点A时，可得1＝﹣2k，解得k； 当y＝kx﹣3k过点B时，可得﹣1＝﹣2k，解得k， 综上可得k的取值范围为：且k≠0， 故答案为：且k≠0． 【点评】本题考查了一次函数的性质，准确理解新定义并找出k值临界点是解题关键． 【题型4 一次函数与反比例函数与方程、不等式的关系】 1、求两函数的交点，就是在求两个函数解析式联立所得方程（组）的交点； 2、由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：①根据图象找出交点横坐标，②不等式中不等号开口朝向的一方，图象在上方，对应交点的左边或右边符合，则x取对应一边的范围。 1．（2024•诸暨市模拟）根据图象，可得关于x的不等式k2x+kb＞﹣kx+3k的解集是（　　） A．x＜2 B．x＞2 C．x＜1 D．x＞1 【分析】根据函数图象，可以得到k＜0，从而可以将不等式k2x+kb＞﹣kx+3k可以化简为kx+b＜﹣x+3，将y＝2代入y＝﹣x+3求出x的值，再结合图象，即可得到不等式k2x+kb＞﹣kx+3k的解集． 【解答】解：由图象可得， 函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限， ∴k＜0， ∴不等式k2x+kb＞﹣kx+3k可以化简为kx+b＜﹣x+3， 将y＝2代入y＝﹣x+3，得x＝1， 由图象可得，kx+b＜﹣x+3的解集是x＜1， 故选：C． 【点评】本题考查一次函数和一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 2．（2024•瓯海区模拟）如图，直线y1＝kx+b过点A（0，3），且与直线y2＝mx交于点P（1，m），则不等式mx＞kx+b＞mx﹣3的解集是 　1＜x＜2　． 【分析】由于一次函数y1同时经过A、P两点，可将它们的坐标分别代入y1的解析式中，即可求得k、b与m的关系，将其代入所求不等式组中，即可求得不等式的解集． 【解答】解：由于直线y1＝kx+b过点A（0，3），P（1，m）， 则有：， 解得． ∴直线y1＝（m﹣3）x+3． 故所求不等式组可化为：mx＞（m﹣3）x+3＞mx﹣3， 解得：1＜x＜2． 故答案为：1＜x＜2． 【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，解决此题的关键是确定k、b与m的关系，从而通过解不等式组得到其解集． 3．（2024•温州模拟）已知一次函数y1＝k1x+1与y2是常数，且k1≠0，k2≠0）的图象如图所示，它们的两个交点坐标分别是（1，2），（﹣2，﹣1），则分式方程k1x+1的解是x1＝　1　；x2＝　﹣2　． 【分析】根据反比例函数与一次函数的就的坐标特征解答本题即可． 【解答】解：∵两个函数图象的两个交点坐标分别是（1，2），（﹣2，﹣1）， ∴x1＝1，x2＝﹣2， 故答案为：1，﹣2． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． 4．（2024•台州模拟）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣2，3），B（m，﹣2），则不等式的解是（　　） A．x＜﹣2或0＜x＜3 B．﹣2＜x＜0或x＞3 C．﹣2＜x＜0或x＜3 D．﹣3＜x＜0或x＞3 【分析】依据题意，首先求出B点的横坐标，再直观得出一次函数值大于反比例函数值时自变量的取值范围，即为不等式的解集． 【解答】解：∵A（﹣2，3）在反比例函数上， ∴k＝﹣6． 又B（m，﹣2）在反比例函数上， ∴m＝3． ∴B（3，﹣2）． 结合图象， ∴当ax+b时，x＜﹣2或0＜x＜3． 故选：A． 【点评】本题主要考查反比例函数、一次函数的图象和性质，通过图象直接得出一次函数的值大于反比例函数值时自变量x的取值范围． 5．（2024•仙居县三模）如图，反比例函数y1与一次函数y2＝k（x﹣3）+2（k是常数，k＞0）的图象交于A，B两点，当y2＞y1＞0时，x的取值范围是 　x＞3　． 【分析】先解方程组，求出A，B坐标，再结合图象得出结论． 【解答】解：联立方程组， 整理得：kx2﹣（3k﹣2）x﹣6＝0， 解得x1＝3，x2， ∴A（3，2），B（，﹣3k）， ∴y2＞y1＞0时，x的取值范围是x＞3， 故答案为：x＞3． 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，关键是直线与双曲线的交点A，B坐标． 考向二：一次函数的应用 【题型5 一次函数应用之行程类问题】 1、行程问题中，一次函数中|k|通常对应行程问题中的速度； 2、准确理解函数图象中出现的起点、拐点、终点的意义； 1．（2024•浙江）小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼．小明先跑，10分钟后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次．跑步机上C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分．小明与小丽的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程s（米）与小明跑步时间t（分）的函数关系如图所示． 时间 里程分段 速度档 跑步里程 小明 16：00～16：50 不分段 A档 4000米 小丽 16：10～16：50 第一段 B档 1800米 第一次休息 第二段 B档 1200米 第二次休息 第三段 C档 1600米 （1）求A，B，C各档速度（单位：米/分）； （2）求小丽两次休息时间的总和（单位：分）； （3）小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，求a的值． 【分析】（1）由小明的跑步里程及时间可得A档速度，再根据B档比A档快40米/分、C档比B档快40米/分，即可得出答案； （2）结合图象求出小丽每段跑步所用时间，再根据总时间即可求解； （3）由题意可得，此时小丽在跑第三段，所跑时间为a﹣10﹣15﹣10﹣5＝a﹣40（分），可得方程80a＝3000+160（a﹣40），求解即可． 【解答】解：（1）由题意可知，A档速度为4000÷50＝80（米/分）， 则B档速度为80+40＝120（米/分）， C档速度为120+40＝160（米/分）， 答：A，B，C各档速度80米/分、120米/分、160米/分． （2）小丽第一段跑步时间为1800÷120＝15（分）， 小丽第二段跑步时间为（3000﹣1800）÷120＝10（分）， 小丽第三段跑步时间为（4600﹣3000）÷160＝10（分）， 则小丽两次休息时间的总和为50﹣10﹣15﹣10﹣10＝5（分）， 答：小丽两次休息时间的总和为5分钟． （3）∵小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等， ∴此时小丽在跑第三段，所跑时间为a﹣10﹣15﹣10﹣5＝a﹣40（分）， ∴80a＝3000+160（a﹣40）， ∴a＝42.5． 【点评】本题主要考查一次函数的应用，读懂图中的数据是解题的关键． 2．（2025•鹿城区校级一模）如图反映的是小温、小州两人从学校出发到瓯华站乘车的过程．两人同时从学校步行出发，小温在途中发现有物品遗漏，于是立刻以同样的速度返回学校拿取，在学校停留2分钟后乘出租车赶往瓯华站，结果比小州早3分钟到达瓯华站． （1）求两人步行的速度； （2）求出图中出租车行驶时路程S与时间t的函数解析式； （3）求学校到瓯华站的路程． 【分析】（1）根据速度＝路程÷时间计算即可； （2）利用待定系数法解答即可； （3）设两人出发m分钟时小温到达瓯华站，则两人出发（m+3）分钟时小州到达瓯华站，根据两人分别到达终点时的路程相等列关于m的方程并求解，将m的值作为t的值代入S与t的函数关系式，求出对应S的值即可． 【解答】解：（1）325×2÷10＝65（米/分钟）． 答：两人步行的速度是65米/分钟． （2）10+2＝12（分钟）， 16×65＝1040（米）． 设S与t的函数解析式为S＝kt+b（k、b为常数，且k0）， 将坐标（12，0）和（16，1040）分别代入S＝kt+b， 得， 解得， ∴S与t的函数解析式为S＝260t﹣3120． （3）设两人出发m分钟时小温到达瓯华站，则两人出发（m+3）分钟时小州到达瓯华站． 260m﹣3120＝65（m+3）， 解得m＝17， 当m＝17时，S＝260×17﹣3120＝1300． 答：学校到瓯华站的路程是1300米． 【点评】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的关系及待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． 3．（2024•西湖区校级二模）甲骑电动车，乙骑自行车从深圳湾公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为x（h），甲、乙两人距出发点的路程S甲、S乙关于x的函数图象如图①所示，甲、乙两人之间的路程差y关于x的函数图象如图②所示，请你解决以下问题： （1）甲的速度是 　25　km/h，乙的速度是 　10　km/h； （2）对比图①、图②可知：a＝ 　10　，b＝ 　1.5　； （3）乙出发多少时间，甲、乙两人路程差为7.5km？ 【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得甲乙的速度； （2）根据题意和图象中的数据，可以分别得到a、b的值； （3）由图象可知甲乙相距7.5km有两种情况，然后分别计算两种情况下乙出发的时间即可解答本题． 【解答】解：（1）由图可得， 甲的速度为：25÷（1.5﹣0.5）＝25÷1＝25（km/h），乙的速度为：25÷2.5＝10（km/h）， 故答案为：25，10； （2）由图可得， a＝25×（1.5﹣0.5）﹣10×1.5＝10， b＝1.5， 故答案为：10；1.5； （3）由题意可得， 前0.5h，乙行驶的路程为：10×0.5＝5＜7.5， 则甲、乙两人路程差为7.5km是在甲乙相遇之后， 设乙出发xh时，甲、乙两人路程差为7.5km， 25（x﹣0.5）﹣10x＝7.5， 解得，x， 25﹣10x＝7.5，得x； 即乙出发或时，甲、乙两人路程差为7.5km． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 【题型6 一次函数应用的其他问题】 1、销售类应用常用等量关系：总利润=单件利润×数量； 2、销售类应用题常利用函数的增减性得到最大利润； 3、与其他几何图形结合的问题，注意结合对应几何图形的性质； 1．（2024•拱墅区校级模拟）设一次函数y＝ax+3a+1（a是常数，a≠0）． （1）无论a取何值，该一次函数图象始终过一个定点，直接写出这个定点坐标： （2）若2≤x≤4时，该一次函数的最大值是6，求a的值； 【分析】（1）把原式化为y＝ax+3a+1＝（x+3）a+1的形式，令x+3＝0，求出y的对应值即可； （2）分a＞0和a＜0两种情况进行讨论即可． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝ax+3a+1＝（x+3）a+1， 当x＝﹣3时，y＝1， ∴无论a取何值，该一次函数图象始终过定点（﹣3，1）； （2）当a＞0时，此函数是增函数，当x＝4时，最大值为6， 当x＝4时，一次函数y1＝4a+3a+1＝6， 解得， 当a＜0时，此函数是，减函数，当x＝2时，最大值为6 当x＝2时，一次函数y1＝2a+3a+1＝6， 解得a＝1（不合题意，舍去）， 综上所述，． 