专题突破 一元一次不等式组“含参”问题-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（湘教版2024）

专题突破：一元一次不等式组“含参”问题 取值范围问题的常用方法 1、同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了； 2、解含绝对值符号的不等式：若|x|<a(a≥0),则-a<x<a; 若|x|>a,则x>a或x<-a; 若|a|>a,则a<0; 若|a|>|b|,则a²>b²; 题型一 求一元一次不等式组的整数解 【例1-1】（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）不等式组的所有整数解的和是（　　） A． B． C． D． 【例1-2】（本题3分）（江苏南通·二模）已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-1】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）关于的一元一次不等式组的整数解为 ． 【变式1-2】（24-25八年级上·四川成都·期末）若关于x的不等式组的所有整数解的和是9，则a的取值范围是 ． 【变式1-3】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）若关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是 ． 【变式1-4】（24-25八年级上·四川成都·期末）如果关于的不等式组有且只有个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【变式1-5】（23-24七年级下·北京·期中）若关于x的不等式组有且只有2个整数解，则m的取值范围是 ． 【变式1-6】（2025七年级下·全国·专题练习）若不等式组恰好有4个整数解，则a的取值范围是 ． 【变式1-7】（七年级下·江苏扬州·阶段练习）解不等式组并写出该不等式组的非正整数解． 【变式1-8】（24-25七年级下·全国·课后作业）解不等式组，并写出它的非负整数解． 题型二 由一元一次不等式组的解集求参数 【例2】（24-25七年级上·四川眉山·期末）关于的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则的取值范围是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式2-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知不等式组的解集为，则的值是 ． 【变式2-2】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的不等式组的解集为，求的值． 【变式2-3】（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知关于x的不等式组的解集为，求的值． 【变式2-4】（24-25八年级上·全国·期末）若关于的一元一次不等式组的解集为，求的取值范围． 题型三 由不等式组解集的情况求参数 【例3-1】（2025·河南郑州·一模）若关于x 的不等式组无解，则a 的值可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【例3-2】（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）已知关于的不等式组只有一个解，的值为 ． 【变式3-1】（辽宁丹东·二模）若不等式组有解，则实数的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【变式3-2】（七年级下·江苏南通·期中）若不等式组有解，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式3-3】（山东烟台·模拟预测）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围为（    ） A．m＞2 B．m＜2 C．0＜m≤2 D．m≥2 【变式3-4】（七年级下·北京·期末）若不等式组无解，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式3-5】（24-25八年级上·浙江金华·期末）若不等式组有解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-6】（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于x的不等式的解集与不等式的解集相同，则m的值为（   ） A． B． C． D． 题型四 不等式组和方程组结合的问题 【例4】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于，的二元一次方程组的解均为正数，且不等式组的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的方程组的解满足，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-2】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x，y的方程组的解满足条件，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A．12 B．6 C．—14 D．—15 【变式4-4】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于x，y的方程组的解满足，，若k为整数，且关于k的不等式的解集为，则k的值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式4-5】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围为 ． 【变式4-6】（23-24七年级下·河南安阳·期末）关于x的不等式组，至少有4个整数解，且关于x，y的方程组的解中，x的解为整数，那么满足条件的整数a的值为 ． 【变式4-7】（24-25八年级上·四川绵阳·期中）已知二元一次方程组，其中方程组的解满足，则的取值范围 ． 【变式4-8】（24-25八年级上·重庆·期中）若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是 ． 