【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系及一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的增减性与系数的关系是解题的关键． 2．（2024•富阳区一模）食堂午餐高峰期间，同学们往往需要排队等候购餐．经调查发现，每天开餐时，约有400人排队，接下来，不断有新的同学进入食堂排队，队列中的同学买到饭后会离开队列．食堂目前开放了4个售餐窗口（规定每人购餐1份），每分钟每个窗口能出售午餐15份，前a分钟每分钟有40人进入食堂排队购餐．每一天食堂排队等候购餐的人数y（人）与开餐时间x（分钟）的关系如图所示， （1）求a的值． （2）求开餐到第7分钟时食堂排队购餐等候的人数． （3）若要在开始售餐7分钟内让所有的排队的学生都能买到，以便后来到同学随到随购，至少需要同时开放几个窗口？ 【分析】（1）a分钟新增40a人，由图象可得400+40a﹣15×4a＝320，据此可得答案； （2）运用待定系数法求直线BC的解析式，再把x＝7代入计算即可； （3）根据题意列不等式求解． 【解答】解：（1）根据“等候购餐的人数＝开餐时排队人数+前a分钟新增排队人数﹣购餐后离开的人数”，得400+40a﹣15×4a＝320， 解得a＝4， ∴a的值是4． （2）当4≤x≤10时，设排队等候购餐的人数y与开餐时间x的关系为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）． 将坐标B（4，320）和C（10，0）代入y＝kx+b， 得， 解得， ∴yx（4≤x≤10）． 当x＝7时，y7160， ∴开餐到第7分钟时食堂排队购餐等候160人； （3）设同时开放x个窗口，则7×15x≥400+4×40+[60×6﹣320]，解得x≥5， 所以至少需同时开放6个售票窗口． 【点评】本题考查了一次函数的应用：建立一次函数函数模型，应用一次函数的性质解决问题． 3．（2025•镇海区校级模拟）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，点C的坐标为（1，0）． （1）求直线BC的函数表达式． （2）点D是x轴上一动点，连接BD、CD，当△BCD的面积是△AOB面积的时，求点D的坐标． （3）点E坐标为（0，﹣2），连接CE，点P为直线AB上一点，若∠CEP＝45°，求点P坐标． 【分析】（1）解方程得到B（0，4），设直线BC的函数表达式为y＝kx+b，解方程组得到直线BC的函数表达式为y＝﹣4x+4； （2）解方程得到A（2，0），求得OA＝2，设D（m，0），则CD＝|m﹣1|，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； （3）过C作CH⊥EP于H，过H作KT∥y轴，过C作CK⊥KT于K，过E作ET⊥KT于T，设H（p，q），当P在EC下方时，当P在EC上方时，根据等腰直角三角形的性质得到∠CHE＝90°，EH＝CH，根据全等三角形的性质得到ET＝HK＝p，HT＝CK＝q﹣1，解方程即可得到结论． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣2x+4＝4， ∴B（0，4）， 设直线BC的函数表达式为y＝kx+b， ∵C的坐标为（1，0）， ∴， ∴， ∴直线BC的函数表达式为y＝﹣4x+4； （2）当y＝﹣2x+4＝0， ∴x＝2， ∴A（2，0）， ∴OA＝2， 设D（m，0），则CD＝|m﹣1|， ∵△BCD的面积＝△AOB面积的， ∴CD•BOOA•BO，|m﹣1|2＝3， 解得m＝﹣2或m＝4， ∴点D的坐标为（﹣2，0）或（4，0）； （3）过C作CH⊥EP于H，过H作KT∥y轴，过C作CK⊥KT于K，过E作ET⊥KT于T，设H（p，q）， 当P在EC下方时，如图： ∵∠CEP＝45°，CH⊥EP， ∴△CEH是等腰直角三角形， ∴∠CHE＝90°，EH＝CH， ∴∠EHT＝90°﹣∠CHK＝∠HCK， ∵∠T＝∠K＝90°， ∴△EHT≌△HCK（AAS）， ∴ET＝HK＝p，HT＝CK＝q﹣1， ∴， 解得p，q， ∴H（，）， 由H（，），E（0，﹣2）得直线EP解析式为yx﹣2， 解得， ∴P（，）； 当P在EC上方时，如图： 同理可得△EHT≌△HCK（AAS）， ∴ET＝HK，HT＝CK， ∴1﹣p＝2+q，p＝q， 解得pq， ∴H（﹣，）， ∴直线EP解析式为y＝﹣3x﹣2， 联立， 解得， ∴P（﹣6，16）； 综上所述，P的坐标为（，）或（﹣6，16）． 【点评】本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键． 4．（2024•温州模拟）为了了解某款饮水机的工作原理与用电情况，家电学习小组展开了以下研究． 材料1 材料2 材料3 如图1某饮水机内有两个不同大小的方形水箱，两水箱各配有一条智能水管，当甲箱至最低水位10cm时1号管启动，将乙箱中的水匀速注入甲箱 甲乙两箱的水位相同时，此时2号管启动，将外部自来水匀速注入乙箱（两管的注水速度相同，水箱注满后其对应的水管停止工作，期间饮水机不对外出水）．甲乙水箱水位h（cm）关于t的函数关系如图2所示． 为节约能源，设定当两水箱的水位差不超过20cm时甲水箱启动加热，加热时每分钟耗电0.03度，另外每根水管工作1分钟耗电0.01度 问题解决 任务1 确定容器信息：求出图2中a的值与甲乙两容器底面积之比． 任务2 探究函数表达式：求出8分钟以后乙容器高度h（cm）关于时间t（分钟）的函数表达式 任务3 计算用电量：求出整个过程中所消耗的电量． 【分析】任务1：先根据函数图象求出甲水箱的注水时水面上升的速度为10cm/min，由此即可求出2分钟时甲水箱水面的高度，即a的值；设甲容器的底面积为S1，乙容器的底面积为S2，根据乙水箱向甲水箱注水的过程中两个水箱中的水的总体积不发生，可得90S2+10S1＝30（S1+S2），则S1＝3S2，据此可得答案； 任务2：先求出乙水箱向甲水箱注水时水面下降的速度为30cm/min，则当甲水箱水满后，外部继续向乙水箱注水时，乙水箱水面上升的速度为30cm/min，据此可得答案； 任务3：0≤t≤2时是1号管单独工作，2＜t≤8时是1号管和2号管同时工作，8＜t≤10时是2号管单独工作，据此求出两根水管工作的总时间；再分别求出当0≤t≤2时，当2＜t≤8时，当8＜t≤10时，三个时间段内加热的时间，进而求出加热的总时间，再根据加热每分钟耗电 0.03度，每根水管工作1分钟耗电0.01分钟求出总耗电量即可． 【解答】解：任务1：由函数图象可知，甲水箱的注水时水面上升的速度为10（cm）， ∴甲水箱注水2分钟后甲水箱的水位高度为10+2×10＝30（cm）， ∴a＝30； 设甲容器的底面积为S1，乙容器的底面积为S2， 由于乙水箱向甲水箱注水的过程中两个水箱中的水的总体积不发生， ∴90S2+10S1＝30（S1+S2）， ∴S1＝3S2， ∴甲乙两容器底面积之比为3：1； 任务2：由任务1可知，乙水箱向甲水箱注水时水面下降的速度为， ∵两管的注水速度相同， ∴当甲水箱水满后，外部继续向乙水箱注水时，乙水箱水面上升的速度为30（cm/min）， ∴8分钟以后乙容器高度h（cm）关于时间t（分钟）的函数表达式h＝30+30（t﹣8）＝30t﹣210（8＜t≤10）； 任务3：由函数图象可知，0≤t≤2时是1号管单独工作，2＜t≤8时是1号管和2号管同时工作，8＜t≤10时是2号管单独工作， ∴两根水管在整个过程中一共工作2+2×（8﹣2）+2＝16（分钟）； 当0≤t≤2时，当两水箱的水位差刚好是20cm时，则10+10t+20＝90﹣30t， 解得t＝1.5， 当0≤t≤2时，加热时间为2﹣1.5＝0.5（分钟）； 当2＜t≤8时，当两水箱的水位差刚好是20cm时，则10+10t＝30+20， 解得t＝4， 当2＜t≤8时，加热时间为4﹣2＝2（分钟）； 当8＜t≤10时，当两水箱的水位差刚好是20cm时，则30t﹣210＝90﹣20， 解得， 当8＜t≤10时，加热时间为10（分钟）； ∴加热的总时间为（分钟）， ∴整个过程中所消耗的电量为0.255（度）． 【点评】本题主要考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的应用，列函数关系式，关键是根据题意找到等量关系式． 5．（2024•普陀区二模）某跨海大桥东西走向，双向四条车道，在旅游旺季经常拥堵，交警部门为了缓解交通压力，他们对该路段的汽车流量（辆/分钟）和时间进行了统计和分析，得到以下表格，发现时间和汽车流量的变化规律符合一次函数的特征． 时间x 8时 11时 14时 17时 20时 y1自东向西交通量（辆/分钟） 200 320 440 560 680 y2自西向东交通量（辆/分钟） 500 440 380 320 260 （1）请用一次函数分别表示y1与x、y2与x之间的函数关系． （2）如图，交警希望启用“潮汐式”通行方式来缓解交通压力，根据汽车流量情况改变车道的行车方向：大流量方向的汽车可在该路段借用相邻的对向机动车道通行，对向机动车道实行双向通行．单位时间内交通总量为y总＝y1+y2，车流量大的方向交通量为ym，经查阅资料得：当，需要使用“湖汐式”通行方式以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置“潮汐式”通行方式以缓解交通拥堵（在何时间段借用何方向机动车道通行），并说明理由． 【分析】（1）设y1＝k1x+b1，y2＝k2x+b2，将符合题意的点的坐标代入，利用待定系数法求解即可； （2）根据y总＝y1+y2，求出y总关于x的函数关系式，分y1y总时和y2y总时两种情况讨论，求出对应x的取值范围即可． 【解答】解：（1）设y1＝k1x+b1（k1、b1为常数，且k1≠0）， 将x＝8，y1＝200和x＝11，y1＝320代入y1＝k1x+b1得： ， 解得：， ∴y1＝40x﹣120； 设y2＝k2x+b2（k2、b2为常数，且k2≠0）， 将x＝8，y2＝500和x＝11，y2＝440代入y2＝k2x+b2得： ， 解得：， ∴y2＝﹣20x+660； （2）y总＝y1+y2＝40x﹣120﹣20x+660＝20x+540， 当y1y总时，即：40x﹣120（20x+540）， 解得：x≥18， 当y2y总时，即：﹣20x+660（20x+540）， 解得：x≤9， ∴8时到9时，可变车道的方向设置为自东向西；18时到20时，可变车道的方向设置为自西向东． 【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求函数表达式是解题的关键． 考向三：反比例函数的应用 【题型7 反比例函数的应用】 因为反比例函数的比例关系和物理中的几个公式一样，所以在出反比例函数的应用时，常和物理中的这几个公式结合，题型主要有：①根据题意求解析式、②根据图象求对应点的坐标等； 1．（2024•龙湾区二模）图1是某电路图，滑动变阻器为R，电源电压为U，电功率为，P关于R的函数图象如图2所示．小温同学通过两次调节电阻，发现当R从10Ω增加到20Ω时，电功率P减少了20w，则当R＝15Ω时，P的值为 　　w． 【分析】根据反比例函数的图象的性质结合题意可得方程10P＝20（P﹣20），据此可得P的值，进而得出U2的值，再把R＝15Ω代入函数关系式解答即可． 【解答】解：根据题意得：10P＝20（P﹣20）， 解得P＝40， ∴U2＝10×40＝400， ∴P， 当R＝15Ω时，P， 即当R＝15Ω时，P的值为w． 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，正确求出P与R的函数关系式是解答本题的关键． 2．（2024•拱墅区二模）小丽家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题： （1）当0≤x≤10时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式； （2）求图中t的值； （3）若小丽在通电开机后即外出散步，请你预测小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？ 【分析】（1）利用待定系数法代入函数解析式求出即可； （2）首先求出反比例函数解析式进而得出t的值； （3）利用已知由x＝20代入求出饮水机内的水的温度即可． 【解答】解：（1）当0≤x≤10时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系为：y＝kx+b， 依据题意，得， 解得：， ∴此函数解析式为：y＝8x+20； （2）当10≤x≤t，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为：y， 依据题意，得：100， 即m＝1000， 故y， 当y＝20时，20， 解得：t＝50； （3）∵70﹣50＝20＞10， ∴当x＝20时，y50， 答：小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的水的温度约为50℃． 【点评】此题主要考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键． 3．（2024•金华模拟）建筑是一门不断演化和创新的艺术，近年来，一种名为双曲铝单板的新兴材料以其独特的曲线和光泽，为建筑注入了新的时尚元素，同时也赋予了建筑更多的创意和流动性．图1为某厂家设计制造的双曲铝单板建筑，其横截面（图2）由两条曲线EG，FH（反比例函数图象的一部分）和若干线段围成，为轴对称图形，其中四边形ABDC与四边形GMNH均为矩形，AB＝2m，BE＝2m，AC＝20m，GM＝10m，MN＝4m，以AC的中点O为原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系． 请回答下列问题： （1）如图2，求EG所在图象的函数表达式． （2）如图3，为在曲面实现自动化操作，工程师安装了支架EG，并加装了始终垂直于EG的伸缩机械臂PQ用来雕刻EG所在曲面的花纹，请问点P在EG上滑动过程中，PQ最长为多少米？ 【分析】（1）根据已知条件得到E（﹣8，﹣2），设EG所在双曲线的表达式为y，将点E坐标（﹣8，﹣2）代入表达式中，即可得到结论； （2）根据点E与点G坐标分别为（﹣8，﹣2），（﹣2，﹣8），设EG所在直线解析式y＝k1x+b1，求得EG所在直线解析式为y＝﹣x﹣10，根据反比例函数图象轴对称的性质，曲线EG关于直线y＝x对称，解方程组即可得到结论 【解答】解：（1）∵AC＝20m，AB＝2m，BE＝2m，O为AC中点，AO＝10m， ∴E（﹣8，﹣2）， 设EG所在双曲线的表达式为y， 将点E坐标（﹣8，﹣2）代入表达式中， 得：﹣2， 解得k＝16， ∴双曲线的表达式为； （2）如图：点E与点G坐标分别为（﹣8，﹣2），（﹣2，﹣8）， 设EG所在直线解析式y＝k1x+b1， 将E、G两点坐标代入得， 解得k＝﹣1，b＝﹣10， ∴EG所在直线解析式为y＝﹣x﹣10， 根据反比例函数图象轴对称的性质，曲线EG关于直线y＝x对称， ∴， 解得x＝y＝﹣5， ∴P（﹣5，﹣5）， 解，得x＝y＝﹣4， ∴Q（﹣4，﹣4）； ∴PQ的最大值为． 【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的解析式，轴对称的性质，勾股定理，正确地求出函数的解析式是解题的关键． 4．（2024•温州三模）杠杆原理在生活中应用广泛，我国早在春秋时期就有使用，相传商人范盐观农夫从井中取水受到启发，发明了称，其中就利用了杠杆原理． 杠杆原理为：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，如图1． 某数学兴趣小组利用所学的函数知识对以上原理进行探究： 如图2，小明取一根质地均匀的木杆长100cm，用细绳绑在木杆的中点O处将其吊在空中，在中点的左侧距中点25cm处挂一个质量为1kg的物体，在中点右侧用一个弹簧测力计（重力忽略不计）竖直向下拉，使木杆处于水平状态，改变弹簧测力计与中点O的距离x（cm），观察弹簧测力计的示数y（N）的变化，在平面直角坐标系中描出了一系列点（x，y），并用平滑的曲线顺次连接，得到如图3所示的函数图象．已知重力与质量之间的关系式为：G＝mg，G为物体的重力（单位：N），m为物体的质量（单位：kg），g＝10.0N/kg． （1）图3中函数的解析式为 　y　，自变量x的取值范围是 　0＜x≤50　； （2）若点O的位置不变，在不改变点O与物体的距离及物体的质量的前提下，要想使木杆平衡，弹簧测力计的示数最小可以是多少？ 【分析】（1）根据图象中的数据信息可得函数解析式及自变量x的取值范围； （2）根据（1）的解析式可知当力臂增大时，力减小可得最小值． 【解答】解：（1）已知杠杆原理的公式：阻力×阻力臂＝动力×动力臂， 实验中物体质量1kg， 由G＝mg得，物体重力G物＝m物×g＝1×10.0＝10N， 阻力即为物体重力10 N，阻力臂为25 cm，动力臂为x cm， 设弹簧测力计拉力为F，则有F×x＝10×25， ∴F， ∴函数解析式y， 由于支点即为细绳悬挂点， ∴x＞0， ∵杆长100cm，O点右侧总长50cm ∴x≤50， 综上：0＜x≤50； 故答案为：y，0＜x≤50； （2）设阻力臂长为l阻， 由杠杆原理公式：阻力×阻力臂＝动力×动力臂， 可得：G物×l阻＝F×x， 即F， 由（1）和已知条件可得G物＝10N，l阻＝25cm， 所以F， 当x最大时F最小， ∴当x＝50cm时F最小． 【点评】本题考查了反比例函数的实际应用，理解题意找准题目中的数量关系是解决问题的关键． 考向四：一次函数与反比例函数的结合问题 【题型8 一次函数与反比例函数的交点问题】 1、求一次函数与反比例函数的交点，就是联立两个函数的解析式，得到的方程的解即为交点的横纵坐标； 2、不解不等式，直接根据函数图象写出不等式的解集时： ①根据不等号确定谁的函数图象应该在上方， ②求交点的横坐标， ③根据符合题意的范围写出比变量x的取值范围；（没有其他要求时，解集一般有两部分，且其中一部分肯定和0有关） 1．（2025•浙江一模）已知双曲线y与函数y＝|x﹣a|的图象有两个交点，则a的值是 　　． 【分析】根据题意画出图象分析可得，一次函数y＝﹣x+a的图象与y的图象只有一个交点，且a＞0，可得方程﹣x2+ax﹣3＝0只有一个实数根，利用根的判别式即可求解． 【解答】解：如图， ∵双曲线y与函数y＝|x﹣a|的图象有两个交点， ∴由图可知，一次函数y＝﹣x+a的图象与y的图象只有一个交点，且a＞0， 可得， 整理得：﹣x2+ax﹣3＝0， ∴方程﹣x2+ax﹣3＝0只有一个实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝a2﹣12＝0， 解得：a或（舍去）． 故答案为：． 【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题、根的判别式，解题关键在于利用数形结合思想解决问题． 2．（2024•拱墅区校级二模）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数与y＝3x交于点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1y1﹣5x2y1＝8，则k＝　　． 【分析】根据反比例函数的对称性以及系数k＝xy可知x1y1＝k，﹣x1＝x2，由x1y1﹣5x2y1＝8得到k+5k＝8，解得k． 【解答】解：∵反比例函数与y＝3x交于点A（x1，y1），B（x2，y2）， ∴A（x1，y1），B（x2，y2）关于原点对称，x1y1＝k， ∴﹣x1＝x2， ∵x1y1﹣5x2y1＝8， ∴x1y1+5x1y1＝8，即k+5k＝8， ∴k． 故答案为：． 【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数的对称性，反比例函数图象上点的坐标特征，明确反比例函数系数系数k＝xy是解题的关键． 3．（2024•嘉兴一模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点A，若菱形OBCD的顶点B，C，D分别在OA，反比例函数图象和x轴上，则菱形OBCD的边长为（　　） A． B． C． D． 【分析】设B（a，）（a＞0），根据菱形的性质易得点C的纵坐标为，再结合反比例函数图象上点的坐标特征得到C，于是利用两点间的距离公式得出OB，BC，以此列出方程求解即可． 【解答】解：由题意可设点B的坐标为（a，）（a＞0）， ∵四边形OBCD为菱形， ∴BC∥OD，BC＝OB， ∴点C的纵坐标为， ∵点C在反比例函数图象上， ∴，解得：，则C， ∵O（0，0），B（a，），C， ∴OB2a，BC， ∴2a， ∴a， ∴菱形OBCD的边长为2a． 故选：B． 【点评】本题主要考查一次函数和反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质、两点间的距离公式，灵活运用所学知识解决问题是解题关键． 4．（2024•西湖区三模）如图，正比例函数y＝mx（m≠0，m为常数）图象与反比例函数y（k≠0，k为常数）图象交于A，B两点，AH⊥x轴于点H，连接BH交y轴于点G，若S△OGB＝3，则k的值为（　　） A．﹣3 B．﹣6 C．﹣9 D．﹣12 【分析】先根据正比例函数与反比例函数的性质得出AB两点关于原点对称，得到OA＝OB，继而S△OBG＝S△OHGS△OHB＝3，可得k值． 【解答】解：∵正比例函数y＝mx（m≠0，m为常数）图象与反比例函数y（k≠0，k为常数）图象交于A，B两点， ∴AO＝BO， ∴S△OBG＝S△OHGS△OHB＝3， ∴S△OHB＝6， ∴丨k丨＝12， ∵反比例函数图象上在第二象限， ∴k＝﹣12． 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数系数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数系数k值的几何意义是关键． 5．（2024•鹿城区校级模拟）若正比例函数y＝kx的图象与反比例函数的图象交于点A（a，4），B（﹣2，b），则k1+k2的值为 　10　． 【分析】根据反比例函数图象是中心对称图形可得a＝2，b＝﹣4即A（2，4），B（﹣2，﹣4），两点坐标代入两个函数解析式求出k1、k2，最后求和即可． 【解答】解：∵反比例函数的图象是关于原点为对称中心的中心对称图形， ∴点A（a，4）与B（﹣2，b）关于原点对称， ∴a＝2，b＝﹣4， ∴A（2，4），B（﹣2，﹣4）， ∵正比例函数y＝kx的图象与反比例函数的图象交于点A（2，4），B（﹣2，﹣4）， ∴k1＝2，k2＝8， ∴k1+k2＝10． 故答案为：10． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数等角的问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． 6．（2024•诸暨市模拟）如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数的图象相交于A，B两点，其交点的横坐标分别为3和6，则实数k的值是 　18　． 【分析】根据题意可知A（3，﹣3+b），B（6，﹣6+b），根据反比例函数图象上点的坐标特征建立方程3×（﹣3+b）＝6×（﹣6+b）求出b值，则A、B两点坐标已知，继而求出k值即可． 