【变式4-9】（23-24七年级下·山东威海·期末）已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围 ． 【变式4-10】（24-25八年级上·浙江·期中）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m的取值范围； (2)化简：； (3)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为． 【变式4-11】（23-24七年级下·江西南昌·期末）已知关于，的方程组． (1)若该方程组的解满足，求的值； (2)若该方程组的解满足，均为正数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，求的整数值． 题型五 解特殊不等式组 【例5-1】（23-24七年级下·安徽滁州·期中）数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对和进行探究： 根据绝对值的意义，将不等式的解集表示在数轴上（如图1），可得的解集是：；将不等式的解集表示在数轴上（如图2），可得的解集是：或．    根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式（）的解集为______，不等式（）的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 【例5-2】（七年级下·四川宜宾·期中）阅读下列材料：求不等式的解集． 解：根据“同号两数相乘，积为正”可得： ①或②． 解①，得． 解②，得， ∴不等式的解集为或． 请你仿照上述方法解决下列问题： (1)求不等式的解集； (2)求不等式的解集． 【变式5-1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则， 即可以写成：解不等式组得： ②当若，则， 即可以写成：解不等式组得：． 综合以上两种情况：原不等式的解集为：或． 以上解法的依据为：当，则同号． 请你模仿例题的解法，解不等式： (1)； (2)． 【变式5-2】（七年级下·江苏连云港·期末）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式． 解：∵，∴可化为． 由有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，得 ①② 解不等式组①，得；解不等式组②，得， ∴的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或． (1)一元二次不等式的解集为_______； (2)试解一元二次不等式； (3)试解不等式． 【变式5-3】（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于－6而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于－6的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． (1)的解集为______，的解集为______； (2)已知关于的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求的值． 【变式5-4】（七年级下·河南周口·期中）（1）【阅读理解】“”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离不小于，则： ①“”可理解为 ； ②请列举两个符号不同的整数，使不等式“”成立，列举的的值为 和 ． 我们定义：形如“，，，”（为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集． （2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式． 由上图可以得出：绝对值不等式的解集是或， 绝对值不等式的解集是．则： ①不等式的解集是 ． ②不等式的解集是 ． （3）【拓展应用】解不等式，并画图说明． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题突破：一元一次不等式组“含参”问题 取值范围问题的常用方法 1、同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了； 2、解含绝对值符号的不等式：若|x|<a(a≥0),则-a<x<a; 若|x|>a,则x>a或x<-a; 若|a|>a,则a<0; 若|a|>|b|,则a²>b²; 题型一 求一元一次不等式组的整数解 【例1-1】（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）不等式组的所有整数解的和是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而确定对应的整数解，再把所有的整数解求和即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的整数解有， ∴不等式组的所有整数解的和是， 故选：A． 【例1-2】（本题3分）（江苏南通·二模）已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进而求得整数a最小值． 【详解】解：， 解①得， 解②得． 则不等式组的解集是． ∵解集中至少有5个整数解 ∴整数解为：-1,0,1,2,3． ∴． 整数a的最小值是4． 故选C． 【变式1-1】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）关于的一元一次不等式组的整数解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，分别解出每个不等式的解集，确定不等式组的解集，然后求整数解即可，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键． 【详解】解：， 解①，得， 解②，得， ∴， ∴不等式组的解集为， ∴整数解为 故答案为： 【变式1-2】（24-25八年级上·四川成都·期末）若关于x的不等式组的所有整数解的和是9，则a的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解集、整数解．解不等式组得出解集，根据整数解的和为12，可以确定整数解为①4，3，2或②4，3，2，1，0，，再根据解集确定a的取值范围即可． 