【解答】解：∵点A、B的横坐标分别为3和6， ∴A（3，﹣3+b），B（6，﹣6+b）， ∵A（3，﹣3+b），B（6，﹣6+b）在反比例函数图象上， ∴3×（﹣3+b）＝6×（﹣6+b），解得b＝9， ∴A（3，6），B（6，3）， ∴k＝3×6＝18． 故答案为：18． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． 7．（2024•宁波一模）如图，直线AB与反比例函数的图象相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点D是x轴负半轴上的一点，连结CD和AD，AD交y轴于点E，且AC＝AE，若，△CDE的面积为6，则k的值为 　　． 【分析】过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为F，G，过点A作AH⊥y轴于H，设AB交x轴于P，则OC∥AF∥BG，由此得，设OF＝3a，FG＝a，则OG＝OF+FG＝7a，从而得点A，点B，证△PBG和△PAF相似从而得PG＝3a，证∠CPD＝∠ADP得AD＝AP，则DF＝FP，从而得OD＝4a，再证△AHC和△PGB全等得CH＝BG，则CE＝2CH，然后根据△CDE的面积为6可求出k的值． 【解答】解：过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为F，G，过点A作AH⊥y轴于H，设AB交x轴于P，如图所示： ∴OC∥AF∥BG， ∴， ∴可设OF＝3a，FG＝4a，则OG＝OF+FG＝7a， ∵点A，B在反比例函数的图象上， ∴点A，点B， ∵BG∥AF， ∴△PBG∽△PAF， ∴PG：PF＝BG：AF， 即：PG：（PG+4a）：， ∴PG＝3a， ∵AH⊥y轴， ∴∠CAH＝∠CPD，∠HAE＝∠ADP， ∵AC＝AE，AH⊥y轴， ∴∠CAH＝∠HAE，CE＝2CH， ∴∠CPD＝∠ADP， ∴AD＝AP， ∴DF＝FP， 即OD+OF＝FG+PG， ∴OD+3a＝4a+3a， ∴OD＝4a， ∵AH⊥y轴，AF⊥x轴，∠HOF＝90°， ∴四边形HOFA为矩形， ∴AH＝OF＝3a＝PG， 在△AHC和△PGB中， ， ∴△AHC≌△PGB（AAS）， ∴CH＝BG， ∴CE＝2CH， ∵△CDE的面积为6， ∴CE•OD＝6， 即， 解得：． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了反比例函数图象上的点，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活利用相似三角形的性质进行计算是解决问题的关键． 8．（2024•宁波模拟）如图，直线AB的表达式为yx+4，与坐标轴交于点A，B，过点B作BC⊥AB交反比例函数y于点C，若AC的中点D也在反比例函数图象上，则k＝　14　． 【分析】作CE⊥y轴，则△ABO∽△BCE，可得，设点C坐标为（2m，3m+4），由中点坐标公式得到点D坐标，列出方程2m（3m+4）＝（m+3）求出m，则点C坐标可知，继而求出k值即可． 【解答】解：如图，作CE⊥y轴，垂足为E， ∵直线AB的表达式为yx+4， ∴A（6，0），B（0，4）． ∴OA＝6，OB＝4． ∵AB⊥BC， ∴∠AOB＝∠BEC＝90°，∠ABO＝∠BCE， ∴△ABO∽△BCE， ∴， 设点C坐标为（2m，3m+4）， ∵D为线段AC中点， ∴D（m+3，）， ∵点C、D都在反比例函数图象上， ∴2m（3m+4）＝（m+3）， 解得：m＝1， ∴C（2，7）， ∵C（2，7）在反比例函数图象上， ∴k＝14， 故答案为：14． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键． 【题型9 一次函数与反比例函数的面积问题】 一次函数与反比例函数的综合应用题，第一问通常是待定系数法求解析式，后边问题则常结合其他几何图形同步考察一次函数和反比例函数以及几何图形的性质，最常见的就是求不规则图形的面积，应对策略则是“割补法”，转化为规则图形再计算。 1．（2024•婺城区校级模拟）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数为的图象交于A（8，1），B（a，8）两点． （1）求两个函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足y2＞y1＞0时x的取值范围； （3）点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数y2的图象于点Q，若△POQ面积为5，求点Q的坐标． 【分析】（1）将A点坐标代入即可得出反比例函数，求得函数的解析式，进而求得B的坐标，再将A、B两点坐标分别代入y1＝kx+b（k≠0），可用待定系数法确定一次函数的解析式； （2）由函数的图象即可得出反比例函数的值大于一次函数值且大于零的x的取值范围； （3）由题意，设P（p，﹣p+9）且1≤p≤8，则，求得，根据三角形面积公式得到，解得即可． 【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过点A（8，1）， ∴， ∴m＝8， ∴反比例函数的解析式为， 把B（a，8）代入，得a＝1， ∴点B坐标为（1，8）， ∵一次函数解析式y1＝kx+b，经过A（8，1），B（1，8）， 故得， 解得， ∴一次函数解析式为y1＝﹣x+9； （2）∵A（8，1），B（1，8）， ∴由图象可得，当0＜x＜1或8＜x＜9时，反比例函数图象在一次函数图象上方，且都在x轴上方， ∴y2＞y1＞0时x的取值范围0＜x＜1或8＜x＜9； （3）由题意，设P（p，﹣p+9）且1≤p≤8， ∴， ∴， ∴， 解得p1＝3，p2＝6， ∴或． 【点评】本题主要考查一次函数与反比例函数交点问题，解一元二次方程，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 2．（2024•鄞州区模拟）如图，一次函数y＝kx+b的图象交反比例函数y图象于A（，4），B（3，m）两点． （1）求m，n的值； （2）点E是y轴上一点，且S△AOB＝S△EOB，求E点的坐标； （3）请你根据图象直接写出不等式kx+b的解集． 【分析】（1）把点A（，4）代入y中，利用待定系数法求得n的值，即可求得反比例函数的解析式，进而把B（3，m）代入求得的解析式，即可求得m的值；根据待定系数法即可求得直线CD的表达式； （2）根据待定系数法即可求得直线AB的表达式，即可求得直线与y轴的交点，根据S△AOB＝S△BOD﹣S△AOD求得△AOB的面积，设E点的坐标为（0，a），根据S△AOB＝S△EOB得到关于a的方程，解方程求得a，从而求得E点的坐标； （3）根据图象即可求得． 【解答】（1）把点A（，4）代入y中，得：n4＝6， ∴反比例函数的解析式为y， 将点B（3，m）代入y得m2； （2）设直线AB的表达式为y＝kx+b， 把A（，4），B（3，2）代入得， 解得 ∴直线AB的表达式为yx+6， ∴D点的坐标为（0，6）， ∴S△AOB＝S△BOD﹣S△AOD6×36， 设E点的坐标为（0，a）， ∵S△AOB＝S△EOB， ∴|a|×3， 解得：|a|＝3， ∴E点的坐标为（0，3）或（0，﹣3）； （3）不等式kx+b的解集是x＜0或x＜3． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：也考查了待定系数法求函数的解析式以及观察函数图象的能力． 3．（2024•浙江模拟）如图所示，直线与双曲线交于A（2，n），B两点，与y轴交于点D． （1）求k，n的值； （2）求△AOB的面积； （3）请结合上述两个函数的图象，请直接写出的解集． 【分析】（1）将点A（2，n）代入直线得 ，确定A（2，3），将A（2，3）代入反比例函数解析式确定k即可； （2）令 中x＝0，得 y＝4，确定D（0，4），联立解析式求出点B，进而求出△AOB的面积； （3）根据图象直接判断即可． 【解答】解：（1）将点A（2，n）代入 得 ， ∴A（2，3）， 将A（2，3）代入 ， ∴k＝2×3＝6； （2）令 中x＝0，得 y＝4， ∴D（0，4）， 解方程组， 得或， ∴B（6，1）， ∴S△AOB＝S△BOD﹣S△AOD8； （3）即为 ， 根据图象得0＜x＜2或x＞6． 【点评】本题反比例函数与一次函数的交点问题，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． 4．（2024•拱墅区校级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与x轴、y轴分别交于点A、B，与反比例函数交于点C（3，m），D两点，直线MN垂直于x轴分别与一次函数和反比例函数交于M、N，连接BN，CN． （1）求k的值； （2）点M在线段AB上（不与端点A、B重合），若CM＝CN，求△BCN的面积． 【分析】（1）求出C点坐标，再求k的值； （2）由题意可知M（t，t+1），N（t，），则MN的中点为（t，），再由CM＝CN，得到，求出t的值，再求三角形面积即可． 【解答】解：（1）∵一次函数过点C（3，m）， ∴m， ∴C（3，）， ∵反比例函数过点C（3，）， ∴k＝3； （2）当x＝0时，1， ∴B（0，1）， 当0时，x＝2， ∴A（2，0）， ∵点M在线段AB上， ∴0＜t＜2， ∵M（t，t+1），N（t，）， ∴MN的中点为（t，）， ∵CM＝CN， ∴C点在线段MN的中垂线上， ∴MN的中点纵坐标与C点纵坐标相等， ∴， 解得t＝1或t＝3（舍）， ∴N（1，），M（1，）， ∴MN2， ∴△BCN的面积3＝3． 【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，轴对称的性质是解题的关键． （建议用时：35分钟） 1．（2024•杭州二模）一次函数y＝kx+1的函数值y随x的增大而增大，当x＝2时，y的值可以是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【分析】首先根据一次函数y＝kx+1的函数值y随x的增大而增大，得k＞0，然后再根据题目中的四个选项即可得出答案． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+1的函数值y随x的增大而增大， ∴k＞0， ∴x＝2时，y＞1， 故选：D． 【点评】此题主要考查了一次函数的性质，解答此题的关键是理解一次函数的性质：对于一次函数y＝kx+b（k≠0），当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小． 2．（2024•金华三模）如图，一次函数y1＝﹣x+b与反比例函数的图象相交于点A（a，3）和点B（3，﹣1）．当y1＞y2时，x的取值范围为（　　） A．x＜﹣1 B．x＜﹣1或x＞3 C．﹣1＜x＜0或x＞3 D．x＜﹣1或0＜x＜3 【分析】把点B（3，﹣1）代入反比例函数中，求出k＝﹣3，进而求出A（﹣1，3）即可解答． 【解答】解：B（3，﹣1）代入反比例函数中， 得1， ∴k＝﹣3， 把A（a，3）代入y中得a＝﹣1， ∴当y1＞y2时，x的取值范围为x＜﹣1或0＜x＜3． 故选：D． 【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，熟练掌握待定系数法与数形结合思想是解题的关键． 3．（2024•拱墅区一模）小明在平面直角坐标系内画了一个一次函数的图象，图象特点如下： ①图象过点（1，﹣4） ②图象与y轴的交点在x轴下方 ③y随x的增大而减小 符合该图象特点的函数关系式为（　　） A．y＝﹣4x+2 B．y＝﹣3x﹣1 C．y＝3x+1 D．y＝﹣5x﹣1 【分析】根据一次函数图象与性质分别判断选项的正误即可． 【解答】解：A、不符合条件②图象与y轴的交点在x轴下方，不符合题意； B、符合①②③，符合题意； C、不符合条件①②③，不符合题意； D、不规范条件①，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数性质是解答本题的关键． 4．（2024•温州模拟）如图，在反比例函数的图象上有点A，B，C，图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3，已知点A，B，C的横坐标分别为2，3，4，S1+S2+S3＝8，则k的值为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质．由题意可分别得三点的坐标，则可表示三个阴影部分的面积，再由面积和为8建立关于k的方程，解方程即可求得k的值． 【解答】解：∵点A，B，C在反比例函数的图象上，且它们的横坐标依次为2，3，4， ∴，，， ∴，，， ∵S1+S2+S3＝8， ∴， 解得：k＝12， 故选：B． 【点评】本题主要考查了反比例函k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义． 5．（2024•仙居县三模）把函数y的图象在直线y＝n下方的部分沿直线y＝n翻折后，再把翻折前后的图象中在直线y＝n上方部分叫做新函数图象T．当直线y＝n+3与图象T有四个交点时，n的取值范围是（　　） A．n＞0 B．n＞1 C．n＞﹣1 D．n＜﹣2 【分析】由函数的解析式求得最低点为（0，﹣2），点（0，﹣2）关于直线y＝n的对称点为（2n+2），由题意可知n+3＜2n+2，解不等式即可． 【解答】解：函数y可知函数的最低点为（0，﹣2）， 点（0，﹣2）关于直线y＝n的对称点为（2n+2）， 当直线y＝n+3与图象T有四个交点时，n+3＜2n+2， 解得n＞1． 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数的图象与几何变换，一次函数的性质，求得关键点的坐标是解题的关键． 6．（2024•路桥区二模）当x＞1时，直线y＝mx（m为常数，m≠0）在直线y＝x+1的上方，则m的取值范围为 　m≥2　． 【分析】当x＝1时，y＝2，把点（1，2）代入y＝mx，得m＝2，根据函数与不等式的关系即可得m的取值范围． 【解答】解：当x＝1时，y＝1+1＝2， 把点（1，2）代入y＝mx， 得m＝2， ∵当x＞1时，直线y＝mx（m为常数，m≠0）在直线y＝x+1的上方， ∴m的取值范围为m≥2． 故答案为：m≥2． 【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 7．（2024•海曙区一模）如图，直线y＝kx+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，矩形ABCD位于第一象限，若矩形ABCD的面积为20，则直线CD必经过一点，这个点的坐标为 　（5，4）　． 【分析】过A作AM∥x轴交CD于点M，连结BM，作BH⊥AM于点H，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A的坐标，进而可得出BH的长度，由矩形ABCD的面积，可求出三角形ABM的面积，利用三角形的面积公式，可求出AM的长度，再结合BH的长，即可得出点M的坐标． 【解答】解：过A作AM∥x轴交CD于点M，连结BM，作BH⊥AM于点H，如图所示. 当x＝0时，y＝k×0+4＝4， ∴点A的坐标为（0，4）， ∴BH＝4． ∵矩形ABCD的面积为20， ∴S△ABMS矩形ABCD20＝10AM•BH， ∴AM＝5， ∴点M的坐标为（5，4）， ∴直线CD必经过一点（5，4）． 故答案为：（5，4）． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及矩形的性质，利用一次函数图象上点的坐标特征及三角形的面积公式，求出点M的坐标是解题的关键． 8．（2025•镇海区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点在反比例函数的图象上，延长AB交x轴于点C，且AB＝BC，D是第二象限一点，且DO∥AB，若△ADC的面积是15，则k的值为（　　） A．8 B．10 C．11.5 D．13 【分析】连接OA，OB，过A作AH⊥x轴于H，过B作BG⊥x轴于G，根据平行线分线段成比例定理得到CG＝HG，求得AH＝2BG，设B（a，），得到A（，），由OD∥AB，得到S△AOC＝S△ADC＝15，根据三角形的面积和梯形的面积公式列方程即可得到结论． 【解答】解：连接OA，OB，过A作AH⊥x轴于H，过B作BG⊥x轴于G， ∴AH∥BG， ∵AB＝BC， ∴CG＝HG， ∴AH＝2BG， ∵A、B两点在反比例函数的图象上， ∴设B（a，）， ∴A（，）， ∵OD∥AB， ∴S△AOC＝S△ADC＝15， ∴S△AOBS△AOC， ∵S四边形AHGB＝S△AOB， ∴（AH+BG）•HG）×（a）， ∴k＝10， 故k的值为10， 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积的计算，平行线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 9．（2024•温州二模）已知两个反比例函数y1，y2（m≠0）．当1≤x≤2时，y1的最大值和最小值分别为a1，b1，y2的最大值和最小值分别为a2，b2．若a1﹣a2＝4，则b1﹣b2的值为（　　） A．﹣5 B． C． D．5 【分析】根据反比例函数y中，当x＞0，k＞0时，图象在第一象限，y＞0，y随x的增大而减小；当x＞0，k＜0时，图象在第四象限，y随x的增大而增大；根据题上条件分析解答即可． 【解答】解：∵在反比例函数y中，当x＞0，k＞0时，图象在第一象限，y＞0，y随x的增大而减小；当x＞0，k＜0时，图象在第四象限，y随x的增大而增大； ∴两个反比例函数y1，y2（m≠0）．当1≤x≤2时，y1的最大值和最小值分别为a1，b1，y2的最大值和最小值分别为a2，b2．若a1﹣a2＝4，即有a1＞a2，则m＞0， ∴a1＝m，b1，a2m，b22m， ∴m﹣（﹣m）＝4，解得m＝2， ∴b11，b2＝﹣2m＝﹣4， ∴b1﹣b2＝1﹣（﹣4）＝5． 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数性质是关键． 10．（2024•西湖区校级三模）对于平面直角坐标系中的任意一点P（x，y），我们把点Q（x+y，x﹣y）称为点P的“和差点”．如图，Rt△OAB的直角边OA在x轴上，点B（3，2），若点P在反比例函数的图象上，点Q为点P的“和差点”，且点Q在Rt△OAB的直角边OA上，则△OBQ的面积为（　　） A．2 B． C．1 D． 【分析】根据题意设出点P的坐标，即可得出点Q的坐标，根据点Q在Rt△OAB的直角边OA上求出a的值，从而求出△OBQ的面积． 【解答】解：根据题意可设点P的坐标为（a，），且a＞0， 则点Q的坐标为（a，a）， ∵点Q在线段OA上， ∴则a0， 解得：a1，a2（舍）， 此时点Q的坐标为（2，0）， 此时OQ＝2， ∴△OBQ的面积22＝2， 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关键是由新定义求出点Q的坐标． 11．（2024•浙江模拟）如图，一次函数yx+b的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，以线段AB为边向第一象限内作等边三角形ABC，反比例函数y（k≠0）图象恰好经过BC边的中点D，与AC边交于点E．若△ODE的面积为，则k的值为 　　． 【分析】由一次函数解析式可得B（0，b），A（b，0），∠BAO＝30°，继而发现AC∥y轴，得到C（b，2b），根据中点坐标公式可得D（，）．再根据反比例函数k值几何意义得到S△ODE＝S△ODG+S△DEG＝S梯形AEDH代入数据计算即可． 【解答】解：∵一次函数解析式为yx+b， ∴B（0，b），A（b，0），∠BAO＝30°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴∠OAC＝90°， ∴AC∥y轴， 在Rt△OAB中，∠BAO＝30°，OB＝b， ∴AB＝BC＝AC＝2b， ∴C（b，2b）， ∵点D是线段BC的中点， ∴D（，）． 过点D作，DH⊥x轴，垂足为H，交OE于点G， 根据反比例函数k值的几何意义，S△ODH＝S△OAE， ∴S△OGD＝S四边形AEGH， ∴S△ODE＝S△ODG+S△DEG＝S梯形AEDH（DH+AE）×AH（•， ∵xE•yE＝xD•yD， ∴yE， E（b，）， ∴（）•， ∴b2， 又∵k＝xD•yD． 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式． 12．（2024•浙江一模）在直角坐标系中，已知k1k2≠0，设函数与函数y2＝k2（x﹣2）+5的图象交于点A和点B．已知点A的横坐标是2，点B的纵坐标是﹣4． （1）求k1，k2的值． （2）过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，在第二象限交于点C；过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，在第四象限交于点D．求证：直线CD经过原点． 【分析】（1）将x＝2分别代入两表达式中得k2（2﹣2）+5，即可求出k1的值，再把y＝﹣4代入函数中即可求出点B的坐标，再将点B的坐标代入y2＝k2（x﹣2）+5中即可得出答案； （2）由已知可得点C的坐标为（，5），点D的坐标为（2，﹣4），用待定系数法求出直线CD的表达式，即可得证． 【解答】解：（1）∵函数与函数y2＝k2（x﹣2）+5的图象交于点A和点B，且点A的横坐标是2， ∴k2（2﹣2）+5， ∴k1＝10， ∵点B的纵坐标是﹣4， ∴﹣4， ∴x， ∴﹣4＝k2（2）+5， ∴k2＝2， 综上所述：k1＝10，k2＝2． （2）由已知可得，点A的坐标为（2，5），点B的坐标为（，﹣4）， 则点C的坐标为（，5），点D的坐标为（2，﹣4）， 设CD的表达式为y＝kx+b， 则5k+b，﹣4＝2k+b， 解得：k＝﹣2，b＝0， 则CD的表达式为y＝﹣2x， 当x＝0时，y＝0， 所以直线CD经过原点． 【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是利用交点的特征找到等量关系式． 13．（2024•玉环市三模）定义：若两个函数的图象只有一个公共点，则称这两个函数互为“同盟函数”，其公共点称为“同盟点”； （1）已知下列三个函数：①y＝﹣2x﹣1；②y；③y＝x2﹣4x； ①如图，其中两个图象已给出，请在网格图中画出第三个函数的图象； ②写出所有互为“同盟函数”的函数，选一组求其“同盟点”； （2）若函数y＝|x﹣m|（m为常数）与y互为“同盟函数”，则m的取值范围为 　m＜2　． 【分析】（1）①画出函数①y＝﹣2x﹣1的图象； ②根据图象即可判断互为“同盟函数”的函数，并求其“同盟点”； （2）求得直线y＝﹣x+m与y有一个交点时的m值，结合图象即可求解． 【解答】解：（1）①画出函数①y＝﹣2x﹣1的图象如图所示， ②由图可知，反比例函数y与二次函数y＝x2﹣4x有1个交点，一次函数y＝﹣2x﹣1与二次函数y＝x2﹣4x有1个交点， ∴①和③是互为“同盟函数”的函数，②和③是互为“同盟函数”的函数， 令﹣2x﹣1＝x2﹣4x，整理得x2﹣2x+1＝0， 解得x1＝x2＝1， 当x＝1时，y＝﹣3， ∴①和③的“同盟点”是（1，﹣3）； （2）∵函数y＝|x﹣m|（m为常数）与y互为“同盟函数”， ∴两个函数的图象只有一个公共点， 当直线y＝﹣x+m与y有一个交点时，则﹣x+m，整理得x2﹣mx+3＝0， ∴Δ＝m2﹣12＝0， 解得m， ∴若函数y＝|x﹣m|（m为常数）与y互为“同盟函数”，则m的取值范围为m＜2． 