【详解】解：解不等式组， 解得：， ∵所有整数解的和是9，且或， ∴不等式组的整数解为①4，3，2或②4，3，2，1，0，， ∴或； 故答案为：或． 【变式1-3】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）若关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式组求参数问题，解题的关键是掌握解不等式组的方法． 先解出不等式组，根据它有个整数解求出的取值范围． 【详解】解：解不等式组得：， 该不等式组有个整数解， 整数解为，，， ； 故答案为： 【变式1-4】（24-25八年级上·四川成都·期末）如果关于的不等式组有且只有个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组，解答本题的关键是求出的取值范围． 先分别解出两个不等式的解，根据不等式组有且只有个整数解可以是，，，，，即可得到，解得，可以求得满足条件的整数的值，然后求出它们的和即可． 【详解】解：由，得， 由，得， 关于的不等式组有且只有个整数解， 这个整数解是，，，，， ， 解得：， 满足条件的整数的值为，，， 符合条件的所有整数的和为， 故答案为：． 【变式1-5】（23-24七年级下·北京·期中）若关于x的不等式组有且只有2个整数解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由不等式组解集的情况求参数，先求出，则，再结合关于x的不等式组有且只有2个整数解，故，即可作答． 【详解】解：解不等式，得 ∴关于x的不等式组的解集是， ∵关于x的不等式组有且只有2个整数解， ∴． 故答案为： 【变式1-6】（2025七年级下·全国·专题练习）若不等式组恰好有4个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 先解不等式组用a表示出解集，然后根据不等式组恰有3个整数解，得到关于a的不等式组求解即可． 【详解】 解： 解不等式①，得 解不等式②，得 由题意可知原不等式组有解 ∴原不等式组的解集为 ∵不等式有4个整数解 ∴整数解为：9，10，11，12 ∴，解得：． 故答案为：． 【变式1-7】（七年级下·江苏扬州·阶段练习）解不等式组并写出该不等式组的非正整数解． 【答案】，非正整数解为， 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 分别求出不等式组中两个不等式的解集，找出解集的公共部分确定出解集，在解集中找出非正整数即可． 【详解】解：， 由①得：； 由②得：， 所以不等式组的解集是：， 则不等式组的非正整数解是：，0． 【变式1-8】（24-25七年级下·全国·课后作业）解不等式组，并写出它的非负整数解． 【答案】，非负整数解有0，1，2，3 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的运算法则是解题的关键．分别求出每个不等式的解集，再将解集联立起来． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 该不等式组的解集为， 该不等式组的非负整数解有0，1，2，3． 题型二 由一元一次不等式组的解集求参数 【例2】（24-25七年级上·四川眉山·期末）关于的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则的取值范围是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了不等式组的解集，先求解不等式组的解集，再根据不等式组的解集结合题意，可得答案．利用不等式的解集不在的范围中得出或是解题关键． 【详解】解：由， 由①得； 由②得； 解得． 关于的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中， 得或， 解得或， 故选：B． 【变式2-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知不等式组的解集为，则的值是 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的解法，代数式求值，关键是正确计算出两个不等式的解集．首先计算出两个不等式的解集，再根据不等式的解集是，可得，，再解一元一次方程可得答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， ，， 解得：， ， 故答案为：3． 【变式2-2】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的不等式组的解集为，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．分别求出每个不等式的解集，再结合不等式组的解集得出关于a、b的方程，解之即可得出答案． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以该不等式组的解集是， 因为关于的不等式组的解集为， 所以，， 解得， 所以． 【变式2-3】（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知关于x的不等式组的解集为，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，求代数式的值，根据不等式组的解集求出m与n的值是解题的关键；先解不等式组，根据不等式组的解集得关于m与n的方程，求出m与n的值，即可求得代数式的值． 【详解】解：令 解不等式①，得．解不等式②，得． 不等式组的解集为， ，， 解得，， ． 【变式2-4】（24-25八年级上·全国·期末）若关于的一元一次不等式组的解集为，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集． 分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集即可得出a的取值范围． 【详解】解：．不等式可化为， ∴． ； 不等式可化为， ∴． ∴， ∵关于的一元一次不等式组的解集为， ∴． ． 题型三 由不等式组解集的情况求参数 【例3-1】（2025·河南郑州·一模）若关于x 的不等式组无解，则a 的值可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解不等式得，解不等式得，根据不等式组无解，即可得出答案，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键． 【详解】解： 解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组无解， ∴， 故选：A． 【例3-2】（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）已知关于的不等式组只有一个解，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的解，正确得出不等式组的解集是解题关键． 求出不等式组中两不等式的解集，根据不等式取解集的方法：同大取大；同小取小；大大小小无解；大小小大取中间的法则表示出不等式组的解集，由不等式组只有一个解，即可得出a的值． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ， 不等式组只有一个解， ， ， 故答案为：． 【变式3-1】（辽宁丹东·二模）若不等式组有解，则实数的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题解析：由①得：． 由②得： ． 因不等式组有解：可画图表示为： 由图可得使不等式组有解的的取值范围为：． ∴． 故选D． 【变式3-2】（七年级下·江苏南通·期中）若不等式组有解，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解不等式，再根据不等式组有解即可确定a的取值范围． 【详解】解：解不等式得， 又∵不等式组有解， ∴， 故选：C． 【变式3-3】（山东烟台·模拟预测）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围为（    ） A．m＞2 B．m＜2 C．0＜m≤2 D．m≥2 【答案】D 【分析】首先解每一个不等式，然后根据不等式组无解确定m的范围． 【详解】解： 解不等式①得，x≥m． 解不等式②得，x＜2， ∵不等式组无解， ∴m≥2， 故选：D． 【变式3-4】（七年级下·北京·期末）若不等式组无解，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知不等式组无解，确定出k的范围即可． 【详解】解：∵不等式组无解， ∴k的范围为k≥2， 故选：A． 【变式3-5】（24-25八年级上·浙江金华·期末）若不等式组有解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的方法是关键．利用不等式组取解集的方法：同大取大，同小取小，小大大小中间找，大大小小解不了，即可得到的范围． 【详解】解：∵不等式组有解， ∴的取值范围是， 故选：B． 【变式3-6】（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于x的不等式的解集与不等式的解集相同，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，先分别解两个不等式，再根据两个不等式的解解相同得关于m的方程，解方程即可得解． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得． ∵两个不等式的解集相同， ∴， 解得． 故选：C． 题型四 不等式组和方程组结合的问题 【例4】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于，的二元一次方程组的解均为正数，且不等式组的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了已知二元一次方程组的解的情况求参数，由一元一次不等式组的解集求参数等知识点，熟练掌握二元一次方程组及一元一次不等式组的解法是解题的关键． 解二元一次方程组，得，由“方程组的解均为正数”可得，解得；解不等式组，由得，由得，由“不等式组的解集为”可得，解得；综合以上，于是得解． 【详解】解：， ，得：， 系数化为，得：， 将代入，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 二元一次方程组的解为， 关于，的二元一次方程组的解均为正数， ， 解得：； ， 整理，得： 由得：， 由得：， 不等式组的解集为， ， 解得：； 综上，的取值范围是：， 故选：． 【变式4-1】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的方程组的解满足，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是二元一次方程和不等式的综合问题，用含a的代数式表示出x、y，然后根据得出a的范围，再根据a的范围化简计算． 【详解】解： 得， 解得， 代入①得， 解得 ∴ 因为， 所以 解得， 所以． 故选B． 【变式4-2】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x，y的方程组的解满足条件，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解题的关键．解方程组可得，再结合列出不等式组，求出不等式组的解集即可得出结论． 【详解】解：关于x，y的方程组为， 解得：， 因为， 所以， 解得：． 故选：C． 【变式4-3】（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A．12 B．6 C．—14 D．—15 【答案】D 【分析】根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出的取值范围，再进行求解即可． 本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组，求不等式的整数解等知识点，掌握解方程组和不等式组的方法是解题的关键． 【详解】解：， ，得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 故不等式组的解集是： ∵不等式组只有3个整数解， ∴，解得， ∴， ∴符合条件的整数m的值的和为， 故选：D． 【变式4-4】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于x，y的方程组的解满足，，若k为整数，且关于k的不等式的解集为，则k的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解含有参数的二元一次方程组和一元一次不等式组，根据题意，求出k的范围是解题的关键．先求出关于x，y的方程组的解，再根据，，列不等式求出k的范围，再根据关于k的不等式的解集为，可得，进一步缩小k的范围，最后再根据k为整数，即可得出k的值． 