故答案为：m＜2． 【点评】本题在新定义下考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，图象交点与方程的关系，数形结合是解题的关键． 14．（2024•浙江模拟）我们定义：若点M绕点A逆时针方向旋转90°得到的对应点设为N，则称点N为点M的“Ai点”． （1）概念理解： 在平面直角坐标系中，已知点A（0，0），设点P的“Ai点”为Q．若点Q（2，1），则点P的坐标为 　（1，﹣2）　． （2）问题探究： 如图1，已知点C（1，0），点D在直线yx+1上，若点D的“Ci点”在坐标轴上，求点D的坐标． （3）应用拓展： 如图2，已知线段EF的端点为E（0，﹣2）和F（1，0），边长为6的正方形ABCD以点O为中心，各边分别与坐标轴平行．点M在线段EF上，点N在正方形ABCD上，若存在点T（0，t），使得点M的“Ti点”为点N，请直接写出t的取值范围． 【分析】（1）连接AP，AQ，过Q作QM⊥x轴于M，过P作PN⊥y轴于N，根据全等三角形的判定与性质求解； （2）根据坐标轴的不同分类讨论，根据（1）的方法求解即可； （3）根据T与x轴的位置关系分类讨论，求出N点的坐标，然后根据N在不同边上时，N点坐标的取值来分类讨论求解即可． 【解答】解：（1）连接AP，AQ，过Q作QM⊥x轴于M，过P作PN⊥y轴于N，如图： 由旋转的性质可知，AP＝AQ，∠PAQ＝90°， ∴∠QAM+∠PAM＝90°， 又∵∠PAN+∠PAM＝90°， ∴∠PAN＝∠QAM， ∴△APN≌△AQM（AAS）， ∴PN＝QM＝1，AN＝AM＝2， ∴P（1，﹣2）； 故答案为：（1，﹣2）； （2）①若点D的“Ai点”在x轴上，如图： 则CD⊥OC， ∴xD＝1， 代入直线方程得，yD， ∴D（1，）； ②若点D的“Ai点”在y轴上，如图： 由（1）知，yD＝OC＝1， ∴xD＝0， ∴D（0，1）； 综上所述，D（1，）或（0，1）； （3）设直线EF的表达式为：y＝kx+b， ∴， ∴k＝2，b＝﹣2， ∴y＝2x﹣2， ∵正方形ABCD以点O为中心，各边分别与坐标轴平行．边长为6， ∴A（﹣3，3），B（﹣3，﹣3），C（3，﹣3），D（3，3）， 设M（m，2m﹣2），其中0≤m≤1， ①当T在x轴上方时，如图： 过M作MH⊥y轴于H，过N作NG⊥y轴于G， 由旋转的性质可知，TM＝TN，∠NTM＝90°， ∴∠NTG+∠HTM＝90°， ∵∠HTM+∠TMH＝90°， ∴∠GTN＝∠TMH， ∴△TMH≌△NTG（AAS）， ∴TH＝GN，TG＝HM， ∴N（t﹣2m+2，t+m）， （i）当N在CD上时， t﹣2m+2＝3且t+m≤3， ∴m， ∵0≤m≤1， ∴1≤t； （ii）当N在AD上时， t+m＝3且t﹣2m+2≤3， ∴t＝3﹣m， 又∵0≤m≤1， ∴2≤t， ∴1≤t； ②当T在x轴下方时，如图： 同理可得，N（t﹣2m+2，t+m）， （i）若点N在AB上， 则t﹣2m+2＝﹣3且t+m≥﹣3， ∵0≤m≤1， ∴t≤﹣3； （ii）若N再BC上， 则t﹣2m+2≥﹣3且t+m＝﹣3， ∵0≤m≤1， ∴t≤﹣3； 综上所述，t的取值范围是1≤t或t≤﹣3． 【点评】本题主要考查了一次函数综合题，合理运用旋转的性质，旋转的坐标变换以及全等三角形的判定与性质是本题解题的关键． 15．（2024•下城区校级三模）已知一次函数y1＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象与反比例函数（m是常数，m≠0）的图象交于A（1，t+1），B（t﹣5，﹣1）两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）若y1＞y2，请直接写出x的取值范围 　﹣3＜x＜0或x＞1　； （3）若（c，p），（n，q）是反比例函数图象上的两点，且满足c＝n+1，求的值． 【分析】（1）依据题意，利用反比例函数图象上点的坐标特征得到t+1＝﹣（t﹣5）＝m，则可求出t＝2，m＝3，从而得到反比例函数解析式和A、B点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式； （2）依据题意，由y1＞y2，从而一次函数图象在反比例函数上方的部分对应的自变量的范围即为所求，结合A（1，3），B（﹣3，﹣1），再根据图象即可判断得解； （3）依据题意，由点（c，p）和点（n，q）在反比例函数y2的图象上，可得c，n，再结合c＝n+1，故1，进而计算可以得解． 【解答】解：（1）∵A（1，t+1），B（t﹣5，﹣1）两点在反比例函数y2的图象上， ∴t+1＝﹣（t﹣5）＝m． ∴t＝2． ∴A（1，3），B（﹣3，﹣1），m＝3， ∴反比例函数的解析式为y2． ∵A、B在一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象上， ∴． ∴． ∴一次函数的解析式为y1＝x+2． （2）由题意，作图如下， 由y1＞y2， ∴一次函数图象在反比例函数上方的部分对应的自变量的范围即为所求． 又A（1，3），B（﹣3，﹣1）， ∴﹣3＜x＜0或x＞1． 故答案为：﹣3＜x＜0或x＞1． （3）∵点（c，p）和点（n，q）在反比例函数y2的图象上， ∴c，n． ∵c＝n+1，即1， ∴． 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质和一次函数的性质是关键． 16．（2024•婺城区模拟）随着家用小轿车的普及，交通安全已经成为千家万户关注的焦点，保持安全车距是预防交通事故的关键．已知某型号汽车刹车时速度为20米/秒，设刹车后行驶的时间为t秒，刹车后速度为v米/秒，刹车后行驶的距离为s米．已测得刹车后的运动速度v与运动时间t之间满足关系式：v＝﹣5t+20．刹车后行驶的距离s与t的函数图象如图所示，该图象是抛物线s＝pt2+qt（p，q为常数，p≠0）的一部分． （1）当该汽车刹车后速度为10米/秒时，求刹车后行驶的时间． （2）求p、q的值，以及该汽车刹车后行驶的最大距离． （3）一司机驾驶该型号汽车，在以20米/秒的速度行驶中，突然发现导航提示前面38米处路面变窄，于是立即刹车．为确保安全通过窄路，需要将车速降低到5米/秒以下．请通过计算说明该司机能否在到达窄路时将车速降低到5米/秒以下？ 【分析】（1）将v＝10代入v＝﹣5t+20求出t即可； （2）把（1，17.5），（2，30）代入s＝pt2+qt求出p、q值后，将二次函数化成顶点式得到刹车后行驶的最大距离即可； （3）把v＝5代入v＝﹣5t+20求出t值，再将t值代入二次函数求出s，与38比较即可得到司机能在到达窄路时将车速降低到5米/秒以下． 【解答】解：（1）当v＝10时，﹣5t+20＝10， 解得：t＝2， 答：当该汽车刹车后速度为10米/秒时，刹车后行驶的时间为2秒． （2）由题意可得： ， 解得：， ∴s＝﹣2.5t2+20t＝﹣2.5（t﹣4）2+40． 答：该汽车刹车后行驶的最大距离为40米． （3）能，理由如下： 当v＝5时，﹣5t+20＝5， 解得：t＝3， 把t＝3代入s＝﹣2.5t2+20t得： s＝﹣2.5×32+20×3＝37.5， ∵37.5＜38， 答：该司机能在到达窄路时将车速降低到5米/秒以下． 【点评】本题考查了一次函数及二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是关键． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点03 一次函数与反比例函数 中考数学中一次函数与反比例函数部分主要考向分为四类： 一、一次函数与反比例函数的性质（每年1~2道，3~6分） 二、一次函数的应用（每年1道，3~8分） 三、反比例函数的应用（每年1题，3~8分） 四、一次函数与反比例函数的结合问题（每年1~2题，3~13分） 随着浙江中考的改革，一次函数与反比例函数在中考数学中的考察难度有所下降，题目数量占比也有降低，所以具体考点也有所改变。其中，一次函数、反比例函数的图象与性质部分还是多以选择题、填空题的形式出现；而一次函数与反比例函数的应用部分出题则是可大可小，简答题通常重在审题和题意理解，计算难度不大，并且此时通常会考察一次函数与反比例函数的结合问题。基于以上特点，对一次函数与反比例函数的复习，必须完全掌握两个函数的图象性质、应用等基础考点。 考向一：一次函数与反比例函数的图象与性质 【题型1 一次函数的性质】 1、一次函数的图象是经过点和点的一条直线； 2、一次函数的k决定直线的增减性，b决定直线与y轴的交点纵坐标； 3、解决图象上点的坐标特征问题时，牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与之结合的几何图形的性质； 1．（2024•鹿城区校级三模）若直线y＝（2﹣5m）x+b经过（1，y1）和（3，y2），若y1＞y2，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（2025•浙江一模）若点A（﹣2，y1），B（3，y2），C（1，y3）在一次函数y＝﹣3x+m（m是常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1 3．（2024•泗洪县三模）已知关于x的一次函数为y＝mx+4m+3，那么这个函数的图象一定经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2024•鹿城区一模）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（2，3），（3，m），则下列结论正确的是（　　） A．若k＞0，则m＞0 B．若k＞0，则m＜0 C．若k＜0，则m＞0 D．若k＜0，则m＜0 5．（2024•拱墅区二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b（a≠0）与y2＝mx+n（m≠0）的图象如图所示，则（　　） A．当x＞2时，y1＜y2 B．当x＜0时，y1＞3，y2＜3 C．b﹣n＝2（m﹣a） D．关于x，y的方程组的解为 【题型2 反比例函数的性质】 在说反比例函数的增减性之前，必须带上自变量的取值范围，不然就是错的；所以在应用反比例函数的性质比较坐标轴的大小时，也要注意所比较的点是否在双曲线的同一支上； 1．（2024•浙江）反比例函数的图象上有P（t，y1），Q（t+4，y2）两点．下列正确的选项是（　　） A．当t＜﹣4时，y2＜y1＜0 B．当﹣4＜t＜0时，y2＜y1＜0 C．当﹣4＜t＜0时，0＜y1＜y2 D．当t＞0时，0＜y1＜y2 2．（2024•浙江模拟）已知反比例函数，对于一个正数m，当自变量x满足m≤x≤2m时，函数y的最大值为a，则当﹣2m≤x≤﹣m时，函数y有（　　） A．最大值﹣2a B．最小值﹣2a C．最大值﹣a D．最小值 3．（2025•鹿城区校级一模）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数的图象上，下列说法正确的是（　　） A．若x1+x2＜0，则y1•y2＜0 B．若x1+x2＞0，则y1•y2＞0 C．若y1•y2＜0，则x1•x2＜0 D．若y1•y2＞0，则x1•x2＜0 4．（2025•洞头区模拟）已知A（x1，t），B（x2，t+1）两点在反比例函数的图象上，下列判断正确的是（　　） A．