【详解】解：解方程组，得， ∵，， ∴， 解得， 又∵关于k的不等式的解集为：， ∴， 解得， ∴k的范围为． 又∵k为整数， ∴． 故选：B． 【变式4-5】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，两方程相减整理得，结合知，解之即可． 【详解】解：， ①②，得， ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式4-6】（23-24七年级下·河南安阳·期末）关于x的不等式组，至少有4个整数解，且关于x，y的方程组的解中，x的解为整数，那么满足条件的整数a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、解二元一次方程组，根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为整数得到即可解答． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得，， 不等式组至少有4个整数解， ∴， ∴， 解方程组， 得：，解得， 将代入④得：，解得 方程组的解为：， 关于的方程组的解为整数， ，解得：， 当时，，符合题意； 所有满足条件的整数的值为． 故答案为：． 【变式4-7】（24-25八年级上·四川绵阳·期中）已知二元一次方程组，其中方程组的解满足，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解一元一次不等式组的应用，先求出方程组的解，再把解代入到不等式中，最后解不等式即可求解，正确求出方程组的解是解题的关键． 【详解】解： 得，， 把代入①得，， ∴， ∴方程组的解为， ∵方程组的解满足， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 【变式4-8】（24-25八年级上·重庆·期中）若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先求出不等式组两个不等式的解集，再根据不等式组至少有两个整数解得到；再利用加减消元法得到，则，据此求出即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组至少2个整数解， ∴， ∴； 得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的整数m有3、4、5、6、7， ∴满足条件的整数之和是， 故答案为：． 【变式4-9】（23-24七年级下·山东威海·期末）已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查根据方程组的解集的情况求参数的范围，求不等式组的解集，根据方程组的解集的情况，得到关于的不等式组，求解即可． 【详解】解：， 得：，即， 得：， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 【变式4-10】（24-25八年级上·浙江·期中）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m的取值范围； (2)化简：； (3)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】 本题考查的是解二元一次方程组、一元一次不等式组及绝对值的性质，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）解方程组得出，由x为非正数，y为负数知，解之即可； （2）根据m的取值范围判断出，，再去绝对值符号、合并同类项即可； （3）由不等式的解为，知；据此可得，结合以上所求m的范围知，继而可得整数m的值． 【详解】 解：（1）解方程组得：， ∵x为非正数，y为负数， ∴， 解得：； （2）∵， ∴，， 则原式． （3）由不等式的解为，知； 所以， 又因为， 所以， 因为m为整数， 所以． 【变式4-11】（23-24七年级下·江西南昌·期末）已知关于，的方程组． (1)若该方程组的解满足，求的值； (2)若该方程组的解满足，均为正数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，求的整数值． 【答案】(1) (2) (3)的整数值为或 【分析】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组，熟练掌握计算方法是解此题的关键． （1）由加减消元法解二元一次方程组得出，结合题意得出，计算即可得解； （2）利用加减消元法得出，结合题意得出，解不等式组即可得出答案； （3）根据题意得出，求解并结合（2）得出，即可得解． 【详解】（1）解：， 由得：， ∴， ∵该方程组的解满足， ∴， ∴； （2）解：， 由得：， 解得：， 将代入②得：， 解得：， ∴原方程组的解为， ∵该方程组的解满足，均为正数， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴， ∵不等式的解为， ∴， 解得：， 由（2）可得， ∴， ∴的整数值为或． 题型五 解特殊不等式组 【例5-1】（23-24七年级下·安徽滁州·期中）数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对和进行探究： 根据绝对值的意义，将不等式的解集表示在数轴上（如图1），可得的解集是：；将不等式的解集表示在数轴上（如图2），可得的解集是：或．    根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式（）的解集为______，不等式（）的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)，或 (2)或 (3) 【分析】此题是一个阅读题目，首先通过阅读把握题目中解题规律和方法，然后利用这些方法解决所给出的题目，所以解题关键是正确理解阅读材料的解题方法，才能比较好的解决问题．此题是一个绝对值的问题，有点难以理解，要反复阅读，充分理解题意． （1）由于的解集是，的解集是或，根据它们即可确定和的解集； （2）把当做一个整体，首先利用（1）的结论可以求出的取值范围，然后就可以求出的取值范围； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 【详解】（1）根据题干规律可得，不等式（）的解集为； 不等式（）的解集为或； （2）由（1）得：由于， 所以或， 所以或， 所以的解集为或； （3）由绝对值的意义得方程的解就是求在数轴上到1和对应点的距离之和等于5的点对应的x的值， 因为数轴上1和对应点的距离为3， 所以满足方程的x对应的点在1的右边或的左边． 若x对应的点在1的右边，可得； 若x对应的点在的左边，可得； 所以方程的解为或， 所以不等式的解集为． 【例5-2】（七年级下·四川宜宾·期中）阅读下列材料：求不等式的解集． 解：根据“同号两数相乘，积为正”可得： ①或②． 解①，得． 解②，得， ∴不等式的解集为或． 请你仿照上述方法解决下列问题： (1)求不等式的解集； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）仿照题意求解即可； （2）当，根据“同号两数相除，商为正”可得：①或②，解不等式组即可得到答案；当，即时，原不等式也成立，据此即可得到答案． 【详解】（1）解：根据“异号两数相乘，积为负”可得： ①或②， 解①得，解②可知无解， ∴不等式的解集为； （2）解：当， 根据“同号两数相除，商为正”可得： ①或②， 解①得，解②得， ∴不等式的解集为或； 当，即时，原不等式也成立； 综上所述，或． 【变式5-1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则， 即可以写成：解不等式组得： ②当若，则， 即可以写成：解不等式组得：． 综合以上两种情况：原不等式的解集为：或． 以上解法的依据为：当，则同号． 请你模仿例题的解法，解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了因式分解式不等式的求解，解题的关键在于熟练掌握两式之积大于0，则两式为同号，两式之积小于0则两式为异号． （1）利用两式之积大于0，推出两式同号，分别列出两个不等式组，按照不等式的大大取大，小小取小即可求出原不等式的解集． （2）利用两式之积小于0，推出两式异号，分别列出两个不等式组，按照不等式的大小小大取中间，即可求出原不等式的解集． 【详解】（1）解：①当，则， ，解不等式组得． ②当若，则， ，解不等式组得． 原不等式的解集为：或． （2）解：①当，则， ， 不等式组无解． ②当若，则， ，解不等式组得． 原不等式的解集为：． 【变式5-2】（七年级下·江苏连云港·期末）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式． 解：∵，∴可化为． 由有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，得 ①② 解不等式组①，得；解不等式组②，得， ∴的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或． (1)一元二次不等式的解集为_______； (2)试解一元二次不等式； (3)试解不等式． 【答案】(1)或 (2)一元二次不等式的解集为0＜x＜5 (3)的解集为1＜x＜4 【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解； （2）利用提公因式法对不等式的左边进行因式分解，再求解可得； （3）需要分类讨论：①     ②据此求解可得． 【详解】（1）解：由原不等式得：（x+3）（x-3）＞0 ∴ 或 解得：x＞3或x＜-3． 故答案为：或 ； （2）∵， ∴可化为． 由有理数的乘法法则：两数相乘，异号得负，得 ①     ② 解不等式组①，得0＜x＜5； 解不等式组②，无解， ∴的解集为0＜x＜5， 即一元二次不等式的解集为：0＜x＜5． （3）由有理数的除法法则：两数相除，异号得负，得 ①     ② 解不等式组①，得1＜x＜4； 解不等式组②，无解， ∴的解集为1＜x＜4． 【变式5-3】（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于－6而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于－6的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． (1)的解集为______，的解集为______； (2)已知关于的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求的值． 【答案】(1)；或 (2) 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义、二元一次方程组的特殊解法，求一元一次不等式组的整理数解等知识点，理解绝对值的几何意义是解答本题的关键． （1）根据阅读材料的结论即可解答； （2）先将二元一次的方程组的两方程求和可得，再代入得到关于的绝对值方程，然后求解，最后确定满足题意的的值即可． 【详解】（1）解：由阅读材料提供方法可得：的解集为； 的解集为或． 故答案为；或． （2）解：二元一次方程组 可得：，即 ， 是正整数 ． 【变式5-4】（七年级下·河南周口·期中）（1）【阅读理解】“”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离不小于，则： ①“”可理解为 ； ②请列举两个符号不同的整数，使不等式“”成立，列举的的值为 和 ． 我们定义：形如“，，，”（为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集． （2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式． 由上图可以得出：绝对值不等式的解集是或， 绝对值不等式的解集是．则： ①不等式的解集是 ． ②不等式的解集是 ． （3）【拓展应用】解不等式，并画图说明． 【答案】（1）①数在数轴上对应的点到原点的距离小于；②；3； （2）①或；②；（3）或，见解析． 【分析】（1）①类比题目所给的信息即可解答；②写出符合题意的两个整数即可（答案不唯一）； （2）①类比题目中的解题方法即可解答；②类比题目中的解题方法即可解答； （3）根据绝对值的几何意义可知，不等式的解集，就是数轴上表示数的点到表示与的点的距离之大于的所有的值，由此即可确定不等式的解集． 【详解】（1）①由题意可得，“”可理解为数在数轴上对应的点到原点的距离小于． 故答案为：数在数轴上对应的点到原点的距离小于； ② 令， 使不等式“”成立的整数为，， 故答案为：，． （2）①由题意可知， 不等式的解集是或， 故答案为：或； ②由题意可知，不等式的解集为： ， 即， 故答案为：； （3）根据绝对值的几何意义可知，不等式的解集就是数轴上表示数的点，到表示与的点的距离之和大于的所有的值， 如下图所示， 可知不等式的解集是或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$