当t＞0时，0＜x2＜x1 B．当﹣1＜t＜0时，x1＜x2＜0 C．当﹣1＜t＜0时，0＜x2＜x1 D．当t＜﹣1时，x1＜x2＜0 5．（2024•江北区一模）已知点P（4t，m），Q（t2+5，n）都在反比例函数的图象上，则下列结论中一定正确的是（　　） A．m+n＞0 B．m+n＜0 C．|m|＞n D．|m|＜n 【题型3 两函数的新定义问题】 函数的新定义问题，重点在于对“新定义”的理解，而给出的“新定义”就是函数的性质，另外，结合的是哪个函数，也要同步联系对应函数的性质。 1．（2024•镇海区校级四模）现定义一种新的距离：对于平面直角坐标系内的点P（a，b）、Q（c，d），将|a﹣c|+|b﹣d|称作P、Q两点间的“拐距”，记作G（P，Q），即G（P，Q）＝|a﹣c|+|b﹣d|．已知点A（0，5），动点B在直线y＝x+1上，横坐标为m．当G（A，B）取得最小值时，m应满足的条件是（　　） A．m＝0 B．0＜m＜4 C．0≤m≤4 D．m＝4 2．（2024•下城区校级模拟）小涵同学类比研究一次函数性质的方法，探索出函数y＝2|x|﹣4的四条性质，其中错误的是（　　） A．当x＝0时，y具有最小值为﹣4 B．如果y＝2|x|﹣4的图象与直线y＝k有两个交点，则k＞﹣4 C．当﹣4＜x＜0时，y＜0 D．y＝2|x|﹣4的图象与x轴围成的几何图形的面积是8 3．（2024•西湖区校级二模）某小组在研究了函数y1＝x与性质的基础上，进一步探究函数y＝y1﹣y2的性质，以下几个结论： ①函数y＝y1﹣y2的图象与x轴有交点； ②函数y＝y1﹣y2的图象与y轴没有交点； ③若点（a，b）在函数y＝y1﹣y2的图象上，则点（﹣a，﹣b）也在函数y＝y1﹣y2的图象上． 以上结论正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 4．（2025•镇海区校级模拟）小明在研究函数特性时，给出了这样的定义：对于函数图象上的点P（x，y），若|x|≤1且|y|≤1，则称点P为该函数的“轴近点”．已知一次函数y＝kx﹣3k（k为常数）的图象上存在“轴近点”，则k的取值范围　 　． 【题型4 一次函数与反比例函数与方程、不等式的关系】 1、求两函数的交点，就是在求两个函数解析式联立所得方程（组）的交点； 2、由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：①根据图象找出交点横坐标，②不等式中不等号开口朝向的一方，图象在上方，对应交点的左边或右边符合，则x取对应一边的范围。 1．（2024•诸暨市模拟）根据图象，可得关于x的不等式k2x+kb＞﹣kx+3k的解集是（　　） A．x＜2 B．x＞2 C．x＜1 D．x＞1 2．（2024•瓯海区模拟）如图，直线y1＝kx+b过点A（0，3），且与直线y2＝mx交于点P（1，m），则不等式mx＞kx+b＞mx﹣3的解集是 　 　． 3．（2024•温州模拟）已知一次函数y1＝k1x+1与y2是常数，且k1≠0，k2≠0）的图象如图所示，它们的两个交点坐标分别是（1，2），（﹣2，﹣1），则分式方程k1x+1的解是x1＝　 　；x2＝　 　． 4．（2024•台州模拟）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣2，3），B（m，﹣2），则不等式的解是（　　） A．x＜﹣2或0＜x＜3 B．﹣2＜x＜0或x＞3 C．﹣2＜x＜0或x＜3 D．﹣3＜x＜0或x＞3 5．（2024•仙居县三模）如图，反比例函数y1与一次函数y2＝k（x﹣3）+2（k是常数，k＞0）的图象交于A，B两点，当y2＞y1＞0时，x的取值范围是 　 　． 考向二：一次函数的应用 【题型5 一次函数应用之行程类问题】 1、行程问题中，一次函数中|k|通常对应行程问题中的速度； 2、准确理解函数图象中出现的起点、拐点、终点的意义； 1．（2024•浙江）小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼．小明先跑，10分钟后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次．跑步机上C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分．小明与小丽的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程s（米）与小明跑步时间t（分）的函数关系如图所示． 时间 里程分段 速度档 跑步里程 小明 16：00～16：50 不分段 A档 4000米 小丽 16：10～16：50 第一段 B档 1800米 第一次休息 第二段 B档 1200米 第二次休息 第三段 C档 1600米 （1）求A，B，C各档速度（单位：米/分）； （2）求小丽两次休息时间的总和（单位：分）； （3）小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，求a的值． 2．（2025•鹿城区校级一模）如图反映的是小温、小州两人从学校出发到瓯华站乘车的过程．两人同时从学校步行出发，小温在途中发现有物品遗漏，于是立刻以同样的速度返回学校拿取，在学校停留2分钟后乘出租车赶往瓯华站，结果比小州早3分钟到达瓯华站． （1）求两人步行的速度； （2）求出图中出租车行驶时路程S与时间t的函数解析式； （3）求学校到瓯华站的路程． 3．（2024•西湖区校级二模）甲骑电动车，乙骑自行车从深圳湾公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为x（h），甲、乙两人距出发点的路程S甲、S乙关于x的函数图象如图①所示，甲、乙两人之间的路程差y关于x的函数图象如图②所示，请你解决以下问题： （1）甲的速度是 　 　km/h，乙的速度是 　 　km/h； （2）对比图①、图②可知：a＝ 　 　，b＝ 　 　； （3）乙出发多少时间，甲、乙两人路程差为7.5km？ 【题型6 一次函数应用的其他问题】 1、销售类应用常用等量关系：总利润=单件利润×数量； 2、销售类应用题常利用函数的增减性得到最大利润； 3、与其他几何图形结合的问题，注意结合对应几何图形的性质； 1．（2024•拱墅区校级模拟）设一次函数y＝ax+3a+1（a是常数，a≠0）． （1）无论a取何值，该一次函数图象始终过一个定点，直接写出这个定点坐标： （2）若2≤x≤4时，该一次函数的最大值是6，求a的值； 2．（2024•富阳区一模）食堂午餐高峰期间，同学们往往需要排队等候购餐．经调查发现，每天开餐时，约有400人排队，接下来，不断有新的同学进入食堂排队，队列中的同学买到饭后会离开队列．食堂目前开放了4个售餐窗口（规定每人购餐1份），每分钟每个窗口能出售午餐15份，前a分钟每分钟有40人进入食堂排队购餐．每一天食堂排队等候购餐的人数y（人）与开餐时间x（分钟）的关系如图所示， （1）求a的值． （2）求开餐到第7分钟时食堂排队购餐等候的人数． （3）若要在开始售餐7分钟内让所有的排队的学生都能买到，以便后来到同学随到随购，至少需要同时开放几个窗口？ 3．（2025•镇海区校级模拟）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，点C的坐标为（1，0）． （1）求直线BC的函数表达式． （2）点D是x轴上一动点，连接BD、CD，当△BCD的面积是△AOB面积的时，求点D的坐标． （3）点E坐标为（0，﹣2），连接CE，点P为直线AB上一点，若∠CEP＝45°，求点P坐标． 4．（2024•温州模拟）为了了解某款饮水机的工作原理与用电情况，家电学习小组展开了以下研究． 材料1 材料2 材料3 如图1某饮水机内有两个不同大小的方形水箱，两水箱各配有一条智能水管，当甲箱至最低水位10cm时1号管启动，将乙箱中的水匀速注入甲箱 甲乙两箱的水位相同时，此时2号管启动，将外部自来水匀速注入乙箱（两管的注水速度相同，水箱注满后其对应的水管停止工作，期间饮水机不对外出水）．甲乙水箱水位h（cm）关于t的函数关系如图2所示． 为节约能源，设定当两水箱的水位差不超过20cm时甲水箱启动加热，加热时每分钟耗电0.03度，另外每根水管工作1分钟耗电0.01度 问题解决 任务1 确定容器信息：求出图2中a的值与甲乙两容器底面积之比． 任务2 探究函数表达式：求出8分钟以后乙容器高度h（cm）关于时间t（分钟）的函数表达式 任务3 计算用电量：求出整个过程中所消耗的电量． 5．（2024•普陀区二模）某跨海大桥东西走向，双向四条车道，在旅游旺季经常拥堵，交警部门为了缓解交通压力，他们对该路段的汽车流量（辆/分钟）和时间进行了统计和分析，得到以下表格，发现时间和汽车流量的变化规律符合一次函数的特征． 时间x 8时 11时 14时 17时 20时 y1自东向西交通量（辆/分钟） 200 320 440 560 680 y2自西向东交通量（辆/分钟） 500 440 380 320 260 （1）请用一次函数分别表示y1与x、y2与x之间的函数关系． （2）如图，交警希望启用“潮汐式”通行方式来缓解交通压力，根据汽车流量情况改变车道的行车方向：大流量方向的汽车可在该路段借用相邻的对向机动车道通行，对向机动车道实行双向通行．单位时间内交通总量为y总＝y1+y2，车流量大的方向交通量为ym，经查阅资料得：当，需要使用“湖汐式”通行方式以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置“潮汐式”通行方式以缓解交通拥堵（在何时间段借用何方向机动车道通行），并说明理由． 考向三：反比例函数的应用 【题型7 反比例函数的应用】 因为反比例函数的比例关系和物理中的几个公式一样，所以在出反比例函数的应用时，常和物理中的这几个公式结合，题型主要有：①根据题意求解析式、②根据图象求对应点的坐标等； 1．（2024•龙湾区二模）图1是某电路图，滑动变阻器为R，电源电压为U，电功率为，P关于R的函数图象如图2所示．小温同学通过两次调节电阻，发现当R从10Ω增加到20Ω时，电功率P减少了20w，则当R＝15Ω时，P的值为 　 　w． 2．（2024•拱墅区二模）小丽家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题： （1）当0≤x≤10时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式； （2）求图中t的值； （3）若小丽在通电开机后即外出散步，请你预测小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？ 3．（2024•金华模拟）建筑是一门不断演化和创新的艺术，近年来，一种名为双曲铝单板的新兴材料以其独特的曲线和光泽，为建筑注入了新的时尚元素，同时也赋予了建筑更多的创意和流动性．图1为某厂家设计制造的双曲铝单板建筑，其横截面（图2）由两条曲线EG，FH（反比例函数图象的一部分）和若干线段围成，为轴对称图形，其中四边形ABDC与四边形GMNH均为矩形，AB＝2m，BE＝2m，AC＝20m，GM＝10m，MN＝4m，以AC的中点O为原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系． 请回答下列问题： （1）如图2，求EG所在图象的函数表达式． （2）如图3，为在曲面实现自动化操作，工程师安装了支架EG，并加装了始终垂直于EG的伸缩机械臂PQ用来雕刻EG所在曲面的花纹，请问点P在EG上滑动过程中，PQ最长为多少米？ 4．（2024•温州三模）杠杆原理在生活中应用广泛，我国早在春秋时期就有使用，相传商人范盐观农夫从井中取水受到启发，发明了称，其中就利用了杠杆原理． 杠杆原理为：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，如图1． 某数学兴趣小组利用所学的函数知识对以上原理进行探究： 如图2，小明取一根质地均匀的木杆长100cm，用细绳绑在木杆的中点O处将其吊在空中，在中点的左侧距中点25cm处挂一个质量为1kg的物体，在中点右侧用一个弹簧测力计（重力忽略不计）竖直向下拉，使木杆处于水平状态，改变弹簧测力计与中点O的距离x（cm），观察弹簧测力计的示数y（N）的变化，在平面直角坐标系中描出了一系列点（x，y），并用平滑的曲线顺次连接，得到如图3所示的函数图象．已知重力与质量之间的关系式为：G＝mg，G为物体的重力（单位：N），m为物体的质量（单位：kg），g＝10.0N/kg． （1）图3中函数的解析式为 　 　，自变量x的取值范围是 　 　； （2）若点O的位置不变，在不改变点O与物体的距离及物体的质量的前提下，要想使木杆平衡，弹簧测力计的示数最小可以是多少？ 考向四：一次函数与反比例函数的结合问题 【题型8 一次函数与反比例函数的交点问题】 1、求一次函数与反比例函数的交点，就是联立两个函数的解析式，得到的方程的解即为交点的横纵坐标； 2、不解不等式，直接根据函数图象写出不等式的解集时： ①根据不等号确定谁的函数图象应该在上方， ②求交点的横坐标， ③根据符合题意的范围写出比变量x的取值范围；（没有其他要求时，解集一般有两部分，且其中一部分肯定和0有关） 1．（2025•浙江一模）已知双曲线y与函数y＝|x﹣a|的图象有两个交点，则a的值是 　 　． 2．（2024•拱墅区校级二模）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数与y＝3x交于点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1y1﹣5x2y1＝8，则k＝　 　． 3．（2024•嘉兴一模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点A，若菱形OBCD的顶点B，C，D分别在OA，反比例函数图象和x轴上，则菱形OBCD的边长为（　　） A． B． C． D． 4．（2024•西湖区三模）如图，正比例函数y＝mx（m≠0，m为常数）图象与反比例函数y（k≠0，k为常数）图象交于A，B两点，AH⊥x轴于点H，连接BH交y轴于点G，若S△OGB＝3，则k的值为（　　） A．﹣3 B．﹣6 C．﹣9 D．﹣12 5．（2024•鹿城区校级模拟）若正比例函数y＝kx的图象与反比例函数的图象交于点A（a，4），B（﹣2，b），则k1+k2的值为 　 　． 6．（2024•诸暨市模拟）如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数的图象相交于A，B两点，其交点的横坐标分别为3和6，则实数k的值是 　 　． 7．（2024•宁波一模）如图，直线AB与反比例函数的图象相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点D是x轴负半轴上的一点，连结CD和AD，AD交y轴于点E，且AC＝AE，若，△CDE的面积为6，则k的值为 　 　． 8．（2024•宁波模拟）如图，直线AB的表达式为yx+4，与坐标轴交于点A，B，过点B作BC⊥AB交反比例函数y于点C，若AC的中点D也在反比例函数图象上，则k＝　 　． 【题型9 一次函数与反比例函数的面积问题】 一次函数与反比例函数的综合应用题，第一问通常是待定系数法求解析式，后边问题则常结合其他几何图形同步考察一次函数和反比例函数以及几何图形的性质，最常见的就是求不规则图形的面积，应对策略则是“割补法”，转化为规则图形再计算。 1．（2024•婺城区校级模拟）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数为的图象交于A（8，1），B（a，8）两点． （1）求两个函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足y2＞y1＞0时x的取值范围； （3）点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数y2的图象于点Q，若△POQ面积为5，求点Q的坐标． 2．（2024•鄞州区模拟）如图，一次函数y＝kx+b的图象交反比例函数y图象于A（，4），B（3，m）两点． （1）求m，n的值； （2）点E是y轴上一点，且S△AOB＝S△EOB，求E点的坐标； （3）请你根据图象直接写出不等式kx+b的解集． 3．（2024•浙江模拟）如图所示，直线与双曲线交于A（2，n），B两点，与y轴交于点D． （1）求k，n的值； （2）求△AOB的面积； （3）请结合上述两个函数的图象，请直接写出的解集． 4．（2024•拱墅区校级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与x轴、y轴分别交于点A、B，与反比例函数交于点C（3，m），D两点，直线MN垂直于x轴分别与一次函数和反比例函数交于M、N，连接BN，CN． （1）求k的值； （2）点M在线段AB上（不与端点A、B重合），若CM＝CN，求△BCN的面积． （建议用时：35分钟） 1．（2024•杭州二模）一次函数y＝kx+1的函数值y随x的增大而增大，当x＝2时，y的值可以是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 2．（2024•金华三模）如图，一次函数y1＝﹣x+b与反比例函数的图象相交于点A（a，3）和点B（3，﹣1）．当y1＞y2时，x的取值范围为（　　） A．x＜﹣1 B．x＜﹣1或x＞3 C．﹣1＜x＜0或x＞3 D．x＜﹣1或0＜x＜3 3．（2024•拱墅区一模）小明在平面直角坐标系内画了一个一次函数的图象，图象特点如下： ①图象过点（1，﹣4） ②图象与y轴的交点在x轴下方 ③y随x的增大而减小 符合该图象特点的函数关系式为（　　） A．y＝﹣4x+2 B．y＝﹣3x﹣1 C．y＝3x+1 D．y＝﹣5x﹣1 4．（2024•温州模拟）如图，在反比例函数的图象上有点A，B，C，图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3，已知点A，B，C的横坐标分别为2，3，4，S1+S2+S3＝8，则k的值为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 5．（2024•仙居县三模）把函数y的图象在直线y＝n下方的部分沿直线y＝n翻折后，再把翻折前后的图象中在直线y＝n上方部分叫做新函数图象T．当直线y＝n+3与图象T有四个交点时，n的取值范围是（　　） A．n＞0 B．n＞1 C．n＞﹣1 D．n＜﹣2 6．（2024•路桥区二模）当x＞1时，直线y＝mx（m为常数，m≠0）在直线y＝x+1的上方，则m的取值范围为 　 　． 7．（2024•海曙区一模）如图，直线y＝kx+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，矩形ABCD位于第一象限，若矩形ABCD的面积为20，则直线CD必经过一点，这个点的坐标为 　 　． 8．（2025•镇海区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点在反比例函数的图象上，延长AB交x轴于点C，且AB＝BC，D是第二象限一点，且DO∥AB，若△ADC的面积是15，则k的值为（　　） A．8 B．10 C．11.5 D．13 9．（2024•温州二模）已知两个反比例函数y1，y2（m≠0）．当1≤x≤2时，y1的最大值和最小值分别为a1，b1，y2的最大值和最小值分别为a2，b2．若a1﹣a2＝4，则b1﹣b2的值为（　　） A．﹣5 B． C． D．5 10．（2024•西湖区校级三模）对于平面直角坐标系中的任意一点P（x，y），我们把点Q（x+y，x﹣y）称为点P的“和差点”．如图，Rt△OAB的直角边OA在x轴上，点B（3，2），若点P在反比例函数的图象上，点Q为点P的“和差点”，且点Q在Rt△OAB的直角边OA上，则△OBQ的面积为（　　） A．2 B． C．1 D． 11．（2024•浙江模拟）如图，一次函数yx+b的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，以线段AB为边向第一象限内作等边三角形ABC，反比例函数y（k≠0）图象恰好经过BC边的中点D，与AC边交于点E．若△ODE的面积为，则k的值为 　 　． 12．（2024•浙江一模）在直角坐标系中，已知k1k2≠0，设函数与函数y2＝k2（x﹣2）+5的图象交于点A和点B．已知点A的横坐标是2，点B的纵坐标是﹣4． （1）求k1，k2的值． （2）过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，在第二象限交于点C；过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，在第四象限交于点D．求证：直线CD经过原点． 13．（2024•玉环市三模）定义：若两个函数的图象只有一个公共点，则称这两个函数互为“同盟函数”，其公共点称为“同盟点”； （1）已知下列三个函数：①y＝﹣2x﹣1；②y；③y＝x2﹣4x； ①如图，其中两个图象已给出，请在网格图中画出第三个函数的图象； ②写出所有互为“同盟函数”的函数，选一组求其“同盟点”； （2）若函数y＝|x﹣m|（m为常数）与y互为“同盟函数”，则m的取值范围为 　 　． 14．（2024•浙江模拟）我们定义：若点M绕点A逆时针方向旋转90°得到的对应点设为N，则称点N为点M的“Ai点”． （1）概念理解： 在平面直角坐标系中，已知点A（0，0），设点P的“Ai点”为Q．若点Q（2，1），则点P的坐标为 　 　． （2）问题探究： 如图1，已知点C（1，0），点D在直线yx+1上，若点D的“Ci点”在坐标轴上，求点D的坐标． （3）应用拓展： 如图2，已知线段EF的端点为E（0，﹣2）和F（1，0），边长为6的正方形ABCD以点O为中心，各边分别与坐标轴平行．点M在线段EF上，点N在正方形ABCD上，若存在点T（0，t），使得点M的“Ti点”为点N，请直接写出t的取值范围． 15．（2024•下城区校级三模）已知一次函数y1＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象与反比例函数（m是常数，m≠0）的图象交于A（1，t+1），B（t﹣5，﹣1）两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）若y1＞y2，请直接写出x的取值范围 　 　； （3）若（c，p），（n，q）是反比例函数图象上的两点，且满足c＝n+1，求的值． 16．（2024•婺城区模拟）随着家用小轿车的普及，交通安全已经成为千家万户关注的焦点，保持安全车距是预防交通事故的关键．已知某型号汽车刹车时速度为20米/秒，设刹车后行驶的时间为t秒，刹车后速度为v米/秒，刹车后行驶的距离为s米．已测得刹车后的运动速度v与运动时间t之间满足关系式：v＝﹣5t+20．刹车后行驶的距离s与t的函数图象如图所示，该图象是抛物线s＝pt2+qt（p，q为常数，p≠0）的一部分． （1）当该汽车刹车后速度为10米/秒时，求刹车后行驶的时间． （2）求p、q的值，以及该汽车刹车后行驶的最大距离． （3）一司机驾驶该型号汽车，在以20米/秒的速度行驶中，突然发现导航提示前面38米处路面变窄，于是立即刹车．为确保安全通过窄路，需要将车速降低到5米/秒以下．请通过计算说明该司机能否在到达窄路时将车速降低到5米/秒以下？ 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$